\文档类[12pt，reqno]{article}\usepackage[用户名]{颜色}\使用包{amssymb}\使用包{graphicx}\使用包{amscd}\usepackage[colorlinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色｛webbrown｝｛rgb｝｛.6,0｝\使用包{color}\使用包{fullpage}\使用包{float}\使用包{psfig}\usepackage{graphics，amsmath，amssymb}使用包\使用包｛amsthm｝\使用包{amsfonts}\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\evensidemargin}{.1in}\集合长度{\topmargin}{-.1in}\设置长度{\textheight}{8.4in}\新命令{\seqnum}[1]{\href{网址：http://oeis.org/#1}{\下划线{#1}}\新命令{\vf}{\varphi}\新命令{\vep}{\varepsilon}\新命令{\iy}{\infty}\新命令{\al}{\alpha}\新命令{\be}{\beta}\新命令{\fP}{{mathfrak p}}\新命令{\fQ}{{mathfrak q}}\新命令{\fD}{{mathfrak D}}\新命令{\const}{{\operatorname{const}}}\新命令{\E}{{\ensuremath{\mathbb{E}}}}\新命令｛\R｝｛\ensuremath｛\mathbb｛R｝｝｝\新命令{\T}{\ensuremath{\mathbb{T}}}\新命令{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}\新命令{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}\新命令{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}\new命令{\Nm}{\ensuremath{\mathbb{N}}}\新命令{\Pp}{\ensuremath{\mathbb{P}}}\new命令{\tP}{\widetilde{\ensuremath{\mathbb{P}}}}\新命令{\ac}{\prec\prec}\newcommand{\One}{\ensuremath{\mathbb{I}}}\新命令{\cP}{{\mathcal{P}}}\新命令{\cQ}{{\mathcal{Q}}}\新命令{\cH}{{\mathcal{H}}}\新命令｛\cS｝｛\mathcal｛S｝｝｝\新命令{\cL}{{\mathcal{L}}}\新命令{\bydef}{：=}\新命令{\Del}{\Delta}\新命令{\dd}{\mathrm{d}}\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\离开模式\epsfile{logo129.eps}\结束{中心}\理论风格{普通}\新定理{定理}{定理{\新定理{推论}[定理]{推演}\新定理{引理}[定理]{引言}\新定理{命题}[定理]{命题\理论风格{定义}\新定理{definition}[定理]{definition}\新定理{example}[定理]{example}\新定理{猜想}[定理]{猜测}\理论风格{remark}\新定理{remark}[定理]{remark}\开始{居中}\vskip 1cm{\LARGE\bf连接到拉普拉斯的整数序列\\\vskip.12英寸连分式与Ramanujan恒等式}\vskip 1cm\大型亚历山大·克里宁\\风险分析\\IBM公司\\斯帕迪纳大道185号\\安大略省多伦多市M5T 2C6\\加拿大\\\链接{mailto:alex.kreinin@ca.ibm.com}{\talex.kreinin@ca.ibm.com } \\\结束{中心}\vskip.2英寸\开始{abstract}我们考虑连接到著名拉普拉斯的整数序列函数$R（t）=\int_t^\iy\vf（x）\dd x/\vf（t）$的分数，其中$\vf（t）=e^{-t^2/2}/\sqrt{2\pi}$是标准正常密度。我们计算这些序列的生成函数并研究它们与Hermite和Bessel多项式的关系。使用主控形状生成函数的方程，我们找到了Ramanujan身份。\结束{抽象}\章节{Introduction}\label{intro}我们考虑两个无限矩阵，$\fP=\Vertp_{k，m}\Vert_{k，m \ge0}$和$\fQ=\Vertq_{k，m}\Vert_{k，ms\ge0}$，定义如下。如果$m>k$或$k-m\equiv 1$（mod$2$），则$$p_{k，m}=q_{k、m}=0，\四k，m=0，1，\点。$$ 如果$k=m+2n$和$n\ge 0$，则\开始{方程式}p_{k，m}=\压裂{k！}{m！\，\，2^n\，\，n！}，\标签{eq_form_pkm}\结束{方程式}和\开始{方程式}q_{k，m}=\frac{\Bigl（\frac{k+m}2\Bigr）！}{m！}2^{-n}\sum{j=0}^n{k+1}\选择j}。\标签{eq_form_qkm}\结束{方程式}矩阵$\fP$和$\fQ$连接到拉普拉斯连分数{拉普拉斯}\开始{方程式}\cL（t）\bydef\cfrac{1}{t+\cfrac{1}{t+\frac{2}{t+/cfrac{3}{t++\cfrac}4}{ddots}}}}\，，\四元t>0，\标签{eq_Cont_frac}\结束{方程式}对于函数$R（t）\bydef\bar\Phi（t）/{\vf（t）}$，哪里$\vf（t）$是标准正常密度，$\bar\Phi（t）=\int_t^\iy\vf$是标准正态分布的尾部。函数$R（t）$通常称为Mills这一比率是在约翰·米尔斯（John Mills）以1929美元的价格将其制成表格后得出的。米尔斯比率出现在概率论中，\引用{Dumbgen，Feller70，McKean，Ruben}关于正态概率积分，统计分析和数值分析领域\引用{Baricz，Kouba，Pinelis，Shenton}，其中函数不等式讨论了$R（t）$的无理逼近。本文研究矩阵$\fP$和$\fQ$。在第~\ref{sec_elm}节中，我们展示了{斯隆}中的某些整数序列封装在这些矩阵中。特别地，三角形数组\seqnum{A180048}由（\ref{eq_form_qkm}）描述。在第~\ref{sec_elm}节中，我们还描述了矩阵$\fP$和埃尔米特多项式和贝塞尔多项式的系数\引用｛Abram，Andrews｝。在第~\ref{sec_Lap_Polyn}节中，我们引入并研究了生成多项式。尽管多项式$P_k$和$Q_k$的递推关系已知很长时间的脚注{其中一些关系是由雅各比在{雅各比}中推导出来的。}，直到最近才对它们的系数进行系统研究。这些系数的第一次分析发表在{库巴}，仅出现在$2006$中，据我们所知\脚注{我们对多项式$Q_k（t）$与引用{Kouba}.}中的不同。前三节中的陈述是基本的。他们的校样留给读者。在第~\ref{sec_GF}节中，我们推导出连接拉普拉斯多项式生成函数的主方程拉普拉斯连分数$\cL（t）$。在第~\ref｛sec_Ident｝节中，主方程式用于拉马努扬发现的著名身份的简短推导：\开始{方程式*}\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+/cfrac{3}{\ddots}}}=-1+\frac{1}{\sqrt{e\pi}{2}}-\sum_{n=0}^\iy\limits\frac{1}}{（2n+1）！！}}。\结束{方程式*}\部分{矩阵$\fP$和$\fQ$}\label{sec_elm}我们将从$\fP$和$\fQ$元素的下列递推方程开始。\开始{proposition}\label{propr}矩阵$\fP$和$\fQ$的元素满足\开始{eqnarray}m\cdot p_{k，m}&=k\cdot p _{k-1，m-1}，\，\，\qquad\qquad_qquad k\ge 1，1\le m\le k，\label{eq_rec_pp}\\p{k+1，m}&=&p{k，m-1}+（m+1）\cdot p_{k，m+1}，\quad k\ge 0，1\le m\le k，\label{eq_rec_pkm}\\q{k，m}&=&p{k，m}+（m+1）\cdot q{k-1，m+1}，\quad k\ge 1，1\le m\le k，\label{eq_rec_qkm}\\q{k，m}&=&q{k-1，m-1}+k\cdot q{k-2，m}，\，\，，\，qquad k\ge 2，1\le m\le k.标签{eq_rec_qkmL}\结束｛eqnarray｝\结束{命题}\开始{proof}证明基于以下引理。\开始{引理}\label{lembnc}写入$$S_i^{（j）}（k）=\sum_{l=i}^j{k\选择l}，\quad k>j$$然后\开始{方程式}S_0^{（n-1）}（k）-2 S_0^}（n-2）}。\标签{eq_lem_bnc}\结束{方程式}\结束{引理}（\ref{eq_rec_pp}）的推导很简单。（ref{eq_rec_pkm}）、（ref{eq_rc_qkm}）和（\ref{eq_rec_qkmL}）基于引理~\ref{lem_bnc}，在（\ref{eq_rec_qkmL}）的情况下使用了两次。\结束{proof}表~\ref{tab_pkm}给出了矩阵$\fP$的前九行和前九列中的元素。\开始｛table｝[H]\开始{居中}\开始{tablar}{|c|c|c c|c\氯化氢$k$&\多列{9}{|c|}{$m$}\\cline{2-10}&$0$&$1$&$2$&$3$&$4$&$5$&$6$&$7$&$8$\\hline\hline$0$&$1$&$0$&$0$＆$\点$&&&$0$\\hline$1$&$0$&$1$&0$&$$点$&&&$0$线$2$&$1$&$0$&$1$&$0$&$$\dots$&&&$0美元\\hline$3$&$0$&$3$&$0$&$1$&$0$&$点$&&$0$线$4$&$3$&$0$&$6$&$0$&$1$&$0$&$0$&$\ dots$&&$0美元\\hline$5$&$0$&$15$&$0$&$10$&$0$&$1$&$0$&$\dots$&$零$\\hline$6$&$15$&$0$&$45$&$0&$15$&$0$&$1$&$1$&$0-$0$\\hline$7$&$0$&$105$&$0$&$105$&$0$&$21$&$0$&$1$&$0-\\hline$8$&$105$&$0$&$420$&$0$&$210$&$0-$28$&$$0$&$1$\\hline\hline\结束{表格}\结束{中心}\开始{居中}\开始｛minipage｝｛6cm｝\标题{矩阵$\fP=\Vert p_{k，m}\Vert$.}\标签{tab_pkm}\结束{迷你页面}\结束{中间}\结束{表格}矩阵$\fP$封装了许多显著的整数序列。矩阵的行描述了拉普拉斯系数多项式\引用{Krein}，$P_k（t）=\sum_{m=0}^k\限制P_{k，m}t^m$。这些多项式将在下一节中讨论。$\fP$的列是整数序列，可以在\cite{Sloan}中找到。特别地，第一列是$p{2n，0}=（2n-1）！！$$（n=1,2，\dots）$，它是\seqnum{A001147}。在$m=1$的情况下，列$p_{2n-1，1}=p_{2，0}$。如果$m=2$，则$p_{2n+2，2}=（n+1）\cdot（2n+1）！！$，它是\seqnum{A001879}。在$m=3$的情况下，我们有序列\seqnum{A000457}。$\fP$的对角线也表示一些显著的整数序列。对角线$p_{k，2N-k}$表示$N$th贝塞尔多项式的系数。实际上，贝塞尔多项式是$$y_N（t）=\sum_{j=0}^N\frac{（N+j）！}{（N-j）！\cdot j！}\Bigl（\frac}{2}\Bigr）^j，\quad N=0，1，\dots$$它们的系数，$B_{N，j}\bydef（N+j）/（（N-j）！j！2^j）$，等于$p_{N+j，N-j}$，对于$j=0，1，\dots，N$。因此贝塞尔多项式可以写成$y_N（t）=\sum_{j=0}^N\限制p_{N+j，N-j}t^j$。对角线$k-m=2n$也表示一些众所周知的序列。如果$n=0$，那么我们有序列\seqnum{A000012}。如果$n=1$，$p_{m+2，m}=（m+1）（m+2）/2$是三角数序列\序列号{A000217}。如果$n=2$，$p_{m+4，m}$是三三角形数\seqnum{A050534}的序列。矩阵$\fQ$的分析性质同样有趣。矩阵$\fQ$的前八行中的元素在表~\ref{tab_qkm}中给出。对于较小的$m$，公式~（\ref{eq_form_qkm}）可以简化。\开始{表格}[H]\开始{居中}\开始{tablar}{|c|c|c c|c\氯化氢$k$&\多列{9}{|c|}{$m$}\\cline{2-10}&$0$&$1$&$2$&3$&4$&5$&6$&7$&8$\\\行$0$&$1$&$0$&$0$＆$\点$&&&$0$\\hline$1$&$0$&$1$&0$&$$点$&&&$0$线$2$&$2$&$0$&$1$&$0$&$\点$&&&$0$\\hline$3$&$0$&$5$&$0$&$1$&$0$&$点$&&$0$线$4$&$8$&$0$&$9$&$0$&$1$&$0$&$0$&$\点$&&$0$5$&$0$&$33$&$0$&$14$&$0:&$1$&$0$&$$点$&$$0$\\hline$6$&$48$&$0$&$87$&$0$&$20$&$0:&$1$&$0-$0$\\hline$7$&$0$&$279$&$0$&$185$&$0$&$27$&$0$&$1$&$0$\\hline\结束{表格}\结束{中心}\开始{居中}\开始{迷你页}{8cm}\标题{矩阵$\fQ=\Vertq_{k，m}\Vert$.}的元素\标签{tab_qkm}\结束{迷你页面}\结束{中间}\结束｛表｝\开始{proposition}\label{cor_q_k0}对于$n=0，1，2，\dots$，我们有\开始{eqnarray}q{2n，0}&=&（2n）！！，\标签{eqqk0}\\q{2n+1，1}&=&（2n+2）！！-（2n+1）！！，\标签{eqq2n1}\\q{2n+2,2}&=&\frac12（2n+4）！！-（2n+3）！！，\标签{eqq2n2}\\q{2n+3,3}&=&\frac1{3！}（2n+6）！！-\压裂｛1｝｛2！｝（2n+5）！+\压裂{1}{3！}（2n+3）！！，\标签{eqq2n3}\\q{2n+4,4}&=&\压裂{1}{4！}（2n+8）！！-\压裂{1}{3！}（2n+7）！！+\压裂{1}{3！}（2n+5）！！。\标签{eqq2n4}\结束{eqnarray}\结束{命题}根据命题~\ref{cor_q_k0}，矩阵$\fQ$的第一列，由（\ref{eq_q_k0}）描述，对应于序列\seqnum{A000165}。第二列满足等式~（\ref{eq_q_2n1}），描述序列\seqnum{A129890}。第三列满足等式~（\ref{eq_q_2n2}），表示整数序列\seqnum{A035101}。这个序列与加泰罗尼亚数字有关（参见{Sloan}），但我们的公式（ref{eq_q_2n2}）看起来更简单。序列$q_｛2n+3，3｝$表示整数序列\seqnum｛A263384｝。（ref{eq_q_2n4}）描述的序列$q_{2n+4,4}$不太为人所知。矩阵$\fQ=\Vertq_{k，m}\Vert$的元素可以表示为矩阵$\fP$的对角元素。设$k\equiv m$（mod$2$），$n=（k-m）/2$。然后引用{Krein}$$米！\cdot q{k，m}=\sum{j=0}^n（m+j）！\cdot p{k-j，m+j}。$$\段{多项式$P_k（t）$和$Q_k（t）$}\label{sec_Lap_Polyn}\分段{拉普拉斯多项式和雅可比多项式}考虑多项式$P_k（t）\bydef\sum_{m=0}^k\限制P_{k，m}t^m，\quad\text{和}\quadQ_k（t）\bydef\sum_｛m=0｝^k\限制Q_｛k，m｝t^m$，其中$p_{k、m}$和$q_{k，m}$分别由（\ref{eq_form_pkm}）和（\ref}eq_form_qkm}。在本节中，我们将把这些多项式与拉普拉斯连分数，$\cL（t）$。为此，我们致电$P_k（t）$和$Q_k（t）$中的{拉普拉斯多项式}接下来是什么。\开始{proposition}[\cite{Jacobi，Kouba，Krein，Pinelis}]\label{prop_pk}对于$k \ge 1$，拉普拉斯多项式满足以下递归方程\开始{eqnarray}P_{k+1}（t）&=&t P_k（t）+P_k^素数（t），标签{eq_P_k}\\Q_k（t）&=&P_k（t）+Q_{k-1}^素数（t），标签{eq_Q_k}\\P_｛k+1｝（t）&=&t P_k（t）+k P_｛k-1｝（t），\标签｛eq_P_kS｝\\Q_{k+1}（t）&=&t Q_k（t）+（k+1）Q_{k-1}（t），标签{eq_Q_kS}\结束{eqnarray}其中$P_0（t）=Q_0（t）=1$。\结束{命题}命题~\ref{prop_pk}允许人们找到多项式任何整数$k\ge 1$的$P_k（t）$和$Q_k（t）$。表~\ref{Table_poly}给出了前八个多项式。\开始{表格}[H]\开始{居中}\开始{tablar}{|c|c||c|}\氯化氢$k$和$P_k（t）$和$Q_{k-1}（t）$\\hline$1$&$t$&$1$\\h行$2$&$t^2+1$&$t$\\hline$3$&$t^3+3t$&$t ^2+2$\\h行$4$和$t^4+6t^2+3$和$t^3+5t$\\\行$5$&$t^5+10t^3+15t$&$t ^4+9 t^2+8$\\hline美元$6$&$t^6+15t^4+45t^2+15$&$t ^5+14t^3+33t$\\hline美元$7$&$t^7+21t^5+105 t^3+105t$&$t ^6+20 t^4+87 t^2+48$\\hline美元$8$&$t^8+28t^6+210t^4+420t^2+105$&$t ^7+27t^5+185t^3+279t$\\\hline\hline（hline）\结束{表格}\结束{中心}\开始{居中}\开始{迷你页}{9cm}\标题{拉普拉斯多项式$P_k（t）$和$Q_{k-1}（t）$.}\标签{table_poly}\结束{迷你页面}\结束{中间}\结束{表格}对于$t>0$，我们考虑有理函数$\cL_k（t）=Q_{k-1}（t）/P_k（t），（k=1,2，\点）$。函数$\cL_k（t）$是连续的分数\脚注{关于这句话，请参阅\引用{Kouba}和\引用{Krein}}，$\cL（t）$：$$\lim_{k\to\iy}\cL_k（t）=\cL（t）=R（t），\quad t>0$$函数$R（t）$满足微分方程\开始{方程式}\压裂{\dd R（t）}{\ddt}=t\cdot R（t”）-1。\标签{eq_DE_hf}\结束{方程式}现在我们考虑函数$R（t）$的导数。从（\ref{eq_DE_hf}）我们导出\开始{方程式}\压裂{{\mathrm{d}}^kR（t）}{{\mathrm{d\}}t^k}=t\cdot\frac{{\methrm{d}}^{k-1}R（t{{\mathrm{d}}t^{k-1}}+（k-1）\cdot\frac{d^{k-2}R（t）}{{\mathrm{d}}t^{k-2]}。\四边形k=2,3，\点。\标签｛eq_mrec_drvR｝\结束{方程式}{雅各比、库巴、克雷恩}证明\脚注{方程式~（\ref{eq_fEq_LaplPoly}）后跟（\ref}方程式_DE_hf}）、（\ref方程式_mrec_drvR}）和命题~\ref{prop_pk}.}\开始{方程式}\裂缝{{\mathrm{d}}^kR（t）}{{\mathrm{d\}}t^k}=R（t，t）\cdot P_k（t）-Q_{k-1}（t），k=1,2，点。\标签{eq_fEq_LaplPoly}\end{方程式}\vskip 0.2厘米\分段{Laplace和Hermite多项式}多项式$P_k（t）$与Hermite多项式{Abram，Andrews}密切相关。用$\fD$表示微分运算符：$\fDg（t）=\frac{\ddg（t）}{\ddt}$。然后，像往常一样，$\fD^n g（t）=\frac{\dd^n（t）}{\dd t^n}$，$（n=1,2，\dots）$。回想一下，Hermite多项式可以定义为$$美元H_k（t）\ bydef（-1）^k e ^｛t^2｝\，\ fD^k e ^｛-t^2｝。$$\开始{引理}\label{lem_Lp_df}拉普拉斯多项式$P_k（t）$满足\开始{方程式}\标签{eqn_Lp_dif_form}P_k（t）=e^{-t^2/2}\，\fD^ke^{t^2/2{，\四k=0，1，2，\点。\结束{方程式}\结束{引理}\开始{proof}我们将通过归纳法证明这个引理。对于$k=1$$$e^{-t^2/2}\，\fD e^{t^2/2{=t=P_1（t）$$假设$e^{-t^2/2}\，\fD^ne^{t^2/2{=P_n（t）$。让我们验证一下$$P_{n+1}（t）=e^{-t^2/2}\，\fD^{n+1}e^{t^2/2{.$$的确，\开始{eqnarray*}\fD^{n+1}e^{t^2/2}&=&\fD\Bigl（\fD^ne^{t|2/2}\Bigr）\\&=&&fD\Bigl（e^｛t^2｝\cdot P_n（t）\Bigr）\\&=&e^{t^2/2}\，\Bigl（tP_n（t）+P_n^\prime（t）\Bigr）。\结束{eqnarray*}因此$$e^{-t^2/2}\，\fD^{n+1}e^{t^2/2{=tP_n（t）+P_n^\质数（t）$$由于方程~（\ref{eq_P_k}）和初始条件$P_1（t）=t$唯一地确定了由递归（ref{eq_P_k}）生成的多项式，我们得到$$e^{-t^2/2}\，\fD^{n+1}e^{t^2/2{=P_{n+1}（t），$$原样证明。\结束{proof}引理~\ref{lem_Lp_df}暗示（参见引用{Kouba，Krein}）\开始{方程式}P_k（t）=（-\mathit i）^k H_k（{\mathiti}t）。\标签{eq_P_H_k}\结束{方程式}这种关系允许我们重新定义Hermite多项式的经典结果拉普拉斯多项式。特别是，可以很容易地从（\ref{eq_P_H_k}）和Hermite多项式的生成函数，$$\cH（t，s）\bydef\sum_{k=0}^\iy H_k（t）\frac{s^k}{k！}=e^{st-s^2/2}\$$生成函数$\cP（s，t）=\sum_{k=0}^\iy P_k（t）\frac{s^k}{k！}$。\开始{引理}[\cite{Kouba，Krein}]生成函数$\cP（s，t）$为\开始{方程式}\cP（s，t）=\exp\Bigl（st+\frac{s^2}{2}\Bigr）。\标签{eq_gen_funct}\结束{方程式}\结束{引理}\截面{主方程}\标签{sec_GF}现在让我们计算拉普拉斯多项式$Q_k（t）$的生成函数。写入$$\cQ（s，t）\bydef\sum_{k=0}^\iy\sum_{m=0}^\iy q_{k，m}t^m\frac{s^{k+1}}{（k+1）！}$$\开始{引理}\标签{lemgfq}生成函数$\cQ（s，t）$是\开始{方程式}\cQ（s，t）=\sqrt{2\pi}\，e^{（s+t）^2/2}\cdot\Bigl（\bar\Phi（t）-\bar\Phi（s+t）\Bigr）。\标签{eq_gfQ}\结束{方程式}\结束{引理}\开始{proof}我们有，$$\cQ（s，t）=\sum_{k=0}^\iy Q_{k}（t）\frac{s^{k+1}}{（k+1）！}\quad\text{and}\quad\cP（s，t）=\sum_{k=0}^\iyP_{k}（t）\frac{s^k}{k！}\。$$函数$R（t）的泰勒级数展开$可以写为$$R（s+t）=\sum_{k=0}^\iy\frac{\dd^kR（t）}{\ddt^k}\frac}{s^k}{k！}$$回想一下，函数$R（t）$的导数满足等式~（\ref{eq_fEq_LaplPoly}）：$$\frac｛\dd^k R（t）｝｛\dd t^k｝=P_k（t）R（t）-Q_｛k-1｝（t）$$我们有$$R（s+t）=\sqrt{2\pi}e^{（s+t）^2/2}\bar\Phi（s+t\）$$因此\开始{eqnarray*}\sqrt{2\pi}\，e^{（s+t）^2/2}\cdot\bar\Phi（s+t）&=&\sum_{k=0}^\iy\压裂{\dd^k R（t）}{\dd t^k}\压裂{s^k}{k！}\\&=&R（t）\sum_{k=0}^\iy P_k（t）\ frac{s^k}{k！}-\求和{k=0}^\iyQ{k-1}（t）\frac{s^k}{k！}\\&=&R（t）\cdot e^{st+s^2/2}-\cQ（s，t）\\&=&\sqrt{2\pi}\，e^{t^2/2}\cdot\bar\Phi（t）\cdot e^{st+s^2/2{-\cQ（s，t）。\结束{eqnarray*}最后，我们得到$$\cQ（s，t）=\sqrt{2\pi}\，e^{（s+t）^2/2}\cdot\Bigl（\bar\Phi（t）-\bar\Phi（s+t）\Bigr）$$从而证明了方程（\ref｛eq_gfQ｝）。\结束{proof}\开始{定理}\标签{thm_meq}生成函数$\cP（s，t）$和$\cQ（s，t）$满足\开始{方程式}R（s+t）+\cQ（s，t）=\cP（s，t）R（t）。\标签{eq_AltQ}\结束{方程式}\结束{定理}\开始{proof}我们有$\sqrt{2\pi}\，\exp（t^2/2）\cdot\bar\Phi（t）=R（t）$。从引理~\ref{lem_gf_q}导出\开始{eqnarray*}\cQ（s，t）&=&\sqrt{2\pi}\，e^{（s+t）^2/2}\cdot\Bigl（\bar\Phi（t）-\bar\Phi（s+t）\Bigr）\\&=&e^{st+s^2/2}\cdot R（t）-R（t+s）。\结束{eqnarray*}后一个关系等价于（\ref{eq_AltQ}）。\结束{proof}\节{Identities}\label{sec_Ident}据我们所知，在《克雷恩》一书中，我们得出了一个新的身份$$\和{n=0}^\iy\sum{m=0}\裂缝{（n+m）！}{m！j！（m+2n+1-j）！}\，\，2^{-n}=\sqrt{2\pi}e^2\Bigl（\Phi（2）-\Phi（1）\Bigr），$$右手边有不寻常的常数组合。事实上，整个推导都是基于将$s=t=1$替换为（\ref{eq_AltQ}）在定理~\ref{thm_meq}中。选择$s$和$t$的整数值，我们得到一系列优雅的组合恒等式类似于{Krein}中讨论的恒等式。拉普拉斯连分数的另一个有趣而意外的联系是Ramanujan身份【条目43，p.~166】{BRaman}：\开始{方程式}\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+/cfrac{3}{1\\cfrac{4}{1++cfrac{5}{\ddots}}}}=\压裂{1}{\sqrt{\frac{e\pi}{2}}-\sum{n=0}^\iy\limits\frac{1}}{（2n+1）！！}}-1。\标签｛eq_ramanu｝\结束{方程式}这个恒等式可以从方程式~（\ref{eq_AltQ}）中导出。我们需要以下内容（\ref{eq_ramanu}）的泛化。\开始{proposition}\label{prop_Ram}对于$s>0$，考虑连分数$$\cS（s）=\cfrac{1}{s+\cfrac}2}{s++\cfrac{3}{s+\cfrac[4}{s+/cfrac{5}{\ddots}}}}\$$然后\开始{方程式}\抄送（s）=\frac{1}{e^{s^2}/{2}}\sqrt{\frac{pi}{2}{-\sum_{n=0}^\iy\limits\frac{s^{2n+1}}{（2n+1）！！}}-s。\标签{eqcfin}\结束{方程式}\结束{命题}\开始{proof}从（\ref{eq_AltQ}）我们导出\开始｛方程式｝R（s）+\cQ（s，0）=e^{s^2/2}\cdot R（0），\label{eq_RQ1}\结束{方程式}和\开始{eqnarray}\cQ（s，0）&=&\sum_{n=0}^\iyq_{2n，0}\frac{s^{2n+1}}{（2n+1）！}\n非数字\\&=&\sum_{n=0}^\iy（2n）！！\压裂{s^{2n+1}}{（2n+1）！}\n编号\\&=&\sum_{n=0}^\iy\frac{s^{2n+1}}{（2n+1）！！}。\标签{eq_cQ_0}\结束{eqnarray}检查连续分数（\ref{eq_Cont_frac}）和$\cS（s）$\开始{方程式}\cS（s）=-s+\frac{1}{\cL（s）}，\label{eq_Ut}\结束{方程式}因此，对于$s>0$$$\cS（s）=-s+\frac｛1｝｛R（s）｝。$$考虑到$R（0）=\sqrt{\pi/2}$，我们从后一个方程得到，（参考{eq_RQ1}）和（参考{eq_cQ_0}）\开始{方程式}\压裂{1}{s+\cS（s）}=e^{s^2}/{2}}\sqrt{\frac{\pi}{2}{-\sum_{n=0}^\iy\frac}s^{2n+1}}{（2n+1）！！}。\标签{eq_Cs}\结束{方程式}等式~（\ref{eq_Cs}）等价于（\ref{eq_cf_fin}）。\结束{proof}将$s=1$代入（\ref{eq_cf_fin}）中，我们得到了Ramanujan恒等式（\ref{eq_ramanu}）。\开始{remark}序列$\sum_{n=0}^\iy\limits\frac{s^{2n+1}}{（2n+1）！！}$收敛于函数$$e^{s^2/2}\int_0^s e^{-u^2/2{\dd u=（\Phi（s）-0.5）/\vf（s）$$其中$\vf（s）=\exp（-s^2/2）/\sqrt{2\pi}$。连分式$\cS（s）$的收敛系数由三角形数组描述\序列号{A180048}。\结束｛备注｝\截面{致谢}I我非常感谢伊恩·伊斯科、塞巴斯蒂安·贾姆加尔，阿列克谢·库兹涅佐夫、汤姆·索尔兹伯里、尤金·塞内塔、，Isaac Sonin、Hans Tuenter、Alek Vainshtein、Vladimir Vinogradov、，和弗拉基米尔·朱拉夫列夫发表有趣的评论和激发讨论。我还要感谢裁判的建议和批评意见。没有OEIS，这篇论文永远不会出现。\开始{书目}{10}\围兜{亚伯兰}M.Abramovitz和I.Stegun，《数学函数手册》，多佛出版社，纽约，1970年。\bibitem{安德鲁斯}G.Andrews、R.Askey和R.Roy，\emph{特殊功能}，百科全书《数学及其应用》，剑桥大学出版社，1999年。\bibitem{Baricz}A.Baricz，Mills比率：单调模式和函数不等式，\emph{J.Math.Anal.Appl.}\textbf{340}（2008），1362--1370.\bibitem{BRaman}B.C.Berndt，\emph{拉马努扬的笔记本}，第2卷，Springer-Verlag，1989年。\bibitem{Dumbgen}L.天\小时{u} 恩布根，有界标准高斯尾概率。伯尔尼大学，数理统计与精算科学研究所，技术报告762010。可在\网址{https://arxiv.org/abs/1012.2063}.\藏品{Feller70}W.Feller，\emph{概率论及其应用导论}，\textbf{1}，约翰·威利父子公司，纽约，1970年。\bibitem{雅各比}C.~G.~J.Jacobi，离散连续统，在类积分中，$\int_x^\iye ^｛-xx｝\dd x$evolvere licet，\emph｛J.Reine Angew。数学。｝\textbf{12}（1834），346--347。\bibitem{KendStuart（肯德斯图亚特）}M.Kendall和A.Stuart，《高级统计学理论》，威利，第6版，1994年。\围兜{库巴}O.Kouba，与误差函数相关的不等式，预印本，\网址{http://arXiv:math/0607694}, 2006.\bibitem{Krein}（科林）A.Kreinin，Mills比率的组合特性，预印本，\网址{http://arXiv.org/abs/1405.5852}, 2014.\bibitem{拉普拉斯}P.~S.拉普拉斯（P.S.Laplace），\emph{Trait\'e de M \'ecanique 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2000{\it数学学科分类}：初级11Y05；次要11Y55。\noindent\emph{关键词：}连分数，整数序列，Ramanujan恒等式。\大跳跃\小时\大跳跃\noindent（与序列有关\序列号{A000012}，\序列号{A000165}，\序列号{A000217}，\序列号{A000457}，\序列号{A001147}，\序列号{A001879}，\序列号{A035101}，\序列号{A050534}，\序列号{A129890}，\序号｛A180048｝，以及\序列号{A263384}。）\大跳跃\小时\大跳跃\vspace*{+.1in}\无音（noindent）2015年11月11日收到；收到的修订版本2016年4月5日；2016年6月24日；2016年6月27日。发表于2016年6月27日的{整数序列杂志}。\大跳跃\小时\大跳跃\无音（noindent）返回到\htmladdnormallink{整数序列杂志主页}{http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/}.\vskip.1英寸\结束｛文档｝