\文档类[12pt，reqno]{article}\usepackage[用户名]{颜色}\使用包{amssymb}\使用包{graphicx}\使用包{amscd}\usepackage[colorinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色{webbrown}{rgb}{.6,0,0}\使用包{color}\使用包{fullpage}\使用包{float}\使用包{psfig}\usepackage{graphics，amsmath，amssymb}使用包\使用包{amsthm}\使用包{amsfonts}\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\evensidemargin}{.1in}\集长度｛\topmargin｝｛-.1in｝\设置长度{\textheight}{8.4in}\新命令{\seqnum}[1]{\href{http://oeis.org/#1}{\下划线{#1}}\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\leavevmode\epsffile｛logo129.eps｝\结束{中心}\理论风格{普通}\新定理{定理}{定理{\新定理｛推论｝〔定理〕｛推论｝\新定理{引理}[定理]{引言}\新定理{命题}[定理]{命题\理论风格{定义}\新定理{definition}[定理]{definition}\新定理{example}[定理]{example}\新定理｛猜想｝〔定理〕｛猜想｝\理论风格{remark}\新定理{remark}[定理]{remark}\开始{居中}\vskip 1cm{\LARGE\bf中的交替求和\\\vskip.1英寸细野多项式三角形}\vskip 1cm\大型里戈贝托·弗勒兹\\数学与计算机科学系\\城堡\\南卡罗来纳州查尔斯顿29409\\美国\\\链接{mailto:rigo.florez@citadel.edu}{\trigo.florez@citadel.edu} \\\ \\罗宾逊·A·希吉塔\\马特姆研究所\\安提奥基亚大学\\麦德尔\\哥伦比亚\\\链接{mailto:robinharra@yahoo.es}{\t罗宾哈拉@yahoo.es}\\\ \\安塔拉·穆克吉\\数学与计算机科学系\\城堡\\南卡罗来纳州查尔斯顿29409\\美国\\\链接{mailto:antara.mukherjee@citadel.edu}{\tantara.mukherjee@citadel.edu}\结束{中心}\newcommand\BD{\mathrm{B}}\newcommand\SD{\mathrm{S}}\vskip.2英寸\开始｛摘要｝\emph{Hosoya多项式三角形}是多项式，其中每个条目是两个多项式的乘积。这个这个三角形的几何学是研究代数的好工具多项式乘积的性质。特别是，我们发现多项式乘积交替和的公式，例如斐波那契多项式、切比雪夫多项式、Morgan-Voyce多项式，卢卡斯多项式、佩尔多项式、费马多项式、雅各布斯塔尔多项式和其他常见的多项式序列。\结束{抽象}\章节{引言}广义斐波那契多项式是一个推广斐波那奇数的递归序列。细亚三角由一组三角形数字组成其中每个条目都是两个斐波那契数的乘积（参见表\ref{tabla4}）。如果在这个三角形中，我们用广义斐波那契多项式代替斐波那奇数，那么我们得到了Hosoya多项式三角形（参见表{tabla_equivalent}）。新三角形为学习代数和多项式递归序列乘积的组合性质。在这里我们使用Hosoya多项式三角形的行为分析广义斐波那契多项式乘积的交替和。特别是，我们分析交替和斐波那契、卢卡斯和其他著名多项式序列的乘积。广义斐波那契多项式的一些已知例子是斐波那奇多项式、切比雪夫多项式、，Morgan-Voyce多项式、Lucas多项式、Pell多项式、Jacobsthal多项式和Fermat多项式。由于Hosoya多项式三角形的条目是两个广义斐波那契多项式的乘积，因此三角形根据其条目所具有的多项式类型而有所不同（请参见表\ref｛tablea1｝、\ref｛tablea_eequival｝和\ref｛tablea2｝）。所有这些多项式都有使用Binet公式的表示。在本文中，我们找到了$n$th中项的交替和的两个封闭公式Hosoya多项式三角形的行。广义斐波那契多项式有两个Binet公式，根据每个多项式的Binet表示，我们得到了其交替和的公式。例如，如果我们考虑Hosoya多项式三角形第$n$th行的条目是斐波那契数的乘积（参见表{tabla4}），然后\[法语_1-F_{n-1}F_{2} +F（+F）_{n-1}F_{2}-\cdots+F_{1} F类_{n} =F_{n+1}评估这里发现的整数的交替和，我们得到了几个众所周知的序列（见表\ref｛Tablealternatefibonacci｝）。这些序列可以是例如，在Sloane\site{Sloane}中找到。\第{节序言和示例}\label{Preliminaries}在本节中，我们给出了一些示例，介绍了符号，以及一些本文将使用的定义。一些它们是众所周知的；然而，我们更愿意在这里重述它们避免含糊不清。\分段{广义斐波那契多项式和广义Hosoya多项式}文献中有几种广义斐波那契多项式的定义。然而，我们引入的定义这里更简单，涵盖了其他定义。广义斐波那契多项式序列由递归关系定义\开始{方程式}\标签{斐波那契；通用}G_0（x）=p_0（x），\；G_1（x）=p_1（x），\；\文本{和}\；G_{n}（x）=d（x）G_{n-1}\结束{方程式}其中$p_0（x）$、$p_1（x。例如，如果我们取$p_0（x）=1$，$p_1（x）=x$，$d（x）=x$，以及$g（x）=1$，我们就得到了正则斐波那契多项式序列。也就是说，斐波那契多项式序列$F_n（x）$由递归关系定义\[F_0（x）=1，\；F_1（x设$x=1$，并为$p_0（x）$、$p_1（x）$、$d（x）$和$g（x）$选择正确的值，广义斐波那契多项式序列产生三个经典的数字序列，斐波那契序列、卢卡斯序列和广义斐波那奇序列。在表{familirfibonacci}中，有更常见的广义斐波那契多项式示例（参见{Pell，Fermat，koshy}）。Hoggatt和Bicknell-Johnson证明Schechter多项式是广义Fibonacci多项式的另一个例子。我们现在给出一些多项式的形式化定义。第一类\emph{切比雪夫多项式}$T_n（x）$是一组正交多项式，定义为切比雪夫微分方程的解。此多项式可定义为轮廓包围原点并沿逆时针方向移动的轮廓积分，\[显示样式{T_n（x）=\frac{1}{4\pii}\point\frac{（1-T^2）T^{-n-1}}{1-2tz+T^2}dt.}\]第一类切比雪夫多项式满足广义斐波那契多项式序列中给出的递推关系。事实上，\[T_0（x）=1，\qquad T_1（x）=x，\quad\text{和}例如，\[\开始{tabler}{lll}$T_2（x）=2x^2-1$；&$T_3（x）=4x^3-3x$&$T_4（x）=8x^4-8x^2+1$&$T_5（x）=16x^5-20x^3+5x$\结束｛表格｝\]Morgan-Voyce\cite{morganvoyce}引入了两类多项式序列。这里我们使用其中一个，我们还使用了Andr’e-Jeannin引证{Richard2，Richard1，MorganRichard}给出的Morgan-Voyce多项式的广义版本。我们注意到Morgan-Voyce多项式在电网络研究中是众所周知的（引用[pp.~480-495]{koshy}和{lahr，morganvoyce，swamy}）。\emph{Morgan-Voyce多项式}递归定义为\[\开始{tabler}{lll}$B_n（x）=（x+2）B_{n-1}\\$C_n（x）=（x+2）C_{n-1}（x\\\结束{表格}\]对于$n\ge 2$，其中$B_0（x）=1$，$C_0（x）=2$，$B_1（x。例如，\[\开始{tabler}{lll}$B_2（x）=x^2+4x+3$；&$B_3（x）=x^3+6x^2+10x+4$&$B_4（x）=x^4+8x^3+21x^2+20x+5$\\&&\\$C_2（x）=x^2+4x+2$；&$C_3（x）=x^3+6x^2+9x+2$&$C_4（x）=x^4+8x^3+20x^2+16x+2$\\\结束{表格}\]\开始{表格}[！h]\开始{center}\缩放框{0.8}{\开始{tablar}{llll}\hline多项式&初始值&初始值&递归公式\\&$G_0（x）=p_0（x）$&$G_1（x斐波那契&$1$&$x$&$F{n}（x）=xF{n-1}（x）+F{n-2}（x$）\\卢卡斯&$2$&$x$&$D_n（x）=xD_{n-1}（xPell&$1$&$2x$&$P_n（x）=2x P_{n-1}（x\\佩尔·卢卡斯&$2$&$2x$&$Q_n（x）=2x Q_{n-1}（x\\费马&$1$&$3x$&$\Phi_n（x）=3x\Phi_{n-1}（x\\费马-卢卡斯&$2$&$3x$&$\vartheta_n（x）=3x\vartheta{n-1}（x$\\切比雪夫第一类&$1$&$x$&$T_n（x）=2xT_{n-1}（x）-T_{n-2}（x）$\\切比雪夫第二类&$1$&$2x$&$U_n（x）=2xU_{n-1}（x\\雅各布斯塔尔&$1$&$1$&$J_n（x）=J_{n-1}（x\\雅各布斯-卢卡斯&$2$&$1$&$j_n（x）=j_{n-1}（x\\摩根-沃伊斯&$1$&$x+2$&$B_n（x）=（x+2）B_{n-1}\\Morgan-Voyce&$2$&$x+2$&$C_n（x）=（x+2）C_{n-1}（x\结束{表格}}\结束{中心}\caption｛一些广义斐波那契多项式的递归关系。｝\label｛familyibonacci｝\结束{表格}\分段{细叶多项式和细叶多项式三角形}我们现在给出了细叶多项式序列和细叶多项式三角形的精确定义。定义了\emph{Hosoya多项式序列}$\left\{H（r，k）\right\}_{r，k\ge0}$使用双重递归\【H（r，k）=δ（x）H（r-1，k）+γ（x）H（r-2，k）】和\【H（r，k）=δ（x）H（r-1，k-1）+γ（x）H（r-2，k-2）】具有初始条件\[H（0,0）=p_0（x）^2；\quad H（1,0）=p _0（x）p_1（x其中$r>1$和$0\le k\le r-1$，以及$\delta（x）、\gamma（x）$、$p_0（x。此序列产生\emph{Hosoya多项式三角形}，其中$r${th}行的位置$k$中的条目（从左到右）等于$H（r，k）$（参见表\ref{tabla1}）。\开始{表格}[！h]\开始{center}\addtolength{\tabcolsep}{-3pt}\scalebox{.9}{\开始{tabler}{ccccccccc}&&&&&$H（0,0）美元&&&&&\\&&&&$H（1,0）$和$H（1.1）$&&&&\\&&&$H（2,0）$&$H（2.1）$&$H（2,2）$&&&\\&&$H（3.0）$和$H（3.1）$和&$H（3.2）$和$H（3.3）$&&\\&$H（4.0）$&&$H（4.1）$&$H&\\$H（5,0）$&&$H（5.1）$&$H\\\结束{表格}}\结束{中心}\标题{Hosoya多项式三角形。}\label{tabla1}\结束{表格}命题\ref｛lemma0｝是\cite[（15.4），p.~188]｛koshy｝和\cite[命题1]｛florezjunesproperty｝的推广。命题ref{lemma0}的证明与命题1{florezjunesproperty}对整数的证明有一些相似之处。在命题\ref{lemma0}中，我们证明了表\ref{tabla1}等于表\ref}tabla_equivalent}。这里值得一提的是，在表\ref{tabla_equivalent}中，为了简洁起见，我们使用了符号$G_k$，而不是$G_k（x）$。然而，我们对命题\ref{lemma0}的特殊情况感兴趣，我们称之为推论\ref{cor0}、\ref{cor1}和\ref{科尔2}。\开始{表格}[！h]\开始{center}\addtolength{\tabcolsep}{-1pt}\scalebox{.9}{\开始{tabler}{ccccccccc}&&&&&$G_0\，G_0$&&&&&\\&&&&$G_0\，G_1$&$G_1\，G_0$&&&&\\&&&$G_0\，G_2$&&$G_1\，G_1$&$G_2\，G_0$&&&\\&&$G_0\，G_3$&&$G_1\，G_2$&$G_2 \，G_1$&$G _3\，G_0$&&\\&$G_0\，G_4$&&$G_1\，G_3$&&$G_2 \，G_2$&$G_3\，G_1$&$G_4\，G_0$&\\\结束{表格}}\结束{中心}\标题{$H（r，k）=G_k（x）G_{r-k}（x）$.}\标签｛tabla_evalential｝\结束{表格}在本文中，我们感兴趣的是Hosoya多项式三角形的点与广义Fibonacci多项式乘积之间的关系。为了建立这种关系，我们需要$\delta（x）=d（x）$和$\gamma（x）=g。因此，对于本文的其余部分，我们假设$\delta（x）=d（x）$和$\gamma（x）=g（x）$。\开始{proposition}\label{lemma0}$H（r，k）=G_k（x）G_{r-k}（x）$。\结束{命题}\开始{proof}我们用数学归纳法证明了这个命题。设$E（k）$是$H（r，k）=G_k（x）G_{r-k}（x）$for$k\in\mathbb{Z}{\ge0}$的语句，以及一些固定的$r\gek$。为了证明基本步骤，我们在[Proposition 1]{florezjunesproperty}的证明中用广义斐波那契多项式替换广义Hosoya三角形的项，以获得$H（r，0）=p_0（x）G_r（x）$和$H（r，1）=p_1（x。注意，这里$p_0（x）$是多项式$G_0（x）$，$p_1（x。现在对于归纳步骤，我们假设$E（k-1）$和$E（k）$对于$k\ge 2$是真的，并证明$E（k+1）$是真。假设$r$是一个非负整数，这样$r\ge-k$，因为$E（k-1）$和$E（k）$都是true，我们可以写，\[H（r-2，k-1）=G_{k-1}（x）G_{r-k1}这和递归关系$H（r，k+1）=\delta（x）H（r-1，k）+\gamma（x）H（r-2，k-1）$意味着\开始{eqnarray*}H（r，k+1）&=&\δ\\&=&G_｛r-k-1｝（x）（\delta（x）G_k（x）+\gamma（x）G_｛k-1｝（x））\\&=&G{r-k-1}（x）G{k+1}（x）。\结束{eqnarray*}因此，$E（k+1）$为真。这证明了这个命题。\结束{proof}我们证明了推论ref{cor0}，推论ref}cor1}和ref{cor2}的证明是相似的，我们省略了它们。在推论\ref{cor0}、\ref{cor1}和\ref{cor2}中使用的符号在表\ref{familirfibonacci}中定义。我们记得，$\delta（x）$和$\gamma（x）美元代表用于定义$H（r，k）$的多项式，$p_0（x。\开始｛必然结果｝\标签｛cor0｝如果$p_0（x）=1$和$p_1（x）=delta（x）$，则对于$r，k\ge 0$，\[H（r，k）=\开始{cases}F_k（x）F_{r-k}（x），&\text{if}\gamma（x\\U_k（x）U_{r-k}（x），&\text{if}\gamma（x\\ B_k（x）B_{r-k}（x），&\text{if}\gamma（x\\P_k（x）P_{r-k}（x），&\text{if}\gamma（x\\J_k（x）J_{r-k}（x），&\text{if}\gamma（x。\结束{cases}\]\结束{推论}\开始{证明}我们只证明第一种情况的推论；其他情况的证明是类似的，我们省略了它们的证明。假设$p_0（x）=1$，$p_1（x。我们证明了$H（r，k）=F{k}（x）F{r-k}。如果$G_n（x）=F_n。\结束{proof}\开始{推论}\label{cor1}如果$p_0（x）=2$和$p_1（x）=delta（x）$，则对于$r，k\ge 0$，\[H（r，k）=\开始{cases}Q_k（x）Q_{r-k}（x），&\text{if}\gamma（x\\C_k（x）C_{r-k}（x），&\text{if}\gamma（x\\ D_k（x）D_{r-k}（x），&\text{if}\gamma（x\\jk（x）j{r-k}（x），&\text{if}\gamma（x。\结束{cases}\]\结束{推论}\开始{推论}\label{cor2}如果$r，k\ge 0$，那么\[H（r，k）=\开始{cases}\Phi_k（x）\Phi_{r-k}（x），&\text{if}p_0（x\\T_k（x）T_{r-k}（x），&\text{if}p_0（x\\\vartheta_k（x）\vartheta{r-k}（x），&\text{if}p_0（x。\结束{cases}\]\结束{推论}根据上述推论，我们为表{familirfibonacci}中提到的每个特定多项式获得了Hosoya多项式三角形。例如，使用推论{cor0}和命题{lemma0}的第一个结果，我们得到了Hosoya多项式三角形，其中条目$H（r，k）$等于$F{k}（x）F{r-k}。类似地，我们可以得到Hosoya多项式带有条目$H（r，k）$的三角形，如推论\ref{cor0}、\ref{cor1}和\ref{car2}中所述。\开始{表格}[！h]\小\开始｛center｝\addtolength｛\tabcolsep｝｛-3pt｝\缩放框｛.9｝{\开始{tabler}{ccccccccc}&&&&& $1$ &&&&&\\&&&&$x$和$x$&&&&\\&&&$x^2+1$&&$x^2$&&$x^2+1$&&&\\&&$x^3+2x$和$x^3+x$和&$x^3+x$&&\\&$x^4+3x^2+1$&$x（x^3+2x）$&$（x^2+1）^2$&$x（x^3+2x）$&$x^4+3x^2+1$&\\\结束{表格}}\结束{中心}\标题{Hosoya多项式三角形，其中$H（r，k）=F_{k}（x）F_{r-k}（x）$.}\标签{tabla2}\结束{表格}\第{节{Hosoya多项式三角形行中的交替点和}本节首先介绍一些交替求和的数值示例。接下来我们讨论了在证明本文主要结果中起重要作用的Binet公式。我们最后在本节末尾陈述并证明了主要结果。\小节{示例}如果我们在Table\ref{tabla2}中设置$x=1$，那么我们得到了正规的Hosoya三角形，请参见Table\ref{tabla4}。注意，由于三角形的对称性，该三角形奇数行中所有点的交替和为零。然而，偶数行中所有点的交替和不满足此特性。例如，如果我们取表\ref{tabla4}，结果是$F_{3}$、$F_}5}$和分别为$F_{7}$（参见下面的示例）。\[2-1+2=3=F{3}；四5-3+4-3+5=8=F{5}；五13-8+10-9+10-8+13=21=F{7}从这个例子和表{tabla4}中我们可以看到\[\displaystyle｛\sum_｛i=0｝^｛2t｝（-1）^｛i｝H（2t，i）=\sum_｛i=0｝^｛2t｝（-1）^｛i｝F_｛i｝\cdot F_｛2t-i｝=F_｛2t+1｝｝\开始{表格}[！h]\开始{center}\addtolength{\tabcolsep}{-3pt}\scalebox{.9}{\开始{tabler}{ccccccccc}&&&&&& 1 &&&&&&\\&&&&& 1 && 1 &&&&&\\&&&& 2 && 1 && 2 &&&&\\&&& 3 && 2 && 2 && 3 &&&\\&& 5 && 3 && 4 && 3 && 5 &&\\& 8 && 5 && 6 && 6 && 5 && 8 &\\13 && 8 && 10 && 9 && 10 && 8 && 13 \\\结束{表格}}\结束{中心}\标题{Hosoya三角。}\label{tabla4}\结束{表格}我们现在给出两个例子，将这个事实推广到多项式。如果我们取$H（r，k）=F{k}（x）F{r-k}。以下是表\ref｛tablea2｝第四行上所有点的交替和。\[\开始{tabler}{ll}$\显示样式{\sum_{i=0}^{4}（-1）^{i}H（4，i）}$&=$\显示类型{\sum_{i=0}^{4}（-1）^{i}F_{i}（x）\cdot F_{4-i}\\&=$（x^4+3x^2+1）-$\\&=$x^4+4x^2+3$\\&=$\显示样式{\frac{F{5}（x）}{F{1}（x）}}$\结束｛表格｝\]如果取$H（r，k）=B_{k}（x）B_{r-k}\[\开始{tabler}{ll}$\显示样式{\sum_{i=0}^{4}（-1）^{i}H（4，i）}$&=$\sum_{i=0.}^{4]\\&=$x^4+8x^3+20x^2+16x+5$\\&=$\显示样式{\frac{B_{5}（x）}{B_}1}（x）}}$\结束{表格}\]这些示例将在推论\ref{special；results}中说明。请注意，此属性并不适用于每个$H（r，k）$选项。例如，如果我们$H（r，k）=T_{k}（x）T_{r-k}我们在结论\ref{special；results2}中分析了这个案例。\分段{比奈公式}满足Binet公式（ref{bineformulados}）的广义Fibonacci多项式被称为\emph{第一类}，如果它满足Binet方程（\ref{bineformulauno}），则它是\emph}第二类}。Horadam和Andr’e-Jeannin对这些多项式进行了详细的研究。以下是上述Binet公式，\开始{方程式}\label{bineformulados}L_n（x）=\压裂{a^{n}（x，\结束{方程式}\开始{方程式}\标签{bineformulauno}R_ n（x）=\frac{a^{n+1}（x）-b^{n+1}（x）}{a（x）-b（x）}，\结束{方程式}其中，$a（x）+b（x）=d（x）$和$a（x）b（x）=-g（x）$。如果$d^2（x）+4g（x）\geq0$，那么我们有$a（x）-b（x）=\sqrt{d^2。具有Binet表示形式$R_n（x）$或$L_n（x）$的多项式序列仅依赖于定义在广义斐波那契多项式上的$d（x）$g（x）$1。我们说，第一（第二）类广义斐波那契序列与第二（第一）类序列等价，如果它们的递归序列由相同的多项式$d（x）$和$g（x）$。注意，两个等价多项式在其Binet表示中具有相同的$a（x）$和$b（x）$。例如，卢卡斯多项式是第一类，而斐波那契多项式是第二类。卢卡斯多项式和斐波那契多项式是等价的，因为$d（x）=x$和$g（x）=1$（参见表{familirfibonacci}）。注意，在它们的Binet表示中，它们都有$a（x）=（x+\sqrt{x^2+4}）/2$和$b（x）=（x-\sqrt}x^2+4}）/2$。我们使用引用{Richard}和引用{horadam-synthesis}中的结果将表{familiarfibonachi}中所有多项式分类为等价多项式对（参见表{等价}）。表\ref{等价}中最左边的多项式是第一种类型，它们的等价多项式位于同一行的第三列。在表\ref{等价}的最后两列中，我们可以看到等价多项式对共享的$a（x）$和$b（x）$。很容易获得表{familirfibonacci}中给出的序列的特征方程，方程的根是$a（x）$和$b（x）$。\开始{表格}[！h]\开始{center}\缩放框{0.8}{\开始｛表格｝｛|lc|lc|l|l|｝\line多项式&$L_n（x）$与多项式&$R_n（x）$&$a（x）$&$b（x）美元\\第一种类型&&第二种类型&&\\hline\hline\noalign{\smallskip}卢卡斯&$D_n（x）$&Fibonacci&$F_n（x）$&$（x+\sqrt{x^2+4}）/2$&$Pell-Lucas&$Q_n（x）$&Pell&$P_n（x）$&$x+\sqrt{x^2+1}$&$x-\sqrt}$\\Fermat-Lucas&$\vartheta_n（x）$&Fermat&$\Phi_n（x）$&$（3x+\sqrt{9x^2-8}）/2$&$\\切比雪夫第一类&$T_n（x）$&切比雪夫第二类&$U_n（x）$&$x+\sqrt{x^2-1}$&$x-\sqrt}$\\雅各布斯塔尔-卢卡斯和$j_n（x）$和雅各布斯塔尔和$j_n（x）$和$（1+\sqrt{1+8x}）/2$&$（1-\sqrt}1+8x{）/2$\\Morgan Voyce&$C_n（x）$&Morgan Voyce&$B_n（x）$&$（x+2+\sqrt｛x^2+4x｝）/2$&$（x+2-\sqrt｛x^2+4x｝）/2$\\hline\结束{表格}}\结束{中心}\标题{$R_n（x）$等价于$L_n（x）$.}\标签{等价}\结束{表格}\小节{主要结果}\begin{引理}\标签{equivalent1}广义斐波那契多项式序列的等价序列总是存在的。\结束{引理}\开始{proof}在不损失一般性的情况下，我们假设$G_n（x）$是第一类广义斐波那契多项式序列。从Binet公式（\ref{bineformulados}）我们知道有$a（x）$和$b（x）$a（x）+b（x，我们有$a（x）-b（x）=\sqrt{d^2（x）+4g（x）}$。很容易看出，$a（x）$和$b（x）@产生了第二类多项式。\结束{proof}\开始{引理}\label{for；TFG；and；TLucasG}如果$G_k（x）$是满足（ref{bineformulauno}）中给出的Binet公式的广义斐波那契多项式，那么\[\sum_{k=0}^{\infty}G_{k}（x）t^{k}=\frac{1}{（1-a（x）t）（1-b（x）t）}.\]\结束{引理}\开始{proof}设$f（t，x）$是$\sum_{k=0}^{\infty}G_{k}（x）t^{k}$。由于序列$G_n（x）$满足（ref{bineformulauno}）中给出的Binet公式，$G_n（x）=\left[a^｛n+1｝（x）-b^｛n+1｝（x）\right]/\left[a（x）-b（x）\right]$。因此，\开始{方程式}\标记{方程式thm31}f（t，x）=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a^{k+1}（x）-b^{k+1}（x）}{a（x）/b（x）}t^{k}。\结束{方程式}已知$\sum_{k=0}^{\infty}\alpha t^k=\alpha/（1-t）$。此函数和函数$a（x）$和$b（x）美元意味着\[\sum_{k=0}^{infty}a（x）\左（a（x）t\右）^k=\frac{a（x\求和{k=0}^{\infty}b（x）\左（b（x）t\右）^k=\frac{b（x。\]因此，这两个生成函数和（ref{equationthm31}）意味着\[f（t，x）=\frac{1}{a（x）-b（x）}\sum_{k=0}^{infty}\左（a^{k+1}（x，x）-b^{k+1}（x）\右）t^{k}=\frac{1}{a（x）-b。\]因此，简化我们得到$f（t，x）=1/\左[（1-a（x）t）（1-b（x）t）\右]$\结束{proof}\开始{定理}\标签{TFG}如果$G_n（x）$是满足（ref{bineformulauno}）中给出的Binet公式的广义斐波那契多项式，那么\[\sum_{k=0}^{r}（-1）^k H（r，k）=\开始{cases}G_{r+1}（x）/G_1（x），&\text{if}r\text{is偶数；}\\0，&&text｛if｝r\text｛为奇数。｝\结束{cases}\]\结束{定理}\如果$r$是奇数，通过Hosoya多项式三角形的对称性，很容易看出$\sum_{k=0}^{r}（-1）^kG_k（x）G_{r-k}（x）=0$。为了证明$r$是偶数的情况，我们使用了生成函数。设$f（t，x）$是$\sum_{k=0}^{\infty}G_{k}（x）t^{k}$。由于$G_k（x）$满足（\ref{bineformulauno}）中给出的Binet公式，通过引理{for；TFG；和；TLucasG}，我们得到$f（t，x）$等于$1/\left[（1-a（x）t）（1-b（x）t）\right]$。因此，\开始{eqnarray*}f（t，x）-f（-t，x）&=&\压裂{1}{（1-a（x）t）（1-b（x）t）}-\压裂{1}{\\&=&\压裂{2t（a（x）+b（x））}{（1-a（x\\\结束｛eqnarray*｝简化我们的工作\开始{eqnarray*}f（t，x）-f（-t，x）&=&2（a（x）+b（x））tf（t，x）f（-t、x）\\&=&\压裂{2（a^2（x）-b^2（x））}{a（x）-b（x）}tf（t，x）f（-t，x）\\&=&2G_1（x）tf（t，x）f（-t，x）\n数字\\&=&2G_1（x）t\left（\sum_{k=0}^{infty}G_{k}（x，t^{k}\right）\ left（\sum_{k=0.}^{infty}G_{k}（x）（-t）^{k{right）\\\结束{eqnarray*}因此，\开始｛方程式｝\标签｛ig1｝f（t，x）-f（-t，x）=2G_1（x）\sum_{r=0}^{\infty}\左（\sum__{k=0}^{r}（-1）^{r-k}G{k}（x）G{r-kneneneep（x）\right）t^{r+1}。\结束{方程式}我们注意到$f（t，x）-f（-t，x）$也等于\[\sum_{j=0}^{\infty}G_{j}（x）t^{j}-\sum_{j=0.}^{\finfty{G_{j}（x）（-t）^{j{=\sum_}j=0{{\inffy}（1-（-1）^j。\]从最后一个等式的右侧和（\ref{ig1}）的右侧，我们得到了\[\sum_{r=0}^{\infty}2G_1（x）\left（\sum_{k=0}^{r}（-1）^{r-k}G_{k}（x）G_{r-k{（x。\]众所周知，如果两个生成函数的相应系数$t^i$对于所有$i$都相等，则它们是相等的。我们只对$r$为偶数的情况感兴趣。因此，我们分析了上面最后一个等式中$r+1=2j+1$的情况。因此，如果$r+1=2j+1$，那么$$2G_1（x）\sum_{k=0}^{r}（-1）^{r-k}G_{k}（x，$$简化，$$\和{k=0}^{r}（-1）。$$由于$H（r，k）=G{k}（x）G{r-k}。\结束{proof}在推论\ref{special；results}和\ref{pecial；results2}中使用的符号在表\ref{familirfibonacci}和表\ref{equivalent}中定义。\如果$t$是一个正整数，那么$\sum_{i=0}^{2t+1}（-1）^{i}H（2t+1，i）=0$，并且$\显示样式{\sum_{i=0}^{2t}（-1）^{i}H（2t，i）}=\begin{cases}F{2t+1}（x）/F{1}（x），&\text{if}H（2t，i）=F{i}（x:F{2t-i}）（x）\\B_{2t+1}（x）/B_{1}（x），&\text{if}H（2t，i）=B_{i}\\P_{2t+1}（x）/P_{1}（x），&\text{if}H（2t，i）=P_{i}\\J{2t+1}（x）/J{1}（x），&\text{if}H（2t，i）=J{i}（xJ{2t-i}）（x）\\\Phi{2t+1}（x）/\Phi{1}\\U_｛2t+1｝（x）/U_｛1｝（x），&&\text｛if｝H（2t，i）=U_｛i｝（x）U_｛2t-i｝（x）。\结束{cases}$\结束{推论}\开始{证明}我们只证明了$H（2t，i）=F_i（x）F{2t-i}（x）$的推论，其他五种情况的证明是类似的。因此，省略它们的证明。从表\ref{等价}中我们知道$F_n（x）$是第二种类型，因此它满足（\ref{bineformulauno}）其中$a（x）=（x+\sqrt{x^2+4}）/{2}$和$b（x）=（x-\sqrt}x^2+4}）/{2}$。带有$G_k（x）=F_k（x）$的这个和定理{TFG}意味着\[\sum_{i=0}^{2t}（-1）^{i}H（2t，i）=\frac{F{2t+1}（x）}{F{1}（x）}。\]这证明了推论。\结束{proof}\开始｛定理｝\标签｛TLucasG｝如果$G_n（x）$是满足Binet公式（\ref{bineformulados}）的广义Fibonacci多项式，那么对于$r\ge 2$\[\sum_{k=0}^{r}（-1）^k H（r，k）=\开始{cases}\dfrac{（G0（x））^2R{r+1}（x）-（G_1（x\\0; & \text{if}r\text{是奇数。}\结束{cases}\]其中$R_{n}（x）$等价于$G_n（x）$。\结束{定理}\如果$r$是奇数，通过Hosoya多项式三角形的对称性，很容易看出$\sum_{k=0}^{r}（-1）^kG_k（x）G_{r-k}（x）=0$。为了证明$r$是偶数的情况，我们使用了生成函数。我们假设$G_n（x）$是一个满足Binet公式（ref{bineformulados}）且设$R_n（x）的广义Fibonacci多项式序列$是其满足Binet公式的多项式等价序列（\ref{bineformulauno}）。设$g（t，x）$为$\sum_{k=0}^{\infty}g_{k}（x）t^{k}$$f（t，x）$是$\sum_{k=0}^{infty}R_k（x）t^k$。由于$R_n（x）$满足（\ref｛bineformulauno｝），通过引理\ref｛for；TFG；and；TLucasG｝，我们得到$f（t，x）$等于$1/\left[（1-a（x）t）（1-b（x）t）\right]$由于$G_n（x）$满足（\ref{bineformulados}），取$\alpha=1$，我们得到\开始{eqnarray*}g（t，x）&=&\sum_{k=0}^{infty}\\&=&\sum_{k=0}^{infty}（a（x）t）\\&=&\压裂{1}{1-a（x）t}+\压裂{1}{1-b（x）t}\\&=&\压裂{2-（a（x）+b（x））t}{（1-a（x\\\结束{eqnarray*}由于$f（t，x）=1/\left[（1-a（x）t）（1-b（x）t）\right]$，我们得到$g（t，x）=\left（2-（a（x）+b（x））t\right）f（t、x）$。这意味着\[g（t，x）g（-t，x）=\左（4-（a（x）+b（x））^2t^2\右）f（t，x）f（-t、x）.\]这就是$g（t，x）$的定义和$f（t，x）$的含义，意味着\[\sum_{r=0}^\infty G_{r}（x）t^{r}\sum_{r=0.}^\iftty G_}（x）（-t）^{r{=\left（4-（a（x）+b（x））^2t^2\right）\sum_{r=0}^\ infty r_{r{因此，\[\sum_{r=0}^\infty\left（\sum_{k=0}^r（-1）^kG_k（x）G_{r-k}（x）\right）t^r=（4-（a（x）+b（x））^2t^2）\sum_{l=0}^\infty\left（\sum_{k=0}^l（-1）^k R_k（x）R_{l-k}（x）\right）t^l\]$1$偶数。由于$R_{k}（x）$满足Binet公式（\ref{bineformulauno}），定理{TFG}暗示\开始{eqnarray*}\sum_{r=0}^\infty\left（\sum_{k=0}^r（-1）^kG_k（x）G_{r-k}（x）\right）t^r&=&（4-（a（x）+b（x））^2t^2）\sum_{j=0}^\infty\frac{R{2j+1}（x）}{R_1（x）}t^{2j}\\&=&\sum_{j=0}^\infty\frac{4R_{2j+1}（x）}{R_1（x\\&=&4+\sum_{j=1}^\infty\left（\frac{4R_{2j+1}（x）-（a（x）+b（x））^2R_{4j-1}。\结束{eqnarray*}由于$G_1（x）=a（x）+b（x）$，我们有$$\sum_{r=0}^\infty\left（\sum_{k=0}^r（-1）^kG_k（x）G_{r-k}（x）\right）t^r=4t^0+\sum__{j=1}^\ infty\ left（\frac{4R{2j+1}（x）-（G_1（x。$$众所周知，如果所有$i$的$t^i$的相应系数相等，则两个生成函数相等。我们只对$r$的偶数值感兴趣。因此，我们分析了上面最后一个等式中$r=2j$的情况。如果$r=2j$，其中$j>0$和$G_0（x）=2$，则$$\sum_{k=0}^r（-1）^kG_k（x）G_{r-k}（x）=\frac{（G_0（x。$$如果$\alpha\neq1$，我们让$G_k^{'}（x）$是$（a^k（x）+b^k（x））/\alpha$，我们从前面的分析中回忆起$G_k。请注意，$G_k（x）$的等价多项式$R_k（x）$对于$G_k^{'}（x）美元是相同的，因为它们包含相同的$a^k（x。因此，\开始{eqnarray*}\sum_{k=0}^r（-1）^kG_k^{'}（x）G_{r-k}^{'{\\&=&\frac{1}{\alpha^2}\ frac{（G_0（x））^2R{r+1}（x\\&=&\压裂{（G_0（x）/\alpha）^2R_{r+1}（x\\&=&\压裂{（G_0^{'}（x））^2R_{r+1}\\\结束{eqnarray*}这证明了这个定理。\结束{proof}\如果$t$是一个正整数并且$r=2t$，那么$\sum_{i=0}^{r+1}（-1）^{i}H（r+1，i）=0$，并且\\$\显示样式{\sum_{i=0}^{r}（-1）^{i}H（r，i）}=\begin{cases}（U_{r+1}（x）-x^2 U_{r-1}（x））/U_1（x\\（4F_{r+1}（x）-x^2F_{r-1}（x））/F_1（x\\（4\Phi{r+1}（x）-9x^2\Phi{r-1}（x））/\Phi_1（x\\（4P_{r+1}（x）-4x^2P_{r-1}（x））/P_1（x\\（4J{r+1}（x）-J{r-1}（x））/J_1（x\\（4B_{r+1}（x）-（x+2）^2B_{r-1}。\结束{cases}$\结束{推论}\我们只证明了$H（r，i）=T_i（x）T_{r-i}（x）$；其他五个案例的证据类似。因此，我们省略了它们的证明。从表\ref{equivalent}中，我们知道$T_n（x）$是第一种类型，并且满足Binet公式（\ref{bineformulados}）。因此，$G_n（x）=T_n（x）$和$R_n（x）=U_{n}（x”$。因此，$T_n（x）=（（x+\sqrt｛x^2-1｝）^n+（x-\sqrt｛x^2-1｝）^n）/2$。这个和定理\ref{TLucasG}其中$H（r，k）=T_{k}（x）T_{r-k}\[\sum_{k=0}^{r}（-1）^k H（r，k）=\开始{cases}\dfrac{U_{r+1}（x）-x^2U_{r-1}（x）}{U_1（x\\0，&\text{如果}r\text{是奇数。}\结束{cases}\]这证明了推论。\结束{proof}\第{节特殊情况和示例}在本节中，我们研究了Hosoya多项式三角形的一些数值例子。我们证明，当我们评估Hosoya多项式的项时一些整数上的三角形，在第{sect3}节中发现的交替和产生不同作者在《整数序列在线百科全书》中发表了几个著名的序列。我们定义了一个$n$-初始的Hosoya三角形，它是由Hoshoya三角形的前$n$--行组成的有限三角形排列。请注意，初始三角形是包含顶点$H（0,0）$的任何Hosoya三角形的等边子三角形。在命题\ref{initialtriangle}中，我们证明了经典的任意初始三角形的所有交替和的和Hosoya三角形（参见表{tabla4}）是一个依赖于斐波那契数的闭合公式。我们记得，在本文中，斐波那契数是\[F_0=1，\quad F_1=1，\ quad F_2=2，\ quad F_3=3，\四F_4=5，\四F _5=8，\ldots.\]\开始{proposition}\label{initialtriangle}让$n$是一个正整数，$t=\lfloor{n/2}\rfloor+1$。如果$H（r，k）（1）=F_kF_{r-k}$，则$$\sum_{0\leqk\ler\len}（-1）^kH（r，k）（1）=\sum__{i=0}^{t-1}（t-i）F{2i}=F{2t}-1$$\结束{命题}\开始{proof}我们证明了$\sum_{0\leqk\ler\len}（-1）^kH（r，k）（1）=F_{2n+1}-1$，另一个等式是已知的。根据推论{special；results}，我们知道$\sum_{i=0}^{2t}（-1）^k H（r，k）（1）=F_{2t+1}$和$\sum_{i=0}^{2 t+1}（-1）^k H（r，k）（1。这意味着$\sum_{0\leqk\ler\len}（-1）^kH（r，k）=\sum_}t=0}^{n}F{2（n-i）}=F{2n}-1$。\结束{proof}我们现在介绍一些在Table\ref｛Tablealternatefibonacci｝中使用的符号。我们定义\[C（\cdot）（x）=\显示样式\sum_{r=0}^n（-1）^k H（r，k）\]其中$（\cdot）$取决于序列中使用的多项式。例如，$CF_n（x）$是我们用来指示Corollary\ref{special；results}中第一个结果的符号。如果我们对$n\in\mathbb{n}$的$CF_n（x）$进行$x=2$求值，我们得到序列$1，6，35，204，1189，6930$，它位于\url{http://oeis.org/A001109}中（参见Sloane\cite{Sloane}）。我们使用$CM_n（x）$在推论\ref{special；results}中指示第二个结果。类似地，我们使用$CP_n（x）$和$CJ_n（x）$分别在推论{special；results}中表示第三个和第四个结果。在表\ref{Tablealternatefibonacci}中，我们给出了一些已知序列。因此，推论ref{special；results}和ref{specific；results2}提供了另一种生成序列的方法。注意，对于推论{special；results}中的情况Fermat和Chebyshev，我们分别只找到了序列{seqnum{A002450}和序列{A007954}。\开始{表格}[H]\开始{居中}\开始｛表格｝｛|l|l|l|l|l|l|l|l|l|｝\氯化氢$CF_n（x）$&Sloane&$CM_n$CF_n（1）$&\seqnum{A001906}&$CM_n\\$CF_n（2）$&\seqnum{A001109}&$CM_n\\$CF_n（3）$&&\序列号｛A004190｝和$CM_n（3）$&&\序列号｛A097778｝和$CP_n（3）$&&\序列号｛A078987｝和$CJ_n（3）$&&\序列号｛A016153｝\\$CF_n（4）$&\seqnum{A049660}&$CM_n\\$CF_n（5）$&\seqnum{A097781}&$CM_n\\$CF_n（6）$&\seqnum{A078987}&&$CP_n（5）$&\seqnum}&&\\$CF_n（7）$&\seqnum{A097836}&&$CP_n（6）$&\seqnum}&&\\$CF_n（8）$&\seqnum{A097316}&$CM_n\\$CF_n（9）$&\seqnum{A097839}&&$CP_n（8）$&\seqnum}&&\\$CF_n（10）$&\seqnum{A097725}&&$CP_n（11）$&\seqnum}&&\\\氯化氢\结束｛表格｝\结束{中心}\标题{花冠8中的一些序列在引用{sloane}中。}\标签{Tablealternatefibonacci}\结束{表格}\第{确认}节第一位和最后一位作者得到了Citadel基金会的部分支持。\开始{书目}{9}\bibitem{Richard}R.~Andr\'{e}-Jeannin，一类多项式的微分性质，\emph{Fibonacci Quart.}\textbf{33}（1995），453-458。\bibitem{Richard2}R.~Andr\'{e}-Jeannin，关于一般多项式类的注记，II，\emph{Fibonacci Quart.}\textbf{33}（1995），341--351。\bibitem{Richard1}R.~Andr\'{e}-Jeannin，关于一般多项式类的注记，\emph{Fibonacci Quart.}\textbf{32}（1994），445--454。\bibitem{MorganRichard}R.~Andr\'{e}-Jeannin，Morgan Voyce多项式的推广，\emph{Fibonacci Quart.}\textbf{32}（1994），228--231。\双目{florezjunesproperty}R.~Fl\'{o}rez，R.~Higuita和L.~Junes，广义David星的GCD性质，\emph{J.整数序列}\textbf{17}（2014），第14.3.6条，17 pp。\双目{florezjunes}R.~Fl\'{o}rez和L.~Junes，Hosoya三角形中的GCD属性，\emph{Fibonacci Quart.}\textbf{50}（2012），163-174。\bibitem{hoggatt}V.~E.~Jr.~hoggatt和M.~Bicknell-Johnson，帕斯卡三角多项式的可除性，\emph{Fibonacci Quart.}\textbf{16}（1978），501-513。\参考文献{荷尔达姆合成}A.~F.~荷尔达姆文，某些多项式序列的合成，\emph{斐波那契数的应用}，第6卷（华盛顿州普尔曼，1994年），215-229，克鲁沃学院。出版物。，多德雷赫特，1996年。\圣经{Pell}A.~F.~Horadam和J.~M.~Mahon，Pell和Pell-Lucas多项式，\emph{Fibonacci Quart.}\textbf{23}（1985），7-20。\bibitem{Fermat}A.~F.~霍拉达姆，对角线的Chebyshev和Fermat多项式函数，\emph{Fibonacci Quart.}\textbf{17}（1979），328--333。\细目{细目}H.~细目，斐波那契三角形，\emph{斐波那奇夸脱}\textbf{14}（1976），173--178。\Bibbitem{koshy}T.~koshy，\emph{Fibonacci和Lucas数字及其应用}，Wiley-Interscience，纽约，2001年。\bibitem{lahr}J.~lahr，梯形网络和电线理论中的斐波那契数和卢卡斯数以及Morgan-Voyce多项式，\emph{斐波那契数及其应用}（Patras，1984），141-161。\bibitem{morganvoyce}A.~M.~ Morgan-Voyce，使用斐波那契数进行阶梯网络分析，\emph{IRE Trans.Circuit Th.}\textbf{CT-6}（1959），321--322。\bibitem{swamy}M.~N.~S.~斯瓦米，Morgan-Voyce定义的多项式的性质，\emph{Fibonacci Quart.}\textbf{4}（1966a），73-81。\圣经项目{斯隆}N.~J.~A.~斯隆，整数序列在线百科全书，\网址{http://oeis.org/}。\结束{书目}\大跳跃\小时\大跳跃\noindent 2010（数学学科分类）：小学11B39；次级11B83。\noindent\emph{关键字：}Hosoya三角形，广义Fibonacci多项式，交替和，斐波那契多项式，切比雪夫多项式，Morgan-Voyce多项式，卢卡斯多项式、佩尔多项式、费马多项式。\大跳跃\小时\大跳跃\noindent（与序列有关\序列号{A001109}，\序列号{A001906}，\序列号{A002450}，\序列号{A004190}，\序列号{A007655}，\序列号{A007954}，\序列号{A016153}，\序列号{A029547}，\序列号{A049660}，\序列号{A049668}，\序列号{A078987}，\序列号{A097316}，\序列号{A097725}，\序列号{A097728}，\序列号{A097731}，\序列号{A097734}，\序列号{A097737}，\序列号{A097740}，\序列号{A097778}，\序列号{A097781}，\序列号{A097836}，\序列号{A097839}，\序列号{A102902}，以及\序列号{A173205}。）\大跳跃\小时\大跳跃\vspace*{+.1in}\无音（noindent）2014年4月4日收到；2014年8月20日收到修订版。发表于《整数序列杂志》，2014年9月3日。\大跳跃\小时\大跳跃\无音（noindent）返回到\htmladdnormallink{整数序列杂志主页}{http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/}。\vskip.1英寸\结束{文档}