\文档类[12pt，reqno]{article}\usepackage[用户名]{颜色}\使用包{amssymb}\使用包{graphicx}\使用包{amscd}\使用包{tikz}\usetikzlibrary{装饰.pathoreplacement}\usepackage[colorinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色{webbrown}{rgb}{.6,0,0}\使用包{color}\使用包｛完整页｝\使用包{float}\使用包{psfig}\usepackage{graphics，amsmath，amssymb}使用包\使用包｛amsthm｝\使用包｛amsfonts｝\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\evensidemargin}{.1in}\集合长度{\topmargin}{-.1in}\设置长度{\textheight}{8.4in}\新命令{\seqnum}[1]{\href{http://oeis.org/#1}{\underline{#1}}}\开始｛文档｝\开始{居中}\epsfxsize=4英寸\离开模式\epsfile{logo129.eps}\结束{中心}\理论风格{普通}\新定理{定理}{定理{\新定理{推论}[定理]{推演}\新定理{引理}[定理]{引言}\新定理{命题}[定理]{命题\理论风格{定义}\新定理{definition}[定理]{definition}\新定理{example}[定理]{example}\新定理{猜想}[定理]{猜测}\理论风格{remark}\新定理{remark}[定理]{remark}\开始{居中}\vskip 1cm{\LARGE\bf返回、丘陵和$t$-ary树}\vskip 1cm\大型赫尔穆特·普罗丁格\\数学科学系\\斯特伦博斯大学\\7602钨铬钴合金\\南非\\\href{mailto:hproding@sun.ac.za}{\tt hproding@sun.ac.ja}\\\结束{中心}\vskip.2英寸\开始{abstract}最近对广义Dyck路径的收益和丘陵的分析是继承到$t$ary树的语言中，通过显式二元生成函数，所有相关结果都很快跟进而且很顺利。关于（离散）极限分布的一个猜想山丘的平息是肯定的。\结束{抽象}\章节{引言}在本刊最近的一篇论文中，\emph{广义Dyck路径}研究位置：它们有一个up-step$\mathsf{u}=（1,1）$和down-step$\mathsf{d}=（1，-t+1）$，其中$t\ge2$从原点开始，结束在$x$-轴上，永远不要低于$x$&轴。一位将军这种格子路径的参考文献是一篇百科全书Banderier和Flajolet引用了{BaFl02}。研究了两个参数（在Riordan的帮助下数组）：返回$x$-轴的次数（原点本身不计算在内），以及（连续的）子路径的数量位于$x$轴。在本说明中，我想强调树的语言，特别是树的语言是受欢迎的这里，因为它允许编写相关的生成功能简单，没有提到Riordan阵列，并导致解决之前提到的最新论文引用了{CaMc16}。$t$-ary树家族被递归描述：树是外部节点（描述为正方形），或根（内部节点，描绘为一个圆），后跟子树（按此顺序）$T_1，\点，T_T$。对于这个和许多其他概念，我们指的是弗拉乔莱和Sedgewick\cite{FlSe09}。生成函数$T（z）=\sum_｛n\ge0｝a_nz^n$，其中$a_n$是树的数量大小为$n$（$n$内部节点）的定义，由$T（z）=1+zT^T（z）$给出。提取系数通过设置$z=u/（1+u）^t$，从而$t=1+u$，可以有效地完成轮廓整合；该方法与拉格朗日反演公式。下面是一个示例：\begin{align*}[z^n]T^k（z）&=\frac1{2\pii}\point\frac{dz}{z^{n+1}}\\&=\frac1{2\pii} 点\frac{du（1+u-tu）（1+u）^{t（n+1）}}{（1++）^{t+1}u^{n+1}}（1+u）^k\\&=[u^{n}]（1+u-tu）（1+u）^{tn+k-1}\\&=\binom{tn+k-1}{n}-（t-1）\binom}{tn+k-1}{n-1}\\&=\压裂{k}{n}\binom{tn+k-1}{n-1}。\end{align*}这将生成特别是（对于$k=1$）数字$a_n=\frac1n\binom{tn}{n-1}$。广义族之间存在一个自然双射Dyck小路和$t$ary树家族。它基于根据\emph{first}返回到的路径分解$x$-轴。Dyck路径的第一部分是（递归地）负责第一个$t-1$子树其余$t$-th子树的Dyck路径的其余部分。确实如此那么很明显，下台阶的数量与关联树的内部节点数。这里是$t=3$所描述的情况。\开始{图形}[h]\开始{居中}\开始{tikzpicture}[比例=0.5]%\绘制[步长=1.cm，黑色]（-0.0，-0.0）网格(20,6); \拉伸[超厚]（0.0,0.）至（1.，1.）；\绘制（1,1）。。控件（2,5）。。(3,1); \绘制（3,1）。。控件（4,7）。。(5,1); \节点位于（5.5,1）{$\cdot$}；\节点位于（6,1）{$\cdot$}；\节点位于（6.5,1）{$\cdot$}；\绘制（7,1）。。控件（8,3）。。(9,1); \抽签[超]厚度]（9,1）至（10,2）；\绘制（1+9,1+1）。。控制（2+9,6）。。(3+9,1+1); \绘制（3+9,1+1）..控制（4+9,4）。。(5+9,1+1); \节点位于（5.5+9.2）{$\cdot$}；\节点位于（6+9,2）{$\cdot$}；\节点位于（6.5+9,2）{$\cdot$}；\绘制(16,2) .. 控制（17.5）。。(18,2); \绘制[超厚]（18.2）至（19.0）；\抽签（19.0）。。控制（20.6）。。(21,0);\绘制（21.0）。。控制（22,3）。。(23,0);\节点位于（23.5,0）{$\cdot$}；\节点位于（24,0）｛$\cdot$｝；\节点位于（24.5,0）｛$\cdot$｝；\绘制(25,0) .. 控件（26,4）。。(27,0);\绘制[厚，装饰，装饰={支撑，振幅=10pt，镜像，上升=4pt}]（1cm，-0.5）到节点[下方，yshift=-0.5cm]{$T_{1}$}（9cm，-0.5);\绘制[厚，装饰，装饰={支撑，振幅=10pt，镜面，凸起=4pt}]（10cm，-0.5）到节点[下方，yshift=-0.5cm]{$T_{2}$}（18厘米，-0.5）；\绘制[厚，装饰，装饰={支撑，振幅=10pt，镜面，凸起=4pt}]（19cm，-0.5）到节点[下方，yshift=-0.5cm]{$T_{3}$}（27厘米，-0.5）；\结束{tikzpicture}\结束{center}\标题{广义Dyck的分解通向（递归地）三元树的路径子树$T_1、T_2、T_3$.}\结束{图形}现在，稍加思考，我们相信返回值与（内部）节点的数量相同从根到最右边的叶子。而且，此外：山的数量是上的节点数量此最右边的路径具有其第一个属性$t-1$子树为空（是空子树，仅由外部节点组成）。\开始{图形}[h]\开始{中间}\开始{tikzpicture}[scale=0.5]\node于（0,0）{$\项目符号$}；\节点位于（3，-1）{$\bullet$}；\节点位于（0，-1）{$\blacksquare$}；\节点位于（-3，-1）｛$\blacksquare$｝；\节点位于（6，-2）{$\bullet$}；\节点位于（9，-3）{$\bullet$}；\节点位于（12，-4）{$\bullet$}；\节点位于（15，-5）{$\bullet$}；\绘制[厚度]（0,0）至（15，-5）；\绘制[厚度]（0,0）到(0,-1); \绘制[厚度]（0,0）到（-3，-1）；\节点位于（3，-2）{$\blacksquare$}；\节点位于（0，-2）{$\bullet$}；\绘制[厚度]（3，-1）到（0，-2）；\绘制[厚度]（3，-1）到（3，-2）；\节点位于（-1，-3）{$\blacksquare$}；\节点位于（0，-3）{$\blacksquare$}；\节点位于（1，-3）{$\blacksquare$}；\绘制[厚度]（-1，-3）到（0，-2）；\绘制[厚度]（0，-3）到（0，-2）；\绘制[厚度]（1，-3）到（0，-2）；\节点位于（3，-3）{$\blacksquare$}；\节点位于（6，-3）{$\bullet$}；\绘制[厚度]（6，-3）到（6，-2）；\绘制[厚度]（3，-3）到（6，-2）；\节点位于（5，-4）{$\blacksquare$}；\节点位于（6，-4）{$\bullet$}；\节点位于（7，-4）{$\blacksquare$}；\绘制[厚度]（5，-4）到（6，-3）；\绘制[厚度]（6，-4）到（6，-3）；\绘制[厚度]（7，-4）到（6，-3）；\节点位于（8，-4）{$\blacksquare$}；\节点位于（9，-4）{$\blacksquare$}；\绘制[厚度]（8，-4）至（9，-3）；\拉伸[厚度]（9，-4）至（9，-3）；\节点位于（11，-5）{$\blacksquare$}；\节点位于（12，-5）{$\blacksquare$}；\绘制[厚度]（11，-5）到（12，-4）；\绘制[厚度]（12，-5）到（12，-4）；\节点位于（13，-6）{$\bullet$}；\节点位于（15，-6）{$\blacksquare$}；\节点位于（17，-6）{$\blacksquare$}；\绘制[厚度]（13，-6）至（15，-5）；\绘制[厚度]（15，-6）至（15，-5）；\绘制[厚度]（17，-6）至（15，-5）；\节点位于（5，-5）{$\blacksquare$}；\节点位于（6，-5）{$\blacksquare$}；\节点位于（7，-5）{$\blacksquare$}；\绘制[厚度]（5，-5）到（6，-4）；\绘制[厚度]（6，-5）到（6，-4）；\绘制[厚度]（7，-5）到（6，-4）；\节点位于（14，-7）{$\blacksquare$}；\节点位于（12，-7）{$\blacksquare$}；\节点位于（13，-7）{$\blacksquare$}；\绘制[厚度]（12，-7）到（13，-6）；\绘制[厚度]（13，-7）到（13，-6）；\绘制[厚度]（14，-7）到（13，-6）；\结束{tikzpicture}\结束{center}\标题{10的三元树（内部）节点。它有6个回程和3个坡道。}\结束{图}在下文中，我们将分析这些$t$ary树的参数。在特别是，我们将自由谈论回报和长满树木的小山。Cameron和McLeod\cite{CaMc16}定义了\emph{负二项分布}via\开始{方程式*}\mathbb{P}\{Y=k\}=\binom{k-1}{r-1}P^r（1-P）^{k-r}。\end{方程式*}这有点反差和《分析组合学》一书\引用{FlSe09}和\emph{Wikipedia}，因为它是一个转换版本，以及$p$和$1-p的角色$与更常见的互换定义。然而，我们将坚持这个定义在这里，因为比较。数字$r$和$p$被称为分布参数。\{$t$-ary上的返回数树}设$F（z，v）$为生成函数返回的大小和数量，即，$z^nv^k$的系数是带有$n$内部节点和$k的数字树$返回。然后我们找到方程\开始{方程式*}F（z，v）=1+zT^{t-1}（z）vF（z、v）。\end{方程式*}自$zT^{t-1}（z）=\frac{t（z）-1}{t（z）}$，这将导致到显式形式\begin{方程式*}F（z，v）=\frac1{1-v\frac{T（z）-1}{T（z）}}。\结束{方程式*}因此开始{方程式**}[v^k]F（z，v）=\大（\frac{T（z）-1}{T（z）}\Big）^k=\大。\结束{方程式*}此外\开始{align*}[z^n][v^k]F（z，v）&=[z^n]\Big（\frac｛u｝｛1+u｝\Big）^k\\&=\frac1｛2\pii} \点\frac{dz}{z^{n+1}}\大（\frac}{1+u}\大）^k\\&=\frac1{2\pii} 点\frac{du（1+u-tu）（1+u）^{t（n+1）}}{u^{n+1}（1++）^{t+1}}\大（\frac}{1+u}\大）^k\\&=[u^{n-k}]（1+u-tu）（1+u）^{tn-1-k}\\&=\binom{tn-1-k}{n-k}-（t-1）\\&=\压裂{k}{n}\binom{tn-1-k}{n-k}。\结束{align*}除以$a_n$得出以下概率大小为$n$的随机树返回$k$：\开始{方程式*}pk（n）=k\frac{\binom{tn-1-k}{n-k}}{\binom{tn}{n-1}}到\裂缝{k（t-1）^2}{t^{k+1}}，\quad\文本{fixed}\k，\quad n \ to \ infty。\结束{方程式*}为了计算$d$-th（阶乘）现在，我们计算\begin{align*}\压裂{\部分^d}{\部分v^d}F（z，v）\大|_{v=1}=d！T（z）（T（z）-1）^d=d！（1+u）u^d。\end{align*}此外，\begin{aling*}[z^n]\frac{\partial^d}{\ partial（部分）v^d}F（z，v）\大|_{v=1}&=[u^{n-d}]d！（1+u-tu）（1+u）^{tn}\\*&=d！\binom｛tn｝｛n-d｝-d！（t-1）\binom{tn}{n-1-d}=\frac{（td+1）d！}{n-d}\binom}{n-1d}。\end{align*}对于预期值，我们考虑$d=1$并除以$an$结果\开始{方程式*}\压裂{（t+1）n}{n（t-1）+2}\sim\压裂{t+1}{t-1}。\end{方程*}第二阶乘矩为通过$d=2$获得，结果为\开始{方程式*}\压裂{2（2t+1）n（n-1）}{（tn-n+3）（tn-n+2）}。\end{等式*}这导致了差异：\开始{方程式*}2\frac{n（t-1）（n-1）（tn+1）}{（tn-n+3）（tn-n+2）^2} \sim\frac{2t}{（t-1）^2}。\结束{方程式*}本节对结果进行了修改和扩展关于返回次数的\引用｛CaMc16｝。注意数量$\压裂{k（t-1）^2}{t^{k+1}}$是$\mathbb{P}\{Y=k+1\}$，其中$Y$是随机的变量，按负数分布$r=2$的二项式分布$p=\压裂{t-1}{t}$。\第{$t$-ary树上的山数}节设$G（z，v）$为生成函数关于大小（变量$z$）和丘陵数量（可变$v$）。然后我们发现递归\begin{方程*}G（z，v）=1+zT^{t-1}（z）G（z、v）+z（v-1）G（z，v）。\结束{等式*}由于$zT^{t-1}（z）=1-1/t（z）$，我们找到了显式解\begin{方程*}G（z，v）=\压裂{T（z）}{1-（v-1）zT（z。\结束{方程*}通过$d$-倍微分，然后设置$v=1$，我们得到第$d$-th阶乘的生成函数力矩（除标准化外）：\开始{方程式*}d！z^dT^{d+1}（z）。\end{方程式*}此外，\begin{align*}[z^n]d！z^dT^{d+1}（z）&=\frac{d！}{2\pii}点\裂缝{dz}{z^{n+1-d}}T^{d+1}（z）\\&=\frac{d！}{2\pii}\point\裂缝{du（1+u-tu）（1+u）^{t（n-d）+d}}{u^{n+1-d}}\\&=d！[u^{n-d}]（1+u-tu）（1+u）^{t（n-d）+d}\\&=d！\二进制{tn-（t-1）d}{n-d}-d！（t-1）\binom{tn-（t-1的）d}{n-1-d}\\&=\frac{（d+1）！}{n-d}\binom{tn-（t-1）d}{n-1-d}。\end{align*}对于$d=1$，这将导致预期值：\begin{align*}\压裂{n}{\binom{tn}{n-1}}\压裂{2}{n-1}\binom}tn-t+1}{n-2}=\压裂{2（tn-t+1）！（tn-n+1）！}｛t（tn-1）！（tn-n-t+3）！｝\到\压裂｛2（t-1）^｛t-2｝｝｛t^｛t-1｝｝。\end{align*}方差计算为\开始{方程式*}\压裂{n}{\二元{tn}{n-1}}\压裂{6}{n-2}\二元}{tn-2t+2}{n-3}+\压裂{2（tn-t+1）！（tn-n+1）！}{t（tn-1）！（tn-n-t+3）！}-\bigg[\frac{2（tn-t+1）！（tn-n+1）！}{t（tn-1）！（tn-n-t+3）！}\bigg]^2，\end{方程式*}我们不会试图简化任何进一步。写入\开始{方程式*}G（z，v）=sum{n，k}G{n，k}z^nv^k，end{方程*}可以导出系数$g{n，k}$，但它们不是相当于上一节：\开始{align*}G（z，v）&=\sum_{k\ge0}（v-1）^kz^kT^{k+1}（z）\\&=\sum_{n\ge0}z^n\sum_{k\ge0}（v-1）^k\frac{k+1}{n-k}\binom{tn-（t-1）k}{n-1-k}\\&=\sum_{n\ge0}z^n\sum_{k\ge0}\sum__{0\lej\lek} \binom公司kjv^j（-1）^{k-j}\frac{k+1}{n-k}\binom{tn-（t-1）k}{n-1-k}。\end{align*}这将导致\开始{方程式*}g{n，j}=sum{j\lek\len}\binomkj（-1）^{k-j}\frac{k+1}{n-k}\binom{tn-（t-1）k}{n-1-k}。\结束{方程式*}$g_{n，j}/a_n$的极限分布$j$固定，因此必须在不同的方式。我们需要一个渐近树的速成课程此处枚举；所有这些都可以在弗拉乔莱特和塞奇威克的书，但比较一下Meir和月球引用{MeMo78}，特别是\emph{简单生成的树族}。这个我们在这里描述的过程非常接近与中的讨论相关\引用[Section IX-3]{FlSe09}，其中非常相似对参数进行了分析。我们从$u=z\phi（u）$开始$\phi（u）=（1+u）^t$。数量$\tau$为通过方程式确定$\phi（\tau）=\tau\phi'（\tau）$。在我们的案例中导致$\tau=\frac{1}{t-1}$。然后就有了数量$\rho=\frac{\tau}{\phi（\tau）}$，这里的计算结果是\开始{方程式*}\ρ=\压裂{（t-1）^{t-1}}{t^t}。\结束{方程式*}然后根据一般原则，人们知道函数$u（z）$具有平方奇异性大约$z=\rho$，带有本地扩展\开始{等式*}u\sim\tau-\sqrt{\frac{2\tau}{\rho\phi{''}（\tau）}}\sqrt{1-z/\rho}。\结束{方程式*}这是这里\begin{方程式**}T（z）=1+u\sim\压裂{t}{t-1}-\sqrt{2t}{（t-1）^3}}\sqrt}{1-z/\rho}。\end{方程式*}现在将使用此展开式$G（z，v）$内部，结果（Maple）：\开始{方程式*}G（z，v）\sim a-\frac{\sqrt 2t^{2t-3/2}}{（t-1）^{3/2}\大（t^{t-1}+（t-1，\以$a$作为无关紧要的符号结束{等式*}常数。请注意\ begin｛方程*｝\压裂{\sqrt 2t^{2t-3/2}}{（t-1）^{3/2}\大（t^{t-1}+（t-1=\sqrt{\frac{2t}{（t-1）^3}}。\结束{方程式*}因此，极限分布由概率母函数\开始{方程式*}\裂缝{t^{2t-2}}{big（t^{t-1}+（t-1）^{t-2}-（t-1=\压裂{\压裂{t^{2t-2}}{（t^{t-1}+（t-1）^{t-2}）^2}}}{\大（1-\压裂{（t-1。\end{方程式*}其中$v^k$的系数由\begin{方程式*}给出（k+1）\压裂{t^{2t-2}（t-1）^{（t-2）k}}{（t^{t-1}+（t-1。\结束{方程式*}，即$\mathbb{P}\{Y=k+2\}$，对于随机变量$Y$，它遵循带参数的负二项分布$r=2$和$p=\frac｛t^｛t-1｝｝｛t^｛t-1｝+（t-1）^｛t-2｝｝$，作为{CaMc16}推测。\节{确认}感谢Stephan Wagner提供的激励性反馈。\开始{书目}{1}\双项目{BaFl02}C.~Banderier和P.~Flajolet，有向格的基本分析组合学路径，{\em理论计算科学}{\bf 281}（2002），37-80。\双项目{CaMc16}N.~T.Cameron和J.~E.McLeod，广义{D}yck路径上的返回和丘陵，{\em J.整数序列}{\bf 19}（2016），\href{https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL19/McLeod/mcleod3.html}{第16.6.1}条。\bibitem{FlSe09}P.~Flajolet和R.~Sedgewick，{\em分析组合数学}，剑桥大学出版社，2009年。\双项目{MeMo78}A.~Meir和J.~W.Moon，关于随机树节点的高度，{\em Canad。数学杂志}{\bf 30}（1978），997--1015。\结束{书目}\大跳跃\小时\大跳跃\noindent 2010（数学学科分类）：初级05A15、05A16；次级60C05。\noindent\emph{关键词：}三叉树，Dyck路径，生成函数，负二项分布，渐近树枚举。\大跳跃\小时\大跳跃\noindent（与序列有关\序列号{A001764}，\序列号{A006013}，\序列号{A006629}，\序列号{A006630}，以及\序列号{A006631}。）\大跳跃\小时\大跳跃\vspace*｛+.1英寸｝\无音（noindent）接收日期：2016年6月27日；2016年8月26日收到的修订版；2016年8月27日。发表于2016年8月29日的{整数序列杂志}。\大跳跃\小时\大跳跃\无音（noindent）返回到\htmladdnormallink{整数序列杂志主页}{http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/}。\vskip.1英寸\结束{文档}