\文档类[12pt]{文章}\usepackage[用户名]{颜色}\使用包{amssymb}\使用包{graphicx}\使用包{amscd}\usepackage[colorinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色{webbrown}{rgb}{.6,0,0}\使用包{color}\使用包{fullpage}\使用包{float}\使用包{psfig}\使用包｛graphics、amsmath、amssymb｝\使用包{amsthm}\使用包{amsfonts}\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\setlength｛\textwidth｝｛6.5英寸｝\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\evensidemargin}{.1in}\集合长度{\topmargin}{-.1in}\设置长度{\textheight}{8.4in}\新命令{\seqnum}[1]{\href{http://oeis.org/#1}{\下划线{#1}}\newcommand\sfo{\mathsf{O}}\newcommand\sfx{\mathsf{X}}\新命令\red{\color{red}}\新命令\gr[1]{\rlap{\color{blue}#1}\hphantom{\sf X}}\新命令\grr[1]{\rlap{\！\color{blue}#1}\hphantom{\sf X}}\声明MathOperator{\inv}{desc}\新命令\N{\mathbb{N}}\newcommand\dwc｛\footnotesize$\beggin｛array｝｛|c|｝\hline\sfo\\\\line\sfo\\\\line\结束{数组}\$}}%双白色圆圈\新命令\dbs{{\footnotesize$\begin{array}{|c|}\hline\sfx\\hline\sf2\\hline\结束{数组}\$}}%双黑色正方形\newcommand\emp{{footnotesize$\begin{array}{|c|}\hline\gr{}\\hline\gr{}\\\hline\end{array}\$}}%为空\新命令\bbs{{\footnotesize$\begin{array}{|c|}\hline\gr{}\\hline\sfx\\hline\结束{数组}\$}}%底部黑色方形\新命令\bwc{{\footnotesize$\begin{array}{|c|}\hline\gr{}\\hline\sfo\\hline\结束{数组}\$}}%底部白色圆圈\新命令\tbs{{\footnotesize$\begin{array}{|c|}\hline\sfx{}\\hline\gr{}\\\hline\end{array}\$}}%顶部黑色方形\新命令\twc{{\footnotesize$\begin{array}{|c|}\hline\sfo\\hline\gr{}\\\hline\end{array}\$}}%顶部白色圆圈\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\离开模式\epsfile{logo129.eps}\结束｛中心｝\理论风格{普通}\新定理{定理}{定理{\新定理{推论}[定理]{推演}\新定理{引理}[定理]{引言}\新定理｛命题｝〔定理〕｛命题｝\理论风格{定义}\新定理{definition}[定理]{definition}\新定理{example}[定理]{example}\新定理{猜想}[定理]{猜测}\理论风格{remark}\新定理{remark}[定理]{remark}\开始{居中}\vskip 1cm{\LARGE\bfHaj’os在集合方面的一个著名恒等式}\vskip 1cm\大型鲁伊·杜阿尔特\\数学与应用研究与发展中心\\数学系\\阿维罗大学\\3810-193阿韦罗\\葡萄牙\\\链接{mailto:rduarte@ua.pt}{\trduarte@ua.pt} \\\ \\安东尼奥·古德斯·德·奥利维拉\\CMUP和数学系\\科学学院\\波尔图大学\\4169-007波尔图\\葡萄牙\\\链接{mailto:agoliv@fc.up.pt}{\tagoliv@fc.up.pt}\结束{中心}\vskip.2英寸\开始{abstract}通过考虑中心二项式系数卷积的著名恒等式$$\sum_{i+j=n}\binom{2i}{i}\binom{2j}{j}=4^n$$根据$2\ell$-集的$\ell$-子集对，我们得到了一个新的双射证明和新的恒等式，这些恒等式可以看作是精化。\结束{抽象}\章节{引言}30年前，在一篇关于“自然”的迷人文章的结尾解释“处理自然数的特殊恒等式，玛塔·斯维德承认自己被以下身份击败\开始{方程式}\label{mainId}\和{i+j=n}\binom{2i}{i}\binom{2j}{j}=4^n\，\结束｛方程式｝她无法组合证明，并“邀请读者试试他的比特“”引用{MSa}。后来，在一次“复述信件”中收到“提供问题解决方案”后，她告诉我们Paul错误\H{o} 秒``很快向[她]指出匈牙利语数学家在三十年代解决了这个问题：P.Veress提出G.Haj“正在解决”引用{MS}，“所有解决方案都是基于，在点阵路径的计数上有一些变化，或者等价地$（1,0）$序列“”。事实上，众所周知，$\tbinom｛2\ell｝｛\ell｝$很重要从$（0,0）$到$（\ell，\ell）$的路径数，其中$\ell$为正数整数，路径中的每个步骤的格式为$（1,0）$或$（0,1）$（例如，参见斯坦利的书[练习1.3]{RS}）。但有另一种方式来看待这个问题身份，也许更自然，其中$\binom{2\ell}{\ell}$really（和emph{自然}）代表$\ell$-子集的数量$2\ell$-集合的对于\eqref{mainId}，我们计算对$（A，B）$，这样$A$是$i$-$\{1、\dotsc、2i\}$和$B$的子集是$\{1，\dotsc，2j\}$。同时，出现了不同类型的证明{VdA，ChX，DGO}。然而，三十年后，我们相信我们在这里不基于格的\eqref{mainId}的第一个\emph{双射}证明路径。相反，它是基于这些对的属性；它是属于算法性质。我们用图形来表示这样的配对。例如，我们有表示$$R=\begin{array}{|c|c|c|c|c | c|c| c|c\氯化氢\gr{1}&\sfo&\sfo&\sfo&\gr{5}&\gr{1{&\sfx&\sfx&\gr{5}&\gr}6}\\\氯化氢\gr{6}&\gr{7}&\sfo&\sfo&\grr{10}&\sfx&\sfx&\gr{9}&\sf2x&\grr{11}&\grar{12}\\\氯化氢\结束｛array｝\，\\text｛for｝\\，\大（\{2,3,4,8,9\}，\{2,4,7,8,10\}\大）\$$由$\{1，\dotsc，10\}$的$5$-子集和$\{1，\dotsc，12\}$。在这个例子中，有两个``塔楼“”带有两个符号$\sfo$，位于左侧和两个“塔楼”，第二个和剩余六列中的第四列。如果没有塔楼，所有列都是四种类型之一{\footnotesize$\Bigg（\；\开始{array}{|c|}\hline\sfo\\hline\gr{}\\\hline\end{array}\；$}，{\footnotesize$\；\begin{array}{|c|}\hline\gr{}\\hline\sfo\\\hline\end{array}\；$}，{\footnotesize$\；\开始{array}{|c|}\hline\sfx\\hline\gr{}\\\hline\end｛array｝\；$｝或{\footnotesize$\；\begin{array}{|c|}\hline\gr{}\\hline\sfx\\\hline\end{array}\；\比格）$}。但并不是所有$n$列的$4^n$选项都会出现，因为在我们的示例中，它们是\emph{ordered}，这意味着任何列带有$\sfo$的必须在任何列之前带有$\sfx$。我们的证明背后的想法是要证明有塔的有序配置，因为有无塔的配置至少有一列标记为$\sfx$的塔位于一列之前标有$\sfo$的列。更准确地说，我们构建了一个双射$\varphi$将带有$k$塔的有序配置映射到没有塔的配置，其中$k$列正好标有一个$\sfx$在列前面加一个$\sfo$。具有$p$列和$i$塔的配置数量为$2^{p-2i}\binom{p}{i}\biom{p-i}{i{$。当$p\in\N_0$和$i$是带$0\leq 2i\leq p$的整数，这些数字形成三角形，由按\site{oeis}的\seqnum{A051288}顺序排列的行，而三角形$T$由定义$$T（p，i）=\二进制{p}{i}\二进制{p-i}{i{$$对于$p\in\N_0$和$i\leq-p$，由\seqnum{A089627}中的行读取。$T$（对于$n=0,1，\dotsc，10$）的前十一行如下：｛\footnotesize$$\开始{array}{rrrrrrrrr}1& & & & & & & & & & \\1\rlap{，}&0&&&&&&\\1\rlap{，}&2\rlap}，}&0&&&&&\\1\rlap{，}&6\rlap{，}&0\rlap}，}&0&&&&\\1\rlap{，}&12\rlap{，}&6\rlap}，}&0\rlap_2，}&0&&&&\\1\rlap{，}&20\rlap{，}&30\rlap}，}&0\rlap｛，}&0\rlapp{，{&0&&&&\\1\rlap{，}&30\rlap{，}&90\rlap}，}&20\rlap{&&&&\\1\rlap{，}&42\rlap{，}&210\rlap}，}&140\rlap{，，}&0\rlap，}&0 \rlap&0\rlap{，}&0&&\\1\rlap{，}&56\rlap{，}&420\rlap}，}&560\rlap{，{&70\rlap}，{&0\rlap[2]，}&0\rlap{，}&0\rlap{，{&0&&\\1\rlap{，}&72\rlap{，}&756\rlap}，}&1680\rlap[2]，}&630\rlap{，{&0\rlapp{&0\rlap{，}&0\rlap{，{&0\rrap{、}&0&\\1\rlap｛，｝&90\rlap｛，｝&1260\rlap｛，｝&4200\rlap｛，｝&3150\rlap｛，｝&252\rlap｛，｝&\0\rlap{，}&\0\rlap}，}&\0\rlap{，{&\0\结束{数组}$$}由于我们的双射，我们将看到推论~\ref{mainIddesd}，对于任何固定的自然数$n$，如果我们将序列$A_p$定义为序列的卷积$\big（T（p，i）\big）_{i\in\N_0}$与$\big（T（n-p，i）\big）_{i\in\n_0}$，$0\leq的$A_p$的$S_n$之和p\leq n$是\site{oeis}的\seqnum{A229032}的第$n$行，由$S_n（k）=4^k\binom{n+1}{2k+1}$给出。换句话说，如果$\0\leq2k\leqn\，$，\开始{方程式}\label{mainRes}\sum{p=0}^n\sum{i=0}^k\binom{p}{i}\binom}{p-i}{i{binom{n-p}{k-i}\biom{n-p-k+i}{k-i}=4^k\biom}{n+1}{2k+1}。\结束｛方程式｝注意，如果$T（n，k）$定义为\site{oeis}的\seqnum{A085841}而$n$是偶数，则$S_n（k）=T（n/2，k）$。另一方面，如果$T（n，k）$定义为\seqnum{A105070}，然后$S_n（k）=2^kT（n+1，k）$。\开始{example}[$n=10$]{\footnotesize$$\开始{array}{lrrrrrrr}A_0\，=&（\1，&90，&1260，&4200，&3150，&252，&0，&\t）\\A_1\，=&（\1，&72，&756，&1680，&630，&0，&cdot）\\A_2、=&（1、&58、&532、&1400、&1190、&140、&0、&\t）\\A_3\，=&（\1，&48，&462，&1400，&840，&0，&0，&\cdots）\\A_4\，=&（\1，&42，&456，&1280，&780，&120，&0，&\t）\\A_5\，=&（\1、&40、&460、&1200、&900、&0、&0，&\t）\\A_6\，=&（\1，&42，&456，&1280，&780，&120，&0，&\t）\\A_7\，=&（\1、&48、&462、&1400、&840、&0、&O、&\t）\\A_8\，=&（\1，&58，&532，&1400，&1190，&140，&0，&\t）\\A_9、=&（\1、&72、&756、&1680、&630、&0、&O、&\t）\\A_{10}\，=&（\1，&90，&1260，&4200，&3150，&252，&0，&\cdot）\\\氯化氢S_{10}\，=&（11，&660，&7392，&21120，&14080，&1024，&\0，&\cdot）\结束{数组}$$}\结束{示例}\{主要定理}设$[0]=\varnothing$，$[n]=\{1,2，\dotsc，n\}$整数$n$。对于每对$（A，B）$，其中$A$是$[2i]$，$B$是$[2j]$的$j$子集，$i+j=n$，分别表示$A$的元素在$2\times i$矩形中的零（$\sfo$）单元格从左到右、从上到下编号，每个单元格$B$的元素类似于$2\次j中的十字（$\sfx$）$矩形。最后，将矩形连接成$2\乘以n$矩形$雷亚尔。注意，我们还考虑了$i=0$或$j=0$的情况，其中相应的符号没有出现。\开始{definition}$2\乘以n$矩形，其中$2n$单元格中的$n$正好是用两个符号之一$\sfo$和$\sfx$标记具有两个符号的列不存在的限制称为\emph{configuration}（或\emph{$n$-configuration}）。具有的列没有标记的单元格是\emph{空列}，并且有两个列标记的单元格是塔。两者都称为\emph{偶数列}而只有一个标记单元格的列称为\emph{奇数}。我们说一对具有单元格的连续列标记为$\sfx$和$\sfo$的分别是\emph{下降}。安\emph{类型为$（i，j）$}的有序配置$C$是$i$-配置与没有标记为$\sfx$带有$j$-配置，没有标有$\sfo$的单元格，其中$i$和$j$是非负整数。$i$-配置是$C$的\emph{$\sfo$-region}和$j$-配置是\emph{$\sfx$-region}。最后，有序集$n$-配置由$\mathcal表示{O} _n（n）$和一组$n$-没有塔的配置用$\mathcal表示{NT}_n$.\结束{定义}请注意，\emph{有序}配置正是表示上述对$（A，B）$的配置。由定义、塔架数量和空塔数量两个原始子矩形都相等。既然有四个奇数列的类型，$|\mathcal{NT}_n|=4^n$和\eqref{mainId}状态那个$|\mathcal{O} _n（n）|=|\mathcal{NT}_n|$.在本文中，我们定义（递归地）一个双射$\varphi:\mathcal{O} _n（n）\至\mathcal{NT}_n剩下的美元没有塔不变的配置。更准确地说，我们证明如果$R$是带有$k$塔的有序配置，那么$\varphi（R）$是一种没有塔的配置确切地说是$k$下降}。证明背后的主要思想很简单：假设$k=1$，那么我们只有一座塔和一个空塔或一个空柱一座塔，位置分别为$\ell$和$m$（$\ell-->