\文档类[12pt，reqno]{article}\usepackage[用户名]{颜色}\使用包{amssymb}\使用包{graphicx}\使用包{amscd}\usepackage[colorinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色{webbrown}{rgb}{.6,0,0}\使用包{color}\使用包{fullpage}\使用包{float}\使用包｛psfig｝\usepackage{graphics，amsmath，amssymb}使用包\使用包{amsthm}\使用包{amsfonts}\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\定义\\{\cr}\定义\（{\左（}\定义\）{\右）}\定义\cD{\mathcal D}\定义\cI{\mathcal I}\定义\cP{\mathcal P}\定义\Z{\mathbb{Z}}\定义\Q{\mathbb{Q}}\定义\命令{\qquad\mbox{和}\qquad}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集长度｛\evensidemargin｝｛.1in｝\集合长度{\topmargin}{-.1in}\设置长度{\textheight}{8.4in}\新命令{\seqnum}[1]{\href{http://oeis.org/#1}{\下划线{#1}}\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\离开模式\epsfile{logo129.eps}\结束{中心}\理论风格{普通}\新定理{定理}{定理{\新定理{推论}[定理]{推演}\新定理{引理}[定理]{引言}\新定理｛命题｝〔定理〕｛命题｝\理论风格{定义}\新定理{definition}[定理]{definition}\新定理{example}[定理]{example}\新定理{猜想}[定理]{猜测}\理论风格{remark}\新定理{remark}[定理]{remark}\开始{居中}\vskip 1cm{\LARGE\bf关于有界多项式的个数\\\vskip.12英寸满足杜马标准的高度}\vskip 1cm\大型兰德尔·海曼\\计算机系\\麦格理大学\\悉尼，新南威尔士州2109\\澳大利亚\\\href｛mailto:randell@unsw.edu.au}{\trandell@unsw.edu.au}\结束{中心}\vskip.2英寸\开始{abstract}我们研究了按Dumas准则不可约的固定次和最大高度的整数系数多项式。我们称这种多项式为{Dumas多项式}。我们将Dumas多项式的数目的上界导出为$H\rightarrow\infty$。我们还证明了，对于固定度，Dumas多项式在所有不可约整数系数多项式集合中的密度严格小于1。\结束{抽象}\章节｛简介｝基于系数素性可分性的两个最著名的多项式不可约性准则可能是艾森斯坦准则和杜马斯准则。在过去的十五年中，已经获得了关于满足艾森斯坦准则的多项式密度的结果（例如，参见Dobbs和Johnson \cite｛DoJo｝，Dubicks\cite｛Dub｝，以及作者和Shparlinski\引用{Hey，Hey2]）。本文研究了满足Dumas准则的多项式的密度。该准则是$\Z$（因此$\Q$）上多项式不可约的充分条件。它可以被认为是艾森斯坦准则的推广，因为艾森斯坦标准是杜马斯标准的简单推论。我们现在可以说明杜马标准。让\开始{align}\label{f（x）}f（x）=\sum_{i=0}^nA_ix^i\in\Z[x]\结束{对齐}应为$A_0A_n\neq 0$。如果$f$相对于任何素数的牛顿多边形是一个单独的线段，并且除端点外不包含具有整数坐标的点，那么$f$是不可约的。Dumas准则的证明通常基于多项式的牛顿图。牛顿图类似于牛顿多边形，但不太为人所知。牛顿图的构造和Dumas准则的证明可以在Prasolov\cite的书中找到[第2.2.1]{Pra}小节。感兴趣的读者也可以参考杜马1906年发表的论文。例如，多项式$f（x）=x^4+8$相对于素数2有一个没有整数坐标的牛顿多边形（端点除外）。因此，根据杜马标准，$f$是不可约的。相比之下，可约多项式$f（x）=x^4+4$不能满足Dumas准则，因为坐标$（2,2）$或$（2,0）$将出现在$f$的任何牛顿多边形中。因此，对于$f（x）=x^4+4$，不可能使用Dumas准则确定不可约性。对于整数$n\ge 2$和$H\ge 1$，让$\cD_n（H）$是最多$H$处的Dumas高度多项式的数目，即满足$\max\{|A_0|，\dots，|A_n|\}\le H$。我们的主要结果是以下定理。\开始{定理}\label{firstmain}我们有$$\cD_n（H）\le（2H）^{n+1}\tau_n+\开始{cases}O\（H^2（\log H）^2），&\quad\text{如果$n=2$}\\O\（H^n\），&\quad\text{if$n\ge 3$}，\结束{cases}$$哪里$$\tau_n=\开始{cases}1-\prod_{p~\mathrm{prime}}\（1-\frac{1}{p}\）^2\（1+\frac}{p{），&\quad\text{if$n=2$}\\1-\frac{1}{\zeta（n-1）}，&\quad\text{if$n\ge3$}。\结束{cases}$$\结束{定理}我们已经注意到，作者和Shparlinski~\cite{Hey}计算出的满足Eisenstein准则的多项式数量提供了$\cD_n（H）$的下限。明确地，\开始{引理}\标签{lem:eisenstein}我们有$$\cD_n（H）\ge\vartheta_d 2^d H^d+\left\{\begin{array}{ll}O\（H^{d-1}\），&\quad\text{如果$d>2$}\\O（H（\log H）^2）&\quad\text｛如果$d=2$｝，\结束｛array｝\右键。$$哪里$$\vartheta_d=1-\prod_｛p~\mathrm｛prime｝｝\（1-\压裂{p-1}{p^{d+1}}\）。$$\结束{引理}我们注意到定理{firstmain}中估计的主项中出现了zeta函数的值。这是因为正整数$k$-元组相对素数的概率估计在定理证明中起着重要作用。在定理{firstmain}中，我们还观察到，二次函数的结果与高次多项式的结果大不相同。对于次数大于2的多项式，我们可以使用gcd条件关于非导项和非常数项的系数，以枚举Dumas多项式的数量。这对于二次型显然是不可能的，我们不得不考虑主导项和非恒定项的系数。\节{符号}设$f（x）$如\eqref{f（x”）}中所示。我们将多项式$f$的高度定义为\开始{方程式*}H（f）=\max_{0\leq-i\leq-n}|A_i|。\结束{方程式*}一如既往，黎曼zeta函数由下式给出$$\zeta（s）=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^s}$$对于实数部分大于1的所有复数$s$。我们还记得，符号$U=O（V）$等价于断言不等式$|U|\lec|V|$对某些常数$c>0$成立。\第{节准备}\开始{引理}\label{gcdends}修正$n=2$。假设$f（x）$与\eqref{f（x$\gcd（A_j，A_k）每$j，k\in\{0,1,2\}$一个1$。\结束{引理}\开始｛证明｝假设存在一个多项式，对于某些不同的$j，k\in\{0,1,2\}$，其性质为$\gcd（a_j，a_k）=1$。如果任何质数$p$都有$p\mid A{1}$，那么显然是$p\nmid A_0$和$p\nmid A_2$。所以牛顿通过点$（1,0）$，因为它位于$（0,0）$到$（2,0）$的线段上。因此，$f$不是Dumas多项式。另一方面，如果对于任何素数$p$，我们有$p\nmid A{1}$，那么牛顿多边形包含点$（1,0）$。所以再一次证明，$f$不是Dumas多项式。\结束{proof}\开始{引理}\label{gcdmidle}修复$n\ge 2$。假设$f（x）$如\eqref{f（x_{1} A类_{2} \cdots A_{n-1}\ne 0.$如果$f$是Dumas多项式，则$\gcd（A_1，A_2，\ldots，A_{n-1}）\ne 1$。\末端｛引理｝\开始｛证明｝假设$f$如上所述，$\gcd（A_1，A_2，\ldots，A_{n-1}）=1$。对于任何素数$p$，对于一些$1\le i\le n-1$，我们必须有$p\nmid A_i$。因此，$f$相对于$p$的牛顿图包括点$（A_i，0）$。因此，关于任何质数$p$的牛顿图都不包含单个线段。因此，$f$不是Dumas多项式。\结束{proof}\第{节定理证明\ref{firstmain}}设$f（x）$与$H（f）\le H$相同，如\eqref{f（x）}。我们分别证明了$n=2$和$n\ge3$的定理ref{firstmain}。我们从$n=2$案例开始。为了简化符号，我们使用$\gcd^*（A_0，A_{1}，A_2}）\ne1$来表示$A_0、A_{10}$和$A_{2}$不是两两互质，也就是说，$\gcd（A_0，A_{1}）\ne 1$或$\gcd（A_0,A_{2}）\n e 1$或者$\gcd（A_{1}，A_{2}）\ne 1$。我们还使用$\gcd_*（A_0，A_{1}，A_2}）=1$来意味着$A_0、A{1}$和$A{2}$是两两互质，即，$\gcd（A_0，A{1}）=\gcd。有带有$A的$O（H^{2}）$多项式_{0}甲_{1} A_2类=0.$如果我们有$A_{0}甲_{1} A_2类那么，根据引理{gcdends}，如果$\gcd^*（a_0，a_1，a_2）为1$，多项式$f$只能是Dumas多项式。因此，\开始{align}\label{2}\cD{2}（H）-O（H^2）&\le\sum{\子堆栈{1\le|A_0|，|A_{1}|，|A{2}|\le H\\gcd^*（A_0，A_1，A_2）\ne 1}}1\notag\\&=\sum_{\子堆栈{1\le A_0，A_{1}，A_2}\le H\\gcd^*（A_0、A_1、A_2）\ne 1}}8\符号\\&=（2H）^3-\sum_{\子堆栈{1\le A_0，A_{1}，A_2}\le H\\gcd_*（A_0、A_1、A_2）=1}}8。\结束{对齐}从T$\acute{\textrm{o}}$th~\cite的论文中我们得到了\开始{align*}\sum_{\子堆栈{1\le A_0，A_{1}，A_2}\le H\\gcd_*（A_0、A_1}、A_2}）=1}}1=H^3\prod_{p~\textrm{prime}}\（1-\frac{1}{p}\）^2\（1+\frac}{2}{p{）+O\（H^2（\log H）^2），\结束{align*}从中\开始{align}\label{toth}\sum_{\substack{1\le|A_0|，|A_{1}|，|A_{2}|\leH\\gcd_*（A_0，A_{1\，A{2}）=1}1&=（2H）^3\prod_{p~\textrm{prime}}\（1-\frac{1}{p}\）^2\（1+\frac}{2}{p{）+O\（H^2（\log H）^2）。\结束{对齐}将\eqref{toth}替换为\eqref{2}完成$n=2$情况的证明。现在修复$n\ge 3$。有$O（H^{n}）$多项式，其中$A_1A_2\cdots A_{n-1}=0。$如果$A_1A2\cdotsA_{n-1}\ne 0$，那么根据引理{gcdmidle}，如果$\gcd（A_1，A_2，\ldots，A_{n-1}）\ne 1$，多项式$f$只能是Dumas多项式。因此，\开始{align}\label{eventhm}\cD_{n}（H）-O（H^n）&\le\sum_{\子堆栈{1\le|A_1|，|A_2|，\ldot，|A_{n{|\leH\\gcd（A_1，A_2，\ldots，A_{n-1}）\ne1}}1。\结束{对齐}我们从Nymann~\cite{Nym}推断出\开始｛align｝\标签｛互质｝\sum_｛\substack｛1\le|A_1|，|A_2|，\ldots，|A_｛n｝|\le H\\gcd（A_1，A_2，\ldots，A_｛n-1｝）\ne 1｝｝1&=（2H）^｛n+1｝\（1-\ frac｛1｝｛\zeta（n-1）｝\）+O（H^｛n｝）。\结束{对齐}将\eqref{互质}替换为\eqref{eventhm}完成$n\ge3$情况的证明。从而证明了定理ref{firstmain}。\节{注释}设$\cP_n（H）$是次数$n$和最大高度$H$的多项式数。设$\cI_n（H）$是次数$n$和最大高度$H$的不可约多项式的个数。定理{firstmain}紧接着得出了两个结果。首先，我们注意到$\cP_n（H）$正好是$（2H）（2H+1）^{n}$，并从Cohen~\cite[定理1]{Coh}表示$n\ge 2$$$\lim_{H\to\infty}\frac{\cI_n（H）}{\cP_n（H）}=1$$因此，对于$n\ge 2$，$$\limsup_{H\rightarrow\infty}\frac{\cD\n（H）}{\cP_n（H）{=\limspu_{H\ rightarror\infty}\frac{\cD_n（H）}{\ cI_n（W）}\le\tau_n$$其次，所有$n\ge 2$的$\tau_n<1$，因此$n\ge 2$$$\limsup_{H\rightarrow\infty}\frac{\cD\n（H）}{\cP_n（H）{=\limspu_{H\ rightarror\infty}\frac{\cD_n（H）}{\ cI_n（H-）}<1$$表1显示了当$H$趋于无穷大时，$\cD_n（H）/\cP_n（H）$的上限的一些计算值。它还包括作者和Shparlinski~\cite{Hey}的一篇论文中得出的极限劣等计算。具体来说，对于$n$的各种值，当$H$时，$\cD_n（H）/\cP_n（H）$的下限将变为无穷大。所有求和都是小于100000的所有素数。\开始{表格}[h]\开始{居中}\标题{$\limsup\cD_nH/\cP_n（H）$上的一些上界为$H\rightarrow\infty$，$\liminf\cD_n（H\梅德斯基普\梅德斯基普\开始{tablar}{c|c|c}\氯化氢\textrm{$n$}下限和上限$2$&0.1677&0.7133行$3$&0.0556&0.3922线$4$&0.0224&0.1681线$5$&0.0099&0.0766线$6$&0.0046&0.0357线$7$&0.0022&0.0181线8美元&0.0010&0.0079美元$9$&0.0005&0.0049\\h行$10$&0.0003&0.0020\\h行\结束｛表格｝\结束｛中心｝\结束｛表｝\newpage（新页面）这将提示以下问题。是否可以获得更严格的边界或$$\liminf_{H\to\infty}\frac{\cD_n（H）}{\cP_n（H）}\mand\limsup_{H\to\infty}\frac{\cD_n（H）}{\cP_n（H）}$$（它们很可能重合）？我们还注意到，通过直接计算任意单段牛顿多边形的Dumas多项式数量，可以找到$$\limsup_{H\rightarrow\infty}\cD_n（H）/\cP_n（H）$$的上界，该多边形不包含除端点以外的整数坐标点，然后求和所有可能的单段牛顿多边形，这些多边形不包含除端点以外的整数坐标点。在这种方法中使用包含排除原则存在实质性问题；关于多个素数的Dumas多项式可能会对每个素数显示不同的牛顿多边形。虽然在没有包含排除原理的情况下可以获得度$n>3$的结果，但不可能找到任何优于定理{firstmain}的结果。\节{确认}作者要感谢伊戈尔·什帕林斯基的众多帮助建议。作者还要感谢裁判导致本文改进的建议。\开始{书目}{9}%\双项目{Coh}S.~D.~科恩，积分多项式Galois群的分布，伊利诺伊州数学杂志。%\bibitem{DoJo}D.~E.~多布斯和L.~E.~约翰逊，关于Eisenstein准则适用于任意不可约多项式的概率{第三届实习生会议论文.交换环理论的进展\/}，莱克特。纯和应用注释。数学。，第205卷，德克尔，1991年，第241-256页。%\bibitem{配音}A.杜比卡斯，依艾森斯坦准则不可约的多项式，{应用代数工程通信计算（2003），127--132。%\bibitem{Dum}G.~杜马，Surquelques cas d’irr$\acute{\textrm{e}}$utibilit$\acete{\ttextrm{e}}$des polynomes$\grave{\textorm{a}}$系数理性，{it J.数学.纯粹应用.\/}~{\bf（6）\/}{\bf2}~（1906），191--258。%\围兜{Hey}R.~海曼和I.~E.~什帕林斯基，关于有界高度的艾森斯坦多项式的个数，｛\bf 24｝~（2013），149-156。%\围兜{Hey2}R.~海曼和I.~E.~什帕林斯基，关于移位Eisenstein多项式，{\it Period.Math.Hungar.\/}，显示。%\双项目{Nym}J.~E.~Nymann，关于$k$正整数相对素数的概率，《数论》（1972），469-473。%\bibitem{Pra}V.~V.~Prasolov，《多项式》，施普林格出版社，2004年。%\bibitem{Tot}L.~T$\急性{\textrm{o}}$th，$k$正整数成对相对素数的概率，{\it斐波纳契夸脱.\/}{\bf40}~（2002），13-18。\结束{书目}\大跳跃\小时\大跳跃\noindent 2010（数学学科分类）：初级11R09。\noindent\emph{关键字：}不可约多项式，Dumas准则，共素性。\大跳跃\小时\大跳跃\vspace*{+.1in}\无音（noindent）2013年6月3日收到；2013年12月12日收到修订版。发表于《整数序列杂志》，2014年1月4日。\大跳跃\小时\大跳跃\无音（noindent）返回到\htmladdnormallink{整数序列杂志主页}{http://www.cs.uwaterlo.ca/journals/JIS网站/}.\vskip.1英寸\结束｛文档｝