\文档类[12pt，reqno]{article}\usepackage[用户名]{颜色}\使用包{amssymb}\使用包{graphicx}\使用包{amscd}\usepackage[colorlinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色｛webbrown｝｛rgb｝｛.6,0｝\使用包{color}\使用包{fullpage}\使用包{float}\使用包{psfig}\usepackage{graphics，amsmath，amssymb}使用包\使用包｛amsthm｝\使用包{amsfonts}\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\evensidemargin}{.1in}\集合长度{\topmargin}{-.1in}\设置长度{\textheight}{8.4in}\新命令{\seqnum}[1]{\href{网址：http://oeis.org/#1}{\下划线{#1}}\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\离开模式\epsfile{logo129.eps}\结束{中心}\理论风格{普通}\新定理{定理}{定理{\新定理{推论}[定理]{推演}\新定理{引理}[定理]{引言}\新定理{命题}[定理]{命题\理论风格{定义}\新定理{definition}[定理]{definition}\新定理{example}[定理]{example}\新定理{猜想}[定理]{猜测}\理论风格{remark}\新定理{remark}[定理]{remark}\开始{居中}\vskip 1cm{\LARGE\bf计算Miura-ori褶皱}\vskip 1cm\大型Jessica Ginepro\脚注{国家科学基金会资助的研究EFRI-1240441`“自折叠聚合物板材的机械超材料”。}\\数学系\\康涅狄格大学\\礼堂路196号3009单元\\斯托斯，CT 06269-3009\\美国\\\链接{mailto:jessica.ginepro@uconn.edu}{\tjessica.ginepro@uconn.edu} \\\ \\托马斯·C·~赫尔\footnotemark[\value{脚注}]\\数学系\\新英格兰西部大学\\威尔布拉汉姆路1215号\\马萨诸塞州斯普林菲尔德，邮编01119美国\\\链接{mailto:thull@wne.edu}{\tthull@wne.edu}\结束{中心}\vskip.2英寸\开始{abstract}我们考虑枚举经典的三浦地图折叠折痕图案可以折叠平坦。具体来说，我们的目标是计算分配方式的数量$M（n，M）$山脉和山谷的折痕，使每个顶点在$m$by$n$Miura地图折叠将能够折叠平坦。重复关系和对于小$n$和任意$m$，可以找到闭合公式。我们还证明$M（n，M）$生成的数字数组等价于正确地对$m乘以n$网格图进行三顶点着色的方法数量其中一个顶点已预先着色。\结束{抽象}\章节{引言}在折纸（纸张折叠）的数学中，列举折痕图案可以折叠的方式通常很困难。即使是看似简单的邮票折叠问题（折痕图案是由正交线组成的网格）也没有得到解决。此外，折纸计数问题自然出现于对褶皱聚合物膜的研究中，其中对折痕图案的限制族{DiF}获得了渐近结果。此外，在不断增长的自折叠结构领域，了解给定折痕图案的可能折叠配置对于确保结构折叠成所需形状至关重要。更具体地说，有不同的方法可以计算给定折痕图案的折纸折页。以邮票折叠后的问题为例，我们可以尝试计算几种不同的方法，我们可以将网格中顶点之间的折痕指定为{\em山脉}（凸面）或{\em-山谷}（凹面），同时能够折叠成平面正方形，而无需纸张相互交叉。这个问题尚未解决。或者，我们也可以计算在最终折叠状态下重新排列纸张层数的方法。这一版本的问题得到了更多的探讨；例如，Koehler\cite{Koehler}写了一篇早期的论文，而Jensen和Guttmann从弯曲的角度提出了一维邮票折叠问题的改进算法。Lunnon（以及其他人）发现了二维邮票折叠的算法，并计算了层{Lunnon，Lunnon2}。在本文中，我们将重点放在前一版本的计数折叠问题上，而忽略了折纸模型的可变层顺序。除了在单顶点情况下{Hull3}，计算山谷褶皱的一般理论仍然难以捉摸。因此，找到这些问题可以解决的折痕图案族是有价值的。在工程和自然领域的折纸应用中，有一个家族引起了人们极大的兴趣，那就是{\em Miura地图折叠}，也称为{Miura-ori}引用{Maha1，Miura1，Silverberg，Wei}。它的折痕图案由人字形图案中的$m\次n$个同余平行四边形数组组成。图{fig1}显示了这种折痕图案；每个顶点由两个全等锐角$\alpha$和两个全等钝角$\pi-\alpha#组成，其中$0<\alpha<\pi/2$。\开始{figure}\中心线{\includedgraphics[scale=.25]{gh-fig1.eps}}\标题{A$4\乘以4$Miura-ori，使用标准MV赋值。粗体折痕表示山脉，非粗体折缝表示山谷。}\label{fig1}\结束{图形}我们可以确定折痕图案是如何从其{山谷（MV）赋值}折叠起来的。如果我们将折痕图案$C$视为平面中的一个连通嵌入图，顶点集为$V（C）$，边集为$E（C）美元，其中每条边都是折痕图案的线段，那么MV赋值是一个函数$\mu:E（C）\rightarrow\{-1,1\}$，其中$-1$表示山谷，$+1$表示山脉折痕。为了折叠折痕图案，函数$\mu$必须遵守某些规则，如第\ref{sec2}节所述。图\ref｛图1｝中所示的MV分配是Miura ori折叠平的标准方式，因为它可以使纸张平滑而牢固地折叠和展开。但是，还可以进行其他许多MV指定，以确保每个顶点折叠平坦。不幸的是，正如我们将在第\ref{sec5}节中讨论的那样，并不是每一个{\em局部}折叠平坦的Miura-ori MV赋值都会{\em-全局}折叠平整。在本文中，我们讨论了枚举局部折叠平坦的$m倍n$Miura-ori折痕模式的MV分配数。特别地，我们获得了$m$的小值的闭合公式，并证明了一般情况与计算一个$m\次n$网格图的三顶点着色方法数问题之间的双射。\截面{局部平面折叠条件}\标签{sec2}为了使折纸折痕图案中的顶点折叠平整（即，可以在书中按压而不产生褶皱或添加新折痕），必须遵循某些几何和组合规则。{\em川崎定理}指出，$C$中的顶点$v$将折叠平坦，当且仅当围绕$v$的角的交替和按顺序等于零时。在Miura-ori中，每个顶点的交替求和为$$\alpha-\alpha+（\pi-\alha）-（\pi-\alpha）=0$$因此每个顶点都会折叠成平面。{\em Maekawa定理}指出，如果$C$中的顶点$v$折叠平坦，则$v$附近的山数和谷数之间的差值必须为2。请注意，这在图\ref{fig1}中示例的每个顶点都适用。Maekawa定理表明，Miura-ori中的四阶顶点必须有三个山峰折痕和一个山谷，反之亦然。但并非三座山和一个山谷的所有组合都有效。使用图\ref{fig2}中所示的标签，对于$i=1,2,3$，我们不可能有$\mu（e_4）=V$和$\mu（e_i）=M$。鼓励读者自己尝试一下，发现如果$e_1$、$e_2$和$e_3$折痕都是山，那么两个锐角$\alpha$是如何包含钝角的。我们将这种现象称为{\em鸟脚强迫}，因为这些Miura-ori顶点看起来像鸟脚。如果我们反转所有折痕（使$\mu（e_4）=M$，其他折痕为$V$），则会发生同样的情况，因此只有六个不同的MV指定可以指定给Miura-ori顶点。这些如图\ref{fig2}所示。\开始{figure}\中心线{\includedgraphics[scale=.4]{gh-fig2.eps}}\标题{一个Miura-ori顶点和它可以拥有的六个MV赋值，紧跟着鸟的脚。}\label{fig2}\结束{图形}如果$\mu$与图\ref{fig2}中所示的每个$C$顶点的MV赋值之一相匹配，则MV赋权$\mu:E（C）\rightarrow\{\pm1\}$是{\em局部平坦可折叠}。换句话说，每个顶点都将自己折叠成平面。然后，我们让$M（M，n）$表示可以对$M×n$Miura ori（具有平行四边形的$M$行和$n$列）进行的不同局部平坦可折叠MV分配$\mu$的数量。图\ref{fig2}显示$M（2,2）=6$。在下一节中，我们将为$M（M，n）$的情况开发一些闭合公式。\节{递归和公式}\标签{sec3}首先让我们计算$M（2，n）$。这很容易做到，因为我们知道有六种方法可以折叠单个顶点，所以让这个顶点成为我们的端点之一。然后，与其相邻的顶点有一条线已经指定为山或山谷，因此该顶点被限制为只有三个可能的指定。然后继续到每个相邻的顶点，直到到达第$（n-1）$-个顶点。递归是$M（2，n）=300万（2，n-1）$，$M（2,2）=6$。因此$$M（2，n）=2\cdot 3^{n-1}$$注意，这个相同的参数可以显示$M（M，2）=2\cdot3^{M-1}$。事实上，$M（M，n）=M（n，M）$总是成立的，但我们将延迟对此的证明，直到第\ref{sec5}节。查看一个大于$m\乘以2$的案例会带来新的问题。对于这一点，引理将被证明是有用的。我们说，如果鸟脚的“脚跟”指向左侧，则Miura ori顶点｛\em指向左侧，如图\ref｛图2｝所示。｛\em指向右侧也有类似的定义。\开始{引理}\标签{lem:1xn}假设$C$是$2\乘以n$Miura-ori的折痕图案，所有顶点都指向左侧，而$\mu$是$C$的MV赋值。让$c$是$c$中最左侧的折痕，让$\gamma$是围绕$c$的所有顶点的简单闭合曲线（即，跨越所有非内部折痕）。假设$M_\gamma$（resp.，$V_\gama$）是$\gamma$s穿过的山脉（resp..，valley）的折痕数。然后我们有：如果$\mu$是局部平坦的，那么$\mu（c）=（M_\gamma-V_\gama）/2$。\结束{引理}\开始{figure}\中心线{\includedgraphics[scale=.4]{gh-fig22.eps}}\标题{根据引理{lem:1xn}，证明中使用的$2\乘以5$Miura-ori，其中$M_\gamma=6$，$V_\gama=4$，$\mu（c）=1$（左）和$2\s乘以n$Miura-ori（右）。}\标签{图2-2}\结束{图形}从证明中可以看出，引理{lem:1xn}真正的意思是$M_\gamma-V_\gama$将始终等于$\pm2$，就像Maekawa定理中一样，并且折痕$c$的MV奇偶性将控制$M_\ gamma-V_ \gamma$的正负奇偶性。有关示例，请参见图\参考{图2-2}。（请注意，这些属性通常不存在于多视平面折纸折痕图案中。有关示例，请参阅\cite[活动23]{Hull4}。）\开始{proof}我们对$n$进行归纳。当$n=2$时，我们只有一个顶点。如果顶点折叠平坦，则Maekawa定理给出$M_gamma-V_\gamma=\pm 2$，并参考图{fig2}中的六个可能的MV赋值来确认结果。现在，让$C$是一个$2\times n$Miura ori，MV赋值$\mu$，如引理的陈述中所示，并标记外部折痕$C_1，\ldots，C_{2n}$围绕折痕模式顺时针旋转，其中$C_1$是最左边的折痕。然后最右边的折痕是$c_{n+1}$。假设$d$是最右侧顶点$v$的剩余未标记折痕，这样$v$将顺时针折痕$d$、$c_{n}$、$c_{n+1}$和$c_}n+2}$，如图\ref{fig2-2}所示。假设$\mu$在$C$中是局部平坦的。然后$\mu$在折痕图案$C-v$上也是局部平坦的，它是$2倍（n-1）$Miura-ori。使用归纳假设，我们可以假设$M_{gamma'}-v_{gama'}=2$for$\gamma'$，围绕着这个$2倍=-2$case只需将所有Ms切换为Vs和vice-versa即可实现。）现在我们来看折痕$d$。如果$d$是M，那么$c_{n}$、$c_}n+1}$和$c__{n+2}$必须有2个M和1个V，这样$V$才能平铺折叠。因此，如果我们将$\gamma'$扩展到$\gamma$，其中包括$v$，那么我们仍然有$M_\gamma-v_\gamma=2$，因为$\gamma$不再跨越$d$，而是现在跨越$c_n$、$c_{n+1}$和$c_{n+2}$（我们减去一个M加上2Ms和一个v）。$d$是V的情况类似，在这两种情况下，我们得出$\mu（c1）=（M_\gamma-V_\gama）/2$。这就完成了引理的证明。\结束{proof}\开始{figure}\中心线{\includedgraphics[scale=.5]{gh-fig25.eps}}\标题{$m乘以3$Miura-ori折痕图案中的最后一行顶点。}\label{fig2.5}\结束{图形}我们现在将通过查看案例，为$M（M，3）$开发递归方程。对于$m\times 3$折痕图案$C$，表示两个顶点最底部行附近的折痕，如图\ref{fig2.5}所示。那么让\开始{eqnarray*}A_m&=&\mbox{$m\乘以3$MV赋值的次数，其中}\mu（e_4）=\mu\\B_m&=&\mbox{$m\乘以3$MV赋值的次数，}\mu（e_4）\not=\mo（e_5）。\结束{eqnarray*}我们从初始条件$A_1=2$和$B_1=2$开始，如果我们认为$1\乘以3$的情况有两个平行折痕和零顶点，这是有意义的。然后考虑$A_m$，其中$e_4$和$e_5$都是Ms，$e_6$也是m。然后画一条曲线$\gamma$，如图\ref{fig2.5}所示，引理{lem:1xn}告诉我们$m_\gamma-V_\gama=2$，因此$e_1、e_2、e_3$中正好有一个是m。所有这三种情况都为我们提供了底部行的可展平顶点。其中两个具有$\mu（e_1）\not=\mu。然而，如果$e_6$是V，那么我们有$M_\gamma-V_\gama=-2$，那么$e_1、e_2、e_3$中的三个都是谷。这为我们提供了$A_{m-1}$方法来将m和V指定给其余折痕。此外，如果我们选择$e_4$和$e_5$都是Vs，则会发生相同的情况划分。因此，$$A_m=2A_{m-1}+2B_{m-1}$$对于$B_m$，假设$e_4$是V，$e_5$是m。然后如果$e_6$是m，则$m_\gamma-V_\gama=2$，这意味着$e_1、e_2、e_3$中正好有一个是V。所有这些情况对于这两个顶点都是局部平坦可折叠的，给出两个$B_{m-1}$情况和一个$a_{m-1\}$情况。如果$e_6$是一个山谷，那么有趣的是，$e_1$被鸟的脚强迫成V。由于$M_\gamma-V_\gama=-2$，我们正好有$e_2$和$e_3$中的一个是M，因此我们得到了一个$B_{M-1}$和一个$a_{M-10}$案例。因此$$B_m=2A_{m-1}+3B_{m-1}$$那么$M（M，3）=A_M+B_M$。利用求解一阶线性递归系统的标准技巧（例如，引用[Sec.\7.5]{Tucker}），我们得到了$M（M，3）$的生成函数$（1-x）/（1-5x+2x^2）$。分母的零是$\alpha_{\pm}=（5\pm\sqrt{17}）/4$，这是闭合形式$$M（M，3）=c+（1/\alpha_+）^M+c_-（1/\alpha_-）^M$$其中$c_{\pm}=（17\pm3\sqrt{17}）/34$。$m乘以4$和$m乘以5$的情况处理类似，但需要检查更多的情况和细节，为了简洁起见，我们跳过这里。对于$m\乘以4$，我们让最底部的折痕为$e_1$e_2$和$e_3$（在前面的例子中扮演与$e_4$和$e_5$相同的角色），并让\开始{eqnarray*}A_m&=&\text{具有}\mu（e_1）=\mu\\B_m&=&\text{带有}\mu（e_1）=\mu\\C_m&=&\text｛具有｝\mu（e_1）=\mu（e_3）\not=\mu（e_2），\text｛和｝的MV分配数\\D_m&=&\text{带有}\mu{e_1}\not=\mu（e_2）=\mu（e_3）的MV分配数。\结束{eqnarray*}仔细检查这些病例会导致以下一级复发：$A_m=2A_{m-1}+B_{m-1}+C_{m-1'+D_{m-1\n$$B_m=A_{m-1}+2B_{m-1}+2C_{m-1'+2D_{m-1\n$$C_m=A_{m-1}+3B_{m-1}+3C_{m-1'+D_{m-1\n$$D_m=A_{m-1}+2B_{m-1'+2C_{m-1\}+2D_{m-1}$，$A_1=B_1=C_1=D_1=2$。再次，我们获得了$M（M，4）=a_M+B_M+C_M+D_M$的生成函数：$$\frac｛4-12x+6x^2｝｛3-27x+45x^2-18x^3｝$$它的分母有零$\alpha_1\约1.65406$，$\alfa_2\约0.702511$，$\ alpha_3\约0.143432$，但它们使用部首的表达式相当混乱。近似公式为$$M（M，4）=c_1（1/\alpha_1）^M+c_2（1/\alpha_2）^M+c_3（1/\ alpha_3）^M$$其中，$c_1约为0.0132428$，$c_2约为0.21837$，$c_3约为1.10172$。使用这些相同的方法获得的$m乘以5$情况的递推方程为：$A_m=2A_{m-1}+B_{m-1'+C_{m-1}+D_{m-1\}+E_{m-1$$B_m=A_{m-1}+2B_{m-1'+C_{m-1}+D_{m-1}+E_{m-1{+F_{m-1,+G_{m-1\}+H_{m-1/}$$C_m=A_{m-1}+B_{m-1}+2C_{m-1}+D_{m-1\n+E_{m-1$$D_m=A_{m-1}+B_{m-1}+C_{m-1}+2D_{m-1\}+E_{m-1$$E_m=A_{m-1}+B_{m-1}+C_{m-1}+D_{m-1'+2E_{m-1{+F_{m-1\}+G_{m-l}+H_{m-1,}$$F_m=B_{m-1}+C_{m-1}+D_{m-1}+E_{m-1{1}+2F_{m-1$$G_m=B_{m-1}+2C_{m-1'+2D_{m-1}+E_{m-1{+2F_{m-1}+2G_{m-l}+2H_{m-1\n$$H_m=B_{m-1}+2C_{m-1'+2D_{m-1}+E_{m-1{+2F_{m-1}+2G_{m-1\}+3H_{m-1$这里最初的$m=1$项都是2和$m（m，5）=A_m+B_m+\cdots+H_m$。我们再次得到一个生成函数：$$\压裂{2-16x+36x^2-30x^3+8x^4}{1-16x+65x^2-92x^3+48x^4-8x^5}$$虽然注意分母是不可约五次曲线，但可以由此创建近似闭合公式。作者回避了这个系统的封闭公式。\节{着色双射}迄今为止生成的公式和循环可用于生成$M（M，n）$的下表：\大跳跃\中心线{\开始{tabler}{c|cccccccc}$n\反斜杠m$&2&3&4&5&6&7&8\\hline2 & 6 & 18 & 54 & 162 & 486 & 1458 & 4374 \\3 & 18 & 82 & 374 & 1706 & 7782 & 35498 & 161926\\4 & 54 & 374 & 2604 & 18150 & 126534 & 882180 & 6150510 \\5 & 162 & 1706 & 18150 & 193662 & 2068146 & 22091514 & 235994086\结束｛表格｝}\大跳跃此数字表正好符合整数序列在线百科全书{OEIS}中的序列\seqnum{A078099}，其中编码$T（m，n）=$网格图顶点（具有$m$行和$n$列的顶点）的3种着色方式的数量，其中一个顶点预着色。这不能仅仅是巧合。我们在本节中的目的是在Miura ori局部平坦可折叠MV分配和这种网格图着色之间构造双射，即$M（M，n）=T（M，n）$。将{\em$m\timesn$gridgraph}定义为具有$m$行和$n$列顶点的平面网格图。我们将通过为两个图定义有限序列$s_k$，在一个顶点预先着色的$m次n$网格图的适当三顶点着色数和局部平坦可折叠$m次n$Miura-ori折痕图案数之间建立一个双射。给定一个正确的3顶点着色$m\timesn$grid图，让颜色为$\mathbb的元素{Z} _3个$并让序列的第一个元素$s_0$是左上角顶点的颜色，我们假设它为零（我们的预着色顶点）。然后沿着第一行顶点向右移动，将颜色指定给序列项$s_1$到$s_n$。然后让$s_{n+1}$成为第二行顶点中最右边顶点的颜色（直接位于具有$s_n$颜色的顶点下方），然后继续向左。继续这样，在网格图的行之间来回蜿蜒，以生成{\em网格图着色序列}$s_k$。例如，图\ref｛fig3｝中显示的网格图着色为$$s_k:0，1，0，1，2，0，2，1，0,2，0,1，2，0,1$$\开始{figure}\中心线{\includedgraphics[scale=.7]{gridsequence.eps}}\标题{一个$3\乘以5$的网格图，具有适当的三顶点着色，箭头显示着色序列$s_k$.}\label{fig3}的构造顺序\结束{图形}让$v（s_i）$表示其颜色指定给$s_i$的顶点。注意，对于$i=1$到$mn-1$，$v（s_i）$与$v（s_{i+1}）$相邻，因此$s_i\not=s_{i+1}$。此外，彼此正上方和正下方的顶点必须具有不同的颜色。这可以通过以下关系捕获：$$v（s_i）\nbox{与}v（s.j）\nbox{如果}j-i=2n-1-（2i\bmod 2n）相邻$$其中$j>i$。现在，我们描述了一种通过MV赋值$\mu:C\rightarrow\{-1,1\}$从$m\次n$本地可平坦折叠的Miura-ori折痕模式生成序列$s_k$的方法。我们将这种序列称为{\em Miura-ori序列}。首先确定折痕图案的方向，使顶行顶点全部指向左侧。然后想象一个覆盖在折痕图案上的$m倍n$网格图，这样折痕图案的每个平行四边形都有网格图的一个顶点，就像平面对偶图一样。然后，我们使用相同的顶点顺序，就像我们为网格图制作着色序列一样。顶点$v（s_0）$将位于折痕图案的左上角，并且我们设置$s_0=0$。让我们将$c_i$表示为顶点$v（s_{i-1}）$和$v（s2）$之间的折痕。然后，我们递归地将序列的其余项赋值如下：$$s_i\equiv s_{i-1}+\mu（c_i）\\pmod 3$$有关创建Miura-ori序列的示例，请参见图\ref{fig4}。\开始{figure}\中心线{\includedgraphics[scale=.7]{miurasequence.eps}}\标题{A$3\乘以5$Miura-ori带MV赋值的折痕模式生成一个序列。粗体折痕表示山脉，非粗体折缝表示山谷。此折痕模式产生Miura-orie序列$s_k:0，1，0，1，2，0，0，1$.}\label{fig4}\结束{图形}在下面的引理中，我们证明了生成Miura-ori序列的递归规则也适用于水平折痕。\开始{引理}\标签{lem:Miura-consistent}给定由$m\次n$Miura-ori折痕模式生成的Miura-ori-序列$s_k$，考虑$j-i=2n-1-（2i\bmod 2n）$的非负整数$i$、$j$，并让$d_i$是$v（s_i）$和$v（s _j）$之间的折痕。然后$s_j\equiv s_i+\mu（d_i）$（{\rm mod}3）。\结束{引理}\开始{proof}如果$j-i=2n-1-（2i\bmod 2n）$，则$j>i$和$v（s_i）$直接位于叠加在折痕图案上的网格图中的$v（s_j）$之上。伸缩$s_j$的递归，我们得到$$s_j\equiv s_i+\sum_{k=i+1}^{j}\mu（c_k）\pmod 3$$因此，我们想证明$\mu（d_i）=\sum_{k=i+1}^{j}\mu。为此，我们应用引理\ref｛lem:1xn｝。设$\gamma$是通过折痕的简单闭合曲线，顺序为$c_{i+1}，\ldots，c_{j}，d_i$。然后，通过引理{lem:1xn}我们得到$$2\亩（d_i）=M_\gamma-V_\gama=亩（d\yi）+\sum_{k=i+1}^{j}\mu（c_k）$$其中，第二个等式是通过将$\mu$的所有值沿$\gamma$相加得到的。因此$\mu（d_i）=\sum_{k=i+1}^{j}\mu。\结束{proof}引理{lem:Miura-consistent}表明，每$m\次n$Miura-ori序列也给出$s_0=0$的$m\次数n$grid图着色序列，并且该对应关系是内射的；带有MV赋值的给定Miura-ori折痕模式将生成具有定义良好、适当着色的网格图序列。相反，给定$m\times n$网格图的适当三顶点着色，其左上顶点着色为0，其着色序列为$s_k$（其中$s_0=0$），我们可以将网格覆盖到$m\times n$Miura ori折痕图案上（顶行顶点指向左），并根据递推式$s_i\equiv s_{i-1}+\mu（c_i）生成MV赋值$（mod 3）。那就是，$$\mu（c_i）=\begin{cases}1，&\text{if}s_i-s_{i-1}\equiv 1\pmod 3\\-1，&\text{if}s_i-s_{i-1}\equiv2\pmod 3.\end{cases}$$然而，请注意，这并没有为Miura-ori中的所有锐化定义$\mu$，而只是在顶点$v（s_{i-1}）$和$v（s2）$之间锐化$c_i$。尽管如此，到目前为止定义的MV赋值$\mu$将生成网格图着色生成的相同序列$s_k$。因此，我们可以使用引理{lem:Miura-consistent}的结果为剩余的折痕指定$\mu$，如下所示：如果折痕$d_i$是顶点$v（s_i）$正下方和$v（s_j）$正上方的折痕（这样$v（s1）$与$v（s2）$相邻），那么让$$\mu（d_i）=\begin{cases}1，&\text{if}s_j-s_i\equiv 1\pmod 3\\-1，&\text{if}s_j-s_i\equiv2\pmod 3.\end{cases}$$\开始{引理}\标签{lem:Miura-folds}由上述过程创建的$m\times n$Miura-ori MV赋值$\mu$可在本地平展。\结束{引理}\开始{proof}需要说明的是，在每个鸟脚顶点，“脚后跟”折痕与顶点周围的大多数折痕具有相同的MV奇偶性。\开始{figure}\中心线｛\includegraphics〔scale＝.7]｝｛localflattvertic.eps｝｝\标题{两个Miura-ori顶点，带标记的折痕和叠加网格图形部分指向左侧。}\label{fig5}\结束{图形}取折痕图案中的任意顶点，假设它指向左侧。标记折痕并考虑顶点周围叠加网格图的部分，如图\ref{fig5}所示。从$\mu$的构造来看，我们有\开始{eqnarray*}s_i&\equiv&s_{i-1}+\mu（c_i）\pmod 3\\s_j&\equiv&s_i+\mu（d_i）\pmod 3\\s{j+1}&\equiv&sj+\mu（c{j+1}）\pmod 3\\s{j+1}&\equiv&s{i-1}+\mu（d{i-1{）\pmod3\结束{eqnarray*}将前三个方程代入另一个方程，我们得到$s_{j+1}\equiv s_{i-1}+\mu（c_i）+\mu（d_i）+\mo（c_{j+1}）$（mod 3），由于每个$\mu$值都只有$\pm 1$，因此我们有$$\亩（d_{i-1}）=\亩（ci）+\亩（di）+\姆（c{j+1}）$$因此，折痕$d_{i-1}$（鸟的脚后跟）必须与该顶点的大多数折痕具有相同的MV奇偶性。顶点指向右侧的情况类似。\结束{proof}因此，由着色序列$s_k$生成的$m\次n$Miura-ori MV赋值是局部平坦可折叠的，并且此生成的MV赋权是明确定义的。也就是说，左上顶点着色为0的$m\times n$网格图的适当3顶点着色与$m\times n$Miura ori局部平坦可折叠MV分配之间的这种对应关系是内射的。我们得出结论，具有一个顶点预着色的网格图着色与Miura-ori局部平坦折痕模式MV赋值之间的对应是一个双射。因此，如果我们让$T（m，n）=$m乘以n$网格图（$m$行和$n$列的正方形）的适当三顶点着色数，并且左上角的顶点是预先着色的，那么我们已经证明了以下几点：\开始{定理}\label{thm:color}$T（m，n）=所有$m，n \geq 1$的m（m，n）$。\结束{定理}不幸的是，目前还没有关于3-着色网格图的已知公式，例如，找到$n次m$网格图的色多项式的问题尚未解决[问题14.7]{Jensen}。然而，在\seqnum{A078099}的OEIS列表中，给出了$T（m，n）$的递归传递矩阵。具体来说，定义矩阵$M（1）=[1]$，$$M（M+1）=\左[\开始{array}{cc}（米）和（米）^T\\0&M（米）\结束{数组}\right]$$$W（m）=m（m）+m（m”）^T$（其中$A^T$表示$A$的转置）。然后$T（m，n）$等于$W（m）^{n-1}$项的总和。看到这一点的一种方法是首先注意\开始{方程式}\标记{矩阵}W（m+1）=\左[\开始{array}{cc}W（m）和m（m）^T\\米（M）和宽（M）\结束{数组}\right]。\结束{方程式}然后考虑$W（m）$的行和列，它们代表了不同的等价类$C_i$，用于用$\mathbb中的颜色对$m\times 1$网格图进行顶点着色{Z} _3个$，其中两个这样的着色$\vec｛x｝，\vec｛y｝\in\mathbb{Z} _3个^如果$\vec{x}+（1）^m$或$\vec{x}+（2）^m$=$\vec:y}$（mod 3），则m$是等价的（其中$（i）^m$s表示每个坐标中带有$i$的$m$-维向量）。然后每个等价类$C_i$包含来自$\mathbb的三个向量{Z} _3个^m$和$W（m）$是顶点为类$C_i$的图的邻接矩阵，其中通过边将$C_i$和$C_j$连接在C_i中的每对向量$\vec{x}\和C_j中的每一对向量$\ vec{y}\上，这两对向量在每个坐标中都是不同的。那么找到$T（m，n）$就是计算这个图上长度为$n-1$的游程，即对$W（m）^{n-1}$的条目求和。检查类$C_i$的条目可以发现$m$中的递归结构，它解释了等式\eqref{matrix}。\第{节进一步观察和问题}定理\ref{thm:color}的一个直接结果如下：\开始{推论}\label{cor5}$M（M，n）=所有$M，n \geq 1$的M（n，M）$。\结束{推论}这简单地遵循了网格图着色的对称性，即$T（n，m）=T（m，n）$。推论\ref{cor5}令人惊讶，因为Miura-ori折痕图案本身并不遵循这种对称性；$m\times n$Miura-ori与$n\times m$Miura-ori看起来不一样。幸运的是，对于非常大的$m$和$n$，我们有统计力学结果来枚举我们的$m\次n$网格图着色问题。这个问题与计算圆环上百万倍n$网格图上的欧拉方向数是一样的，这正是二维冰格的反铁电模型，称为{em平方冰}模型{Lieb，Propp}。1967年，Lieb使用传递矩阵方法证明了具有$N$顶点的网格图（其中$N$非常大，比如说$10^{23}$）将具有$$（4/3）^{3N/2}$$使用三种颜色和一个顶点预先着色的方法来正确地为顶点着色。因此，这给出了具有$N$平行四边形的Miura-ori折痕模式的局部可折叠MV分配数，其中$N$非常大。方程（ref{matrix}）中的传递矩阵可用于为$M（M，n）$找到比第ref{sec3}节中所示更多的生成函数。也就是说，遵循Stanley\cite[Sec.14.7]{Stanley}，固定$m$的$m（m，n）$生成函数$G_m（x）$将是$$G_m（x）=x\sum_{i，j}\frac{（-1）^{i+j}{\rm-det}（i-xW（m）：j，i）}{{\rm-det}$$其中$（A:j，i）$表示删除了第$j$-th行和第$i$-th列的矩阵$A$，并且总和范围覆盖$W（m）$的所有行和列，这是一个$2^{m-1}\乘以2^{m-1}$矩阵。因此，计算$G_m（x）$的成本很高。我们使用｛\em Mathematica｝找到$G_m（x）$到$m=7$，并在表\ref｛table1｝中记录生成函数和的近似常数和指数项（不趋于零）。\开始{table}\中心线{\开始{tablar}{l|c|c}&常数项和指数项$m=2$&2/3&3\\hline$m=3$&0.8638&4.56155线百万美元=4美元&0.21837&1.42347\\&1.10172和6.97196线百万美元=5美元&0.0308918&1.32083\\& 0.323552 & 3.11838\\&1.39119和10.6829线百万美元=6美元&0.0405757&1.20258\\& 0.359996 & 1.3816 \\& 0.00056118 & 1.68048\\&0.0523544和2.68963\\& 0.454567 & 5.94907\\& 1.74463 & 16.392\结束{表格}\凸起{.51in}{\开始｛表格｝｛l|c|c｝&常数项和指数项美元=7美元&0.0409272&1.42028\\& 0.00119768 & 1.75517 \\& 0.0751216 & 2.48635 \\& 0.00137438 & 3.12982\\& 0.526551 & 3.47859 \\& 0.0792136 & 5.14803 \\& 0.617056 & 10.6046 \\& 2.17679 & 25.1741 \结束｛表格｝｝}\标题{$G_m（x）=\sum$（常数）（指数）$^n$的近似项，$m（m，n）$的生成函数，直到$m=7$.}\label{table1}\结束{表格}如前所述，并非所有本地可平坦折叠的Miura-ori MV分配都是全局平坦折叠的。示例如图\ref{fig10}所示。这只是Justin将{Justin}修改为Miura-ori所报告的年龄后邮票折叠问题的一个不可折叠反例。要了解为什么不可能折叠，请注意标记为$v_1$和$v_2$的顶点是具有标准MV分配的Miura-ori-顶点，如图{fig1}所示。一方面，沿着直线$l_1$的山折痕将迫使标记为$A$和$B$的平行四边形面在Miura-ori顶点$v_1$内折叠。另一方面，沿直线$l_2$的山折痕将迫使面$A$和$B$在Miura-ori顶点$v_2$内折叠$A$和$B$不能折叠到这两个顶点中，因此，此MV指定不可能全局折叠平面，即使每个顶点都是平面折叠的。这样的反例是由于多个顶点之间的MV分配迫使纸张的层按不兼容的顺序排列的结果。与邮票折叠后的问题一样，跟踪这种不可能的层顺序是众所周知的困难。我们需要使用完全不同的（目前尚未发现的）技术来修改$M（M，n）$公式，以确保全局和局部的平面可折叠性。\开始{figure}\中心线{\includedgraphics[scale=.5]{gh-fig10.eps}}\标题{非全局平铺可折叠的本地平铺$5\乘以1$Miura-ori MV分配（旋转以节省空间）。}\label{fig10}\结束{图形}尽管如此，枚举局部可平坦化的MV赋值相当于图着色问题，这似乎很自然。也许本文中提出的方法可以推广到其他族，甚至可以推广到任意的平折折痕图案。\{确认}节作者感谢Tomohiro Tachi和Ryuhei Uehara对图{fig10}中不可折叠的Miura-ori（以及其他人）的建议，感谢David Eppstein为我们指出方形冰模型和参考{Lieb}，感谢Crystal Wang和一位匿名裁判提供有用的评论和更正。\开始{书目}{99}\bibitem{DiF}P.Di Francesco，数学和物理中的折叠和着色问题，{\em Bull.Amer.Math.Soc.}{\bf 37}（2000），251--307。\标题{Hull2}T.Hull，《扁平褶皱的组合：一项调查》，载于T.Hull主编，{\em Origami$^3$：第三届国际折纸科学、数学和教育会议，a K 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