\文档类[12pt，reqno]{article}\usepackage[用户名]{颜色}\使用包{amssymb}\使用包{graphicx}\使用包{amscd}\usepackage[colorlinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色｛webbrown｝｛rgb｝｛.6,0｝\使用包{color}\使用包{fullpage}\使用包{float}\使用包{psfig}\usepackage{graphics，amsmath，amssymb}使用包\使用包｛amsthm｝\使用包{amsfonts}\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\evensidemargin}{.1in}\集合长度{\topmargin}{-.1in}\设置长度{\textheight}{8.4in}\新命令{\seqnum}[1]{\href{网址：http://oeis.org/#1}{\下划线{#1}}\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\离开模式\epsfile{logo129.eps}\结束{中心}\理论风格{普通}\新定理{定理}{定理{\新定理{推论}[定理]{推演}\新定理{引理}[定理]{引言}\新定理{命题}[定理]{命题\理论风格{定义}\新定理{definition}[定理]{definition}\新定理{example}[定理]{example}\新定理{猜想}[定理]{猜测}\理论风格{remark}\新定理{remark}[定理]{remark}\开始{居中}\vskip 1cm{\LARGE\bf代数余弦的极小多项式\\\vskip.1英寸$\pi$}有理乘数的值\vskip 1cm\大型Pinthira Tangsupphathawat公司\\泰国曼谷10220 Phranakhon Rajabhat大学数学系\\\链接{mailto:t.pinthira@hotmail.com}{\tt.pinthira@hotmail.com}\\\ \\维奇安·拉哈克索\\数学系\\泰国曼谷科学院\\\链接{mailto:fscivil@ku.ac.th}{\tfscivil@ku.ac.th}\\\结束{中心}\vskip.2英寸\开始{abstract}Lehmer证明了以$\pi$的有理倍数计算的余弦函数的值是代数数。我们展示了如何确定这些代数数的最小多项式的显式闭式表达式。\结束{抽象}\章节{引言}以下关于余弦（和某些三角函数）函数的代数值的信息，以$\pi$的有理倍数计算，是众所周知的。\emph{让$n\in\mathbb{n}，\；k\in\{1,2，\ldots，n\}$，其中$n>2$和$\gcd（k，n）=1$。那么值$2\cos（2k\pi/n）$是一个次数为$\varphi（n）/2$的代数整数，其最小多项式为$\psi_n（x）\in\mathbb{Z}[x]$，其中\开始{方程式}\标签{lehmer}\psi_n（x+x^{-1}）=x^{-\varphi（n）/2}\Phi_n，\结束{方程式}$\Phi_n$是第n个分圆多项式$\varphi$表示Euler的totient函数。}纯二次余弦值$\sqrt{r}$的一个特殊情况的简单证明在\cite{varona}中给出，并在\cite{pin}中进行了扩展，其中还包含了小阶代数余弦值的详细信息。很自然会问$\psi_n（x）$是否有显式的闭式表达式。由于一般的分圆多项式$\Phi_n（x）$没有显式的闭式表达式，因此这样的任务似乎并不简单。回想一下，为了找到$\Phi_n（x）$的表达式，通常的方法是使用某些约简公式将其写成涉及已知分圆多项式的代数表达式。我们的目的是导出一些约化公式，如分圆多项式的情况，这将使我们能够完全确定多项式$\psi_n（x）$的显式形式。此外，我们提到了关于余弦函数在$\pi$的代数无理倍数和某些可构造值下的值的两个备注。\{极小多项式}节由于$\cos（2k\pi/n）=\cos（2\pi（n-k）/n）$，由于$k$运行$\｛1,2，\ldots，n\｝$中的整数，这些整数与$n$相对素数，因此精确地存在$\varphi（n）/2\；$\cos（2k\pi/n）$的（=\deg\psi_n（x））$不同值，这表明这些余弦值都是$\psi_n（x）$\cite[引理，p.473]{W-Z}的根。我们的调查基于以下$\psi_p（x）的显式形式，\；p$奇素数，由于Surowski和McCombs\cite{S-Mc}。\开始{命题}\cite[定理2.1]{S-Mc}\label{minpoly}设$p=2s+1$为奇素数。如果$\psi_p（x）\in\mathbb{Z}[x]$是$2\cos（2\pi/p）$的最小多项式，则$$\psi_p（x）=\sum_{j=0}^s（-1）^j\sigma_jx^{s-j}$$哪里\开始{align*}\sigma{2k}&=（-1）^k\binom{s-k}{k}\\\\\\（k=0,1，\ldots，\left\lfloor s/2\right\rfloor）\\\sigma{2k-1}&=（-1）^k\binom{s-k}{k-1}\\\\\\（k=1，\ldots，\left\lfloor（s+1）/2\right\rfloor）\\\结束{align*}\结束{命题}将这个结果与前面的备注结合起来，我们得到\开始{定理}\label{surowski}设$p=2s+1$为奇素数。\；的最小多项式$2\cos（2k\pi/p）$，其中$k\in\{1,2，\ldots，p\}，\；\gcd（k，p）=1$，是$$\psi_p（x）=\sum_{j=0}^{\left\lfloor s/2\right\rfloor}（-1）^j\binom{s-j}{j} x个^{s-2j}-\sum{j=1}^{left\lfloor（s+1）/2\right\rfloor}（-1）^j\binom{s-j}{j-1}x^｛s-（2j-1）｝$$\结束{定理}我们还需要一些涉及分圆多项式的恒等式，参见[第二章]{lidl}。\开始{引理}\标签{phi}设$q$是素数，设$m，e\in\mathbb{N}$。然后\开始{enumerate}\项目[A]$\Phi{q^e}（x）=\Phi_q\左（x^{q^{e-1}}\右）=1+x^{q ^{e-1}}+x^ 2q^{e-1}}+\cdots+x^}（q-1）q^{e1}}$；\项目[B.]$\Phi{mq^e}（x）=\Phi_{mq}\左（x^{q^{e-1}}\右）$；\项目[C.]$\Phi{mq}（x）=\frac{\Phi_m（x^q）}{\Phi _m（x）}$提供$\gcd（m，q）=1$。\结束{enumerate}\结束{引理}为了确定其他正整数$n$的$2\cos（2k\pi/n）$的最小多项式的显式形式，Lehmer的恒等式\eqref{Lehmer}表明，我们应该首先在$x+x^{-1}$中找到$x^{s}+x^}-s}$的显式多项式形式，这将在下一个引理中完成。\开始{引理}\标签{X}对于$t\in\mathbb｛N｝$，设$X_t:=X^t+X^｛-t｝，\X:=X_1=X+X^｛-1｝$。然后\开始{align*}X_{2t}&=X^{2t}-\左\{\binom{2t-1}{1}+\binom}2t-2}{0}\right\}X^{2t-2{+\left\{\biom{2t-2}{2}+\biom}2t-3}{1{\right\}X^}2t-4}\\&\\+\cdots+（-1）^{t-1}\left\{\binom{t+1}{t-1{+\binrom{t}{t}}{t-2}\right cdot 2\\X_{2t+1}&=X^{2t+1}-\left\{\binom{2t}{1}+\binom}2t-1}{0}\right\}X^{2-t}+\left\{\binom{2t-1{2}{2}+\biom{2t-2}{1{3}\\&\\+\cdots+（-1）^{t-1}\left\\{binom{t+2}{t-1{+\binom 1}{t-2}\right\}X^3+（-1）^{t}\left\{\binom{t+1}{t}+\binom}{t{t}{t-1}\rift\}X^1，\结束{align*}例如，一般来说，对于$s\in\mathbb{N}$，我们有\开始{align*}X _ s&=X^{s}-\左\{\binom{s-1}{1}+\binom}s-2}{0}\right\}X^{s-2}+\left\{\biom{s-2{2}+\ binom{s3}{1{\right\}X^{s4}+\cdots\\&\\\+（-1）^｛\left\lfloor s/2\right\lfloor｝\left\｛\binom｛s-\left\lfloor s/2\right\lfloor｝｛\left\lfloor s/2\right\lfloor｝+\binom｛s-\left\lfloor s/2\right\lfloor-1｝｛\left\lfloor s/2\right\lfloor-1｝\right\｝X^｛s-2\left\lfloor s/2\right\lfloor｝\\&=\sum_{k=0}^{\left\lfloor s/2\right\rfloor}（-1）^k\left\\{\binom{s-k}{k}+\binom}{s-k-1}{k-1}\right\}X^{s-2k}，\结束{align*}使用$\binom{n}{r}=0$作为负$r$的约定。\结束{引理}\开始{proof}取$n=p=2s+1$，一个奇素数，Lehmer的恒等式\eqref{Lehmer}变为\开始{方程式}\标记{phipsi}x^{-s}\Phi_p（x）=x^{-\frac{p-1}{2}}\Phip_p（x）=\psi{p}\左（x+x^{-1}\右）。\结束{方程式}等式\eqref{phipsi}的左手边（使用引理\ref{phi}A）$$\Phi_p（x）=x^{p-1}+x^{p2}+\cdots+x+1=x^{2s}+x*{2s-1}+\cdots+x+1$$在右侧（使用定理{surowski}），我们得到\开始{align}&\left（x^s+x^{-s}\ right）+\ left（x ^{s-1}+x ^{-（s-1）}\ rift）+\ cdots+\ lert（x+x ^{-1}\ righ）+1 \ notag\\&=\binom{s}{0}\左（x+x^{-1}\右）^s-\binom}{1}\左^{s-4}-\cdots\注释\\&\\\\\+（-1）^{左\lfloor s/2\右\rfloor}\binom{s-左\lploor s/2\right\rfloor}{左\ lfloor s/2\right\rploor}\left（x+x^{-1}\right）^{s-2\left\lfloors/2\right\\&+\binom{s-1}{0}\左（x+x^{-1}\右）^{s-1}-\binom{s-2}{1}\左（x+x^{-1}\右）^{s-3}+\binom{s3}{2}\左^{s-5}-\cdots\注释\\&\\\\+（-1）^｛\left\lfloor（s+1）/2+1\right\lfloor｝\binom｛s-\left\lfloor（s+1）/2\right\lfloor｝｛\left\lfloor（s+1）/2\right\lfloor-1｝\left（x+x^｛-1｝\right）^｛s-\left（2\left\lfloor（s+1）/2\right\lfloor-1\right）｝.\label｛polys｝\结束{对齐}将$s=2t$与偶数幂相等，我们得到\开始{align}&X_2t}+X_2t-2}+\cdots+X_2+1=\左（X^{2t}+X^{-2t}\右）+\左（X^{2t-2}+X^{-（2t-2）}\右\\&=\binom{2t}{0}\左（x+x^{-1}\右）^{2t}-\二进制{2t-1}{1}\左（x+x^{-1}\右）^{2t-2}+\二进制{2t-2}{2}\左\\&\\\\\+（-1）^{t-1}\binom{2t-t+1}{t-1{left（x+x^{-1}\right）^2+（-1）\\&=X^｛2吨｝-\二进制{2t-1}{1}X^{2t-2}+\binom{2t-2]{2} X（X）^{2t-4}+\cdots+（-1）^{t-1}\binom{t+1}{t-1}X^2+（-1）^{t}.\标签{poly}\结束{对齐}将\eqref{poly}中的$t$替换为$t-1$，我们得到\开始{align}&X_{2t-2}+X_{2-4}+\cdots+X_2+1\符号\\&=X^｛2t-2｝-\二进制{2t-3}{1}X^{2t-4}+\二进制{2t-4}{2}X^[2t-6}+\cdots+（-1）^{t-2}\binom{t}{t-2}X^2+（-1）^{t-1}.\标签{poly-1}\结束{对齐}从\eqref{poly}中减去\eqref{poly-1}，我们得到第一个断言。第二个断言来自于用\eqref{poly}中的奇数指数来等效术语，并以类似的方式进行。\结束{proof}引理\ref{X}和\ref{phi}使我们能够通过以下约简恒等式找到任何极小多项式的显式形式。\开始{定理}\离开模式\noindent I.对于奇素数$p$和$e\in\mathbb{N}$$2\cos（2k\pi/p^e）$，其中$k\in\{1,2，\ldots，p^e\}$，$\gcd（k，p）=1$是$$\psi_{p^e}（x）=\psi_p\left（\sum_{k=0}^{left\lfloor p^{e-1}/2\right\rfloor}（-1）^k\left\{binom{p^{e-1}-k}{k} +\binom{p^{e-1}-k-1}{k-1}\右\}x^{p^{e-1}-2k}\右）$$\noindent二世。如果$p$是奇素数，$e，m$是带$m\geq 2的正整数，\；\gcd（m，p）=1$，则\$2\cos（2k\pi/mp^e）$，其中$k\in\{1,2，\ldots，mp^e\}$，$\gcd（k，mp）=1$，满足$$\psi_{mp^e}（x）=\frac{\psi_m\left（\sum_{k=0}^{left\lfloor p^e/2\right\rfloor}（-1）^k\left\{\binom{p^e-k}{k}+\binom}p^e-k-1}{k-1}\right\}x^{p^e-2k}\right）}{\psi.m\left ^k\left\{\binom{p^{e-1}-k}{k} +\binom{p^{e-1}-k-1}{k-1}\右\}x^{p^{e-1}-2k}\右）}$$\noindent III。$2\cos（2\pi/2）$的最小多项式为$$\psi_2（x）=x+2$$\noindent IV.对于$e\in\mathbb{N}；e\geq 2$，\；的最小多项式$2\cos（2k\pi/2^e）$，其中$k\in\{1,2，\ldots，2^e\}$，$\gcd（k，2）=1$是$$\psi_{2^e}（x）=\sum_{k=0}^{2^{e-2}}（-1）^k\left\{\binom{2^{e-1}-k}{k} +\binom{2^｛e-1｝-k-1}{k-1}\右}x^{2^{e-1}-2k}+2.$$\结束{定理}\开始{proof}\离开模式\noindent I.使用Lehmer恒等式\eqref{Lehmer}和引理\ref{phi}A，我们得到\开始{align*}\psi{p^e}（X）&=\psi{p^e}\左（X+X^{-1}\右）=X^{-\varphi（p^e）/2}\Phi_{p^e}（X）=X^{-p^{e-1}（p-1）/2}\ Phi_p（X^{p^{e-1}}）\\&=\psi_p\左（x^{p^e-1}+x^{-p^{e-1}}\右）=\psi.p（x_{p^{e-1}}）\\&=\psi_p\left（\sum_{k=0}^{left\lfloor p^{e-1}/2\right\rfloor}（-1）^k\left\{\binom{p^{e-1}-k}{k} +\binom{p^{e-1}-k-1}{k-1}\右\}X^{p^{e-1}-2k}\右）。\结束{align*}\noindent二世。使用Lehmer恒等式\eqref{Lehmer}，$\gcd（m，p）=1$，引理\ref{phi}B和C，我们得到\开始{align*}\psi{mp^e}（X）&=\psi{mp^e}\左（X+X^{-1}\右）=X^{-\varphi（mp^e\\&=\frac{\left（x^{p^e}\right）^{-\varphi（m）/2}\Phi_m（x^}p^e{）}{\ left（x ^{p^{e-1}}\rift）^{-\varphi_（m）/2}\Phi _m（x ^ p^ e-1}）}=\frac{\psi_m ^{e-1}}+x^{-p^{e-1}}）}=\压裂{\psi_m（x_{p^e}）{\psi.m（x_{p^{e-1'）}。\结束{align*}\noindent III。从$2\cos（2\pi/2）=-2$可以看出这一点\\\noindent IV。从Lehmer的恒等式\eqref｛Lehmer｝、引理\ref｛phi｝A和引理\ref｛X｝中观察到\开始{align*}\psi{2^e}（X）&=\psi{2_e}\左（X+X^{-1}\右）=X^{-\varphi（2^e）/2}\Phi{2_e}（X）=X^{-2^{e-2}}\ Phi_2（X^{2^{e-1}}）=\psi2\left（x^{2^{e-1}}+x^{-2^{e-1}}\右）\\&=\psi_2（X_{2^{e-1}}）=\ psi_2\left（\sum_{k=0}^{2^}e-2}}（-1）^k\left\{\binom{2^{e-1}-k}{k} +\binom{2^{e-1}-k-1}{k-1}\右\}X^{2^{e-1}-2k}\右），\结束{align*}所期望的断言来自第三部分。\结束{proof}\{关于余弦函数值的另外两条注释}我们以两个进一步的相关观察结果结束本文。\分段{$\pi$}无理倍数的值由于所有以有理倍数$\pi$计算的余弦值都是代数值，因此很自然会询问以无理倍数$\ pi$计算时的值。我们使用Robinson定理3（a）]{Robinson}的以下结果来回答这个问题，这是Lindeman-Weierstrass定理和Gelfond-Schneider定理的一个很好的结果。\开始{proposition}\label{rob}如果$\alpha，\beta$是代数的，而$\alba-i\（i=\sqrt{-1}）$是无理的，那么$\beta\neq 0,1$的$\cos（\alpha\log\beta）$，$\sin。\结束{命题}下面的定理给出了我们问题的答案。\开始{定理}如果$\gamma$是一个代数无理数，那么$\cos（\gamma\pi），\；\sin（\gamma\pi）$和$\tan（\gama\pi）$是超越数。\结束{定理}\begin{proof}取$\beta=\exp（\pii）=-1$和$\alpha$作为代数数，使得$\alfai=\gamma$是一个代数无理数，命题\ref{rob}表明$\cos（\gamma\pi）=\cos。\结束{proof}\分段{可构造值}由于$\cos（2k\pi/n）\\left（n>2，；k\in\{1，\ldots，n\}，；\gcd（k，n）=1\right）$是一个次数为$\varphi（n）/2$的代数数，另一个自然的问题是这个代数数是否是可构造的。答案是以下结果的直接结果，其证明可在引用{mostowski}中找到。\开始{定理}\标号{可构造}设$k/n\（n>2）$是一个有理数，$\gcd（k，n）=1$。那么代数整数$2\cos（2\pi k/n）$是可构造的当且仅当$\varphi（n）$是$2$的幂时，即当且仅在$n=2^\alpha p_1 p_2\cdots p_r$，其中$\alpha$是非负整数，$p_1，\ldots，p_r$$是形式为$2^\beta+1$的不同奇素数。\结束{定理}我们感谢裁判提供以下信息。定理{可构造}是一个著名的古代结果。高斯在他的\emph{Disquisitiones算术}中证明了数字$2\cos（2\pi k/n）$是可构造的（当然，取$k=1$就足够了）；特别是，他陈述了17号门的建造，这是高斯一生中的一个著名事实。相反的部分通常归因于Wantzel（1838）。\{确认}节我们感谢裁判提供了一些有用的评论和信息。第一位作者得到了Phranakhon Rajabhat大学的支持。第二位作者得到了卡塞萨尔特大学科学学院的资助，资助号为RFG1-13。\开始{书目}{99}\围兜{格栅}P.Grillet，《代数》，威利出版社，1999年。\Bibbitem｛lehmer｝D.H.lehmer，关于三角代数数的注释，｛\it-Amer.Math.Monthly｝｛\bf 40｝（1933），165-166。\围兜{盖}R。Lidl和H.Niederreiter，{有限域}，数学及其应用百科全书，第20卷，Addison-Wesley，1983年。\bibitem{mostowski}（莫斯托夫斯基）A.莫斯托夫斯基\`{e} 我sur-les-nombres$\cos2\pi k/n$，{it-Coloq.Math.}{bf1}（1948），195-196。\围兜｛niven｝我。Niven，{\无理数}，Carus专著，第11卷，美国数学协会，1956年。\bibitem{罗宾逊}M.L.Robinson，《关于某些超越数》，《密歇根数学杂志》（1984），95-98。\双项目{S-Mc}D.Surowski和P.McCombs，齐次多项式和$\cos（2\pi/n）$的最小多项式，{密苏里州数学科学杂志}{bf 15}（2003），4-14。\bibitem{pin}P.Tangsupphathawat，《$\pi$有理倍数下的代数三角值》，高等数学学院学报，2014年9月18日。\双项目{W-Z}W.Watkins和J.Zeitlin，$\cos（2\pi/n）$的最小多项式，｛\it-Amer.Math.Monthly｝｛\bf 100｝（1993），471-474。\bibitem{varona}J.L.Varona，反余弦函数的有理值，中欧数学杂志（2006），319-322。\结束{书目}\大跳跃\小时\大跳跃\noindent 2010（数学分类）：小学11R04；次级33B10，11J72。\noindent\emph{Keywords}：余弦函数，代数值，$\pi$的倍数。\大跳跃\小时\大跳跃\vspace*{+.1in}\无音（noindent）2016年2月8日收到；2016年3月15日收到修订版。发表于2016年3月19日的{整数序列杂志}。\大跳跃\小时\大跳跃\无音（noindent）返回到\htmladdnormallink{整数序列杂志主页}{http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/}.\vskip.1英寸\结束｛文档｝