\文档类[12pt，reqno]{article}\usepackage[用户名]{颜色}\使用包{amssymb}\使用包{graphicx}\使用包{amscd}\usepackage[colorinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色{webbrown}{rgb}{.6,0,0}\使用包{color}\使用包{fullpage}\使用包{float}\使用包{psfig}\usepackage{graphics，amsmath，amssymb}使用包\使用包{amsthm}\使用包{amsfonts}\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\evensidemargin}{.1in}\集长度｛\topmargin｝｛-.1in｝\设置长度{\textheight}{8.4in}\新命令{\seqnum}[1]{\href{http://oeis.org/#1}{\下划线{#1}}\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\leavevmode\epsffile｛logo129.eps｝\结束{中心}\理论风格{普通}\新定理{定理}{定理{\新定理｛推论｝〔定理〕｛推论｝\新定理{引理}[定理]{引言}\新定理{命题}[定理]{命题\理论风格{定义}\新定理{definition}[定理]{definition}\新定理{example}[定理]{example}\新定理｛猜想｝〔定理〕｛猜想｝\理论风格{remark}\新定理{remark}[定理]{remark}\开始{居中}\vskip 1cm{\LARGE\bf纯周期无理数的循环积}\vskip 1cm\大型C.~R.~卡罗尔\\数学系\\德克萨斯农工大学\\德克萨斯州金斯维尔78363\\美国\\\链接{maito:c-carroll@tamuk.edu}{\t抄送：carroll@tamuk.edu}\结束{中心}\vskip.2英寸\开始｛摘要｝设$\left（a_{0}，\dotsb，a_{k-1}\right）$是正整数序列，$m$是正整型。我们证明了范数$（-1）^k$的“几乎每个”实二次单位$\epsilon$允许至少$m$个不同的因式分解成形式的纯周期有理数的乘积\开始{方程式*}{\ε=[\overline{a{0}；a{1}，\ldots，a{k-1}、x、y}]\，\times\，}{[\overrine{a}1}；a{2}，\tdots，x，y，a{0{}]}\，\temies\cdots\times\，{[\surrine{y；a{0neneneep，\ldot，a{k1}和x}]}。\结束{方程式*}此表达式中显示的周期不是最小值。类似的断言适用于素数迹和$m=1$的实二次单位$\epsilon>1$。证明基于这样一个事实，即形式为$f（x，y）=axy+by+cx+d$，$\gcd（a，bc）=1$，$a>1$，$b，c>0$的整数多项式映射在对正整数求值时几乎假设了每个正整数值和每个素数。\结束｛摘要｝\章节{引言}\label{1}对于一个正整数序列$\nu=（a_0，a_1，a_2，\ldots，a{k-1}）$，$k\geq1$，我们将通过取纯周期二次无理数的以下乘积得到的实二次单位$\epsilon>1$关联起来\开始{方程式}\标记{eq:aa}\epsilon=\prod_{i=0}^{k-1}\[\overline{a{i}；a{i+1}，\ldot，a{k-1}，a{0}，a{i-1}}].\end{方程式}与标准惯例不同，我们允许此表达式中显示的周期是最小周期的倍数。这一惯例始终保留。归纳法表明，$\epsilon>1$是一个二次单位{Y}。或者，这一事实很容易从矩阵方法到连分式算法（参见van der Poorten \cite{vdp}和S \ref{4}）；从这个角度来看（\ref｛eq:aa｝）对应于矩阵关系\开始{方程式}\标签{eq:aaa}\开始{pmatrix}a{0}&1\\1&0\结束{pmatrix}\开始{pmatrix}{1}&1\\1&0\结束{pmatrix}\dotsb\开始{pmatrix}a_｛k-1｝和1\\1&0\结束{pmatrix}\开始{pmatrix}\阿尔法\\1\结束{pmatrix}=\epsilon\begin{pmatrix}\阿尔法\\1\结束{pmatrix}\结束{方程式}哪里\[\alpha=[\overline{a{0}；a{1}，\ldots，a{k-1}}].\]请注意（\ref｛eq:aaa｝）中的$\epsilon$具有范数$（-1）^k$。每个实二次单位$\epsilon>1$都有一个简单的因子分解，其形式如（\ref{eq:aa}）所示。让$N$表示$\epsilon$的轨迹。对于标准值为$1$的$\epsilon$，我们有$\epsilon=[\overline{N；}]$；否则，当范数为$+1$时，我们得到$\epsilon=[\overline{1；N-2}]\times[\overrine{N-2；1}]$。我们将相应单位$\epsilon$的（ref{eq:aa}）中给定形式的乘积称为\emph{循环因式分解}。从各种不同的角度来看，这种因式分解都很有趣。$\epsilon$的不同因式分解可以用来表示$GL（2，\mathbb{Z}）$中双曲矩阵的不同共轭类，其主特征值为$\epsilon$。在研究圆环的双曲自同构时，这些类对应于同胚的拓扑共轭类，不变量$\epsilon$和$\nu$具有自然拓扑解释\cite{adler}。根据Latimer和MacDuffee\cite{lm}的结果，可以进一步确定$\mathbb{Z}[\epsilon]$阶的理想类。如果$\epsilon_0$是$\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$（$d$无平方）的基本单位，那么，如Yamamoto\cite{Y}所解释的，字段类号$h（d）$可以用满足因子具有判别性$d$的特殊条件的$\epsilon_0$的循环因式分解数来标识。在计算机的帮助下，对于不太大的$\epsilon$，可以确定一个实二次单位$\epsilon>1$的完整循环因式分解族。观察这些家族，人们通常会发现大量的循环因子分解，相关序列显示出很大的随机性。一个自然的问题是，这些序列$\nu$在由单位$\epsilon$确定的因子分解族中的变化程度。我们将其项已知的整数序列（固定位置的$d$整数除外）称为\emph{d-pattern}。我们考虑单位$\epsilon$允许循环分解实例化给定$d$-模式的程度。如果图案的长度是奇数，则可以假定相应的单位具有标准值$1$-1$，上述条件是必要的。对于$1$-pattern$\nu（x）=（a{0}，\ldots，a{k-1}，x）$，$k\geq2$，不难看出，范数$（-1）^{k+1}$的实际二次单位$\epsilon>1$中有很大一部分没有因式分解实例化$\nu（x）$。这是由于相应循环因式分解的存在会导致对同余类的约束，相对于$\epsilon$的迹的某些模。对于某些$d$-模式，例如模式$（a，x，a-1，a+1，y）$，$a>1$，也会出现相同的约束。然而，如果$d$-模式至少有两个相邻的自由变量，则几乎总是存在相应的循环因子分解。我们证明了\开始{定理}\label{main}设$\nu=（a_0，a{1}，\dotsb，a{k-1}）$是正整数序列，$m$是任意正整数。几乎范数$（-1）^k$的每一个实二次单位$\epsilon>1$都允许在形式的$\mathbb{Q}[\epsilon]$上进行因式分解\开始{方程式}\标签{eq:cc}\开始{split}{\ε=[\overline{a{0}；a{1}，\ldots，a{k-1}、x、y}]\，\times\，}{[\overrine{a}1}；a{2}，\tdots，x，y，a{0{}]}\，\temies\cdots\times\，{[\surrine{y；a{0neneneep，\ldot，a{k1}和x}]}。\结束{拆分}\结束{方程式}整数$x$、$y$可以以至少$m$不同的方式进行选择。此外，如果$\nu\neq（1）$几乎每个跟踪属于素数的固定整数平移的单元都至少有一个这样的因式分解。\结束{定理}给出的参数扩展到某些$2$-模式，这些模式的自由变量不相邻。此外，定理{main}立即推广到序列的有限族。修复长度为单个奇偶校验的有限序列族$\cal{F}$。例如，我们可以使用$\cal{F}$来包含长度为奇数（响应、偶数）的所有序列，其长度和项满足固定的上界。然后，几乎每一个范数$1$（resp.，$+1$）的实二次单位$\epsilon>1$对每一个$\nu\in\cal{F}$都有一个（ref{eq:cc}）中给出的形式的循环因式分解。相反，我们在\S\ref{2}中看到，给定一个长度为$k$的固定序列$\nu$，存在无穷多个范数为$（-1）^k$的实二次单位$\epsilon>1$，它们没有相应的循环因式分解。如果Dickson的猜想是正确的，那么给定如上所述的有限族$\cal{F}$，可以认为这些单元没有对应于任何序列$\nu\cal{F}$的循环因式分解。单位被视为通用单位的意义可以确定精确如下。让$\epsilon_{（i，+）}$，$i\geq3$，（分别为$\epsilon_{（i，-）}$、$i\gerq1$）表示实数二次量值单位大于记录道$i$和标准值$+1$（分别为$-1$）的一个。这样一个单位的大小很好地通过它的轨迹来近似（因为$\left|\epsilon_{{（i，\pm）}}-i\right|<1$）。设$\cal{T_+}$（resp.，$\cal{T_-}$）是满足给定语句的形式为$\epsilon_{{（i，+）}$（resp.，$\epsilen_{{（i，-）}}$）的单元的迹线$i$的集合。当且仅当$\cal{T_+}$（$\cal{T_-}$的相应子集）的相应子集在整数中具有渐近密度1时，该语句将被称为保持范数$+1$（resp.，$-1$）的\textit{几乎每个}单位$\epsilon_k$，或者也保持这种类型的\textit{泛型单位}。同样的方法也可以用于定义相对于单位$\epsilon_{{（i，+）}}$（resp.，$\epsilon_{（i，-）}}$）的任何无限子集的泛型；特别是，跟踪$i$可以被视为素数。不难证明，几乎每一个实二次单位$\epsilon_{{（i，+）}}$（resp.，$\epsilon_{（i，-）}}$）都是一个基本单位\cite{sprind}。定理{main}的证明基于以下关于整数多项式表示的结果。设$f（x，y）=axy+by+cx+d$是一个整数多项式，其中$a>1$，$b，c\in\mathbb{Z}^+$，$\gcd（a，bc）=1$。让$P$表示素数集。\开始{定理}\label{mainr}设$R_f\，=\，\left\{f（x，y）：x，y\in\mathbb{Z}^+\right\}$。修复$m\in\mathbb{Z}^+$。然后：（i） $R_f\cap\mathbb{Z}^+$在正整数集合内具有渐近密度1，集合的每个元素由至少$m$个不同的正整数对$（x，y）$表示；（ii）$R_f\cap P$相对渐近密度为$P$中的一个。\结束{定理}断言（i）很快就得出这样一个事实：给定一个固定模$a$，几乎每个整数在每个剩余类$r\bmod{a}$，$\gcd（r，a）=1$\cite{erdos2}中都至少有一个除数。S.K.Stein\cite{Stein}得到了一个更一般的因式分解结果，并由此导出了（i），其中$m=1$和$d=0$。（ii）的证明依赖于Dirichlet和de la Vall \'ee Poussin的定理，以及算术级数的欧拉乘积恒等式的现代变体。在Iwaniec\cite{Iwaniec}的著名工作中，研究了由整数上的一般二元积分二次多项式表示的素数集的相对密度。他们的结果表明，当对整数求值时，上述多项式$f（x，y）$假设一组相对密度为正的素数。我们应该注意到，与这里考虑的限制类多项式（假设一组渐近密度为1的整数值）不同，通常的数论重点是假设一组稀疏整数值的多项式。根据对参数的各种限制，可以将（ii）的论证扩展到形式为$f（x，y）=（rx+ty）（ux+my）+bx+cy+d$的更一般的一类积分多项式，但出于我们的目的，不需要这种普遍性。在\S\ref中{2}-\ref｛3｝给出了定理\ref｛mainr｝的一个证明。定理{main}的推导在\S\ref{4}中给出。\部分{正整数的表示}\标签{2}设$f（x，y）=a\，xy+by+cx+d$是系数满足\开始{方程式}\标签{第二}a>1，\\b，c>0，\\gcd（a，bc）=1.\end{方程式{我们考虑$f（x，y）$对正整数取的正整数值。此集合可以用$f（\mathbb{Z}^+\times\mathbb{Z}^+）$标识，最多可以标识$d<0$时可能出现的有限个非正值。给定$N\in\mathbb{Z}^+$，我们说$f（x，y）$\textit{表示}$N$，如果存在整数$x$，$y\in\mathbb{Z}^+$f（x，y）=N$；应该强调的是，我们考虑的表示是在正整数之上的，这是我们后面的参数所必需的假设（参见\S\ref{4}）。我们将说$f（x，y）$表示集合$B\subet\mathbb｛Z｝^+$，如果它在上述意义上表示$B$的每个元素。固定一个正整数$B$的无限集，并让$A\子集B$。然后将$A$相对于$B$的\textit{渐近密度}（或\textit}自然密度}）定义为极限\[d_B（A）=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{\left|A\cap\left\{1,2，\ldots，k\right \}\right |}{\left |B\cap\leaft\{2,2，\ltots，k \right \}\right|}\]只要它存在。如果$d_B（A）=1$，我们将说\textit{几乎$B$的每个元素都位于$A$}中，或者，\textit}$A$在$B$}是完全密度的。有时省略了对$B$的引用，在这种情况下，假定$B=\mathbb{Z}^+$。在这一节中，我们证明了满足（\ref{cond}）中所述条件的任何多项式$f（x，y）$几乎表示每个正整数，或$d_{mathbb{Z}^+}（f（\mathbb}Z}^+\times\mathbb{Z}^+）\cap\mathbb2{Z}*^+）=1$我们回顾了一些基本事实。设$B$是一个无限整数集，并且让$\cal{C}$成为具有相对于$B$的定义明确的渐近密度。这是众所周知的$\cal{C}$在有限不交并和互补但在交集下不闭合，因此不闭合形成一个代数。$d_B$的一个有用属性是它是可加性的在$\cal{C}$中的不相交集上。下面我们列出了几个额外的有用的属性\引用[pp.~79-80]{nark}。\开始{引理}\标签｛eprop｝设$B$是正整数和$A\子集B$的无限子集。\更新命令{\labelenumi}{（\roman{enumi}）}\开始｛枚举｝\项目如果$A$是有限的，则$d_B（A）=0$。\项目假设$A$具有定义明确的密度，由$d_B（A）=d$给出。如果$A^c$是$B$中$A$的补码，则$d_B（A^c）=1-d$。\项目设$A_i$，$1\leqi\leqk$是$d_B（A_i）=1$的$B$子集的集合。然后$\bigcap{i=1}^{k}A_i$的渐近密度存在，并由$d_B（\bigcab{i=1{k}A_i）=1$给出。\项目假设$A_1\子集A{2}$是$B$的嵌套子集，具有定义良好的渐近密度。然后$d_B（A_1）\leq d_B（A_2）$。\项目设$A$是正整数的任意子集。修复\mathbb{Z}^+$中的$k_1\和\mathbb{Z}$中的$k_2\。那么$d_{mathbb{Z}^+}（A）=d$当且仅当$d_}\mathbb}Z}^+}（k_1\，A+k_2\，\cap\，\mathbb{Z}^+）=d/k_1$。\项目如果$A_1，\，A_2\子集B$满足$d_B（A_1）=1$和$d_A（A_2）=d$，则$A_1\cap A_2$相对于$B$的密度是明确定义的，并由$d_C（A_1\cap A_2）=d$给出。\结束{enumerate}\结束{引理}我们现在考虑由$f（x，y）$表示的正整数$N$。求$A，xy+by+cx+d=N$形式方程解的标准方法是将其重写为\开始{eqnarray}aN-（ad-bc）\，&=&\，（ax+b）（ay+c）。\标签{two}\结束{eqnarray}从这个方程中，我们可以看出，$N$由$f（x，y）$表示，正好当$aN-（ad-bc）$是两个大于$a$的整数的乘积时，这两个整数属于模$a$的适当余数类。当然，这样的因子分解不一定存在；特别是$aN--（ad-bc）$可能是质数。根据狄里克莱定理\开始{定理}[Dirichlet]\label{Dirichlet}每个形式为$a\，x+b$的算术级数，其中$a，\，b$个非零整数满足$a>0$和$\gcd（a，b）=1$，包含无穷多个素数。事实上，由这种级数生成的素数的倒数之和是发散的。\结束{定理}给定（ref{two}）的固定参数满足$\gcd（a，ad-bc）=1$，根据Dirichlet定理，整数$aN-（ad-bc；因此，这些值不能用$f（x，y）$表示。另一方面，现在我们将看到$f（x，y）$几乎表示每个正整数。这是由于整数的除数通常在剩余类上分布良好。如Erd\H所述{o} 秒\引用{erdos2}，\开始{命题}\标签{erdos2}设$a\in\mathbb{Z}^+$，$a>1$。设$F（a）$表示每个整数$k$相对于$a$的素数$k$至少有一个与$k$模$a$同余的正整数集。那么$F（a）$在$\mathbb{Z}^+$中是完全渐近密度。\结束{命题}通过引理~\ref{eprop}（vi），这个观察扩展到正渐近密度的任何子集$S\subset\mathbb{Z}^+$；也就是说，$d_S（S\cap F（a））=1$。有了这个事实，很容易看出几乎每个正整数$N$都存在非负整数$x，\，y$满足（\ref{two}）。设$T$是由$T（N）=a\，N-（ad-bc）$给出的仿射变换。集合$T（\mathbb{Z}^+）$可以包含有限个非正整数，这些非正整数可以忽略，因为对于任何解$x，y>0$的（\ref{two}），方程的右侧必须为正。因此，让$B=T（\mathbb{Z}^+）\cap\mathbb{Z}^+$。考虑子集$B_1=B\cap F（a）$。由于由引理{eprop}（v）$d_{mathbb{Z}^+}（B）=1/a$，我们也有$d_}\mathbb}Z}^+}（B_1）=1/a$。$B_1$的元素$m=T（N'）$必须满足同余$m\equiv-bc\pmod{a}$。假设$\gcd（b，a）=1$，$m$具有形式为$m=m_1的因式分解，m_2$具有$m_1\equivb\pmod{a}$，因此具有$m_2\equivc\pmod}$。因此（ref{two}）有一个非负整数$x，\，y$的解，对于$N=N'$，实际上对于T^{-1}（B_1）$中的任何$N\。现在考虑$T^{-1}的渐近密度({B} 1个 ) $. 为了简化符号，将$l=ad-bc$。设$D_k=T^{-1}({B} _1个）\cap\left\{1,2，\ldots，k\right\}$。那么$T（D_k）=B_1\cap\left\{1，\，2，\，\ldots，ak-l\right\}$必须是相同基数的集合，例如$n_k$。因此，我们可以将$B_1$的渐近密度表示为\[d_{mathbb{Z}^+}（B_1）=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{n_k}{ak+l}=\frac}{a}\lim_ k\right arrow\ infty{（B_1）=\frac{n_k}}{k}回顾$d_{mathbb{Z}^+}（B_1）=1/a$，这显示$\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{n_k}{k}=1$。因此$T^｛-1｝({B} _1个）$为全密度。我们现在知道，几乎每个正整数$N$都存在非负整数$x，\，y$（\ref{two}）。还有待证明，存在多种积极的解决方案。让$\mathbb{Z}（a；s）$表示与$s$模$a$同余的所有正整数$m$的集合。\开始{命题}\标记{corerd}设$k$是任意正整数，$a，b，c\in\mathbb{Z}^+$使得$a>1$，$\gcd（a，bc）=1$。那么几乎每个整数$m\in\mathbb{Z}（a；bc）$都允许至少$k$个不同的分解，其形式为$m=（xa+b）（ya+c）$，其中$x，\，y\在\mathbb{Z}^+$中。\结束{命题}\开始{proof}设$s，\，k\in\mathbb{Z}^+$和$q$是素数，使得$s>2k+left\lfloor{frac{c}{a}}\right\rfloor$和$q>b+s\，a$。由于$\gcd（a，b）=1$，整数$b+i\、a$、$0<i\leq-s$相对于$qa$而言是质数。请注意，它们代表$s$模$qa$的不同约简剩余类。根据命题\ref{erdos2}后面的注释，$\mathbb{Z}（a；bc）$包含一个子集$\mathbb{Z} _1个（a；bc）$具有完全相对密度，其元素在每个剩余类中都有除数。修复$m^\prime\in\mathbb{Z} _1个（a；bc）美元。然后，给定任意剩余类$b+i_0，a\bmod{qa}$，$0<i_0\leqs$，我们可以将$m^\prime$写成正整数$m^\trime=m_1m_2$的乘积，其中\[m_1\equivb+i_0，a\pmod{qa}.]由于$m_1m_2 \equiv b m_2\equiv-b\，c\pmod}$，它遵循$m_2\Equivc\pmod a$。将$\上划线{c}=c-\left\lfloor\frac{c}{a}\right\rfloor$。我们可以写\开始{eqnarray}m^\素数\，=\，m1\，m2\，=\，（b+i_0\，a+i_1\，qa）\，（上横线{c}+j_0\，a）\n数字\结束{eqnarray}对于非负整数$i_1$和$j_0$。注意$m_1=b+xa$，其中$x=i_0+i_1q>0$。当$i_0$变化时，系数$m_1$决定了模$qa$中至少$s$个不同的剩余类。我们有$j_0\leq\left\lfloor{\frac{c}{a}}\right\rfloor$，最多为$\left\floor{\frac{c}}\reight\rfloor+1$个值。在其余情况下，$m_2$的形式为$c+ya$，$y>0$。因此，我们有产品$m^\prime\，=\，（b+xa）（c+ya）$，其中$x，\，y$为正，并且第一个因子至少有$2\，k$选项。除非$b=c$，否则这些因子分解是不同的，在这种情况下，仍然至少有$k$个不同的因子分解。\结束{proof}我们现在可以得出结论\开始{推论}\label{int}修复$k\in\mathbb{Z}^+$。设$f（x，y）=axy+by+cx+d$是一个整数多项式，其中$a，b，c>0$，$a>1$，$\gcd（a，bc）=1$。然后存在一组完全渐近密度的正整数$N$，使得$f（x，y）=N$对于至少$k$对不同的正整数$（x，y）$。\结束{推论}推论\ref{int}的另一种证明可以从以下的重新公式开始给出$a\，xy+by+cx+d=N$，$a\neq 0$：\开始｛eqnarray｝\nemberN，=，（ax+b）y+cx+d\结束{eqnarray}大致思路如下。由于$\gcd（a，b）=1$Dirichlet定理产生了一个不同素数的无限序列$p_i=a\，x_i+b.$索引$i$的每个值依次确定变量$y$中相应的算术级数$p（x_i，y）=p_i\，y+（c\，x_i+d）$。根据C.a.Rogers的结果\引用[p.~242]{halberstam}，由这些级数中的至少一个实现的正整数的渐近密度是由可被至少一个素数$pi$整除的正整数集的渐近密度限定的。如果和$\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{p_i}$发散{nark}，这个密度已知为$1$，这个事实在目前的情况下是Dirichlet定理的结果。因此，$T（x，y）$几乎表示$\mathbb{Z}^+\times\mathbb{Z}^+$上的每个正整数。要获得多重表示，需要使用与命题证明中使用的类似的技巧。\部分{素数的表示}标签{3}推论\ref{int}没有给出关于渐近密度为零的整数集的表示的信息。在本节中，我们考虑素数的表示。我们展示了\开始{命题}\标记{adp}设$f（x，y）\，=\，a\，xy+by+cx+d$是一个整多项式，其系数满足$a>1$，$b，c>0$和$\gcd（a，bc）=1$。然后$f（x，y）$表示（在正整数上）一组完全相对密度的素数$p$。\结束{命题}\开始{remark}由于整数$d$是任意的，因此$f（x，y）$也表示素数的任何固定整数平移的完全相对密度的子集。\结尾{remark}命题ref{adp}的证明基于Dirichlet定理和以下附加的经典结果。De la Vall’ee Poussin建立了算术级数生成的素数在可能的剩余类之间的分布是相等的。设$P$为素数集，$P_{a，b}$为算术级数$a\，x+b$，$a>0，\\gcd（a，b）=1$生成的素数集。我们有\开始{定理}[de la Vall \'ee Poussin]\label{dv}\[\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{\left|P_{a，b}\cap\left\{1,2，\ldot，k\right \}\right|}{left|P\cap\ left\}1,2，\ ldot，k \right\}\reight|}=\frac{1}{\phi（a）}\]，\结束{定理}\noindent，其中$\phi$表示Euler的totient函数。我们还依赖于算术级数{lang}生成的素数的欧拉著名乘积恒等式的以下变体：\开始{定理}\标签{eul}设$a，\，b$是整数，使得$a>0$和$\gcd（a，b）=1$。然后\[\prod_{q\在P_{a，b}}\，\left（1-\frac{1}{q}\right）=0.\]\结束{定理}为了建立命题ref{adp}，我们考虑了通过计算多项式$f（x，y）\，=\，（a\，x+b）\，y+cx+d$在选定值$x$处的算术级数生成的素数族。为了修正这些想法，让我们考虑一对任意的算术级数$q_1\，y+r_1$，$q_2\，y+r_2$，其中$\q_1，\，q_2$不同的奇素数和$r_1，\，r_2$分别与$q_1，\，q_2$相对素数。我们希望确定由这些级数生成的素数集$A$的相对渐近密度，$A=P_{q_1，r1}\cup P_{q_2，r2}$。这最方便地通过计算互补素数集$P-A$的相对渐近密度来实现。注意，P-A$中只有有限多个素数$q_c\可以属于四个剩余类$0\pmod{q_i}$、$r_i\pmod}$、$i=1,2$中的一个。其余素数$q_c$分布在$（q_1-2）（q_2-2）$可能的剩余类对上。设$k_1\pmod{q_1}$，$k_2\pmod}q_2}$是这样的一对，余数$k_i$取约化模$q_i，\i=1,2$。根据中国剩余定理，素数$q_c$属于这对类的条件等价于形式的条件\开始{方程式}\标记{eq:ch}q_c等{s} 3个\pmod{q_1 q_2}，\结束{方程式}$s_3$是一个固定整数，因此$1\leq s_3\leq q_1 q_2-1$。由于$k_1，\，k_2\neq 0$，我们有$\gcd({s} _3个，q_1\，q_2）=1$。应用定理\ref{dv}，我们可以看到满足（eq:ch}）的所有素数集都具有相对密度\开始{等式*}d_P（P_{q_1q_2，s_3}）\，=\，\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{\left|P_{q_1q_2，s_3}\cap\left\{1,2，\ldots，k\rift\}\right|}{left|P\cap\laft\{1，\ldot，k\right\}\reght|}=\frac}1}{\phi（q_1\，q_2）}=\frac{1}{（q1-1）（q_2-1）}。\结束{方程式*}由于此计算不依赖于所考虑的$（q_1-2）（q_2-2）$剩余类对中的哪一个被选中，因此$P-A$中的素数总数渐近于\[（q1-2）\，（q_2-2）\，\压裂{1}{（q1-1）（q_2-1）}=\左（1-\压裂{1}{q_1-1}\右）\左（1-压裂{1{q_2-1}\左）\]该参数可推广到任意数量的$k$级数。因此，我们有\开始{引理}\label{eugn2}设$q_j$，$1\leqj\leqk$是$k$个不同素数和$r_j$个相应的整数，使得$\gcd（q_j，r_j）=1$。设$A=\bigcup_{j=1}^kP_{q_j，r_j}$。然后通过\[1-\prod_{j=1}^k，\left（1-\frac{1}{q_j-1}\right）\]给出了素数集中$A$的渐近密度\结束{引理}通过将引理{eprop}（iv）应用于集合[A_i=\bigcup_{j=1}^iP_{q_j，r_j}，\\i\in\mathbb{Z}^+的嵌套序列，可以将这个事实推广到无限并集$\bigcop_{j=1}^的情况\开始{引理}\label{prodinf}设$q_j$是不同素数的无限序列，$r_j$则是满足$\gcd（q_j，r_j）=1$的相应整数序列。则$\bigcup_｛j=1｝^\infty P_｛q_j，r_j｝$是所提供的素数集内的全密度集\开始{方程式*}\prod_{j=1}^\infty\，\left（1-\frac{1}{q_j-1}\right）=0。\结束{方程式*}\结束{引理}命题ref{adp}的证明现在很简单。假设多项式f（x，y）=axy+by+cx+d=（ax+b）y+cx+d标签{eq:f}结束{方程}满足命题ref{adp}的假设。根据Dirichlet定理，$ax+b$的值是正整数$x_i$递增序列的素数。我们写$p_i=a\，x_i+b$，$r_i=cx_i+d$。考虑$f（x_i，y）=p_i\，y+r_i$给出的$y$中的算术级数。如果$\gcd{（p_i，r_i）}=1$，狄里克莱定理可以再次应用。\开始{引理}\标签{pred}存在一个整数$i_0$，因此对于$i\geqi_0$\[\gcd（p_i，r_i）=\gcd，（ax_i+b，c\，x_i+d）=1.\]\结束{引理}\开始{proof}由于$a\neq 1$和$\gcd（a，c）=1$，它位于$a\neq c$之后。\梅德斯基普\textit{案例（i）：}$a>c$。对于$x_i$足够大，则必须为$01美元，\开始{等式}\标记{eq:a}\开始{pmatrix}a{0}&1\\1&0\结束{pmatrix}\开始{pmatrix}{1}&1\\1&0\结束{pmatrix}\dotsb\开始{pmatrix}{k-1}&1\\1&0\结束{pmatrix}\开始{pmatrix}\阿尔法\\1\结束{pmatrix}=\epsilon\begin{pmatrix}\阿尔法\\1\结束{pmatrix}。\结束{方程式}\结束{enumerate}从第二个方程中，我们得到了$\epsilon$的相应因子分解，如下所示。设$\alpha_m$，$m\geq 0$表示通过循环排列$\alfa$展开的周期而获得的纯周期无理数，从而使$a_m$作为初始元素出现，即：。，\[\alpha{m}=[\上划线{{{a{m}；a{m+1}，\dotsb，a{k-1}，a0，\dotsb，a{m-1}}}]。\]请注意，$\alpha_{i+k}=\alpha_i$。计算结果如下\开始{方程式}\标签{e}\开始{pmatrix}a{m}&1\\1&0\结束{pmatrix}^{-1}\开始{pmatrix}\字母_m\\1\结束{pmatrix}=\frac｛1｝｛\alpha_｛m+1｝｝\，\开始｛pmatrix｝\字母{m+1}\\1\结束{pmatrix}。\结束{方程式}通过将方程的每一侧与最左侧矩阵的逆矩阵相乘，并将方程（\ref{e}）的等式应用于方程的右侧，可以消除（\ref{eq:a}）中出现的$k$矩阵。在第$k$次乘法之后，剩下的是\[ \开始{pmatrix}\阿尔法\\1\结束{pmatrix}=\frac｛\epsilon｝｛\alpha_0\alpha_｛k-1｝\cdots\alpha_1｝\，\开始{pmatrix}\阿尔法\\1\结束{pmatrix}.\]因此\开始{方程式}\标签{cfprod}\ε\，=\，\alpha_0\，\alpha_1\ldots\alpha_{k-1}。\结束{方程式}我们将方程（\ref{eq:a}）中出现的类型的矩阵称为——即$\begin形式的单个矩阵{pmatrix}一个&1\\1&0\end{pmatrix}$，$a\in\mathbb{Z}^+$，或此类矩阵的有限乘积--\textit{depth}$k$的\textit}CF-matrix{。这样的矩阵有一个简单的特征：即它们是$GL（2，mathbb{Z}）$的非负元素$a=\begin{pmatrix}s_1&s_2\\s_3&s_4\end{pmatricx}$，其中$s_1\geq\max{（s_2，s_3）}$通过初等归纳法，如果$s_1\neq1$不等式是严格的，则$s_1>\max{（s_2，s_3）}$。可以很容易地验证深度为$k$的任意CF-矩阵$A$是否满足以下属性：$\texttt{Det}（A）=（-1）^{k}$$s_1、s_2、s_3>0$$\gcd（s1，s2）=\gcd（S1，s3）=1$。给定一个正整数序列$\nu=（a_0，a{1}，\dotsb，a{k-1}）$，让\开始{方程式}\标记{eq:e}M_（x，y）=\开始{pmatrix}a{0}&1\\1&0\结束{pmatrix}\溺爱某人\开始{pmatrix}{k-1}&1\\1&0\结束{pmatrix}\开始{pmatrix}x&1\\1&0\结束{pmatrix}\开始{pmatrix}y&1 \\1&0\结束｛pmatrix｝\结束{方程式}并且让$\epsilon_nu（x，y）>1$表示$M_nu（x，y）$的主特征值。写作\[\开始{pmatrix}b_1和b2\\b_3和b_4\end{pmatrix}=\prod_{0\leqi\leqk-1}\begin{pmatricx}a{i}&1\\1&0\结束{pmatrix}，\]我们得到了$M_nu（x，y）$的迹的以下表达式（根据Cayley-Hamilton定理也给出了其特征值的迹）\[T_（x，y）=b_1xy+b_2y+b_3x+b_1+b_4。\]因此，如果$N\in\mathbb｛Z｝^+$由多项式$T_\nu（x，y）$----表示，也就是说，对于一些正整数$x_0，y_0$----的选择，$N=T_\nu（x_0，y_0）$，那么$\epsilon_\nu（x_0，y_0）$是矩阵$M_\nu（x_0，y_0）$的主特征值，并且通过（\ref｛cfprod｝）得出$\epsilon_\nu（x_0，y_0）$允许循环因式分解\开始{方程式}\n编号{[\overline{a{0}；a{1}，\ldots，a{k-1}、x0、y0}]\，\times\，}{[\overrine{a}1}；a{2}，\tots，x0，y0，a{0{}]}\，\temes\cdots\times\，{[\surrine{y0；a{0neneneep，\ldot，a{k1}和x0}]}。\结束{方程式}通过上面提供的CF-矩阵的特征，多项式$T_nu（x，y）$满足了定理ref{mainr}提供的假设。当$\nu=（1）$时，$T_\nu（x，y）=（x+1）（y+1）$。在前一种情况下，应用定理ref{mainr}，在后一种情况中，注意到复合整数形成一组渐近密度为1的整数，我们可以得出结论，$T_nu（x，y）$以至少$m$不同的方式表示几乎每个正整数$N$。关于素数的表示，假设$\nu\neq（1）$，通过定理ref{mainr}几乎可以表示出每个素数。这就产生了定理\ref{main}。\第{确认}节作者感谢一位匿名裁判员的有益评论和更正。\开始{书目}{10}\bibitem{adler}R.~阿德勒、C.~特雷瑟和P.~A.~沃福克。线性自同态的拓扑共轭性关于2-环面，\textit{Trans.Amer.Math.Soc.}\textbf{349}（1997），1633-1652。\bibitem{erdos2}P.~Erd\H公司{o} 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2010（数学学科分类）：初级11A55；次要11N32、37D20。\noindent\emph{关键字：}单连分式，纯周期无理，素数用二次多项式表示，环面的线性自同构，Anosov自同构。\大跳跃\小时\大跳跃\vspace*{+.1in}\无音（noindent）2013年5月3日收到；2014年3月21日收到修订版。发表在《整数序列杂志》上，2014年3月22日。\大跳跃\小时\大跳跃\无音（noindent）返回到\htmladdnormallink{整数序列杂志主页}{http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/}.\vskip.1英寸\结束{文档}