\文档类[12pt，reqno]{article}\usepackage[用户名]{颜色}\使用包{amssymb}\使用包{graphicx}\使用包{amscd}\usepackage[colorlinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色｛webbrown｝｛rgb｝｛.6,0｝\使用包{color}\使用包{fullpage}\使用包{float}\使用包{psfig}\usepackage{graphics，amsmath，amssymb}使用包\使用包｛amsthm｝\使用包{amsfonts}\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\evensidemargin}{.1in}\集合长度{\topmargin}{-.1in}\设置长度{\textheight}{8.4in}\新命令{\seqnum}[1]{\href{网址：http://oeis.org/#1}{\下划线{#1}}\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\离开模式\epsfile{logo129.eps}\结束{中心}\理论风格{普通}\新定理{定理}{定理{\新定理{推论}[定理]{推演}\新定理{引理}[定理]{引言}\新定理{命题}[定理]{命题\理论风格{定义}\新定理{definition}[定理]{definition}\新定理{example}[定理]{example}\新定理{猜想}[定理]{猜测}\理论风格{remark}\新定理{remark}[定理]{remark}\开始{居中}\vskip 1cm{\LARGE\bf最少的自我洗牌\\\vskip.1英寸Thue-Morse序列}\vskip 1cm\大型James D.Currie脚注｛作者有NSERC发现授权。}\\数学与统计系\\温尼伯大学\\温尼伯，MB R3B 2E9\\加拿大\\\链接{mailto:j.currie@uwinnipeg.ca}{\tj.currie@uwinnipeg.ca}\结束{中心}\vskip.2英寸\开始{abstract}我们证明了Charlier等人给出的Thue-Morse的自洗牌是最优/规范的，因为在Thue-Mortse的自洗中，它具有从1开始的词典编纂最小指令序列。\结束{抽象}\章节{引言}Henshall等人提出了有限词的自洗牌这一主题。他们特别考虑了自洗牌下语言的闭包属性，证明了几个结果，也提出了一些开放问题。没有一个非空的有限单词可以等同于它的一个自洗牌，但对于无限单词来说，一个单词是否可以写成自洗牌是一个有趣的问题。Charlier等人展示了Thue-Morse单词的自我洗牌。Thue-Morse单词是态射的不动点，因此我们可以立即得到其他洗牌；在该态射下的任何自洗牌的图像都会给出不同的自洗牌。Endrullis和Hendriks\cite{optimal}证明了事实上还有其他的自我洗牌；特别是，他们证明了与Charlier等人不同的洗牌是{em最优}——它在洗牌副本之间尽可能快地来回切换。因此，Thue-Morse单词至少允许两个不同的家族进行自我洗牌。在本文中，我们证明了Charlier等人给出的Thue-Morse的自洗牌在不同的意义上是最优/规范的：在Thue-Mortse的自洗中，它具有从1开始的词典编纂最小指令序列。\节{符号}我们遵循Lothaere\cite{Lothaire}作为单词组合学的标准符号参考。因此，$|x|$是单词$x$的长度，$|x |_0$是$x$中0的数量，等等。如果$x$是非空单词，则让$x'$表示通过删除$x$最后一个字母而获得的单词。例如，$（12341234）'=1234123$。设$u$、$v$、$w$是有限字，$d$是$\{0,1\}$上的一个字，这样$|w|=|d|=|u|+|v|$。我们递归地定义$w$是{它是$d$}引导的$u$和$v$的洗牌，写入$w=u\oplus_dv$：\开始{enumerate}\item如果$d=\epsilon$，则$w=u\oplus_d v$\item如果$d$的最后一个字母为0，则$w=u\oplus_d v$If\开始{enumerate}\项目$w'=u'\oplus_｛d'｝v$\item$w$的最后一个字母与$u的最后一字母相同$\结束{enumerate}\item如果$d$的最后一个字母是1，则$w=u\oplus_d v$If\开始{enumerate}\项目$w'=u\oplus{d'}v'$\item$w$的最后一个字母与$v的最后一字母相同$\结束{enumerate}\结束{enumerate}换句话说，$w$的每个字母都是从$u$或$v$读取的，$d$决定我们是从$u$（0）读取还是从$v$（1）读取。我们称$d$为shuffle的{\it指令字}。所谓$\omega$-word，我们指的是$1$sided无限单词。对于$\omega$-单词{\bfu}、{\bf v}、}\bfw}、[2]，我们扩展了定义如果有任意长的前缀$\hat{u}$、$\hat{v}$、$\hat}w}$、{\bf v}$的$\hac{d}$、美元。\开始{remark}\label{prefix}假设$d_0\in\{0,1\}^*$是${\bf-d}$的有限前缀，并写入${\bf-d}=d_0{\bf d_1}$。\开始{itemize}\项目让$w_0$作为长度为$|d_0|$的${\bfw}$的前缀，并写入${\fw}=w_0{\bf w_1}$。\item让$u_0$作为长度为$|d_0|_0$的${\bfu}$的前缀，并写入${\fu}=u_0{\bf-u_1}$。\item让$v_0$作为长度为$|d_0|1$的${\bfv}$的前缀，并写入${\fv}=v_0{\bf v_1}$。\结束{itemize}然后$${\bf w}={\bfu}\oplus_{\bf-d}{\bv v}\Leftrightarrow\left（w_0=u_0\oplus_{d0}v0\text{和}{\bf w_1}={\bfu_1}\oplus_{\bf-d_1}{\bf v_1}\right）$$\结束｛备注｝我们说$\omega$-word{\bfw}{\它允许一个非平凡的自洗牌}，如果我们可以为一些非恒定的$\omega$-word{\bf d}写${\bf-w}={\b5-w}\oplus_{\bfd}{\bv-w}$。显然，对于任何$\omega$-单词{\bf-w}，${\bfw}={\bf w}\oplus_{0^\omega}{\bv-w}=}\bf w}\oprus_{1^\omega}{\bf w}$；我们将这些称为{bfw}的{it-privy-self-shuffles。写$x\precqy$（resp.，$x\pricy$），表示单词$x$不大于（resp..，less）$y$，按照自然词典顺序，其中0在1之前。因为我们有一些琐碎的自洗牌，所以词汇表上最少的$\omega$-单词{\bf-d}，即${\bfw}={\bf w}\oplus_{\bfd}{\bv-w}$就是${\ffd}=0^\omega$。寻找从1}开始的词典编纂最小指令序列{\是强制非平凡洗牌的合理尝试。因此，如果$\omega$-word｛\bf w｝允许进行非平凡的自我洗牌，那么一个自然的问题是\开始{quote}什么前缀为1}的词典学最小$\omega$-单词{\bf-d}{\em是这样的吗？\结尾{引号}\章节{词汇最少洗牌}在这一节中，${\bfu}$、${\fv}$、${\bf w}$将是任意的，但如果给定$\omega$-个单词，则有效地修复了它们。\开始{引理}在\{0,1\}^*$中指定单词$d_0\。设$$D=\{0,1\}^\omega:{\bfw}={\bfu}\oplus_{\bfd}{\bf-v}\}.$$如果$D\cap D_0\｛0,1\｝^\omega$不是空的，那么它在字典中具有最小元素。\结束{引理}\开始{proof}对于正整数$n$，假设$d_{n-1}$已定义，并且$d\cap d_{n-1}\{0,1\}^\omega$非空。因此，至少有一个$D\cap D美元_{n-1}0\{0,1\}^\omega$和$D\cap D_{n-1}1\{0,1\}^\omega$非空。因此，我们可以通过以下方式定义单词$\{d_n\}_{n=0}^\infty$的无限序列，每个$d_{n}$是$d_}n-1}$的扩展\begin｛方程*｝d_n=\ begin｛cases｝d日_{n-1}0，&\text{if}D\cap D_{n-1}0\{0,1\}^\omega\text{非空}\\d日_{n-1}1，&\text{否则。}\结束{cases}\结束{方程式*}设${\bf\bar{d}}=\lim_{n\rightarrow\infty}d_n.$我们认为${\baf\bar}}$是$d\cap d_0\{0,1\}^\omega.$的字典序最小元素${\bf\bar{d}$的每个有限前缀$d_n$都被选择为$d$单词的前缀，因此${\ffw}={\bf-u}\oplus_{bf\bar{d}{\bf v}$。另一方面，如果对于d\cap d_0\{0,1\}^\omega$、${bf\hat{d}}\prec{\bf\bar{d}$中的某些${b5\hat}}\，考虑${bf2hat{d}}$的最短前缀$p$，它不是$\bar{d}$的前缀。对于某些正$n$，$p=d_{n-1}0$，而$d_n=d_{n-1}1$. 然而，这意味着$D\cap D_{n-1}0\{0,1\}^\omega$为空，${\bf\hat{d}}\notin d\cap d_0\{0,1\}^\omega$为空。这是一个矛盾。\结束{proof}\begin｛remark｝\label｛decideable｝假设$$｛\bf w｝=｛\bf u｝\oplus_｛\bf d｝｛\bf v｝$$具有解决方案${\bf d}\in1\{0,1\}^*$。对于${\bfw}$的固定前缀$w_0$，我们可以有效地确定$1\{0,1\}^*$的字典序最小元素$d_0$，从而分别存在${bfu}$和${bf v}$的前缀$u_0$和$v_0$，从而开始{equation}\label{finiteshuffle}w_0=u_0\oplus{d_0}v_0$d_0$只有$2^{|w_0|-1}$个候选项。我们可以检查每个候选$d_0$，以及{\bfu}、{\bf-v}的相应前缀$u_0$、$v_0$，长度为$|d_0|_0$、$|d_0 |_1$，是否满足（\ref{finite-shuffle}）。请注意，前缀$u_0$、$v_0$的长度始终最多为$|w_0|$。\结束｛备注｝\开始{引理}假设${\bf-d}$是$1\{0,1\}^\omega$的字典序最小元素，这样$${\ff-w}={\bfu}\oplus_{\bf d}{\bv-v}$$假设${w_0}$是${\bf-w}$的固定非空前缀。设$d_0$是$1\｛0,1\｝^*$的字典最小元素，使得分别存在${\bf u｝$和${\bf v｝$的前缀$u_0$和$v_0$，使得$$w_0=u_0\oplus_｛d_0｝v_0.$假设$d_0\in\{0,1\}^*1$；写${\bfw}=w'_0{\bf w}$，${\bafu}=u_0{\baf u}$，$1{\bf-v}=v'_0{\ffV}$（这样$w'_0=u_0\oplus{d'_0}v'_0$）。假设存在元素$\delta\in1\{0,1\}^\omega$，如下所示$${\bf W}={\bf-U}\oplus_{\bf\delta}{\bv V}$$然后$${\bf d}=d'_0{\bf\Delta}$$其中${\bf\Delta}$是词典编纂最少的$\Delta.$特别是，$d_0$是${\bf d}$的前缀。\结束{引理}\开始{proof}自$w'_0=u_0\oplus_｛d'_0｝v'_0$和${\bf w｝={\bf u｝\oplus_{\bf\delta｝{\bf v｝，$by Remark\ref｛prefix｝，我们有$${\bfw}={\bf-u}\oplus_{d'_0\Delta}{\bf v}$$假设$d$是${\bf d}$的长度$|w_0|$前缀。通过${\bf d}$，$d\proceq d'_01$的极小性。由于$${\bf-w}={\bfu}\oplus_{\bf d}{\bv-v}，$$在Remark\ref{prefix}之后$$w_0=\帽子{u} _0（0）\oplus{d}\hat{v} _0（0）,$$其中$\hat{u} _0（0）$是${\bf-u}$和$\hat的长度$|d|_0$前缀{v} _0（0）$是${\bf v}$的长度$|d|1$前缀。通过$d_0$的字典最小性，$d_0’1=d_0\precqd$，因此$d_0:d$。因此，写${\bfd}=d'_0\hat{\Delta}$，其中$\hat}\Delta{\in1\{0,1\}^\omega$。按备注\ref{prefix}，$${\bf W}={\bf-U}\oplus_{\hat{\Delta}}{\bfV}$$通过$\Delta$、$\Delta \precq\hat{\Delta}$的极小性。然而，通过$｛\bf d｝$的极小性，$d’_0\hat｛\Delta｝=｛\bf d｝\preciq｛d’_0\Delta｝$。因此$\Delta=\hat{\Delta}$，因此${\bf d}=d'_0{\bf\Delta}$\结束{proof}\开始{推论}\标记{归纳步骤}设${\bf-d}$是$1\{0,1\}^\omega$的字典序最小元素，这样$${\bf-w}={\bfu}\oplus_{\bf d}{\bv-v}$$假设对于每个正整数$i$，都有有限个单词$W_i$、$U_i$和$V_i$，以及$\omega$-单词${\bf W}_{i}$、${\ff U}_{i}$和${\ffv}_{i}$，其中\开始{itemize}\项目${\bfw}_1={\bf-w}，{\bfu}_1=}\bfu}\text{和}{\bf v}_1=[{\bv}$\项目$W_i、U_i、V_i\text{分别是}{\bf W}{i}、{\bf-U}{i{、{\bf V}{i}\text{长度为2或2以上的前缀，}$\项目${\bf w}_{i+1}=（w'_i）^{-1}{\bf-w}_}，{\bfu}_{i+1}=（u'_i\结束{itemize}使得对于每$i$，\开始{eqnarray*}{\bf w}_{i}&=&\prod_{j=i}^\infty w'_j\\{\bfu}_{i}&=&\prod_{j=i}^\infty u'_j\\{\bf v}_{i}&=&\prod_{j=i}^\infty v'_j。\结束{eqnarray*}对于每个$i$，让$D_i$是从1开始的词典编纂最少的单词，这样$$W_i=\hat{u} _ i\oplus_{D_i}\hat{v} _ i$$对于某些前缀$\hat{u} _ i${\bfu}_{i}$和$\hat的${v} _ i${\bf v}_{i}$的$。假设对于每个$i$，$D_i$以1、$\hat结尾{u} _ i=U_i$和$\hat美元{v} _ i=V_i$。然后$${\bf d}=\prod_{i=1}^\infty d'_i$$\结束{推论}\开始{proof}这是由前面的引理通过归纳得出的。\结束{proof}\第{星期四-莫尔斯语单词}节考虑Thue-Morse单词（\seqnum{A001285}）的二进制版本，即${\bf-t}=\mu^\omega（0）$，其中$\mu（0）=01$，$\mu（1）=10$。因此$${\bf t}=0110100110010110\cdots$$Thue-Morse单词的长度2因子为00、01、10、11。如果${\bft}[j.j+1]=ab$，$a$，$b\in\{0,1\}$，那么$${\bf t}[8j..8j+15]=\mu^3（ab）$$和$${\bf t}[16j..16j+31]=\mu^4（ab）$$因此，$$\langle{\bf-t}[8j+1..8j+8]、{\bf t}[9j+5..8j+13]、{\ff t}[16j+6..16j+22]\rangle$$采用四个可能值之一：\vspace{.1in}如果$｛\bf t｝[j..j+1]=00$，则\开始{eqnarray*}{\bf t}[8j..8j+15]&=&0\下划线{1101\上划线{0010}}\上划线{11010}01\\{\bf t}[16j16j+31]&=&011010\下划线{01100101100110100}110010110\结束{eqnarray*}以便$$\langle{\bf t}[8j+1..8j+8]，{\bf-t}[8j+5..8j+13]，{\ff t}[16j+6..16j+22]范围$$$$=等级1101001000101101001100101100110100100100100100$$类似地，在其他三种情况下，我们发现$$\langle{\bf t}[8j+1..8j+8]，{\bf-t}[8j+5..8j+13]，{\ff t}[16j+6..16j+22]\rangle\in\langle U_i，V_i，W_i，其中$U_i$，$V_i$和$W_i$的值如下：\vspace{.1in}\开始{居中}\开始{tablar}{cccc}\hline$i$&$U_i$&$V_i$&$W_i$\\\行1&11010010&001011010&01100101100110100\\2&11010011&001100101&01100101101001011\\3&00101100&110011010&10011010010110100\\4&00101101&110100101&1001101001100111\\hline公司\结束{表格}\vspace{.1in}\结束{中心}对于每个非负整数$j$，让$i_j\in\{1,2,3,4\}$是唯一的值，这样$${\bf t}[8j+1..8j+8]=U_{i_j}$$设$D_1=10001110100011101$，$D_2=10001001100111101$。一个人检查了一下\开始{eqnarray*}W_1&=&U_1\oplus_{D_1}V_1\\W_2&=&U_2\oplus_{D_2}V_2\\W_3&=&U_3\oplus_{D_2}V_3\\W_4&=&U_4\oplus_{D_1}V_4。\结束{eqnarray*}对于给定的$j$值，考虑$\omega$-words${\bf U}={\bf-t}[8j+1..\infty]$，${\ff V}={\ff-t}[8j+5..\inffy]$、${\ff-W}={\tf-t}[16j+6..\infcy]$。让${\bf W}$的长度17前缀为$W_0$。因此，{W_1、W_2、W_3、W_4}$中的$W_0。根据备注~\ref{decitable}，对于某些前缀$U$的$U_0$和$V$的$V_0$，可以确定前缀为1的字典序最小值$D_0$，即$W_0=U_0\oplus_{D_0}V_0$；我们只需要考虑长度最多为17的${\bf U}$和${\bf V}$前缀。因此，这是一个有限的计算，表明每当$W_0\ in \{W_1，W_4\}$，那么$D_0=D_1$，当$W_0\in \{W_2，W_3\}$时，$D_0=D_2$。为了方便起见，定义$\delta:\{1,2,3,4\}\rightarrow\{1,2\}$by$\delta（1）=\delta$设$T_0=0110100$，Thue-Morse单词${\bf-T}$的前缀长度为7。一个简短的计算（手动可行）表明，前缀为1的词典编纂最小单词$\Delta_0$，即前缀$T_1的$T_0=T_1\oplus_{\Delta_0}T_2$，${\bf T}$的T_2$是$\Delta _0=11111001$。我们注意到$D_1$、$D_2$和$\Delta_0$都以1结尾。\开始｛定理｝前缀为1的词典编纂最小单词$d$，使${\bft}={\bft}\oplus_d{\bf t}$为$$d=11111 0\prod_{j=0}^\infty({D}（D）_{\增量（i_j）}）'$$\结束{定理}\开始{proof}注意$${\bf t}=011010\prod_{j=0}^\infty W'_{i_j}=0\prod_{j=0}^\infty U'_{i _j}=0.101\prod\j=0{^\inffy V'{i_j}$$因此，结果来自推论{归纳步骤}。\结束{proof}\开始{remark}我们可以验证这是Charlier等人给出的洗牌。\结束｛备注｝\{确认}节感谢这位匿名而彻底的裁判，感谢纳拉德·拉姆佩萨德，征求他们的意见。\开始{书目}{9}\bibitem{charlier}E.Charlier、T.Kamae、S.Puzynina和L.Q.Zamboni，《自我洗牌》words，{\em J.Combin.理论Ser.A}{\bf 128}（2014），1-40。\bibitem{optimal}J.Endrulis和D.Hendriks，Thue-Morse单词的最佳自洗牌，预印本可在\网址{网址：http://www.cs.vu.nl/~diem/publication/pdf/self-shuffle.pdf}\\2014\bibitem{henshall}D.henshall、N.Rampersad和J.Shallit，洗牌和取消洗牌，{\em Bull.Europ.Assoc.Theoret.Compute.Sci.}第107期（2012年6月），第131--142页。\bibitem{lothaire}M.lothaire，{\it单词上的代数组合数学}，剑桥大学出版社，2002年。\bibitem{thue}阿克塞尔·thue，{\“优步}die gegenseitige{Lage}gleicher{Teile}gewisser{Zeichenreihen}，{\it Norske Vid.Selsk.Skr.I.Mat.Nat.Kl.Christiana}{\bf 1}（1912），1-67。转载于Axel Thue的数学论文选集，T.Nagell，奥斯陆大学编辑，1977年，第413-478页。\结束{书目}\大跳跃\小时\大跳跃\noindent 2010数学学科分类：小学68R15。\noindent\emph{关键词：}单词打乱，Thue-Morse单词，词典编纂顺序。\大跳跃\小时\大跳跃\noindent（与sequence\seqnum{A001285}有关）。\大跳跃\小时\大跳跃\vspace*{+.1in}\无音（noindent）2014年9月12日收到；2014年10月11日收到的修订版；2014年10月12日。发表于2014年11月2日的《整数序列杂志》。\大跳跃\小时\大跳跃\无音（noindent）返回到\htmladdnormallink{整数序列杂志主页}{http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/}.\vskip.1英寸\结束｛文档｝