\文档类[12pt，reqno]{article}\usepackage[用户名]{颜色}\使用包{amssymb}\使用包{graphicx}\使用包{amscd}\usepackage[colorinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色{webbrown}{rgb}{.6,0,0}\使用包{color}\使用包｛完整页｝\使用包{float}\使用包{psfig}\usepackage{graphics，amsmath，amssymb}使用包\使用包｛amsthm｝\使用包｛amsfonts｝\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\evensidemargin}{.1in}\集合长度{\topmargin}{-.1in}\设置长度{\textheight}{8.4in}\新命令{\seqnum}[1]{\href{http://oeis.org/#1}｛\下划线｛#1｝｝｝\开始｛文档｝\开始{居中}\epsfxsize=4英寸\离开模式\epsfile{logo129.eps}\结束{中心}\理论风格{普通}\新定理{定理}{定理{\新定理{推论}[定理]{推演}\新定理{引理}[定理]{引言}\新定理{命题}[定理]{命题\理论风格{定义}\新定理{definition}[定理]{definition}\新定理{example}[定理]{example}\新定理{猜想}[定理]{猜测}\理论风格{remark}\新定理{remark}[定理]{remark}\新定理{同余}{同余}\开始{居中}\vskip 1cm{\LARGE\bf关于Guo、Mez\H{o}和Qi}定理的注记\vskip 1cm\large Ant\^onio Francisco Neto\脚注{这项工作是由Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient提供支持Teconol逻辑（CNPq-Brazil）拨款307617/2012-2.}\\DEPRO，埃斯科拉·德米纳斯\\UFOP克鲁塞罗Morro do Cruzeiro校区\\35400-000欧罗普雷托MG\\巴西\\\链接{mailto:antfrannet@gmail.com}{\tantfrannet@gmail.com}\\\结束{中心}\vskip.2英寸\开始{abstract}在最近的一篇论文中，Guo、Mez\H{o}和Qi证明了一个身份在非负整数点表示伯努利多项式以第二类$m$-斯特林数表示的$m$。在这个注意，在在Zeon代数的上下文中，我们给出了上述身份。\结束{抽象}\章节{引言}在最近一篇引述{GMQ}的有趣论文中，Guo、Mez\H{o}和Qi发现了以下身份\开始{方程式}\标签{Bm-S2nd}B_n（m）=\sum_｛l=0｝^n（-1）^l\frac｛l！｝｛l+1｝S_m（n+m，l+m）\结束{方程式}将非负整定点$m$处的伯努利多项式$B_n（m）$与第二类$S_m（n+m，l+m）$的$m$-斯特林数相关联。等式~（\ref{Bm-S2nd}）是恒等式\cite[p.\560]{GKP}的推广$$B_n=\sum_{m=0}^n（-1）^m\frac{m！}{m+1}S（n，m）。$$注意，$B_n\equivB_n（0）$和$S\equiv S_0$分别是常用的伯努利数\cite[Chap.\2]{Wilf}和第二类斯特林数\cite[Chap.\ 1]{Wilfneneneep。在这项工作中，我们将通过显示（参考{Bm-S2nd}）是新Zeon的直接结果代表\cite{Fein，NetodAnjos}，\cite[第五章]{MansourceSchork}伯努利多项式。我们认为这里的方法很有趣，因为它给出了Guo、Mez\H{o}和Qi结果的直接证明，因此，它提供了另一个例子，其中涉及Zeons和/或Grassmann变量的计算提供了直接而有趣的结果{Abde、Bedi、Cara、NetodAnjos、Neto1、Neto2、Scho}。有关格拉斯曼变量的更多信息，我们请读者参阅Berezin \cite[第1章]{BerIS}、DeWitt \cite[第1章]{DeWitt}和Rogers \cite（第3章）{Rogers}的书。为了完整起见，我们回顾了一些基本定义和结果在之前的工作中已经提到了{NetodAnjos}。在整个过程中我们让$\mathbb{R}$表示实数，$\mathbb{N}$表示正整数和$\mathbb{N} _0（0）=\{0\}\cup\mathbb{N}$the非负整数。\{Zeon代数与Grassmann-Berezin积分}\开始{definition}\label{Def1}\textit{Zeon代数}$\mathcal{Z} _n（n）\supset\mathbb{R}$是定义为集合生成的关联代数$\{\varepsilon_i\}_{i=1}^n$（$n<\infty$）和标量$1\in\mathbb{R}$，这样$1\varepsilon_i=\varepsilen_i=\ varepsiln_i1$，$\ varepsilon_i\varepsilon_j=所有$i$、$j$对于所有$$i$，$\varepsilon_i^2=0$$\。\结束{定义}对于$\{i，j，\ldots，k\}\subset\{1,2，\ldot，n\}$和$\varepsilon_{ij\cdots k}\equiv\varepsilon_i\varepsion_j\cdot\varepsilon_k$具有$n$生成器的最通用元素$\varepsilon_i$可以写为（使用sum over的约定隐式重复索引）\开始{方程式}\label{phin}\phin=a+ai\varepsilon_i+a{ij}\varepsilon_{ij{+\cdots+a{12\cdotsn} \varepsilon_{12\cdotsn}=\sum_{\mathbf{i}\in2^{[n]}}a{\mathbf{i}}\varepsilon\mathbf{i}，结束{方程}$a$，$a_i$，$a{ij}$，$\ldots$，$a{12\cdotsn}$\in$$\mathbb｛R｝$，$2^｛[n]｝$是$[n]：=\｛1,2，\ldots，n \｝$和$1\leq i新币。同样，我们有\开始{方程式}\label{definv}\frac{1}{\phi_n}=\frac{1}}{a+s\left（\phi_n\right）}:=\frac}1}{a}\sum_{m=0}^n\left（-\frac{1'{a}\right。\结束{方程式}\第{等式证明~（\ref{Bm-S2nd}）}节我们现在准备证明公式~（\ref{Bm-S2nd}）。我们取$\varphi_n:=\varepsilon_1+\cdots+\varepsilon_n\in\mathcal{Z} _n（n）从现在起$。我们从\开始{方程式}\标签{ZBm-S2nd}B_n（x）=\sum_{m=0}^n\压裂{（-1）^m}{m+1}\int e^{x\varphi_n}\左（e^{\varphi_n}-1\右）^m d\nu_n。\结束{方程式}我们将继续展示\开始{方程式}\标签{Bn}\sum_｛m=0｝^n｛n+1\选择m｝B_m=0\用$n\in\mathbb{n}$，$B_0\equiv1$，${n\choose m}:=n！结束{方程式}/\bigl（m！（n-m）！\较大）$，和\开始{方程式}\标签{Bp}B_n（x）=\sum_{m=0}^n{n\选择m}B_mx^{n-m}。\end{方程}方程~（ref{Bn}）和（ref{Bp}）可分别被视为伯努利数的定义[Eq.（6.79）]{GKP}和伯努利多项式的定义[Eq.（7.80）]{GKP}。我们将首先在$n$上通过归纳法展示\开始{方程式}\标签{varphiind}\varphi_n=\displaystyle\sum_{m=0}^{n-1}\frac{\左（-1\右）^m}{m+1}\左（e^{\varphi_n}-1\右）^{m+1}。\事实上，很容易看出等式~（\ref{varphiind}）的两边都给出了$n=1$的$\varphi_1\equiv\varepsilon_1$。接下来，使用等式~（\ref{defe}）和（\ref}definv}），我们得到$$\开始{array}{lcl}\varphi_{n+1}&=&\varphi_n+\varepsilon_{n+1}\\&=&\varphi_n+\varepsilon_{n+1}\显示样式\frac{e^{\varphi_n}}{1+\左（e^{\ varphi_n}-1\右）}\\&=&\varphi_n+\varepsilon_{n+1}\显示样式\sum_{m=0}^n（-1）^me^{\varphi_n}\左（e^{\valphi_n}-1\右）^m\\&=&\显示样式\sum_{m=0}^{n-1}\frac{\左（-1\右）^m}{m+1}\左（e^{\varphi_n}-1\右\\&=&\显示样式\sum_{m=0}^{n-1}\frac{\左（-1\右）^m}{m+1}{m+1 \choose 0}\左（e^{\varphi_n}-1\右e^{\varphi_n}\左（e^{\ varphi_n{-1\右）^m\\&=&\显示样式\sum_{m=0}^n\frac{（-1）^m}{m+1}\左（e^{\varphi_n}+\varepsilon_{n+1}e^{\ varphi_n{-1\右）^{m+1}\\&=&\显示样式\sum_{m=0}^n\frac{（-1）^m}{m+1}\左（e^{\varphi_{n+1}}-1\右）^{m+1}，\end{array}$$，结果如下，即，对于所有$n\geq1$，等式~（\ref{varphiind}）都为true。现在我们可以证明方程~（\ref｛Bn｝）。从方程~（\ref｛varphiind｝）开始，使用方程~（\ref｛defe｝），我们得到$$\varphi_n=\显示样式\sum_{m=0}^{n-1}\frac{\左（-1\右）^m}{m+1}\sum{l=1}^n\frac{\varphi_n^l}{l！}\left（e^{\varphi_n}-1\right）^m。$$积分，我们得到（$n\geq 2$）$$\开始{array}{lcl}0=\显示样式\int\varphi_nd\nu_n&=&\显示样式\sum_{l=1}^n\sum_{1\leq k_1，k_2，\ldots，k_l\leq n}\显示样式\sum__{m=0}^{n-1}\frac{\左（-1\右）^m}{m+1}\int\varepsilon_{k_1k_2\cdots k_l}\左（e^{\varphi_n}-1\right）^md\nu_n\\&=&\显示样式\sum_{l=1}^n{n\choose l}\显示样式\sum_{m=0}^{n-l}\frac{\left（-1\right）^m}{m+1}\int\left\\&=&\显示样式\sum_{l=1}^n{n\choose l}B_{n-l}\结束{array}$$并改变变量$n-l\mapstol$，我们得到了等式~（\ref{Bn}）。现在我们将显示等式~（\ref{Bp}）。事实上，从等式~（\ref{ZBm-S2nd}）可以得出$$\开始{array}{lcl}B_n（x）&=&\显示样式\sum_{l=0}^n\显示样式\sum_{m=0}^n\压裂{（-1）^l}{l+1}\压裂{x^m}{m！}\int\varphi_n^m\左（e^{varphi_n}-1\右）^l d\nu_n\\&=&&\displaystyle\sum_｛l=0｝^n\压裂{（-1）^l}{l+1}\int\左（e^{\varphi_n}-1\右）^l d\nu_n\\&&\hspace{2cm}+\显示样式\sum{l=0}^n\sum{m=1}^n\显示样式\sum{1\leql_1，l_2，\ldots，l_m\leqn}\压裂{（-1）^l}{l+1}x^m\int\varepsilon_{l_1l_2\cdotsl_m}\左（e^{varphi_n}-1\右）^l d\nu_n\\&=&\显示样式\sum_{m=0}^n{n\选择m}x^m\显示样式\sum_{l=0}^{n-m}\frac{（-1）^l}{l+1}\int\左（e^{varphi_{n-m{}-1\右）^ld\nu_{n-m}\\&=&\显示样式\sum_{m=0}^n{n\choose m}x^mB_{n-m}\结束{array}$$并改变变量$n-m\mapstom$，我们得到了等式~（\ref{Bp}）。我们回忆起$m$-Stirling数的生成函数\cite[Thm.\16]{Broder}\开始{方程式}\标签{GFm-S2nd}\sum_{n=l}^{infty}S_m（n+m，l+m）\frac{x^n}{n！}=\frac{1}{l！}e^{mx}\左（e^x-1\右）^l\用$m\in\mathbb结束{方程式}{N} _0（0）$. Zeon代表$S_m（n+m，l+m）$来自等式~（\ref{GFm-S2nd}）中的生成函数与之前的工作一样，使用$x\rightarrow\varphi_n\in\mathcal{Z} _n（n）$并对Zeon代数进行Grassmann-Berezin积分以获得表示\开始{方程式}\标签{Zm-S2nd}S_m（n+m，l+m）=\sum_{k=l}^{n} （_m）（k+m，l+m）\下大括号{\int\frac{\varphi_n^k}{k！}d\nu_n}_{\delta{k，n}}=\frac}{l！}\inte^{m\varphi_n}\左（e^{\varfi_n}-1\右）^ld\nu_n\以$\delta{k，n}$结束{方程式}，表示Kronecker增量。我们注意到，等式~（ref{Zm-S2nd}）中的表示是第二类常见Stirling数表示的推广，通过在等式~中设置$m=0$而获得[Prop.\2.1]{Scho}。因此，通过在等式中设置$x\equiv m$。~（\ref｛ZBm-S2nd｝），我们得出结论$$B_n（m）=\sum_｛l=0｝^n\压裂{（-1）^l}{l+1}\int e^{m\varphi_n}\左（e^{varphi_n{-1\右）^l d\nu_n，等价于等式~（\ref{Bm-S2nd}）的$$使用公式~（\ref{Zm-S2nd}）中数字$S_m（n+m，l+m）$的Zeon表示。\{确认}节作者感谢匿名裁判的建议改进了论文。\开始{书目}{99}\bibitem{Abde}A.Abdeselam，Grassmann-Berezin演算和定理矩阵树类型的{\it高级应用数学}{\bf 33}(2004), 51--70.\bibitem{Bedi}A.Bedini、S.Caracciolo和A.Sportiello，超森林在完整超图上格拉斯曼积分表示，{\it J.Phys.A}{\bf 41}(2008), 205003.\bibitem{BerIS}F.A.Berezin，《超级分析导论》，雷德尔出版公司，1987年。\bibitem{布罗德}A.Z.Broder，《$r$-斯特灵数》，《离散数学》，第49卷（1984年），241-259页。\bibitem{Cara}S.Caracciolo、A.D.Sokal和A.Sportiello，Cayley型恒等式的代数/组合证明行列式和pfaffans的导数，{高级应用。数学}{\bf 50}（2013），474--594。\bibitem{DeWitt}B.DeWitt，{\它的超自然流形}，剑桥大学出版社，1992年。\bibitem{Fein}P.Feinsilver、Zeon代数、Fock空间和Markov链，{\it Commun.Stoch.Anal.}{\bf 2}（2008），263--275。\bibitem{GKP}R.L.Graham，D.E.Knuth，和O.Patashnik，{混凝土数学}，Addison-Wesley，第二版，1994年。\bibitem{GMQ}B.-N.Guo，I.Mez\H{o}，and F.Qi，显式公式关于Bernoulli多项式的$r$-Stirling数第二类，《落矶山数学杂志》，2016年，即将出版。网址\url{http://projecteuclid.org/euclid.rmjm/1434400113}.\圣经项目{MansourSchork}T.Mansour和M.Schork，{\it交换关系、正规序和斯特林数}、查普曼和霍尔/CRC出版社，2015年。\bibitem{NetodAnjos}A.F.Neto和P.H.R.dos Anjos，Zeon代数和组合身份，{\it SIAM Rev.}{\bf 56}（2014），353--370。\bibitem{Neto1}A.F.Neto，三角函数的高阶导数，第二类Stirling数，以及zeon代数。整数序列｛\bf 17｝（2014），\href公司{https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL17/Neto/neto4.html}{文章14.9.3}.\bibitem{Neto2}A.F.Neto，Carlitz对Bernoulli数的恒等式zeon代数，{\it J.整数序列}{\bf 18}（2015），\href公司{https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL18/Neto/neto7.html}{第15.5.6}条。\bibitem{罗杰斯}A.罗杰斯，{它的超流形：理论和应用}，世界科学出版社，2007年。\bibitem{Scho}R.Schott和G.S.Staples，分区和Clifford代数，欧洲联合杂志（2008），1133--1138。\bibitem{Wilf}H.S.Wilf，{\em生成功能学}，学术出版社，纽约，1990年。可在\网址{网址：http://www.math.upen.edu/~wilf/DownldGF.html}。\结束{书目}\大跳跃\小时\大跳跃\noindent 2010数学学科分类：小学11B68；次级11B73；33B10；05A15；05年11月19日。\noindent\emph{关键词：}Zeon代数，Berezin积分，伯努利数，$m$-斯特林数，生成函数。\大跳跃\小时\大跳跃\noindent（与序列有关\序列号{A027641}，\序列号{A027642}，\序列号{A143494}，\序列号{A143495}，以及\序列号{A143496}。）\大跳跃\小时\大跳跃\vspace*｛+.1英寸｝\无音（noindent）2016年3月13日收到；2016年4月13日收到修订版。发表于2016年5月11日的{整数序列杂志}。\大跳跃\小时\大跳跃\无音（noindent）返回到\htmladdnormallink{整数序列杂志主页}{http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/}.\vskip.1英寸\结束{文档}