\文档类[12pt，reqno]{article}\usepackage[用户名]{颜色}\使用包{amssymb}\使用包{graphicx}\使用包{amscd}\usepackage[colorinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色{webbrown}{rgb}{.6,0,0}\使用包{color}\使用包｛完整页｝\使用包{float}\使用包{psfig}\usepackage{graphics，amsmath，amssymb}使用包\使用包｛amsthm｝\使用包｛amsfonts｝\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\evensidemargin}{.1in}\集合长度{\topmargin}{-.1in}\设置长度{\textheight}{8.4in}\新命令{\seqnum}[1]{\href{http://oeis.org/#1}｛\下划线｛#1｝｝｝\开始｛文档｝\开始{居中}\epsfxsize=4英寸\离开模式\epsfile{logo129.eps}\结束{中心}\理论风格{普通}\新定理{定理}{定理{\新定理{推论}[定理]{推演}\新定理{引理}[定理]{引言}\新定理{命题}[定理]{命题\理论风格{定义}\新定理{definition}[定理]{definition}\新定理{example}[定理]{example}\新定理{猜想}[定理]{猜测}\理论风格{remark}\新定理{remark}[定理]{remark}\开始{居中}\vskip 1cm{\LARGE\bf迪克森多项式，切比雪夫\\\vskip.1英寸多项式，和Jeffery的一些猜想\vskip 1cm\大型斯特凡诺·巴贝罗\\数学系\\都灵大学\\通过Carlo Alberto 10\\都灵10123\\意大利\\\链接{mailto:stefano.barbero@unito.it}{\tstefano.barbero@unito.it}\\\结束{中心}\开始{abstract}利用多变量Dickson多项式和Chebyshev第二类多项式，我们导出了数组中定义序列号的条目｛A185095｝。作为一个结果，我们得到了一些猜想的直接证明杰弗里谈到了这个序列和其他相关的序列。\结束{抽象}\{主要猜想的证明}正如我们在整数序列百科全书中所发现的那样，序列{A185095}是一个由反对角线读取的矩形数组，其中$n$-th行具有生成函数\开始{方程式}\标签{rowgf}F_n（z）=\frac{\sum_{r=0}^{n}{（n+1-r）（-1）^r{2（n+1）-r选择r}z^r}}{\sum_{r=0}^{n+1}{\结束{方程式}对于$n=0,1,2，\ldots$。在本节中，我们找到了这个矩形数组项的显式表达式，并确定了列的普通生成函数。让我们考虑一下Lidl、Mullen和Turnwald\cite{LMT}书中定义的多个不定项中的第一类Dickson多项式。\开始{definition}\label{Dickdef}总次数$k不定项中的第一类Dickson多项式$$$D_k^{（i）}（x_1，\ldots，x_n，a），\quad i=1，\ltots，n$$满足函数方程\开始{方程式}D_k^{（i）}（x_1，\ldots，x_n，a）=S_i（u_1^k，\ldot，u_{n+1}^k），\quad i=1，\ltots，n\结束{方程式}其中$x_i=S_i（u_1，\ldots，u_{n+1}）$，$S_i（y_1，\tdots，y_{n+1}）$$是$y_1、\ldot、y_{n+1}$和$u_1\cdot\ldots\cdot u_{n+1}=a$的第$i$-th对称函数。\结束{定义}特别是当$i=1$时，我们有$D_k^{（1）}（x_1，\ldots，x_n，a）=S_1（u_{1}^k，\ldot，u_{n+1}^k）=\sum_{j=1}^{n+1}u_{j}^k$。此外，如果我们假设$x_0=1$和$x_{n+1}=a$，第一类Dickson多项式$D_k^{（1）}（x_1，\ldots，x_n，a）$具有以下生成函数（参见Lidl，Mullen和Turnwald\cite[引理2.23]{LMT}）：\开始｛方程式｝\标签｛Dgf｝\sum_{k=0}^{+\infty}D_k^{（1）}（x_1，\ldots，x_n，a）z^k=\frac{\sum_{r=0}^{n}（n+1-r）（-1）^{r} x _ rz ^r｝｛\sum_｛r＝0｝^｛n+1｝（-1）^{r} x _ rz^r}，\quad k\geq0。\结束{方程式}\开始{命题}定义序列{A185095}的矩形数组的第$n$-行$R_{n，k}$，$k，n\geq0$中的第$k$-项对应于$D_k^{（1）}（x_1，\ldots，x_n，1）$，其中$x_r={2（n+1）-r为$r=0，\ldot，n+1$选择r}$。此外，我们还有\开始{方程式}\标签{Rnk}R_{n，k}=2^{2k}\sum_{j=1}^{n+1}\cos^{2k}\左（\frac{j\pi}{2n+3}\右）。\结束{方程式}\结束{命题}\在比较了两个生成函数（ref{rowgf}）和（ref{Dgf}。此外，根据定义（\ref{Dickdef}），当$x_r={2（n+1）-r为$r=0\ldot，n+1$选择r}$时，对称函数所起的作用允许我们证明$$R_{n，k}=D_k^{（1）}（x_1，\ldots，x_n，1）=\sum_{j=1}^{n+1}\alpha_{j}^k，$$其中$\alpha_{j}$，对于$j=1，\ldot，n+1$是多项式的零\开始{方程式}P_n（x）=\sum_{j=0}^{n+1}（-1）^{j}{2（n+1）-j\选择j}x^{n+1-j}。\结束{方程式}现在让我们回顾一下第二类切比雪夫多项式$U_{h}\left（\frac{x}{2}\right）$的定义（参见Rivlin\cite{Riv}和Mason和Hascomb\cite}的参考文献）：\开始{方程式}U_｛h｝\left（\frac｛x｝｛2｝\right）=\sum_｛j=0｝^｛\lfloor\frac｛h｝｛2｝\lfloor｝（-1）^｛j｝{h-j\选择j}x^{h-2j}。\结束{方程式}很明显，$P_n（x）=U{2n+2}\left（\frac{\sqrt{x}}{2}\right）$。所以$\alpha_{j}$是$P_n（x）$的零当且仅当$\frac{\sqrt{\alpha_2j}}{2}$是$U_{2n+2}（x）$的正零。由于$U_{2n+2}（x）$的零是$x_{j}=\cos\left（\frac{j\pi}{2n+3}\right）$，$j=1，\ldots，2n+3$，因此，一个简单的三角考虑可以让我们在$j=1，\ldot，n+1$时找到正数，表明$\alpha_{j{2}=2\cos^2\left（\frac{j\pi}{2n+3}\right）$。论文紧随其后。\结束{proof}\开始{推论}$n\geq1$的条目$R_{n，k}$具有可选表达式\开始{方程式}\标签{Rnkal}\开始{cases}R_{n，k}={2k\选择k}\左（n+\压裂{3}{2}\右）-2^{2k-1}，四元1\leqk<2n+3\\R_{n，k}={2k\choose k}\ left（n+\frac{3}{2}\ right）-2^{2k-1}+（2n+3）\sum_{i=1}^{\lfloor\frac}k}{2n+3}\rfloor}{2k\ choose k-i（2n/3）}，\quad k\geq 2n+3\结束{cases}\结束{方程式}其中$R{n，0}=n+1$，$R{0，k}=1$。\开始{proof}显然，如果$k=0$，我们将获得$R{n，0}=n+1$，如果$n=0$我们将得到$R{0，k}=1$。当$k\geq 1$时，by（\ref{Rnk}）得益于求和公式（参见Gradshteyn和Ryzhik\cite{GR}）：$$\cos^{2k}（x）=\frac{1}{2^{2k}}\left\lbrace{2k\choose k}+2\sum_{h=0}^{k-1}{2 k\chooke h}\cos（2（k-h）x）\right\rbrace$$和$$\sum_{j=0}^{n}\cos（jx）=\frac{1}{2}\left[1+\frac{\sin\left（\frac{（2n+1）x}{2{right）}{\sin\ left（\frac{x}{2]\right）{right]$$我们得到\开始{align*}R_{n，k}&=\sum_{j=1}^{n+1}\左（{2k\choose k}+2\sum_h=0}^{k-1}{2k\ choose h}\cos\left（2（k-h）\frac{j\pi}{2n+3}\右）\右）=&\\&={2k\choose k}（n+1）+2\sum{h=0}^{k-1}{2k\ choose h}\左（\sum{j=0}^{n+1}\cos\left（2（k-h）\frac{j\pi}{2n+3}\右）-1\右）=&\\&={2k\choose k}（n+1）+2\sum_{h=0}^{k-1}{2k\ choose h}\left（\sum_｛j=0｝^｛n+1｝\cos\left（2（k-h）\frac｛j\pi｝｛2n+3｝\right）\right）-2\sum_｛h=0｝^｛k-1｝｛2k\ choose h｝\\\结束{align*}现在我们有了\开始{方程式}\开始{cases}\sum{j=0}^{n+1}\cos\left（2（k-h）\frac{j\pi}{2n+3}\right）=\frac}1}{2}\left[1+\frac{sin\left{2}\quad\text{if}\quad k\neq i（2n+3）+h\\\sum_｛j=0｝^｛n+1｝\cos\left（2（k-h）\frac｛j\pi｝｛2n+3｝\right）=n+2\fquad\text｛if｝\fquad k=i（2n+3）+h\结束{cases}\结束{方程式}对于某个正整数$i$。%\左（\frac{1}{2}\左[1+\frac{\sin\左（\frac{（2n+3）}{2{\frac{2（k-h）\pi}{2n+3}\右）}{\sin\left（\frac}（k-h\\%&={2k\choose k}（n+1）-\sum_{h=0}^{k-1}{2k\ choose h}。%\结束{align*}回顾以下众所周知的身份$$\sum_{h=0}^{k-1}{2k\选择h}=2^{2k-1}-\压裂{1}{2}{2k\选择k}，$$如果$1\leqk<2n+3$，我们可以清楚地获得$$R_{n，k}={2k\选择k}\左（n+\压裂{3}{2}\右）-2^{2k-1}$$另一方面，当$k\geq2n+3$\小的$$R{n，k}={2k\choose k}（n+1）+2\左（\sum_{h=0}^{k-1}{2k\ choose h}\左（-\frac{1}{2]\right）-\frac{1}{2}\sum_i=1}^{lfloor\frac}{k}{2n+3}\floor}{2k \choose-i（2n+3）}+（n+2）\sum{i=1}^{floor\frac{k}{2n+3}\floor}{2k\选择k-i（2n+3）}\right）=$$$$={2k\选择k}\左（n+\压裂{3}{2}\右）-2^{2k-1}+（2n+3）\sum_{i=1}^{压裂{k}{2n+3}\rfloor}{2k\choose-k-i（2n＋3）}$$\正常尺寸\结束{proof}\结束{推论}考虑到序列{A185095}定义中的矩形数组，我们也可以研究它的列，找到它们的生成函数。由于之前的结果，我们得到了以下结果\开始{命题}在\seqnum{A 185095}的定义中，矩形数组的第$k$-th列的普通生成函数$G_k（z）$为\开始{方程式}G_{k}（z）=\压裂{\左（2^{2k-1}-\压裂{3}{2}{2k\选择k}+1\右）z^2+\左（压裂{5}{2{2k\选择k}-2^{2k-1}-2\右）z+1}{（1-z）^2}+P_{n_0}（z），\quad k\geq0，\结束{方程式}其中$n_0=\lfloor\frac{k-3}{2}\rfloor$和\开始{方程式}\标签{pn0}P_{n_0}（z）=\sum_{n=1}^{n_0{left（（2n+3）\sum__{i=1}^}{lfloor\frac{k}{2n+3}\rfloor}{2k\选择k-i（2n＋3）}\right）z^n\结束{方程式}按照约定，当（\ref{pn0}）中的总和等于$0$时$n_0<1美元。\结束{命题}\开始{proof}使用推论{Rnkal}中确定的替代表达式，以及众所周知的公式$\sum_{n=0}^{+\infty}z^n=\frac{1}{1-z}$和$\sum_{n=0}^{+\infty}（n+1）z^n=\frac}{（1-z）^2}$我们可以计算普通生成函数$G_k（z）$，如下所示：\开始{align*}G_{k}（z）&=\sum_{n=0}^{+\infty}R_{n，k}z^n=1+{2k\选择k}\左（sum_{n=0}^{+\infty}（n+1）z^n-1\right）-\左（2^｛2k-1｝-\压裂{1}{2}{2k\选择k}\右）\左（\sum_{n=0}^{+\infty}z^n-1\右）+P_{n0}（z）=&\\&=1+{2k\选择k}\压裂{（2z-z^2）}{（1-z）^2}-\压裂{z}{1-z}\左（2^｛2k-1｝-\压裂{1}{2}{2k\选择k}\右）+P_{n_0}（z）=&\\&=\压裂{\左（2^{2k-1}-\压裂{3}{2}{2k\选择k}+1\右）z^2+\左（压裂{5}{2{2k\选择k}-2^{2k-1}-2\右）z+1}{（1-z）^2}+P_{n_0}（z），\结束{align*}在方程式（ref{pn0}）中描述的术语$P_{n_0}（z）$出现的地方，是因为当$2n+3\leq-k$，或等价的$n\leq\lfloor\frac{k-3}{2}\rfloor=n_0$时，我们使用了（ref{Rnkal}）的$R{n，k}$in的第二个表达式。\结束{proof}\第{节结束语}在本节中，我们将讨论前面关于序列{A185095}的结果的一些结果。我们证明了剩余猜想的证明以及与其他序列的关系是直接的。首先，我们观察到定义序列{A185095}的数组的第$k$-th列满足递归关系$$R_{n+1，k}=2R_{n，k}-R_{n-1，k}，\\text{for}\quad n\geq\lfloor\frac{k-3}{2}\rfloor+1，$$，这是（\ref{Rnkal}）的直接结果。生成｛A186740｝的矩形阵列显然是我们所考虑的矩形阵列的转置。事实上，如果我们从定义\seqnum{A186740}的矩形数组的列开始按$0$编号，我们会发现$k$-th行和$n$-th列中的条目根据定义对应于$R_{n，k}$。此外，通过（\ref{Rnkal}）并使用我们对列的计数\开始{description}\项目$R{n，0}=n+1，n\geq0$：列$0$对应于自然数\seqnum{A000027}；\项目$R{n，1}=2n+1，n\geq0$：列$1$是奇数整数序列\序列号{A005408}；\项目$R{n，2}=6n+1，n\geq0$：列$2$是\seqnum{A016921}；\项目$R{n，3}=20n-2，n\geq1$：列$3$是\seqnum{A114698}；\项目$R{n，4}=70n-93，n\geq2$：列$4$是\seqnum{A114646}，\结束{description}等等。最后，$R_{n，k}$公式的另一个有趣的结果涉及序列\序列号{A198632}。通过考虑数组$w（h，2k）$，如与\seqnum{A198632}相关的页面中所定义的（请参阅OEIS\cite{OEIS}），我们立即得到$w（2（n+1），2k）=2R_{n，k}$。事实上$$w（h，l）=\text{Tr}（J_{h}^l）=\sum_{J=1}^{h}\lambda_{J}^{l}$$其中$\lambda_j$，$j=1，\ldots，h$是邻接矩阵$j{h}$的特征值，雅可比矩阵的特征多项式是$U{h}（\frac{x}{2}）$。因此$$w（2（n+1），2k）=\sum_{j=1}^{2n+2}\左（2\cos\left（\frac{j\pi}{2n+3}\右）\right）^{2k}=2^{2k+1}\sum_{j=1}^{n+1}\左$$\节{致谢}本文指出了许多序列与我们认为，考虑到迪克森多项式和切比雪夫多项式所起的作用，它们的零点和所涉及的求和恒等式。作者衷心感谢L。爱德森·杰弗里（Edson Jeffery），感谢他所有有趣的工作，并感谢他邀请试着证明他的推测。\开始{书目}{9}\bibitem{oeis}N.J.A.Sloane，\emph{整数序列在线百科全书}，\url{http://oeis.org}。\Bibbitem｛LMT｝R.Lidl、G.L.Mullen和G.Turnwald，\emph｛Dickson多项式｝，John Wiley and Sons，1993年。\bibitem{Riv}T.J.Rivlin，\emph{切比雪夫多项式}，约翰·威利父子出版社，1974年。\bibitem{MH}J.C.Mason和D.C.Handscomb，《切比雪夫多项式》，查普曼和霍尔出版社，2002年。\bibitem{GR}I.S.Gradshteyn和I.M.Ryzhik，\emph{积分表、级数和乘积}，学术出版社，2007年。\结束{书目}\大跳跃\小时\大跳跃\noindent 2010（数学学科分类）：初级11C08；次级11B83。\noindent\emph{关键字：}迪克森多项式、切比雪夫多项式。\大跳跃\小时\大跳跃\noindent（与序列有关\序列号{A000027}，\序列号{A005408}，\序列号{A016921}，\序列号{A114646}，\序列号{A114698}，\序列号{A114968}，\序列号{A185095}，\序列号{A186740}，\序列号{A198632}，以及\序列号{A198636}。）\大跳跃\小时\大跳跃\vspace*｛+.1英寸｝\无音（noindent）2013年12月7日收到；2014年1月25日收到修订版。发表于《整数序列杂志》，2014年2月16日。2015年5月21日，修正了推论3和提案4。\大跳跃\小时\大跳跃\无音（noindent）返回到\htmladdnormallink{整数序列杂志主页}{http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/}。\vskip.1英寸\结束{文档}