\文档类[12pt，reqno]{article}\usepackage[用户名]{颜色}\使用包{amssymb}\使用包{graphicx}\使用包{amscd}\usepackage[colorinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色{webbrown}{rgb}{.6,0,0}\使用包{color}\使用包{fullpage}\使用包{float}\使用包｛psfig｝\usepackage{graphics，amsmath，amssymb}使用包\使用包{amsthm}\使用包{amsfonts}\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\使用包｛authblk｝\使用包{mathrsfs}\使用包{bbm}\usepackage[数字]{natbib}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集长度｛\evensidemargin｝｛.1in｝\集合长度{\topmargin}{-.1in}\设置长度{\textheight}{8.4in}\新命令{\seqnum}[1]{\href{http://oeis.org/#1}{\下划线{#1}}\声明MathOperator*{\argmin}{arg\，min}\声明MathOperator*{\dist}{dist}\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\离开模式\epsfile{logo129.eps}\结束{中心}\理论风格{普通}\新定理{定理}{定理{\新定理{推论}[定理]{推演}\新定理{引理}[定理]{引言}\新定理｛命题｝〔定理〕｛命题｝\理论风格{定义}\新定理{definition}[定理]{definition}\新定理{example}[定理]{example}\新定理{猜想}[定理]{猜测}\理论风格{remark}\新定理{remark}[定理]{remark}\开始{居中}\vskip 1cm{\LARGE\bf模式和Edgeworth扩展\\\vskip.1英寸Ewens分布与Stirling数}\vskip 1cm\大型扎哈尔·卡布卢奇科\\数学统计研究所\\大学“at M”unster\\或-l’e ans--环10\\48149米\\德国\\\href｛mailto:zakhar.kabluchko@uni-muenster.de}{\tzakhar.kabluchko@uni-muenster.de}\\\\\亚历山大·马利尼奇\\控制论学院\\塔拉斯·舍甫琴科国立基辅大学\\01601基辅\\乌克兰\\\href｛mailto:marynych@unicyb.kiev.ua}{\tmarynych@unicyb.kiev.ua}\\\ \\亨宁·苏尔兹巴赫\\计算机科学学院\\麦吉尔大学\\大学街3480号\\蒙特利尔，QC H3A 0E9\\加拿大\\\href｛mailto:henning.sulzbach@gmail.com}{\thenning.sulzbach@gmail.com}\结束{中心}\vskip.2英寸\更新命令{\P}{\mathbb{P}}\新命令{\bL}{\mathbb{L}}\新司令部\新命令{\fD}{\mathscr{D}}\新命令{\R}{\mathbb{R}}\新命令{\N}{\mathbb{N}}\新命令{\C}{\mathbb{C}}\新命令{\Z}{\mathbb{Z}}\新命令{\ind}{\mathbbm{1}}\新命令{\dd}{{\rm d}}\新命令{\eee}{e}\新命令\新命令{\tirling}[2]{\genfrac{[}{]}{0pt}{}{#1}{2}}\新命令{\stirlingb}[2]{\genfrac{\{}}{0pt}{}{#1}{2}}\新命令{\eps}{\varepsilon}\新命令{\eqdistr}{\stackrel{d}{=}}\新命令{\todistr}{\overset{d}{\underset{n\to\infty}\longrightarrow}}}\新命令{\ton}{overset{}{underset{n\to\infty}\longrightarrow}}}\vfill\弹出\开始{abstract}我们为第一类Stirling数和更一般的Ewens（或Karamata-Striling）分布提供了渐近展开式。基于这些扩展，我们获得了关于模式的渐近性质、Stirling数的最大值和Ewens分布的一些新结果。对于任意$\theta>0$，对于所有充分大$n\in\n$，Ewens概率质量函数的唯一最大值$$\mathbb L_n（k）=\frac{\theta^k}{\theta（\theta+1）\cdots（\theta+n-1）}\tirling{n}{k}，\quad k=1，\ldots，n，$$在$k=\lfloor a_n\rfloor$或$\lceil a_n\rceil$处获得，其中$a_n=theta\log n-\theta\Gamma'（theta）/\Gamma（\theta）-1/2$。我们证明了模式是最接近$a_n的整数$对于渐近密度为$1$的一组$n$，这个公式对无限多的$n$是不成立的。\结束{抽象}\第{节介绍和结果陈述}\第{小节}对于$n\in\n$和$1\leqk\leqn$，第一类$\sirling{n}{k}$的（无符号）\textit{Stirling数}由以下公式定义\开始{方程式}\标签{eq:stirling_def}x^{（n）}：=x（x+1）\cdot（x+n-1）=\sum_{k=1}^n\stirling{n}{k}x^k，\quad x\in\R。\结束{方程式}对于$n\inN$，如果其概率质量函数由公式给出，则称随机变量$K_n（θ）$具有{{{it-Ewens分布}，参数$\theta>0$$$\P（K_n（θ）=K）=frac{\theta^K}{\theta（n）}}\tirling{n}{K}，四K=1，ldots，n。$$宾厄姆将这种分布称为卡拉马塔·斯特林定律。可以将$K_n（θ）$解释为根据Ewens抽样公式分布的${1，ldots，n}$随机分区中的块数，或者等效地，解释为无限等位基因模型、中餐厅流程中的餐桌数量或Hoppe瓮中的颜色数量。鄂温斯抽样公式在群体遗传学中起着重要作用\引用｛ewens_tavare｝，\引用[第1.3节]｛durret_DNA｝。$K_n（θ）$的分布表示为独立随机变量的总和\开始{方程式*}K_n（θ）\eqdistr\xi_1+\cdots+\xi_n，\text{其中}\xi_i\sim\text{Bern}（\theta/（θ+i-1））\结束{方程式*}$\text{Bern}（p）$表示带有参数$p$的Bernoulli分布。在特例$\theta=1$中，{至少可以追溯到Feller\cite{feller1945}和R\'enyi\cite}的经典结果表明}随机变量$K_n（1）$的分布与均匀选择的$n$对象随机排列中的循环数或连续变量的$n$i.i.d.样本中的记录数相同分配。从林德伯格定理可以很容易地得出，$K_n（θ）$满足形式的中心极限定理$$\压裂{K_n（θ）-\theta\log n}{\sqrt{\theta/log n}}\todistr\text{n}（0,1）$$在$\theta=1$的情况下称为Goncharov的CLT。Stirling数$\Stirling｛n｝｛k｝$在$k$的各个区域中的渐近展开式，如$n\to\infty$，在许多工作中提供了\cite{hwang_diss，hwang_Stirling，louchard_first_kind，moser_wyman，temme，wilf}。最值得注意的是，\citet[定理~2]{hwang_stirling}（以及他论文第108页上的定理~14）给出了一个有效的渐近展开式对于任何固定的$\eta>0$，统一在域$2\leqk\leq\eta\log n$中。Louchard~\cite[定理~2.1]{Louchard_first_kind}计算了三个非平凡项中心区域$k=\logn+O（\sqrt{\logn}）$的渐近展开式，类似于中心极限定理中的经典Edgeworth展开式。在这个简短的注释中，我们首先导出概率质量函数序列$k\mapsto\P（k_n（\theta）=k）$的完整Edgeworth展开式，作为$n\to\infty$，它在[1/\teta，\ta]$（其中$\ta>1$）和$k\in\{1，\ldot，n\}$；参见定理~\ref{theo:stirling_edgeworth}。我们的结果是作者引用{Kabluchko+Marynych+Sulzbach:2016}最近获得的确定性或随机剖面的一般Edgeworth展开的应用。利用这种渐近展开，我们得到了关于Ewens分布的模和极大值的一些新结果。在$\theta=1$的情况下，模式可以解释为随机循环中最可能出现的次数$n$对象的排列。它在\citet{hammersley_restricted，hammersley}和Erd \H{o}s\cite{erdoes_on_hammerslee}的著作中进行了研究。我们关于模式和最大值的结果将在下面的定理~\ref{theo:stirling_mode_maximum}和~\ref}theo:stirling_mode_further}中说明。\分段{Ewens分布的渐近展开}在陈述主要结果之前，我们需要回顾一些概念。（完全）\textit{Bell多项式}$B_j（z_1，\ldots，z_j）$由形式恒等式定义\开始{方程式*}\exp\left（\sum_{j=1}^{infty}\frac{x^j}{j！}z_j\right）=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^j}{j！}B_j（z_1，\ldots，z_j）。\结束{方程式*}因此，$B_0=1$，对于N$中的$j\，\开始{方程式}\标签{eq:bell_poly_def}B_j（z_1，\ldots，z_j）=\sum{}^{'}\frac{j！}{i_1！\cdots i_j！}\left（\frac{z_1}{1！}\right）^{i_1}\cdots\left，\结束{方程式}其中，总和$\sum{}^{'}$将接管满足$1i_1+2i_2+\cdots+ji_j=j$的所有$i_1、\ldots、i_j\in\0$。例如，前三个Bell多项式由下式给出\开始{方程式}\标签{eq:Bell_poly_first}B_1（z_1）=z_1，\四元B_2（z_1，z_2）=z_1^2+z_2，\四元B_3（z_1，z_2，z_3）=z_1^3+3z_1z_2+z_3。\结束｛方程式｝此外，我们将使用由定义的“概率”\textit{Hermite多项式}$\Herm_n（x）$\开始{方程式}\标签{eq:Herm}\Herm_n（x）=\eee^{\frac12x^2}\左（-\frac{\dd}{\ddx}\右）^n\eee^{-\frac 12x^2}，\quad n\in\0。\结束{方程式}展开式的前三项所需的前几个Hermite多项式如下\开始{align*}&\Herm_0（x）=1，\quad\Herm_1（x）=x，\quad\Herm_2（x）=x^2-1，\四元\Herm_3（x）=x^3-3x\\&\Herm_4（x）=x^4-6x^2+3，\四边形\Herm_6（x）=x ^6-15 x ^4+45 x ^2-15。\结束{align*}\开始{定理}\标签{theo:stirling_edgeworth}修复\N_0$中的$r和紧致子集$L\subset（0，\infty）$。统一超过L$中的$\theta\$$\lim{n\to\infty}（\logn）^{\frac{r+1}{2}}\sup{k=1，\ldot，n}\左|\P（K_n（θ）=K）-\frac{\eee^{-\frac 12 x_n^2（K，θ）}}{\sqrt{2\pi\theta\log n}}\sum_{j=0}^r\frac{H_j（x_n（K，theta））}{（theta\logn）^{j/2}}\右|= 0.$$这里，$x_n（k，\ttheta）=\frac｛k-\ttheta\log n｝｛\sqrt｛\ttheta\log n｝｝$和$H_j（x）$是次数为$3j$的多项式，由\开始{align}\label{def_G_ewens}H_j（x）：=H_j[x，θ）=\压裂{（-1）^j}{j！}\，\eee^{压裂12 x^2}B_j（\widetilde{D_1}，\ldots，\widetelde{D_j}）\eee_{-\frac12 x^2]，\结束{对齐}其中$B_j$是$j$-th Bell多项式，$\widetilde{D_1}、\widetelde{D_2}和\ldots$是微分算子，由\开始{align}\label{eq:D_def}\widetilde{D_j}:=\widetilde{D_j}（\theta）=\压裂{1}{（j+1）（j+2）}\左（\压裂{\dd}{\ddx}\右）^{j+2}+\widetilde{\chi_j}（0）\左（\frac{\dd{{\ddx}\右\结束{对齐}其中$\widetilde{\chi_j}（\beta）=-\left（\frac{\dd}{\dd\beta}\right）^j\log\Gamma（\theta\eee^{\beta{）$和$\Gamma$表示Euler伽马函数。\结束{定理}\开始{remark}\label{rem:H_i}它来自~\eqref{eq:Bell_poly_first}、\eqref{def_G_ewens}和\eqef{eq:D_def}膨胀的前三个系数是\开始{align*}H_0（x）&=1，\标签{eq:G0_stirling}\\H_1（x）&=-\frac{\Gamma'（\theta）}{\Gama（\theda）}\thetax+\frac{1}{6}\Herm_3（x）\\H_2（x）&=\左（θ^2\frac{\Gamma'^2（θ+\左（\frac{1}{24}-\frac{\Gamma'（\theta）}{6\Gamma（\theda）}\theta\right）\Herm_4（x）+\裂缝{1}{72}\Herm_6（x）。\结束{align*}以下~\eqref{eq:chi_tilde_explicit}中给出了$\widetilde{\chi_j}（0）$的一个表达式，其中涉及第二类的多语法函数和Stirling数。需要$\widetilde｛D_j｝$和$\widetilde｛\chi_j｝$中的波浪号保持符号与我们更一般的工作一致。很容易检查$H_j（-x）=（-1）^j-H_j（x）$\cite[Remark~2.4]{Kabluchko+Marynych+Sulzbach:2016}。要计算$H_j（x）$，可以如下进行。首先，将$\frac{1}{j！}B_j（\widetilde{D_{1}}，\ldots，\widetilde{D_j}）$表示为$D:=\frac{dd}{ddx}$中的多项式（注意，如果$j$是偶数/奇数，则只有$D$的偶数/奇幂存在）。然后将每次出现的$D^l$替换为$\Herm_l（x）$；请参阅~\eqref{eq:Herm}以获取理由。\结尾{remark}\开始{remark}可以选择$\theta$的值作为$k$的函数。一个自然的选择是$\theta=1$，它提供了Louchard展开式的完整版本~\cite[定理~2.1]{Louchard_first_kind}（尽管他在$x_n（k，1）$的模拟中使用了稍微不同的标准化，并且他的术语$-355 x^3/144$应该被$-47 x^3/44$取代）。另一个可能的选择是$\theta=k/\log n$（这样$x_n（k，\theta）=0$），对于固定$\ta>1$和$q\in\0$，它给出了在区域$\ta^{-1}\log n<k<\ta\log n$中一致有效的大偏差类型展开：$$\压裂{（k/\logn）^k}{（k/\log n）^{（n）}}斯特林{n}{k}=\frac{1}{\sqrt{2\pi k}}\sum_{s=0}^{q}\frac{H_2s}（0，k/\log n）}{k^s}+o\左（\frac1{（\logn。$$观察到，由于$H_{2j+1}（0）=0$，所以和中不存在半整数幂为$k$的项。使用公式$$\frac{\Gamma（n+\theta）}{n！}=n^{\theta-1}\左（1+O\左（frac1n\右）\右）$$产生膨胀\开始{方程式}\标签{eq:largedev_expansion}\frac 1｛n！｝\stirling｛n｝｛k｝=\frac｛1｝｛\Gamma（θ）｝n^｛\theta-\theta\log\theta-1｝\左（\frac{1}{\sqrt{2\pik}}\sum_{s=0}^{q}\frac{H{2s}（0，θ）}{k^s}+o\左（\frac1{（\logn）^{q+1}}\右）\右）\结束{方程式}在区域$\theta=k/\logn\in（\ta^{-1}，\ta）$中，有效为$n\to\infty$一致地超过$k$。在这个区域中，这个展开式必须等价于Hwang的结果~\cite[定理~2]{Hwang_stirling}。通过直接比较来严格验证这种等价性并不容易，但我们使用Mathematica~9检查了前三个非平凡项是否一致。注释a剩余项$Z_{mu}（m，n）$in~\citet[定理2]{hwang_stirling}:$（\logn）^m/（m！n）$的公式中的印刷错误应替换为$（\ogn）/（mn）$。膨胀~\eqref{eq:large_dev_Expansion}也可以从~\citet[定理3.4]{feray_meliot_nikeghbali}的工作中推导出来。\结尾{remark}在定理~\ref{theo:stirling_edgeworth}中取$k$以上的和，并使用Euler-Maclaurin公式通过积分近似Riemann和，得到\开始{align*}\P\left（\frac{K_n（\theta）-\theta\log n}{\sqrt{\theta\ log n{}}\leq x\right）=\Phi（x）+\frac{\eee^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi\theta\logn}}\左（\frac12-\frac}x^2-1}{6}+\theta\frac{\Gamma'（\theta）}{\Garma（\theda）}\右）+O\左（压裂1{\log n}\右），\结束{align*}统一在$x\in（\theta\logn）^{-1/2}（\Z-\theta\ logn）$中，其中$\Phi（x）$是标准正态分布函数。证明遵循Gr{“u}bel和Kabluchko~\cite[命题~2.5]{gruebel_Kabluchko_BRW}，因此被省略。{引言{大和：2013}最近声明了该扩展的一个稍有错误的版本，遗漏了来自Euler-Maclaurin公式的术语$1/2$。}类似地，我们可以在$（K_n（θ）-\theta\logn）/\sqrt{\theta\ logn}$的分布函数的展开中获得更多项。\开始{remark}由于定理{theo:stirling_edgeworth}中的集合$L\subseteq（0，\infty）$必须选择紧集，因此我们的结果在区域$K=o（\logn）$中不产生$P（K_n（\theta）=K）$的渐近展开式，其精度与Hwang的\cite[定理1和2]{Hwang_stirling}相同。此外，它们并没有直接扩展到Louchard\cite[第3节]{Louchard_first_kind}处理的$0<\alpha<1$的情况$k=n-O（n^\alpha）$。对我们覆盖这些区域的方法的概括将是未来工作的内容。\结尾{remark}\分段{Ewens分布的模式和最大值}定理~\ref{theo:stirling_edgeworth}允许我们推导关于Ewens分布的\emph{mode}和\emph}maximum的各种结果。模式是任意值$k\in\{1，\ldots，n\}$maximization$\P（K_n（\theta）=K）$，而最大$M_n（\t heta）$由以下公式定义\开始{方程式*}M_n（θ）=max_{1\leqk\leqn}\P（k_n（theta）=k）。\结束{方程式*}让$u_n（\theta）$表示最小模式。在这种情况下，需要注意的是，对于所有$\theta>0$，函数$k\mapsto\P（k_n（\theta）=k）$是对数凹的，这是由Newton~\cite｛hammersley，sibuya｝给出的定理，并且\开始{align}\P（K_n（θ）=1）\\&\geq\P（K_n（θ）=u_n（δ）+1）>\ldots>\P（K _n（β）=n）。\标签{eq:单峰}\结束{对齐}特别是，最多有两种模式。对于$\theta=1$，Erd\H{o}s~\cite{erdoes_on_hammersley}证明了hammersley~\cite{hammersly}的一个猜想，表明该模式对所有$n\geq3$都是唯一的。{通过~\eqref{eq:unimodal}}，唯一性也适用于非理性$\theta$；然而，对于rational$\theta$，模式不需要是唯一的，因为例如，$$\压裂23\sirling{3}{1}=\左（\frac23\right）^2\stirling{3}{2}>\左（\frac23\rift）^3\sirling{3}}。$$\开始{定理}\标签{理论：斯特林模型最大值}修正$\theta>0$。N$中存在$N_1，因此对于$N\geq N_1$，$u_N（\theta）$是参数为$\theta$的Ewens分布的唯一模式。模式$u_n（θ）$等于数字$\lfloor u_n^*（θ\开始{方程式*}u_n^*（θ）=\theta\log n-\frac{\theta\ Gamma'（θ\结束{方程式*}和$\lfloor\cdot\rfloor$、$\lceil\cdot\sceil$分别表示楼层和天花板功能。写\sloppy$\delta_n（\theta）：=\min_{k\in\Z}|u_n^{*}（\ttheta）-k|$。对于最大$M_n（θ）$，我们有$$\sqrt{2\pi\theta\log-n}\；M_n（θ）=1+\frac{theta（\log\Gamma）'（θ。$$\结束{定理}在$\theta=1$的情况下，\citet{hammersley}和Erd\H{o}s\cite{erdoes_on_hammersley}导出了该模式的相关结果。\citet{cramer}讨论了统计应用，而~\citet}mezoe}提供了概述和概括。定理~\ref{theo:stirling_mode_maximum}指出，对于足够大的$n$，模式是数字$\lfloor\log n+\gamma-\frac 12\rfloor$或$\lceil\log n+\gama-\frac12\rceil$之一。事实上，这适用于所有$n\In\n$。\开始{proposition}\label{prop:mode_stirling}$u_n（1）\in\{\lfloor\log n+\gamma-\frac 12\rfloor，\lceil\log n+\gama-\frac12\rceil\}$对于所有$n\n\n$。\结束{命题}证明使用以下~\citet{hammersley}公式：\begin｛equation｝\label｛eq:hammersley_mode_1｝开始u_n（1）=\left\lfloor\log n+\gamma+\frac{\zeta（2）-\zeta，\结束{方程式}大约$1.098011<h（n）<1.430089$。Hwang~\cite[第5.7.9]{Hwang_diss}节给出了更精确的展开。Erd\H{o}s\cite{erdoes_on_hammersley}观察到，对于$n>189$，hammersley的公式表明模式是数字$\lfloor\log（n-1）+\frac 12\rfloor$或$\lffloor\log（n-1。注意，在我们的符号中，他的$\Sigma_{n，s}$等于$\sirling{n+1}{n+1-s}$，而他的$n-f（n）$是$u_{n+1}（1）-1$。下一个定理提供了关于模式行为的更精确信息。回想一下，集合$a\子集\N$在[0,1]$if中具有\emph{渐近密度}$\alpha\\开始{方程式*}\lim_｛n\to\infty｝\frac｛\#（A\cap\｛1，\ldots，n\｝）｝｛n｝=\alpha。\结束{方程式*}对于$x\in\R$，让$\{x\}=x-\lfloorx\rfloor$表示$x$的小数部分。设$\nint（x）$是最接近$x$的整数（如果$\{x\}=1/2$，我们同意取$\nit（x）=\lceil x\rceil$）。那就是，$$\nint（x）：=\argmin_{k\in\Z}|x-k|=\left\lfloor x+\frac 12\right\rfloor。$$\开始{定理}\label{theo:stirlingmodefurther}修正$\theta>0$。带有参数$\theta$的Ewens分布的模式$u_n（\theta）$具有以下属性：\开始{enumerate}\项[\emph{（i）}]存在一个常量$C_0>0$，因此，对于所有$n\in\n$满足$$\左|\｛u_n^*（θ）\｝-\frac 12\右|>\ frac｛C_0｝｛\log n｝，$$模式$un（θ）$等于$$\nint（u_n^{ast}（θ））=\left\lfloor\theta\log n-\frac{theta\Gamma'（theta）}{\Gamma（\theta）}\right\rfloor；$$\项[\emph{（ii）}]有任意长的连续$n$的间隔，其中$u_n（\theta）=\lceil u_n^{\ast}（\ttheta）\rceil$；类似地，存在任意长的连续$n$间隔，其中$un（\theta）=\lfloorun^{ast}（\theda）\rfloor$；\项[\emph{（iii）}]n$中的$n集合，使得$u_n（θ）=nint（u_n^{ast}（theta））$具有渐近密度1；\项[\emph{（iv）}]在n$中有无限多的$n\n，因此$u_n（θ）\neq\nint（u_n^{ast}（theta））$。\结束{enumerate}\结束{定理}第（iv）部分的证明在Edgeworth展开式中使用了五个术语，其中前两个术语影响$u_n^*（θ）$的形式，而其余术语是出于技术原因而需要的。其思想是，如果$u_n^{*}（θ）$的小数部分略低于$\frac12$，那么公式$u_n（theta）=nint（u_n^{ast}（theta））$就会出错，因此Edgeworth展开式中的高阶项确定$\lfloor u_n^*（\theta）\rfloor$和$\lceil u_n^*（\ttheta）\rceil$中的哪个值是模式。在展开式中使用更多的术语，可以将$u_n^*（\theta）$替换为更复杂的涉及$\theta\log n$~\cite逆幂高阶修正的表达式[第5.7.9]{hwang_diss}节。然而，似乎没有这种形式的公式$$u_n（1）=\nint\left（\logn+a0+\frac{a_1}{\logn}+\cdots+\frac{a_r}{（\log n）^r}\right）$$这对所有足够大的$n$都有效。最后，我们想提到的是，对于第一类斯特林数的$B$和$D$类似物，可以很容易地获得上述结果的对应物。这些定义为$（x+1）（x+3）\cdots（x+2n-1）$和$（x+1）（x=3）\cdots（x2n-3））（x+n-1）$。例如，它们出现在Weyl chambers~\cite{kabl_vys_zaporozhets_Weyl_chambers}的内禀体积研究中。\部分｛校对｝\begin{proof}[定理证明\ref{theo:stirling_edgeworth}]该证明遵循随机或确定性轮廓的一般edgeworth展开式\引用【定理2.1】{Kabluchko+Marynych+Sulzbach:2016}。我们考虑“配置文件”的序列\开始{align*}\bL_n（k）：=\P（k_n（θ）=k）=\frac{\theta^k}{\theta ^{（n）}}\tirling{n}{k}\ind_{k\in\{1，\ldots，n\}}，\结束{align*}并定义$$w_n:=\theta\log n，\quad\varphi（\beta）：=\eee^{\beta}-1，\四线组（\beta_{-}，\beta_{+}）=\R，\quad\fD=\{z\in\C\colon|\text{Im}z|<\pi\}。$$为了应用~\cite[定理2.1]{Kablochko+Marynych+Sulzbach:2016}，我们需要检查引用论文第2节开头给出的条件A1-A4。请注意\开始{align*}W_n（beta）&：=\eee^{-\varphi（\beta）W_n}\sum_{k\in\Z}\eee|{\betak}\bL_n（k）=n^{-\θ\\&=n^{-\θ=n^{-\theta（\eee^{\beta}-1）}\frac{\Gamma\吨\裂缝{\Gamma（θ）}{\Gama（θ\eee^\beta）}=：W{\infty}（β）\结束{align*}在$\beta\in\fD$中局部一致，收敛速度为$n^{-1}$中的多项式。因此满足条件A1--A3。为了检查A4，可以显示对于$a>0$、$r\In\N$和$\r的每个紧凑子集$K_1$$\开始{方程式*}\在K_1中的sup_｛\beta｝\sup_｛a\leq u\leq\pi｝\left（n^｛-\theta（\ee^β-1）｝\left|\frac｛\Gamma（\theta\ee^｛β+iu｝+n）\ Gamma（\theta）｝｛\Gamma（\theta+n）\ Gamma（\theta\ee^｛β+iu｝）｝\right|\right）=o（\log^｛-r｝n），\quad n\to\infty。\结束{方程式*}但这很容易从\开始{align*}\K_1}中的lefteqn{\sup_{\beta\left\\&\勒克K_1}中的C\sup_{\beta\左（n^{-\theta（\eee^\beta-1）}\sup__{a\lequ\leq\pi}\left|\frac{\Gamma（\theta\eee\{\beta+iu}+n）}{\Gama（\theta+n）{\right|\right）\leqC_1\sup_}\beta\K_1}n中的n^{\theta\ eee^{\ beta}（\cosa-1）}，\结束{align*}常数$C、C_1$取决于$K_1$、$\theta$和$a$。因此，引用{Kabluchko+Marynych+Sulzbach:2016}的定理2.1适用于任意固定$\theta>0$的Ewens分布。特别是，对于$\theta=1$，我们得到\开始{align}\label{proof_thm_main4}（\log n）^{\frac{r+1}{2}}\sup{\beta\in K}\sup{1\leqk\leqn}\left|\frac}\Gamma（\eee^{\beta}）\eee#####\斯特林{n}{k}-\frac{eee^{-\frac 12 x_n^2（k，eee^}）}}{sqrt{2\pi\eee^{beta}\logn}}\求和{j=0}^r\frac{G_j（x_n（k，eee^{beta}）；\测试版）}{（\logn）^{j/2}}\right|\ton 0，\结束{对齐}其中，$K$是$\R$的紧子集，多项式$G_0、G_1、\ldots$的定义如{Kabluchko+Marynych+Sulzbach:2016}的定理2.1所示：对于$j\in\N_0$，我们有\开始{方程式}\标签{eq:def_G}G_j（x；\beta）=\frac{（-1）^j}{j！}\eee^{\frac12 x^2}B_j（D_1，\ldots，D_j）\eee_{-\frac1 2 x^2{\结束{方程式}用微分算子\开始{方程式}\标签{eq:D_def_no_tilde}D_j:=D_j（\beta）=\eee^{-\frac 1 2\beta j}\左（\frac{1}{（j+1）（j+2）}\左，\结束｛方程式｝哪里$$\chi_j（\beta）=-\left（\frac{\dd}{\dd\beta}\right）^{j}\log\Gamma（\eee^\beta$$现在，如果$L\subseteq（0，\infty）$是紧的，那么$K:=\log L$在$\R$中是紧的。将\eqref{proof_thm_main4}与$K=\log L$和$\beta=\log\theta\一起应用于K$，我们得到\开始{align*}（\log n）^{\frac{r+1}{2}}\sup_{\theta\in L}\sup_1\leqk\leqn}\left |\frac}\Gamma（\theta）\theta^k}{n^{\theta 1}n！}\斯特林{n}{k}-\frac{eee^{-\frac 12 xn^2（k，θ）}}{sqrt{2\pi\theta\log n}}\sum_{j=0}^r\frac{G_j（x_n（k，θ）；\log\theta）}{（\logn）^{j/2}}\right|\ton 0。\结束{align*}根据斯特林公式，统一以L$、n$和$1leq-kleq-n$中的$theta为单位，我们得到\开始{align*}\裂缝{\Gamma（\theta）\theta^k}{n^{\theta-1}n！}\stirling｛n｝｛k｝=\frac｛θ^k｝｛θ^｛（n）｝｝\ stirling｛n｝｛k｝（1+O（n^｛-1｝））=\frac｛θ^k｝｛θ^｛（n）｝\ stirling｛n｝｛k｝+O（n^｛-1｝）。\结束{align*}我们通过注意$G_j（x；\log\theta）=\theta^{-j/2}H_j（x）$来结束证明，它直接从$\widetilde{\chi_j}（0）=\chi_j（\log\tea）$开始。实际上，通过比较~\eqref{eq:D_def}和~\eqref{eq:D_def_no_tilde}，我们得到$$D_j（\log\theta）=\theta^{-j/2}\widetilde{D_j}（\theta，$$这意味着$$B_j（D_1（\log\theta），\ldots，D_j（\log\theta））=\theta^{-j/2}B_j$$因为$B_j（z_1，\ldots，z_j）$是形式为$c\cdot z_1^{i_1}z_2^{i_2}\cdots z_j^{i_j}$与$1i_1+2i_2+\cdots+ji_j=j$的项之和；请参阅~\eqref{eq:bell_poly_def}。通过比较~\eqref{def_G_ewens}和~\equref{eq:def_G}，我们得到了所需的恒等式$G_j（x；\log\theta）=\theta^{-j/2}H_j（x）$。要查看$\widetilde{\chi_j}（0）=\chi_j（\log\theta）$，可以通过对$j\geq1$的归纳很容易地表明\开始{方程式*}\chi_j（β）=-\sum_｛\ell=1｝^｛j｝\stirlingb｛j｝｛\ell｝\psi^｛（\ell-1）｝（\ee^\beta）\ee^｛\ell\beta｝，\结束{方程式*}和\开始{等式}\标签{eq:chitildeexplicit}\widetilde{\chi_j}（\beta）=-\sum_{\ell=1}^{j}\stirlingb{j}{\ell}\psi^{（\ell-1）}（\theta\eee^\beta。\结束{方程式}这里$\psi^{（j）}（x）=（\log\Gamma（x$$\stirlingb{n+1}{k}=\sirlingb{n}{k-1}+k\sirlingb{n}}{k{，四元1\leqk\leqn，\；\；在n中，$$初始条件为$\sirlingb{0}{0}=1$，$\sirringb{n}{0{=\sirlingp{0}}{n}=0$。\结束{proof}\开始{proof}[定理证明\ref{theo:stirling_mode_maximum}]根据引文{Kabluchko+Marynych+Sulzbach:2016}中的定理~2.10，对于足够大的$n$，函数$k\mapsto\P（k_n（\theta）=k）$的最大值必须是$\lfloor u_n^*\rfloor$或$\lceil u_n^**\rceil$的形式。接下来，我们通过遵循Erd\H{o}s\cite{erdoes_on_hammersley}的方法来证明最大化器是唯一的（对于足够大的$n$），该方法考虑了情况$\theta=1$。{由于~\eqref{eq:unimodal}，}如果$\theta$是无理的，唯一性是显而易见的。因此，我们假设$\theta=Q_1/Q_2$是有理的，其中$Q_1，Q_2$为整数。我们通过~\eqref{eq:stirling_def}，$$\斯特林{n}{k}=\sum{1\leqa_1<ldots<a{n-k}\leqn-1}a_1\cdotsa{n-k}。$$将$k_n=\lceil u_n^*（\theta）\rceil=\theta\log n+O（1）$作为$n\to\infty$。{通过~\eqref{eq:unimodal}，这足以}表明\开始{方程式}\标签{eq:modeuniquehavetoshow}\θ。\结束{方程式}根据Erd｛\H｛o｝｝s的论点，该论点依赖于具有适当误差项的素数定理\cite[p.~233]｛erdoes_on_hammersley｝，对于所有足够大的$n$，存在满足的素数$p${$（n-1）/k_n<p<（n-1，$$\斯特林{n}{kN}\不等于0\pmod p，\四线组\斯特林{n}{kN-1}\等于0\pmod p$$因为在前一个斯特林数的表示法中，除一个外，所有乘积都可以被$p$整除，而在后一个表示法中所有乘积可以被$p$整除。如果$n$较大，则$p$不在素数$Q_1$和$Q_2$。因此，后面是~\eqref{eq:mode_unique_have_to_show}，$K_n（\theta）$的模式是唯一的。最后，$M_n$的公式遵循{Kabluchko+Marynych+Sulzbach:2016}的定理2.13。\结束{proof}\begin{proof}[命题证明~\ref{prop:mode_stirling}]回忆一下哈默斯利的公式\eqref{eq:Hammersley_mode_1}：\开始{方程式*}un（1）=\left\lfloor\log n+\gamma+\frac{\zeta（2）-\zeta\结束{方程式*}约$1.1<h（n）<1.44$。很容易检查$$\压裂{泽塔（2）-\泽塔（3）}{x}-\压裂{1.1}{x^2}>-\压裂12\text{和}\frac｛\zeta（2）-\zeta（3）｝｛x｝+\frac｛1.44｝｛x ^2｝<\frac 12$$x美元>2.5美元。因此，对于$\log n+\gamma-\frac 32>2.5$，即$n\geq 31$，该命题是正确的。对于$n=1,2，\ldots，30$语句很容易使用Mathematica~9进行验证。\结束{proof}\开始{证明}[定理证明\ref{theo:stirling_mode_further}（i）和（ii）]第（i）部分主要遵循{Kabluchko+Marynych+Sulzbach:2016}中的定理2.10及其证明。即，通过引用[方程式~（90）]{卡布卢奇科+马利尼奇+苏尔兹巴赫：2016}，对于$k=k（n）=u_n^*（θ）+g\in\Z$，其中$g=O（1）$，我们有$$\sqrt{2\pi\theta\log n}\left（\P（K_n（\theta）=K+1）-\P（K_n（\t）=K）\right）=-\压裂{2g+1}{2\theta\logn}+o\left（压裂1{logn}\right）。$$相同的关系，但有一个更好的余项$O（\frac 1{\log^2n}）$，来自~\eqref{proof_iv1}，我们将在下面证明。取$g=-\{u_n^*（θ\开始{align*}\P（K_n（θ）=\lceil u_n^*（θ=\压裂1{\sqrt{2\pi\theta\log n}}左（压裂{{u_n^*（\theta）}-\frac 12}{\theta/log n}+O左（压裂1{log^2 n}右））。\结束{align*}因此，有一个足够大的常数$C_0>0$，如果$\{u_n^*（θ）\}>\frac12+\frac{C_0}{\logn}$，那么右边是正数，模式等于$\lceil u_n^*（theta）\rceil$。类似地，如果$\{u_n^*（θ）\}<\frac12-\frac{C_0}{\logn}$，则右侧为负数，模式等于$\lfloor-u_n^*（theta）\rfloor$。第（ii）部分的证明紧接着第（i）部分，对于每个固定的$L>0$，我们有$\log（n+L）-\log n至0$作为$n\to\infty$。\结束{proof}\开始{证明}[定理证明\ref{theo:stirling_mode_further}（iii）]鉴于第（i）部分，足以表明$$\limsup_{\eps\to 0}\limspu_{n\to\infty}\frac{\#\{1\leqk\leqn:\text{dist}（u_k^*（θ），\Z+1/2）<\eps\}}{n}=0$$这反过来又源于这样一个事实\开始{方程式}\标记{proof_iiii}\limsup{\eps\to 0}\limsup_{n\to\infty}\frac{\#\{1\leqk\leqn:\text{dist}（\log k，\alpha\Z+\beta）<\eps\}}{n}=0，\结束{方程式}对于所有$\alpha>0$和$\beta\in\R$。如果$\alpha^{-1}\log k$，$k\in\N$的小数部分序列均匀分布在$[0,1]$上，则方程~\eqref{proof_iii}为真。然而，不幸的是，后一种说法并不正确。让我们证明\eqref{proof_iii}。假设$\varepsilon<\alpha/2$，\开始{align*}\#\｛1\leq k\leq n:\text｛dist｝（\log k，\alpha\Z+\beta）<\eps\｝&=\sum_{k=1}^{n}\#\{j\in\Z:\text{dist}（\log k，\alpha j+\beta）<\eps\}\\&=\sum_{j\in\Z}\#\{1\leqk\leqn:\eee^{alpha j+\beta-\eps}<k\\&\leq\sum_{j\in\Z}\#\{k\in\N:\eee^{\alpha j+\beta-\eps}\vee 1\leq\leq\eee|{\alfa j+\ beta+\ eps}\ wedge N\}。\结束{align*}右侧的总和是间隔$[eee^{alpha j+\beta-\eps}\vee 1，\，\eee^}\alpha j+\beta+\eps{\wedge n]$中的整数数（如果有一个，则为空$\eee^{\alpha j+\beta-\eps}>n$或$\eee ^{\alpha j+/beta+\eps{<1$）。因此，它的上边界为$\左（\eee^{\alpha j+\beta+\eps}\楔子n-\eee_{\alfa j+\ beta-\eps{\vee 1+1\右）_{+}$。因此，$$\#\｛1\leq k\leq n:\text｛dist｝（\log k，\alpha\Z+\beta）<\eps\｝\leq\sum_｛j\in\Z｝\left（\eee ^｛\alpha-j+\beta+\eps｝\wedge n-\eee ^｛\alpha-j+\beta-\eps｝\vee 1+1\right）_｛+｝。$$此外，\开始{align*}&\sum_{j\in\Z}\左\\&=\sum_{j\in\Z}\eee^{\alpha j+\beta+\eps}\ind_{{\alfa j+\ beta+\ varepsilon<0\}}+\sum_{j\in \Z}\ eee^}{\ alpha j+\ beta+\eps}\ind_{\{alpha j+\beta-\varepsilen<0,0\leq\alpha-j+\ beta+\varepssilon<log n\}}}\\&+\sum_{j\in\Z}n\ind_{{alpha-j+\beta-\varepsilon<0，\log n\leq\alpha-j+\beta+\varepsilon}\\&+\sum_{j\in\Z}\left（\eee^{\alpha j+\beta+\eps}-\eee ^{\alpha j+\beta-\eps{+1 \right）\\&+\sum_{j\in\Z}\left（n-\eee^{alpha-j+\beta-\eps}+1\right）_{+}\ind_{{alpha j+\beta-\varepsilon\geq 0，\log n\leq\alpha-j+\beta+\varepssilon\}}。\结束{align*}注意，第一个序列收敛，第二个序列最多包含一个和，因为我们假设$\varepsilon<\alpha/2$，第三个序列消失，因为$n$足够大。可以检查一下\开始{align*}\sum_{j\in\Z}\左（\eee^{\alpha j+\beta+\eps}-\eee ^{\alpha j+/\beta-\eps{+1右）\结束{align*}绝对常数$C（\alpha，\beta）$。此外，对于足够大的$n$，我们有\开始{align*}\sum_{j\in\Z}\left（n-\eee^{alpha-j+\beta-\eps}+1\right）_{+}\ind_{{alpha j+\beta-\varepsilon\geq 0，\log n\leq\alpha-j+\beta+\varepssilon\}}\leq n（1-\eee_{-2\eps{）+1。\结束{align*}将碎片放在一起会得到\eqref{proof_iii}。\结束{proof}\开始{证明}[定理证明\ref{theo:stirling_mode_further}（iv）]回忆一下符号$w_n=\theta\logn$和$x_n（k）=x_n，（k，\theta）=（k-w_n）/\sqrt{w_n}$。使用$r=4$的定理~\ref{theo:stirling_edgeworth}，我们得到\开始{multline*}\sqrt{2\pi w_n}\，\P（K_n（θ）=K）=eee^{-\frac12{x_n^2（K）}}\\\时间\左（1+\压裂{H_1（x_n（k），\末端｛多行*｝{在$1\leqk\leqn$.}中统一为$n\to\infty$现在让$k=\theta\logn+a$，其中$a=O（1）$作为$n\to\infty$，这样$x_n（k）=a/w_n^{1/2}$。我们有\开始{align*}H_1（x_n（k））&=A{11}（θ）\\H_2（x_n（k））&=A{21}（θ）+A{22}（σ）\压裂{A^2}{w_n}+o\左（压裂{1}{w_n}\右）\\H_3（x_n（k））&=A{31}（θ）\压裂{A}{w_n^{1/2}}+o\左（压裂{1}{w_n^{1/2]}\右）\\H_4（x_n（k））&=A_{41}（θ）+o（1），\结束{align*}其中$A{11}（θ）、\ldots、A{41}（\theta）$是$\widetilde{\chi_1}（0）、\widetelde{\ch_2}（O）、\widetilde}\chi_3}（0$）和$\widelde{\Ch_4}（0-）$中的一些多项式；请参阅备注~\ref{rem:H_i}。将这些表达式插入上面的渐近展开，并使用｛展开｝$\eee^y=1+y+y^2/2+o（y^2）$，作为$y\到0$，得到$$\sqrt{2\pi w_n}\，\P（K_n（θ）=K）=1-\左，$$哪里$$P_{θ}（a）：=\frac{1}{8}a^4+\左（a_{12}（θ）-\frac}1}{2}a_{11}（theta）\右）a^3+\左（a_{22}（\theta）-\frac{1{2}a_{21}（\tθ）\right）a^2+a_{31}（\theta）a+a_}41}（_theta）。$$现在我们写$k=\theta\logn+a^{ast}+g$，其中$a^{last}:=a{11}（\theta）=-\frac{\theta\ Gamma'（\theda）}{\Gamma（\tea）}-\frac 12$，得到\开始{align}\label{proof_iv1}\sqrt{2\pi w_n}\，\P（K_n（θ）=K）=1-\左（\frac{g^2-（a^{ast}）^2}{2}-a{21}（\theta）\右）\frac}{1}{w_n}+\压裂{P_{theta}（a^{ast}+g）}{w_n^2}+o\左（压裂{1}{log^2n}\右）。\结束{对齐}我们感兴趣的是，$g$可以是$\lfloor u_n^{\ast}（\theta）\rfloor-u_n^}（\t）=：g_n^{\trime}$或$\lceil u_n^{\t}（\ theta）\rceil-u_n ^{\tast}。｛设$M$是自然数$n$的集合，$\｛u_n^｛\ast｝（θ）\｝<1/2＜\｛u_｛n+1｝^｛\ast｝（θ）\｝$。｝注意$M$有无限多个元素因为$\log n\到\infty$和$\log（n+1）-到0$。{在证明的其余部分中，我们总是考虑M$.}中的$n。由于$u^{ast}_{n+1}（θ）-u^{asp}_n（θa）=O（n^{-1}）$，我们有\开始{align*}g_n^{\prime}=-1/2+O（n^{-1}），\四线组g_n^{\prime\prime}=1/2+O（n^{-1}）。\结束{align*}将$k=\lfloor u_n^{\ast}（\theta）\rfloor$放入\eqref{proof_iv1}会得到\开始{align*}&\sqrt{2\pi w_n}\，\P（K_n（\theta）=\lfloor u_n^{\ast}（\tea）\rfloor）\\&=1-\left（\frac{（g_n^{\prime}）^2-（a^{\ast}）|2}{2}-a_{21}（\theta）\right）\frac}1}{w_n}+\frac{P{\theta}\\&=1-\左（\frac{1-4（a^{\ast}）^2}{8}-a{21}（\theta）\右）\frac}1}{w_n}+\frac[P_{\theta}（a^}-1/2）}{w_n^2}+o\左（\frac{1}{log^2n}\右）。\结束{align*}类似地，将$k=\lceil u_n^{\ast}（\theta）\rceil$表示\开始{align*}\sqrt{2\pi w_n}\，\P（K_n（\theta）=\lceil u_n^{\ast}（\tea）\rceil）=1-\左（\frac{1-4（a^{\ast}）^2}{8}-a{21}（\theta）\right）\frac}1}{w_n}+\frac{P{\theta}。\结束{align*}对于足够大的$n$，根据符号$$s^{ast}（θ）：=P_{theta}（a^{ast{+1/2）-P_{theta}（a ^{astneneneep-1/2）。$$在下文中，我们将显示$s^{ast}（θ）>0$，因此$u_n（theta）=\lceil u_n^{ast{（theata）\rceil$，而$nint（u_{n}（theta））=\lfloor u_n^}（theda）\rfloor$，所以$u_{n}。\sloppy回顾了polygamma函数$\psi^{（m）}（\theta）=（\log\Gamma（\ttheta））^{$$s^{\ast}（θ）=\frac{\theta^2}{2}\左（2\psi^{（1）}（\theta）+\theta\psi^}（2）}。$$使用广为人知的公式计算多囊膜函数[6.4.10]{Abramowitz+Stegun:1964}$$\psi ^｛（m）｝（θ）=（\log\Gamma（θ））^｛（m+1）｝=（-1）^｛m+1｝m！\sum_{k=0}^{infty}\frac{1}{（\theta+k）^{m+1}}，\tquad-\theta\notin\0，\tQuad-m\geq 1，$$我们最终获得$$s^{ast}（θ）=\tata^2\sum_{k=1}^{infty}\frac{k}{（θ+k）^3}，\quad\theta>0，$$对于所有$\theta>0$，产生$s^{\tast}（\theta）$的正。第（iv）部分以及整个定理的证明已经完成。\结束{proof}\开始{remark}对于$\theta=1$，我们有$s^*（1）=\zeta（2）-\zeta。事实上，在特殊情况下，$\theta=1$part（iv）可以直接从~\eqref{eq:hammersley_mode_1}推导出来。\结束｛备注｝\亚历山大·马利尼奇的工作得到了亚历山大·冯·洪堡基金会洪堡研究奖学金的支持。亨宁·苏尔兹巴赫（Henning Sulzbach）的工作得到了亚历山大·冯·洪堡基金会（Alexander von Humboldt Foundation）Feodor Lynen研究奖学金的支持。\书目样式{普通}\开始{书目}{25}\提供命令{\natexlab}[1]{#1}\提供命令{\url}[1]{\texttt{#1}}\expandafter\ifx\csname urlstyle\endcsname\relax后展开\提供命令{\doi}[1]{doi:#1}\else\提供命令｛\doi｝｛doi:\begingroup\urlstyle｛rm｝\Url｝\fi\bibitem[阿布拉莫维茨和斯特根（1964）]{阿布拉莫威茨+斯特根：1964}M.Abramowitz和I.Stegun，\newblock\emph{带公式、图形和国家标准应用局第55卷数学表}数学系列，1964年。\bibitem[宾厄姆（Bingham）（1988）]{宾厄姆_塔博利安}N.~H.宾厄姆，\{J}-akimovski和{K}-aramata-{S}疲劳的新块Tauberian定理方法，\newblock\emph{Mathematika}\textbf{35}（1988），216--224。\bibitem[Cramer（2000）]{Cramer}E.克拉默，\记录模型中样本大小的新块渐近估计，\newblock\emph{统计论文}\textbf{41}（2000），159--171。\bibitem[杜勒特（2008）]{杜勒特-DNA}R.Durrett，\newblock\emph{DNA序列进化的概率模型}，\newblock概率及其应用，Springer，第二版，2008\bibitem[Erd{\“o}s（1953）]{erdoes_on_hammersley}P.Erd\H｛o｝s等人，\newblock关于{H}ammersley的一个猜想，\newblock\emph{J.London Math.Soc.}\textbf{28}（1953），232-236。\bibitem[Ewens and Tavar（1997）]{Ewens_tavare}参考文献W.Ewens和S.Tavar，\新块多元{E}wens分布。\newblock In 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