\文档类[12pt，reqno]{article}\usepackage[用户名]{颜色}\使用包{amssymb}\使用包{graphicx}\使用包｛amscd｝\usepackage[colorinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]｛hyperref｝\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色{webbrown}{rgb}{.6,0,0}\使用包{color}\使用包{fullpage}\使用包{float}\使用包{psfig}\usepackage{graphics，amsmath，amssymb}使用包\使用包{amsthm}\使用包{amsfonts}\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\定义\N{\mathbb{N}}\定义\n{\mathbb{N} _0（0）}\定义\G{\text{-GDWN}}\使用包｛pgf｝\使用包{tikz}\usetikz库{箭头}\usetikzlibrary{装饰.路径变形}\usetikzlibrary{background}\usetikzlibrary{fit}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\evensidemargin}{.1in}\集合长度{\topmargin}{-.1in}\设置长度{\textheight}{8.4in}\新命令{\seqnum}[1]{\href{http://oeis.org/#1}{\underline{#1}}}\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\离开模式\epsfile{logo129.eps}\结束{中心}\理论风格{普通}\新定理{定理}{定理{\新定理｛推论｝〔定理〕｛推论｝\新定理{引理}[定理]{引言}\新定理{命题}[定理]{命题\理论风格{定义}\新定理{definition}[定理]{definition}\新定理{example}[定理]{example}\新定理{猜想}[定理]{猜测}\理论风格{remark}\新定理{remark}[定理]{remark}\开始{居中}\vskip 1cm{\LARGE\bf Wythoff Nim扩展和拆分\\\vskip.10英寸序列}\vskip 1厘米\大型Urban Larsson公司\\数学科学\\查尔默斯理工大学\\和哥德堡大学\\G“奥特堡\\瑞典\\\href{mailto:urban.larsson@yahoo.se}{\tt-urban.larmson@yahooSe}\结束{中心}\vskip.2英寸\开始{abstract}我们研究了经典公平组合对策的推广威瑟夫·尼姆。游戏在两堆代币上进行\emph｛symmetric｝移动选项，因此，对于任何整数$0\le x\le y$，emph{upper}位置$（x，y）$的结果与共$（y，x）$。首先我们证明$\phi^{-1}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}$是一个的$x$-坐标的下渐近密度的下限给定游戏的P位置。第二个结果涉及最近被称为广义对角Wythoff Nim的亚家族由Larsson介绍。P位置的特定\emph{split}，分布在许多所谓的P梁中这样的游戏。这里的术语\emph{split}表示高位没有P位，但有无限多的高位P位置在它上面和下面。通过使用第一个结果，我们证明其中一个游戏的这个猜想称为$（1,2）$-GDWN，其中玩家的移动方式与Wythoff Nim相同，或者选择移除一个正值一个堆中的令牌数，另一个堆的令牌数是这个数的两倍。\结束{抽象}\章节{引言}我们研究了2人公平的take-away对策emph{2-堆Nim}\cite{Bou02}和emph{Wythoff-Nim}\cite{Wyt07}的推广。公正（take-away）游戏的背景可以在书籍{BCG82，Con76}中找到。关于Wythoff Nim变种的文献在稳步增加；有关进一步的背景，我们参考论文{DFNR10、Fra82、Lar09、Lar11、Lar12、Lar、LW}。我们使用标准术语来表示此类无平局比赛的结果。如果一个位置没有一个选项是P位置，那么它就是一个前一个玩家的胜利；否则，这将是下一个玩家的胜利，即N位。我们遵循\emph{正常游戏}的惯例，即不能移动的玩家会输。因此，给定一个公平的博弈，我们得到了从终端位置开始的所有P位置集的递归特征。我们让$\N$表示正整数，$\N$代表非负整数。两堆尼姆的游戏是在两堆有限数量的代币上进行的。合法的移动包括从一堆中移除任何正数的代币，最多是一整堆。我们用有序对$（x，y）\ in \ times \ n$表示位置，表示各自堆中的标记数。也就是说，任意位置$（x，y）$的选项集是$$\text{Nim}（x，y）=\{（x-t，y）\mid-x-t\ge0\}\cup\{很容易看出，这个游戏的P位置是那些桩高相等的位置；位置$（x，x）$，对于$x\in\n$，Bouton\cite{Bou02}。我们将这些位置视为斜率1的无限P-\emph{beam}，其源位于原点。参见图\ref{F0}和\ref{F1}。在Wythoff Nim游戏中，玩家像在Nim中一样移动，或者从两个堆中移除相同数量的代币，最多是较小堆中的数量。因此，任意位置$（x，y）$的选项集是$$\text{WN}（x，y）=\text{Nim}（x，y）\cup\{（x-t，y-t）\mid-x-t\ge0，y-t\ge0\}.$$让$$\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$表示\emph{黄金比率}。众所周知，Wythoff引用{Wyt07}，这个游戏的位置是P当且仅当它属于集合$${另请参见表\ref{F:1}。因此，在从2桩Nim到Wythoff Nim的转换中，P位置的单个Nim梁被分成两个不同的梁，源位于原点，斜率分别为$1/\phi$和$\phi$。术语\emph{split}的直观含义是，在P位置的两个无限区域之间有一个无限扇区，它只包含N个位置。更正式地说，如果存在正实数$\alpha$和$\epsilon$，使得集合$$\left\{i>n\mid\alpha\le\frac{y}{x_i}\le\alpha+\epsiron\right\}$$为空，因为$n$足够大，并且$$\leaft\{（x_i，y_i）\mid\alpha>\frac{y}{x_i}\right\}、$$和$$\left\{（x_i，y_i）\mid\alpha+\epsilon<\frac{yi}{x_1}\rift\}$$是无限的。设$p，q\in\N$（其中$p<q$）。广义对角Wythoff Nim游戏$（p，q）$-GDWN\cite{Lar12}扩展了Wythoff-Nim的规则，玩家可以从其中一个堆中移除$pt$标记，从另一个堆移除$qt$标记，其中$t\in\N$，前提是两个堆大小都保持非负。（对于给定的$p$和$q$，我们有时简单地用GDWN表示这个游戏。）也就是说，来自任何位置$（x，y）$的选项集是\开始{align*}（p，q）\G（x，y）=\text{WN}（x，y）&\cup\{（x-pt，y-qt）\mid x-pt\ge 0，y-qt\ge 0\}\\&\cup \{。\结束{align*}关于$（1,2）$-GDWN及其前几个P位置的规则，请参见图\ref｛F0｝。在图~\ref{F1}中，我们查看了它们各自的P梁的初始行为。\开始{图}[ht！]\开始{居中}\v空间{0.1厘米}{\includedgraphics[width=0.85\textwidth]{gdwn300.eps}}\end{center}\caption{这些图片说明了典型的动作选项（灰色）和初始P位置分别为Nim、Wythoff Nim和$（1,2）$-GDWN。黑色方块是给定的游戏位置。白色的P代表了这一位置在各场比赛中的获胜选项。因此，每场比赛的给定位置都是N。左下角表示终端位置$（0,0）$.}\标签{F0}\结束{图形}\开始｛figure｝[ht！]\开始{居中}\v空间{0.5厘米}{\includegraphics[width=0.19\textwidth]{NimP_L.eps}\hs空格{0.4 cm}{\includegraphics[width=0.19\textwidth]{WythP_L.eps}}\includegraphics[width=0.31\textwidth]{1_2boardNEW.eps}}\end{center}\caption{这些数字给出了游戏Nim、Wythoff Nim和$（1,2）\G$的初始P位置。最左边的数字显示了斜坡1的2桩Nim的单个P梁。然后，在中间我们找到了Wythoff Nim的一对P梁，斜率分别为$\phi^{-1}$和$\phi$，最后，对于所有$x$-坐标$\le 50000$，初始P位置为$（1,2）\G$。引用{Lar12}的实验结果表明，上部P位置的分裂分别在斜率$1.477\cdots$和$2.247\cdots$的两行上“累加”。}\label{F1}\结束{图形}本文的动机是考虑在$（1,2）\G$；第{S:3}节。在第{S:4}节中，我们指出了为什么$（2,3）\G$也有类似的结果。在此之前，在\ref｛S:2｝节中，我们证明了Wythoff-Nim的某些\emph｛扩展｝的一般结果。我们证明，通过在$x$-轴上投影Wythoff Nim的上P位置而获得的密度$\phi^{-1}$，对于Wythoff-Nim的任何扩展，都足以作为类似投影的下渐近密度的下限。让我们从定义这类游戏开始。\段{Wythoff Nim扩展的密度界限}\标签{S:2}Wythoff Nim的一个扩展名}，例如$G$，有一组选项$G（x，y）\supseteq$WN$。选项的格式为G（x，y）$中的$（x-m_1，y-m_2），$x\ge x-m_1\ge 0$和$y\ge y-m_2\ge 0$:；不是同时$m1=m2=0$，以禁止领带。我们要求所有选项都是\emph{symmetric}，也就是说，$（m_1，m_2）$是从$（x，y）$移动的，当且仅当$（m_2，m_1）$是来自$（y，x）$的移动。请注意，这是对文献中Wythoff Nim变体的传统对称移动选项形式的放松。我们选择了对称变体，因为它似乎是保证对称P位置的最弱的一般形式；也就是说，$（x，y）$是P，当且仅当$（y，x）$为P时。我们还要求，从固定列（行）移动时，$（m_1，m_2）$、$m_1>0$和$m_2>0$形式的最多有限次移动具有相同的$m_1$-坐标（$m_2$-坐标）。也就是说，给定一列$x>0$，来自形式$（x，y）$的所有位置的非Nim类型选项的总数是有限的（并且通过对称性，给定一行$y>0$的，来自形式$x，y，$的所有位置的非Nim类型选项的总数是有限的）。正如我们将看到的那样，通过这种方式，新游戏将具有定义P位置的所谓“互补集”（序列）。如果每个正整数恰好出现在其中一个集合中，则两组正整数是emph｛互补｝。如果一对序列作为集合是互补的，并且每个序列中没有重复，那么它们就是互补的。Wythoff Nim的P位置结构很好，尤其是坐标的差异是$\Delta_n:=B_n-A_n=n$，其中$A_n:=\lfloor\phi n\rfloor\text{和}B_n:=\floor\ph^2 n\rfloor$，对于所有$n\n$。显然，我们得到$A$-序列的密度为$\lim_{n\in\n}\frac{n}{A_n}=\phi^{-1}$。众所周知，定义Wythoff Nim非末端P位置的序列是互补的；另请参阅表~\ref{F:1}。在本文中，我们将对Wythoff序列使用这种符号。\开始{表格}[ht！]\v空间{0.5厘米}\开始{居中}\开始{tikzpicture}[scale=0.56]\{0/2，1/2，2/2，3/2，4/2，5/2，6/2}中的每个\x/\y\绘制[粗，棕色]（\x，\y）矩形（\x+1，\y+1）；\对于{0/0、1/0、2/0、3/0、4/0、5/0、6/0、0/1、1/1、2/1、3/1、4/1、5/1、5/1、6/1、6/1}中的每个\x/\y\绘制[粗，蓝]（\x，\y）矩形（\x+1，\y+1）；\绘制（-0.5，1.5）节点{$B_n$}；\绘制（-0.5，0.5）节点{$A_n$}；\绘制（-0.5，-0.5）节点{$n$}；\绘制（-0.5，2.5）节点{$\Delta_n$}；\绘制（0.5，-0.5）节点{$0$}；\绘制（1.5，-0.5）节点{$1$}；\绘制（2.5，-0.5）节点{$2$}；\绘制（3.5，-0.5）节点{$3$}；\绘制（4.5，-0.5）节点{$4$}；\绘制（5.5，-0.5）节点{$5$}；\绘制（6.5，-0.5）节点{$6$}；\绘制（7.5，-0.5）节点｛$\ldots$｝；\绘制（7.5，0.5）节点{$\ldots$}；\绘制（7.5，1.5）节点{$\ldots$}；\绘制（7.5，2.5）节点{$\ldots$}；\绘制（0.5，0.5）节点{$0$}；\绘制（1.5,0.5）节点{$1$}；\绘制（2.5，0.5）节点{$3$}；\绘制（3.5，0.5）节点{$4$}；\绘制（4.5，0.5）节点{$6$}；\绘制（5.5，0.5）节点{$8$}；\绘制（6.5，0.5）节点{$9$}；\绘制（0.5，1.5）节点{$0$}；\绘制（1.5，1.5）节点{$2$}；\绘制（2.5，1.5）节点{$5$}；\绘制（3.5，1.5）节点{$7$}；\绘制（4.5，1.5）节点{$10$}；\绘制（5.5，1.5）节点{$13$}；\绘制（6.5，1.5）节点{$15$}；\绘制（0.5，2.5）节点{$0$}；\绘制（1.5，2.5）节点{$1$}；\绘制（2.5，2.5）节点{$2$}；\绘制（3.5，2.5）节点{$3$}；\绘制（4.5，2.5）节点{$4$}；\绘制（5.5，2.5）节点{$5$}；\绘制（6.5，2.5）节点{$6$}；\结束{tikzpicture}\结束{中心}\caption｛Wythoff-Nim的唯一终端位置为$（A_0，B_0）=（0,0）$。对于所有~$n$，其上P位置为$（1,2）、\ldots、（A_n，B_n）、\ldots$和$\Delta_n=B_n-A_n=n$。｝\label｛F:1｝\结束{表格}我们通过$（a_n，b_n）$对给定Wythoff-Nim扩展$G$的\emph{上P位置}进行编码，其中$0<a_n<b_n$，对于所有$n>0$，其中$a$-序列严格递增。通过对称性，$G$的完整P位置集将是$\{（a_i，b_i），（b_i，a_i）\midi\in\N\}\cup\{（0,0）\}$。对于所有$i$，我们让$\delta_i:=b_i-a_i$。为了方便起见，我们用$（a_0，b_0）：=（0,0）$表示唯一的终端位置。这确实是唯一的终点位置，因为所有尼姆类型的移动对于任何威瑟夫延伸都是合法的。\开始{表格}[ht！]\v空间{.5厘米}\开始{居中}\开始{tikzpicture}[scale=0.56]\{0/2，1/2，2/2，3/2，4/2，5/2，6/2}中的每个\x/\y\绘制[粗，棕色]（\x，\y）矩形（\x+1，\y+1）；\｛0/0、1/0、2/0、3/0、4/0、5/0、6/0、0/1、1/1、2/1、3/1、4/1、5/1、6/1｝中的foreach \x/\y\绘制[厚，蓝]（\x，\y）矩形（\x+1，\y+1）；\绘制（-0.5，1.5）节点{$b_n$}；\绘制（-0.5，0.5）节点{$a_n$}；\绘制（-0.5，-0.5）节点{$n$}；\绘制（-0.5，2.5）节点{$\delta_n$}；\绘制（0.5，-0.5）节点{$0$}；\绘制（1.5，-0.5）节点{$1$}；\绘制（2.5，-0.5）节点{$2$}；\绘制（3.5，-0.5）节点{$3$}；\绘制（4.5，-0.5）节点{$4$}；\绘制（5.5，-0.5）节点{$5$}；\绘制（6.5，-0.5）节点{$6$}；\绘制（7.5，-0.5）节点｛$\ldots$｝；\绘制（7.5，0.5）节点{$\ldots$}；\绘制（7.5，1.5）节点{$\ldots$}；\绘制（7.5，2.5）节点{$\ldots$}；\绘制（0.5，0.5）节点{$0$}；\绘制（1.5,0.5）节点{$1$}；\绘制（2.5，0.5）节点{$2$}；\绘制（3.5，0.5）节点{$4$}；\绘制（4.5，0.5）节点{$7$}；\绘制（5.5，0.5）节点{$8$}；\绘制（6.5，0.5）节点{$9$}；\绘制（0.5，1.5）节点{$0$}；\绘制（1.5，1.5）节点{$3$}；\绘制（2.5，1.5）节点{$6$}；\绘制（3.5，1.5）节点{$5$}；\绘制（4.5，1.5）节点{$10$}；\绘制（5.5，1.5）节点{$14$}；\绘制（6.5，1.5）节点{$17$}；\绘制（0.5，2.5）节点{$0$}；\绘制（1.5，2.5）节点{$2$}；\绘制（2.5，2.5）节点{$4$}；\绘制（3.5，2.5）节点{$1$}；\绘制（4.5，2.5）节点{$3$}；\绘制（5.5，2.5）节点{$6$}；\绘制（6.5，2.5）节点{$8$}；\结束｛tikzpicture｝\结束{中心}\标题{对于所有$i$，这些序列构成了Wythoff Nim扩展$（1,2）\G$和$\delta_i=b_i-a_i$的前几个P位置。请注意，$b$-序列没有增加，因此$\delta$-序列也没有增加。不知道是否所有正整数都在后一个序列中表示。}\label{F:2}\结束{表格}\开始{proposition}\label{prop}任何Wythoff-Nim扩展的P位置都满足以下\emph{Property~W}：对于所有$n\in\n$，$a_{n-1}<a_n$和$a_n<b_n$；对于所有$i\nej$、$\delta_i\ne\delta_j$以及序列$a=（a_i）_{i\in\N}$和$b=（b_i）{i\in \N}$是互补的。\结束{命题}\begin{proof}包含$G（x，y）\supseteq$WN$（x，y）$意味着我们可以选择$a$和$b$序列，使得$a_{n-1}<a_n$，$a_n<b_n$表示所有$n>0$：Nim型移动给出第一个不等式，对角型移动给出后者。实际上，如果存在$a_i，a_j$，使得$a_i=a_j$$b_i<b_j$时，则Nim类型的移动将从$（a_j，b_j）$到$（a_ i，b_i）$，这是不可能的，因此所有$a_i$都必须是不同的。也不可能存在$b_n=a_n$的任何索引，因为这样一来，对角类型的移动就会将$（0,0）$与$（a_n，b_n）$连接起来。因此，很明显$a_n<b_n$，对于所有$n$，我们让形式$（a_n，b_n）$的位置代表较高的P位置（根据对称游戏规则，形式$（b_n，a_n）$的位置代表较低的P位置）。此外，我们不能在$\delta$-序列中重复，因为这将通过对角的Wythoff类型移动连接两个P位置。仍需证明序列$a$和$b$是互补的。对称性和所有尼姆式动作的加入保证了条目不会重复。也就是说，对于每个正整数$x$，最多有一个索引$i$，即$a_i=x$或$b_i=x$，但不是两者都有。因此，可以证明，对于每个$x$，都有一个索引$i$，即$a_i=x$或$b_i=x$。假设$x$是任意列。根据前面的参数，在较低的$x-1$列中最多有$x$P-位置（从$x=1$开始，终点P-位置$（0,0）$）。根据Wythoff扩展的定义，每个这样的P位置都是$x$th列中最多有限个游戏位置的选项。因此，有一个最小行$y$，其中$（x，y）$没有任何P位置作为选项。那么$（x，y）$就是P。因此，每列中至少有一个P位置，因此，根据对称性，$a$和$b$必须是互补的。\结束{proof}\开始{表格}[ht！]\v空间{.2厘米}\开始{居中}\开始{tikzpicture}[scale=0.56]\{0/2，1/2，2/2，3/2，4/2，5/2，6/2}中的每个\x/\y\绘制[粗，棕色]（\x，\y）矩形（\x+1，\y+1）；\对于{0/0、1/0、2/0、3/0、4/0、5/0、6/0、0/1、1/1、2/1、3/1、4/1、5/1、5/1、6/1、6/1}中的每个\x/\y\绘制[厚，蓝]（\x，\y）矩形（\x+1，\y+1）；\绘制（-0.5，1.5）节点{$b_n$}；\绘制（-0.5，0.5）节点{$a_n$}；\绘制（-0.5，-0.5）节点{$n$}；\绘制（-0.5，2.5）节点{$\delta_n$}；\绘制（0.5，-0.5）节点{$0$}；\绘制（1.5，-0.5）节点{$1$}；\绘制（2.5，-0.5）节点{$2$}；\绘制（3.5，-0.5）节点{$3$}；\绘制（4.5，-0.5）节点{$4$}；\绘制（5.5，-0.5）节点{$5$}；\绘制（6.5，-0.5）节点{$6$}；\绘制（7.5，-0.5）节点{$\ldots$}；\绘制（7.5，0.5）节点{$\ldots$}；\绘制（7.5，1.5）节点{$\ldots$}；\绘制（7.5，2.5）节点{$\ldots$}；\绘制（0.5，0.5）节点{$0$}；\绘制（1.5,0.5）节点{$1$}；\绘制（2.5，0.5）节点{$3$}；\绘制（3.5，0.5）节点{$4$}；\绘制[红色]（4.5，0.5）节点{\bf{7}}；\绘制（5.5，0.5）节点{$8$}；\绘制（6.5，0.5）节点{$9$}；\绘制（0.5，1.5）节点{$0$}；\绘制（1.5，1.5）节点{$2$}；\绘制（2.5，1.5）节点{$5$}；\绘制（3.5，1.5）节点{$6$}；\绘制（4.5，1.5）节点{$10$}；\绘制（5.5，1.5）节点{$13$}；\绘制（6.5，1.5）节点{$15$}；\绘制（0.5，2.5）节点{$0$}；\绘制（1.5，2.5）节点{$1$}；\绘制[红色]（2.5，2.5）节点{\bf{2}}；\绘制[红色]（3.5，2.5）节点{\bf{2}}；\绘制（4.5，2.5）节点{$3$}；\绘制（5.5，2.5）节点{$5$}；\绘制（6.5，2.5）节点{$6$}；\结束{tikzpicture}\结束{中心}\标题{这些序列不对应于任何Wythoff Nim扩展的初始P位置。虽然序列不包含任何重复，但它们不能对应于这样的P位置，因为$\delta_2=\delta_3=2$。该表显示了给定的较低序列增长过快的后果。第4列中的“7”强制两个“5”在定理{L:2}.}的渐近结果中研究了这种行为\结束{表格}对于另一个方向，可以看到满足性质W的任意序列对构成了某些Wythoff-Nim扩张的P位置。也就是说，对于每个$i$，只有有限多个形式为$（a_i，y）$的位置，其中包含$y0\mid a_i<n\}}{n}\ge\phi^{-1}-o(1)\结束{对齐}和\开始{align}\label{bin}\压裂{{i>0\midb-i<n}}{n}\le\phi^{-2}+o（1）。\结束{对齐}特别地，该结果适用于$\｛（a_i，b_i）\｝$，表示任何Wythoff-Nim扩展的上P位置。\结束{定理}\开始{proof}对于任何给定的Wythoff-Nim扩展，将$y$-序列定义为$b$-序列的唯一置换，其中条目按递增顺序排列。这是所有$n$和$\{y_n\}=\{b_n\}$的$y_n<y_{n+1}$。定义唯一的surpjective函数$j:\N\rightarrow\N$，$j=j（N）$，这样，对于所有$N$，$a_j\len<a_{j+1}$。（这是由$（a_i）$严格递增和$a_1=1$定义的。）假设（\ref{ain}）不成立。然后，随着$（a_i）$的增加，有一个$\epsilon'>0$，对于所有足够大的$n$，$\frac{j（n）}{a_{j（n）}}<\phi^{-1}-\epsilen'$。通过颠倒这个方程，我们显然得到了$\frac{1}{\phi^{-1}-\epsilon'}<\frac{a{j（n）}}{j（n）}$，这意味着有一个$\epsilen>0$，对于所有足够大的$n$，$\phin+\frac}\epsilon}{2}<a_n$。通过互补性，这意味着，对于所有足够大的$n$，$\phi^2n-\gamma（\epsilon）\gey_n$，其中$\gamma（\epsilon）>\frac{\epsiron}{2}$只是$\epsilon$的函数。因此\开始{align}\label{incr}\增量'_n&：=y_n-a_n\符号\\&<（\phi^2-\phi）n-\epsilon n\notag\\&=（1-\epsilon）n，\结束{对齐}对于所有足够大的$n$。因此，由于序列$（delta'_n）_{n\leN}$中的所有条目都是正整数，因此对于所有足够大的$n$，它必须至少包含$\epsilon n$（成对）重复。给定N$中的$C\，当且仅当$b_x\le C$时，通过S_b$中的$x定义有限集$S_b=S_b（C）$。即$S_b$包含所有小于$C$的$b$项的索引。对于给定的$C$，让$（n_i）$是$S_b$中数字的唯一递增序列。然后，对于所有$i$，显然是$n_i\ge-i$，因此，通过$（a_i）$的增加，对于所有$i$，也是$a_{n_i}\ge-a_i$。假设$N$足够大，因此$（delta'_N）_{N\leN}$包含$\epsilon N$重复，如前一段所定义，并研究大小为$N$的唯一集$S_b$。它包含$b$-序列中$N$最小项的索引，$（N_i）_{i=1}^N$。因此，由于$\sum_{S_b}a_{i}\ge\sum_}i=1}^N a_i$和$\sum_{S_b{i}=\sum__{i=1}^N y_i$，我们得到了$\sum_2S_b}\delta_2}\le\sum__2=1}^N\delta'_i$。因此序列$（\delta_i）_{i=1}^N$还必须包含所有足够大的$\epsilon N$重复美元。这与属性W相矛盾，因此（ref{ain}）必须保持，因此，通过互补（ref{bin}）也必须保持。\结束{proof}\部分｛为$（1,2）\G$｝拆分P位置\标签｛S:3｝在本节中，我们分析了取自{Lar12}的博弈$（1,2）\G$，并证明了它的上P位置$（2,0.05）$-分裂。下面的引理表明，对于直线$y=2x$上方P位置的$x$-坐标，它足以建立一个正的下渐近密度。\开始{引理}\标签{L:3}假设直线$y=2x$上方P位置的$x$-坐标具有正的下渐近密度。然后，拆分$（1,2）\G$的上部P位置${（a_n，b_n）\midn\in\}$。\结束{引理}\开始{proof}设$（k_i）$表示指数的唯一递增序列，对于N$中的所有$i\，$2<b_{k_i}/a_{k_1}$，如果$k_i<j<k_{i+1}$，则$b_j/a_j<2$（将$k_0=0$）。我们已经在论文{Lar12}中证明了$（k_i）$是无限的。进一步证明，通过“贪婪”选择，$b$-序列满足所有$i$，\开始{align}\label{+1}b_{k_{i+1}}＝2（a_{k_{i+1}}-a_{k_{i}）+b_{k_{i}}+1。\结束{对齐}假设有一个$\epsilon>0$，对于所有足够大的$N$，\开始{align}\label{iN}\#\{i\mida{ki}\φ^{-1}-o(1)$. 根据定理~ref{L:2}，对于所有足够大的$N$，斜率1的N个梁的数量，它们与图\ref{fig5}中$y=N$和$y=frac{3N}{2}$之间的（红色）虚线相交，并且从区域中的P位置开始\开始{itemize}\项目[（I）]至少是$\tau\frac{N}{2}$，\项目[（II）]至少是$c\tau\frac{N}{2}$，其中$01.05N$，这与N和P的定义相矛盾，即它意味着要么在斜率2的同一直线上有两个P位置，要么在斜面1的同一线上有两个P-位置。\结束{proof}\开始｛figure｝[ht！]\开始{居中}\开始{tikzpicture}[比例=3]\绘制[<->，厚]（0,4）节点（yaxis）[上方]{$y$}|-（3,0）节点（xaxis）[右]{$x$}；\绘制[蓝色，厚]（0,0）坐标（a_1）--（3,3）坐标（a_2）；\绘制[绿色，厚]（0,0）--（2,4）；\绘制[绿色，厚]（2/3,1/3）--（2,3）；\绘制（0,0）--（3,3/2）；\绘制[蓝色，厚]（1,2）--（2,3）；\绘制[虚线，红色，厚]（2,2）--（2,4）；\绘制[虚线]（1,0）--（1,18）；\绘制[虚线]（1,0.36）--（1,1）；\绘制[虚线]（.666,0）--（.666，.333）；\绘制[虚线，粗]（1,1）-（1,2）；\绘制[虚线]（2,0）--（2,2）；\绘制（0.75，1.05）节点{I}；\绘制（1.75，2.1）节点{II}；\绘制（1.25，1.9）节点{II}；\绘制（1.75，3.1）节点{III}；\绘制（0.61，.43）节点{IV}；\绘制（2，-0.12）节点{$N$}；\绘制（1，-0.12）节点{$N/2$}；\绘制（.67，-0.12）节点{$N/3$}；\绘制（2.3,2）节点{$（N，N）$}；\绘制（2.35,3）节点{$（N，3N/2）$}；\绘制（2.3,4）个节点{$（N，2N）$}；\绘制（1.4,1）节点{$（N/2，N/2）$}；\绘制（1.06，.26）节点{$（N/3，N/6）$}；\填充[红色]（2/3,1/3）圆（.7pt）；\填充[红色]（2,2）圆（.7pt）；\填充[红色]（1,1）圆（.7pt）；\填充[红色]（2,3）圆（.7pt）；\填充[红]（2,4）圈（.7pt）；\end{tikzpicture}\caption{我们考虑四个区域中的P位置将N个位置发送到具有$x$-坐标$N$的晶格点。来自区域I和II的位置具有斜率1，来自区域I、III和IV的位置具有斜坡2。$y$-坐标$3N/2$在我们的论证中至关重要。下面是斜率1的梁，上面是斜率2的梁\结束{中心}\结束{图形}%\清除页面\分区｛游戏$（2,3）\G$｝\标签｛S:4｝通过类似的方法，还可以证明$（2,3）\G$的上P位置分裂。对于斜率3/2线上方的P位置的处理，需要格外小心，但可以看出，从该线上方P位置开始的N梁的填充也将非常密集；在$O（N）$到$y$-坐标$3N/2$的距离内（$N$偶数），尽管对于$（1,2）\G$，它们并不是严格的“贪婪”。另一个稍微复杂的问题是，对于这个游戏，需要考虑两列，$N，N+1$，而不是$（1,2中的单个$N$-列\加纳。然而，这仍然意味着在这条线和斜率1之间要检查其N状态的位置数为$N$。此外，图{图5}中区域I、II和III的类似物的贡献与$（1,2）\G$的估算值相同。通过定理~\ref{L:2}和检验，对于这种情况，区域IV的贡献给出了$x$-坐标$3N/10$以下的额外P位置数；其中至少有3美元（1-\套）N/10$。因此，总数至少为$（\frac{6\tau}{5}+\frac{3}{10}）N>1.04N$。\开始{定理}上部P将$（2,3）\G$的$\{（a_n，b_n）\mid\n\}$定位为拆分。\结束{定理}对于GDWN的其他变体，分析似乎更具技术性，可能需要新的想法。特别是，对于此类博弈，在论文{Lar12}中观察到了发散P光束的各种对数周期行为，而（1,2）-GDWN和（2,3）-GDWN。\第{讨论和问题}节论文中的最后一个问题引用{KnLa04}涉及一般置换的属性W（如命题{prop}中定义的）的模拟。让我们重申一下：自然数上是否有任何置换$g$，例如$g（x）-x\neg（y）-y$每当$x\ney$，以及$$\limsup_{i\rightarrow\infty}\frac{g（i）}{i}-\liminf_{i\ rightarror\infty}\frac{g（i）}{i）}{i}<1？$$在本文中，我们在$g$是对合的情况下给出了一个否定的答案。这个问题对于一般的排列仍然是开放的。通过定理{L:2}，属性W实际上意味着正整数的给定集合$S$的一个属性，如下所示。设$\{s_i\}=s\subset\N$，其中$s_i$是不同的（按递增顺序）。我们已经证明，如果$\N\set减去S$中的数字有一个$（t_i）$的顺序，使得$t_i-S_i=t_j-S_j>0$意味着$i=j$，那么$S$的较低渐近密度必须大于或等于$\phi^{-1}$。相反的情况一般不成立。例如，表\ref{F:3}中以$a$-序列开头的任何集合$S$都没有这个属性，但可以很容易地构造成密度小于或等于$\phi^{-1}$的集合，例如，通过让它收敛到Wythoff的$a$-序列。这个相反的问题在游戏设置中更有意义。例如，我们想对Wythoff-Nim满足（\ref｛ain｝）的那些\emph｛restrictions｝进行分类。从Wythoff Nim中删除有限多个对角线移动是否会更改此属性？然后在$\delta$-序列中会重复出现，甚至出现$a_i=b_i$，因此我们必须适当地放宽属性W。序列$（x_i，y_i）$\emph{density-splits}如果它$（\alpha，\epsilon）$-分裂，并且集合$\{x_i\mid\alpha\ge\frac{y_i}{x_i}}$和$\{x _i\mid\alfa+\epsilon\le\frac}{y_i}{x_ i}}}$中的每一个都具有正的较低渐近密度。如果我们用密度分裂代替密度分裂，我们的结果是否成立？我们推测出了一个肯定的答案，但上P位置下P光束仍缺少一些细节，参见论文{Lar12}。\节{致谢}我要感谢这位匿名裁判的许多有益评论。\开始{书目}{99}\bibitem{BCG82}E.R.Berlekamp、J.H.Conway和R.K.Guy，\emph{获胜方式}，卷~1--2，学术出版社，1982年。第二版，卷~1-4，A.K.Peters，2001-2004年。\bibbitem｛Bou02｝C.L.Bouton，Nim，一个具有完整数学理论的游戏，《数学年鉴》，\textbf｛3｝（1901/02），35-39。\bibitem{Con76}J.H.Conway，\emph{数字与游戏}，学术出版社，1976年，第二版，A.K.Peters，2001年。\bibitem{DFNR10}E.Duch\^ene、A.S.Fraenkel、R.J.Nowakowski和M.Rigo，《威瑟夫游戏的扩展和限制保持其P位置》。\emph{J.Combinat.理论Ser.A}\textbf{117}（2010），545--567。\bibitem{Fra82}A.S.Fraenkel，《如何在三条战线上击败你的威瑟夫游戏的对手》，emph{Amer.Math.Monthly}{\bf 89}（1982）353-361。\bibitem{HeLa06}P.Hegarty和U.Larsson，具有规定差分多集的自然数的置换，emph{Integers}\textbf{6}（2006），\#A3。\bibitem{KnLa04}J.Knape和U.Larsson，\emph{避免线性方程解的整数集和置换}，G大学奥特堡分校硕士论文，2004年。\bibitem{Lar09}U.Larsson，2堆Nim，具有有限数量的移动大小模拟。附录由Peter Hegarty提供。\emph{整数}\textbf{9}（2009），\#G04，671--690。\bibitem{Lar11}U.Larsson，Blocking Wythoff 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