\文档类[12pt，reqno]{article}\usepackage[用户名]{颜色}\使用包{amssymb}\使用包{graphicx}\使用包{amscd}\usepackage[colorinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色{webbrown}{rgb}{.6,0,0}\使用包{color}\使用包｛完整页｝\使用包{float}\使用包{psfig}\usepackage{graphics，amsmath，amssymb}使用包\使用包｛amsthm｝\使用包｛amsfonts｝\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\evensidemargin}{.1in}\集合长度{\topmargin}{-.1in}\设置长度{\textheight}{8.4in}\新命令{\seqnum}[1]{\href{http://oeis.org/#1}｛\下划线｛#1｝｝｝\开始｛文档｝\开始{居中}\epsfxsize=4英寸\离开模式\epsfile{logo129.eps}\结束{中心}\理论风格{普通}\新定理{定理}{定理{\新定理{推论}[定理]{推演}\新定理{引理}[定理]{引言}\新定理{命题}[定理]{命题\理论风格{定义}\新定理{definition}[定理]{definition}\新定理{example}[定理]{example}\新定理{猜想}[定理]{猜测}\理论风格{remark}\新定理{remark}[定理]{remark}\开始{居中}\vskip 1厘米｛\LARGE\bf关于Farhi的一个猜想}\vskip 1cm\大型Soufiane Mezroui、Abdelmalek Azizi和M'hammed Ziane\\ACSA实验室\\数学与信息部门\\穆罕默德大学校长\\乌伊达60000\\摩洛哥\\\链接{mailto:mezroui.soufiane@yahoo.fr}{\tmezroui.soufiane@yahoo.fr}\\\链接{mailto:abdelmalekazizi@yahoo.fr}{\tabdelmalekazizi@yahoo.fr}\\\链接{mailto:ziane12001@yahoo.fr}{\tziane12001@yahoo.fr}\\\结束{中心}\vskip.2英寸\开始{abstract}最近，Farhi表明每个自然数$N\不等于2$（mod 24）可以写成三个数字的总和形式$\left\lfloor\frac｛n^｛2｝｝｛3｝\right\lfloor\；\；（n\in\mathbb{n}）$。他推测，即使$N\相当于2$（mod 24）。在这个注释中，我们证明了这一点声明。\结束{抽象}\章节{引言}在整个注释中，我们使用$\mathbb{N}$和$\mathbb{Z}$，分别表示非负整数集和集整数的数量。我们让$\lfloor\cdot\rfloor$和$\langle\cdot\ rangle$表示积分部分和小数部分函数。让$X$成为一个集合。我们用$\#X$表示$X$的基数。我们还记得${\cdot}\overwithdelims（）\cdot$是雅各比符号。最近，Farhi~\cite{far}表明，每个自然数$N\not\equiv 2$（mod 24）可以写为三个值之和形式为$\left\lfloor\frac{n^{2}}{3}\right\rfloor\；\；的数字；（n\in\mathbb{n}）$。他推测，即使$N\相当于2$（mod 24）。我们记得他的推测。\开始{猜想}\标签{co1}每个自然数都可以写成$\left\lfloor\frac{n^{2}}{3}\right\rfloor\；；形式的三个数之和；（n\in\mathbb{n}）$。\结束{猜想}事实上，他提出了一个更普遍的推测。\开始{猜想}设$k\geq 2$为整数。然后存在一个正整数满足以下属性的$a（k）$：每个自然数可以写为表格中$k+1$个数字的总和$\left\lfloor\frac{n^{k}}{a（k）}\right\rfloor\；（n\in\mathbb{n}）$。\结束｛推测｝在本文中，我们证明了猜想~\ref{co1}。\{猜想证明~\ref{co1}}我们回忆起勒让德定理~\cite[331-339]{leg}，它是一个证明所需的工具：\开始{定理}每一个非$4^{h}（8k+7）（h，k\in\mathbb{N}）$形式的自然数都可以表示为三个自然数的平方和。\结束{定理}我们注意到，由于$4^{h}（8k+7）$与$0、4$或$7$模同余$8$，每个不等于$0、4$或$7$模$8$的自然数都可以表示为自然数的三个平方和。我们将稍后使用此结果。设$r_{3}（n）$是正整数的表示数$n$是三个整数平方的和。以下定理为$r{3}（n）$提供了一个有趣的公式，可以证明运用模函数理论。\开始{定理}[参见~\cite{bat}]对于任何正整数$n$，我们有\开始{方程式*}r{3}（n）=\frac{16}{\pi}\sqrt{n}\chi{2}（n）K（-4n）\prod_{p^{2}\midn}\左（1+\frac}{1}{p}+\cdots+\frac{1}}p^{b-1}}+\frac:{1}{p^}{b}}\左^{-2b}n个}{p} \右）\压裂{1}{p}\右）^{-1}\右），\结束{方程式*}其中$b=b（p）$是最大的整数，即$p^{2b}\mid-n$，\开始{方程式*}K（-4n）=\sum_{m=1}^{infty}\左（压裂{-4n}{m}\右）压裂{1}{m{，\结束{方程式*}如果$4^{a}$是$4$除以$n$的最大幂，那么\开始{displaymath}\chi{2}（n）=\开始{cases}0，&\text{如果$4^{-a}个\等于7${\rm（mod 8）；}}\\\压裂{1}{2^{a}}，&\text{if$4^{-a}个\等于3${\rm（mod 8）；}}\\\压裂{3}{2^{a+1}}，&\text{if$4^{-a}个\等于1,2,5,6${\rm（mod 8）.}}\结束{cases}\结束{显示方式}\开始{flushright}$\盒$\结束{flushright}\结束{定理}我们需要以下技术引理。\开始｛引理｝\标签{lem}对于任何正整数$n\equiv1${\rm（mod 8）}，我们有$$r_｛3｝（9n）>\frac｛3｝｛2｝\；r{3}（n）。$$\结束{引理}\开始{proof}我们有\开始{方程式*}\开始{split}r_｛3｝（9n）=&&frac｛16｝｛\pi｝\sqrt｛9 n｝\chi_｛2｝（9 n）K（-36 n）\次\\\prod_{p^{2}\mid 9n}\左（1+\frac{1}{p}+\cdots+\frac{1}{p^}b^{'}-1}\右。&\左侧+\frac{1}{p^{b^{'}}\左（1-\左（\frac{-9\；p^{-2b^{}}n}{p}\右）\frac}{p{\右）^{-1}\右，\结束{拆分}\结束{方程式*}其中$b^{'}=b^{'}（p）$表示$p^{2b^{'}}\mid-9n$的最大整数。由于$n\equiv1，（\mathrm{mod}，8）$，因此$4^{0}=1$是$4$除以$n$的最大幂。这个结果意味着$\chi_{2}（n）=\frac{3}{2}$。类似地，我们有$9n\equiv1\，（\mathrm{mod}\，8）$。因此，$4^{0}=1$是$4$除以$9n$的最大幂，这就得到了$\chi_{2}（9n）=\chi_}2{（n）=\frac{3}{2}$。相反，从~\cite[p.\84]{bat}可以看出\开始{方程式*}K（-36n）=K（-4\乘以3^{2}\乘以n）=\左（1-\左（\frac{-4n}{3}\右）\ frac{1}{3{\右）K（-4n）。\结束{方程式*}由于$n\equiv 1$（mod 8），根据勒让德定理，$n$可以表示为自然数的三个平方和。因此，$r_{3}（n）\neq 0$。除以$r_{3}（n）$，得到一个等价于\开始{方程式*}\裂缝{r{3}（9n）}{r{3+（n）}=\压裂{3}{左（1-\左（\frac{-4n}{3}\右）\frac{1}{3{\右）^{-1}}\times\frac{\prod_{p^{2}\mid9n}\左（1+\frac{1_{p}+\cdots+\frac{1}p^{b^{'}-1}}+\frac}{1}}{p^b^{}}左（1-左（\压裂{-9\；p^{-2b^{'}}n}{p}\right）\压裂{1}{p{right）^{-1}\rift）}{\prod_{p^{2}\midn}\left}\左（1-\左（\frac{-p^{-2b}n个}{p} \右）\压裂{1}{p}\右）^{-1}\右）}\cdot（光盘）\结束{方程式*}设$p\neq 3$与$p^{2}\midn$。因此，$b^{'}=b^{'}（p）$是$p^{2b^{'}}\midn$的最大整数。因此，我们得到$b^{'}=b^{''}（p）=b（p）=b$。此外，我们还有\开始{方程式*}\left（\frac{-9\；p^{-2b^{'}}n}{p}\right）=\ left（\fracc{3^{2}}{p{right）\ left\结束{方程式*}对于每一个带有$p^{2}\midn$的$p\neq 3$，我们都有$1+\压裂{1}{p}+\cdots+\frac{1}}{p^{b^{'}-1}}+\frac{1}{p^}{b^}}\左（1-\左（\压裂{-9\；p^{-2b^{'}}n}{p{right）\压裂{1\p}右）^{-1}=1+\压裂p^{b-1}}+\压裂{1}{p^{b}}\左（1-\左（压裂{-p^{-2b}n个}{p} \右）\压裂{1}{p}\右）^{-1}。$因此，有两种情况是显而易见的：如果$3^｛2｝\mid n$，那么\开始{方程式*}\压裂{r{3}（9n）}{r{3}（n）}=\压裂{3}{左（1-\左（\frac{-4n}{3}\右）\压裂{1}{3{右）^{-1}}\时间\压裂{1'{3}+\cdots+\frac{1}}{3^{b^{'}-1}}+\frac}{1}}\左（1-\左（\frac{-9\乘以3^{-2b^{'}}n}{3}\右）\frac}1}{3{\右）^{-2b}n个}{3} \right）\frac｛1｝｛3｝\right）^｛-1｝｝，\结束{方程式*}否则，$3^{2}$不会除掉$n$，所以\开始{方程式*}\显示样式{\frac{r{3}（9n）}{r{3+（n）}=\frac{3}{左（1-\左（\frac{-4n}{3}\右左（\frac{-9\乘以3^{-2b^{'}}n}{3}\右）\frac}{1}{3{\右）^{-1}\右（右）}。\结束{方程式*}我们现在显示，在所有情况下，$r_{3}（9n）>\frac{3}{2}；r_｛3｝（n）$。\开始{itemize}\如果$3^{2}$不除$n$，则$b^{'}=b^{'}（3）=1$隐含为$3^}2b^{'}}\mid 9n$的最大整数。一个人获得\开始{方程式*}\压裂{r{3}（9n）}{r{3}（n）}=\压裂{3}{左（1-\左（\frac{-4n}{3}\右）\压裂{1}{3{\右）^{-1}}\次\左（1+\压裂{1\ 3}\左（1-\left（\frac{-n}{3}\right）\frac}{1}右）。\结束{方程式*}我们有$\left（1-\ left（\frac{-4n}{3}\ right）\frac}{1}{3{right）=1，\frac[2]{3}$或$\frac{4}{3neneneep$和$\frac}3}{left（1-\ left$r_{3}（9n）>\压裂{3}{2}\；r{3}（n）$。\item如果$3^{2}\mid-n$，则$b$（分别为$b^{'}$）是其中$3^}2b}\mid n$（分别是$3^[2b^{'}}\mid9n$）的最大整数。因此，\开始{方程式*}\开始{split}\压裂{r{3}（9n）}{r{3}（n）}&=\压裂{3}{左（1-\左（\frac{-4n}{3}\右）\压裂{1}{3{右）^{-1}}\时间\压裂{3+\压裂{1'（压裂{-9\乘以3^{-2（b+1）}n}{3}\右）压裂{1}{3{右^{-2b}n个}{3} \右）\压裂{1}{3}\右）^{-1}}\\&=\frac{3}{\左（1-\左（\frac{-4n}{3}\右）\frac{1}{3{\右）^{-1}}\次\frac{1+\frac{1'{3}+\cdots+\frac{1}}{3^{b}}+\frac}1}{3 ^{b+1}}\左（1-\左（\frac}-3^{2b}n}{3}\right）\frac}1}{3}\右）^{-1}}{1+\压裂{1}{3+\cdots+\frac{1}}{3^{b-1}}+\frac{1}{3^}}\左（1-\左（\压裂{-3^{-2b}n个}{3} \右）\压裂{1}{3}\右）^{-1}}\cdot\\\结束{拆分}\结束{方程式*}我们有$\剩余（1-\剩余（\frac{-3^{-2b}n个}{3} \right）\frac{1}{3}\right。在所有情况下都可以获得以下信息：\开始{方程式*}\压裂{1}{3^{b}}+\压裂{1{3^}b+1}}\左（1-\左（\压裂{-3^{-2b}n个}{3} \右）\压裂{1}{3}\右）^{-1}\geq\压裂{1'{3^{b}}\左（1-\左（\压裂{-3^{-2b}n个}{3} \右）\压裂{1}{3}\右）^{-1}。\结束{方程式*}这个结果意味着$1+\压裂{1}{3}+\cdots+\frac{1}}{3^{b}}+\frac{1}{3^}b+1}}\左（1-\左（\frac}-3^{-2b}n}{3{右）\压裂{1\3}\右）^{-1}\geq1+\压裂{1}{3}+\cdots+\frac{1}}{3^{b-1}}+\frac{1}{3^}b}}\左（1-\左（\frac}-3^{-2b}n个}{3} \右）\压裂{1}{3}\右）^{-1}。$相反，$\frac{3}{left（1-\left（\frac{-4n}{3}\right）\frac{1}{3{right）^{-1}}>\frac{3+{2}$。因此，我们获得了所需的结果，$r_｛3｝（9n）>\frac｛3｝｛2｝\；r{3}（n）$。\结束{itemize}\结束{proof}\开始{定理}每个自然数$N\equiv 2$｛\rm（mod 24）｝可以写成形式为$\left\lfloor\frac｛n^｛2｝｝｛3｝\right\lfloor\的三个数字的和；（n\in\mathbb{n}）$。\结束{定理}\开始{proof}我们可以用$k\in\mathbb{N}$写$N=2+24k$。因此，$3N+3=9（1+8k）$。我们现在定义两个集合$S_{1}$和$S_{2}$如下：\开始{align*}S_{1}&=\Bigl\{（a，b，c）\in\mathbb{Z}^{3}：a^{2}+b^{2{+c^{2neneneep=1+8k\Bigr\}\\S_{2}&=\Bigl\{（a，b，c）\in\mathbb{Z}^{3}:a^{2}+b^{2{+c^{2neneneep=9（1+8k）\Bigr\}。\结束{align*}根据$r_{3}$的定义，我们有$\#S_{2}=r_{3+（9（1+8k））$和$\#S{1}=r_2}（1+8K）$。由于$1+8k\equiv1，（mathrm{mod}，8）$，我们应用引理~ref{lem}获得$r{3}（9（1+8k））>frac{3}{2}；r{3}（1+8k）\geqr{3{（1+8k）$。获得$r_{3}（9（1+8k））>r_{3+（1+8 k）$，它等价于$\#S_{2}>\#S_}1}$。我们注意到，最后一个结果是证明的关键。让我们定义地图$$\开始{数组}{lll}f： &S_{1}&\右箭头&S_{2}\\&（a、b、c）和\longmapsto和（3a、3b、3c）\\\结束{数组}$$ 我们很容易看到$f$是定义良好的内射函数。自$\#S_{2}>\#S_{1}$，我们可以在S_{2{$中找到$（a，b，c）\，这样$（a，b，c）\n不是f（S_{1}）$。此外，我们有$a^{2}+b^{2neneneep+c^{2{=9（1+8k） \equiv 0$（mod 3），然后$a^{2}\equivb^{2{\equifc^{2}\equiv 1$（mod 3）或$a^{2{\equivb^{2neneneepc^{2}\equiv 0$（mod 3）。最后一个案例无法成立，因为元素之一$a$、$b$和$c$不能被整除$3\;（（a，b，c）\n不是f（S_{1}））$。因此，$a^{2}\equivb^{2{\equivc^{2}\equiv 1$（mod 3），我们有\开始{方程式*}\开始{split}N+1&=3（1+8 k）\\&=\显示样式{\frac{a^{2}}{3}+\ frac{b^{2{}}{3}+\ frac{c^{2}}{3}}\\&=\显示样式{\left\lfloor\frac{a^{2}}{3}\right\rfloor+\left\floor\frac{b^{2{}}{3+\right\floor+\ left\ffloor\fracc{c^{2neneneep}{3{right\lfloor+\left \langle\fracc}a^{2}}{3}\right \rangle+\leght\langleft\frac{b^2}}}{{3}\ right\rangle+\left \langle\frac{c^{2}}{3}\right\rangle}。\结束｛拆分｝\结束{方程式*}由于$a^{2}\equivb^{2{2\equivc^{2neneneep \equiv 1\，（\mathrm{mod}\，3）$，则$\显示样式{左\langle\frac{a^{2}{3}\right\rangle+\left\langle\ frac{2}}{3{right\rangle+\langleft\rangle+\left \langleight\frac}{2}{2{3}右\rangle=\frac{1}{3}+\ frac{1}{3}+\frac{1}}{3{=1}$，它给出$N=\displaystyle{left\lfloor\frac{a^{2}}{3+right\rfloor+\fracc{b^{2{}}{3\右\rfloor+\left\lfloor\frac{c^{2}}{3}\right\rfloor}$。我们将$（a，b，c）\in\mathbb｛Z｝^｛3｝$替换为$（|a|，|b|，|c|）\in\mathbb｛N｝^｛3｝$，以获得所需的解决方案。这个猜想被证明了。\结束{proof}\{确认}节作者感谢编辑和匿名读者的宝贵意见。这项工作得到了Acad\'emie Hassan 2在“数学与应用：密码学”和URAC6-CNRST项目下的支持。\开始｛胆道造影术｝｛9｝\bibbitem｛远｝B.Farhi，关于自然数表示为序列$\lfloor\frac{n^{2}}{a}\rfloor$，{itJ的三项。整数序列}{\bf 16}（2013），\href公司{https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL16/Farhi/farhi7.html}{文章13.6.4}.\bibitem{bat}P.T.贝特曼，关于数字表示为三之和正方形，{\it Trans.Amer.Math.Soc.}{\bf 71}（1951），70-101。\围兜{leg}A.M.Legendre，{it Th’eorie des Nombres}，第三版，第二卷，1830年。\结束{书目}\大跳跃\小时\大跳跃\noindent 2010（数学学科分类）：初级11B13。\noindent\emph{关键字：}加法基，勒让德定理，将整数表示为三个平方和。\大跳跃\小时\大跳跃\vspace*｛+.1英寸｝\无音（noindent）收到日期：2013年7月25日；2013年7月31日收到的修订版；2013年11月22日；2013年12月30日。发表于2013年12月30日的《整数序列杂志》。2014年1月3日修订。\大跳跃\小时\大跳跃\无音（noindent）返回到\htmladdnormallink{整数序列杂志主页}{http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/}.\vskip.1英寸\结束{文档}