\文档类[12pt，reqno]{article}\usepackage[用户名]{颜色}\使用包{amssymb}\使用包{graphicx}\使用包{amscd}\usepackage[colorinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色{webbrown}{rgb}{.6,0,0}\使用包{color}\使用包{fullpage}\使用包{float}\使用包{psfig}\usepackage{graphics，amsmath，amssymb}使用包\使用包{amsthm}\使用包{amsfonts}\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\evensidemargin}{.1in}\集长度｛\topmargin｝｛-.1in｝\设置长度{\textheight}{8.4in}\新命令{\seqnum}[1]{\href{http://oeis.org/#1}{\下划线{#1}}\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\leavevmode\epsffile｛logo129.eps｝\结束{中心}\理论风格{普通}\新定理{定理}{定理{\新定理｛推论｝〔定理〕｛推论｝\新定理{引理}[定理]{引言}\新定理{命题}[定理]{命题\理论风格{定义}\新定理{definition}[定理]{definition}\新定理{example}[定理]{example}\新定理｛猜想｝〔定理〕｛猜想｝\理论风格{remark}\新定理{remark}[定理]{remark}\开始{居中}\vskip 1cm{\LARGE\bf加权解释\\\vskip.11英寸超级加泰罗尼亚数字}\vskip 1cm\大型艾米莉·艾伦和伊琳娜·盖奥奇奇乌克\\数学科学系\\卡内基梅隆大学\\宾夕法尼亚州匹兹堡，邮编15213\\美国\\\网址：{eaallen@andrew.cmu.edu}{\teaallen@andrew.cmu.edu} \\\网址：{gheorghi@andrew.cmu.edu}{\tgheorghi@andrew.cmu.edu} \\\结束{中心}\vskip.2英寸\定义\S#1{\mathcal{宋体}_{#1}}\开始｛摘要｝超级加泰罗尼亚数字$T（m，n）=（200万）！（2n）/200万！不！（m+n）！$是泛化加泰罗尼亚数字的整数。除了$m$的几个值外，$T（m，n）$没有已知的组合解释。我们给出了$T（m，n）$的加权解释，并开发了一种技术，在$m=2$的情况下，将这种加权解释转换为传统的组合解释。\结束{抽象}\章节{引言}早在1874年，尤格·加泰罗尼亚就发现\[S（m，n）=\压裂{{2m\选择m}{2n\选择n}}{m+n\选择n}{=\压裂}（2m）！（2n）！}{m！n！（m+n）是整数。通过证明，对于每个素数$p$，$p$除以$m的幂可以从代数上证明这一点！不！（m+n）！$至多是$p$的除法（200万美元）！（2n）！美元。目前还不知道$S（m，n）$的组合解释。盖塞尔（Gessel）重新点燃了现代人们对这一主题的兴趣。他指出，除了$S（0,0）$之外，$S（m，n）$的数字是偶数。Gessel指的是\[T（m，n）=\压裂{（2m）！（2n）！}{2（m！n！（m+n）！）}\]作为超级加泰罗尼亚数字。Gessel定义的超级加泰罗尼亚数字不应与小Schr“order数字混淆，后者有时也称为超级加泰罗数字。\开始{table}[ht]\定心\空间{10pt}\开始{tablar}{c|ccccccc}$m\反斜杠n$&0&1&2&3&4&5&6&7\\\氯化氢0&na&1&3&10&35&126&462&1716\\1 & 1 & 1 & 2 & 5 & 14 & 42 & 132 & 429 \\ 2 & 3 & 2 & 3 & 6 & 14 & 36 & 99 & 286 \\ 3 & 10 & 5 & 6 & 10 & 20 & 45 & 110 & 286\\ 4&35&14&14&20&35&70&154&364 \\5 & 126 & 42 & 36 & 45 & 70 & 126 & 252 & 546 \\ 6 & 462 & 132 & 99 & 110 & 154 & 252 & 462 & 924 \\ 7 & 1716 & 429 & 286 & 286 & 364 & 546 & 924 & 1716 \\ \结束{表格}\标题{$T（m，n）$.}的表格\结束{表格}显然$T（0，n）={2n-1选择n}$，而$T（1，n）=C_n$给出加泰罗尼亚数字，这是一个著名的序列，有超过66种组合解释。Schaeffercite{Schaeffer}发现了$T（2，n）$的开花树解释，Pippenger和Schleich发现了另一种立方树解释。Gessel和Xin\cite{GesselXin}发现了$T（2，n）$根据具有限制高度的Dyck路径对的解释。他们还提供了$T（3，n）$的描述。Chen和Wang\cite{CW}对$0\leq-s\leq-3$的$T（m，m+s）$给出了限制格路径的解释。Georgiadis、Munemasa和Tanaka\cite{GMT}根据von Szily的身份给出了$S（m，n）$的加权解释。他们的解释是以长度为$2m+2n$的晶格路径为依据，其中条件是$2m^{th}$步终点的$y$-坐标。在第2节中，我们根据长度$m+n-2$的$2$-Motzkin路径或长度$2m+2n-2$中的Dyck路径，对$m的$T（m，n）$、n\geq 1$进行了加权解释。由于{GMT}中的晶格路径不是Dyck路径，我们的解释与Georgiadis、Munemasa和Tanaka的不同。在第3节中，我们可以使用我们的加权解释重新推导Gessel和Xin\cite{GesselXin}的结果，然后我们可以将其推广到超加泰罗尼亚多项式{PolyArt}。\段{2-Motzkin路径}长度为$n$的2-Motzkin路径从原点开始，到点$（n，0）$结束，从不低于$x$轴，并且由对角\textit｛向上｝、对角\textit｛向下｝、\textit｛直线水平｝和\textit｛波浪水平｝的单位步长组成。长度为$2n$的Dyck路径是长度为$20n$的2-Motzkin路径，没有\textit{level}步骤。给定2-Motzkin路径，点的级别定义为其$y$-坐标。路径的高度是路径到达的最大$y$-坐标。路径$\pi$的高度将表示为$h（\pi）$。对于固定的$m\geq0$，如果$m^{th}$步骤开始于偶数级，我们将2-Motzkin路径$\pi$$m$-称为正，否则$\pi$为负。设$P（m，n）$是长度$m+n-2$的$m$-正2-Motzkin路径的数目，$n（m，n）$是宽度$m+n-2$的$m$-负2-Motz kin路径数目。在长度为$n-1$的2-Motzkin路径和长度为$2n$\cite{tag}的Dyck路径之间有一个众所周知的双射。给定2-Motzkin路径，从左到右阅读步骤并进行以下替换：将\textit{up}步骤替换为两个\textit}步骤，将\textit{down}步骤更换为两个\textit{downneneneep步骤，将\textit}直}步骤更改为\textit｛up}步，然后再替换为\textit｝down步，以及一个\textit{wavy}步骤，后面是\textit}down}步骤和\textit[2]up}步骤。结果路径可能达到级别$-1$，因此，另外，在结果路径的开头添加\textit{up}步骤，在结尾添加\textit{down}步骤以获得Dyck路径。\开始{定理}\label{main定理}对于$m，n\geq 1$，超加泰罗尼亚数$T（m，n）$计算长度为$m+n-2$的$m$-正2-Motzkin路径数减去长度为$m+n-2$$-负2-Motz kin路径的数。那就是，\[T（m，n）=P（m，n）-n（m，m）.\]\结束{定理}\开始{proof}超级加泰罗尼亚数字满足以下身份，归于丹·鲁宾斯坦（Dan Rubenstein），\开始{方程式}\标签{rec}4T（m，n）=T（m+1，n）+T（m、n+1）。\结束{方程式}注意，如果写入为，（\ref{rec}）可以被视为$m$上$T（m，n）$的重复\[T（m+1，n）=4T（m，n）-T（m，n+1）。\]给定长度为$m+n-2$的2-Motzkin路径$\pi$，如果$\pi$-为$m$-正值，则将$\pi$s的权重定义为$1$；如果$\pi$为$m$-负值，则定义为$-1$。设$F（m，n）$是长度为$m+n-2$的所有2-Motzkin路径的权重之和，即$F（米，n）=P（m，n）-n（米，n）$。为了证明$F（m，n）=T（m，n）$，我们将检查初始条件\[F（1，n）=C_n\]和由（\ref{rec}）给出的循环，\[4F（m，n）=F（m+1，n）+F（m、n+1）。\]对于$m=1$，任何长度为$n$的2-Motzkin路径的权重为$1$，因为第一步总是从（偶数）级别$y=0$开始。因此，$F（1，n）=C_n$，给出长度为$n-1$的2-Motzkin路径数。接下来，我们考虑由$F（m，n+1）+F（m+1，n）$计数的权重的总和。如果长度为$m+n-1$的2-Motzkin路径在步骤$m$处有一个\textit{up}或\textit}down}步骤，则它将被计数为一次$m$-正路径，一次为一次$m$-负路径，并且不会影响此和。在步骤$m$中，长度为$m+n-1$且步骤为\textit{level}的路径将被计数两次。让$\pi$成为这样的2-Motzkin路径。通过收缩$\pi$中的$m^{th}$步骤，我们获得了长度为$m+n-2$；的2-Motzkin路径；此外，通过精确收缩两条长度为$m+n-1$的2-Motzkin路径，可以获得长度为$m+n-2$的每条2-Motz kin路径；一条路径在步骤$m$处具有\textit{wavy}步长，另一条路径则在步骤$m$处具有textit{直}步幅。因此，$F（m，n+1）+F（m+1，n）$所计算的权重之和是步骤$m$中长度为$m+n-1$且具有\textit{level}步数的2-Motzkin路径权重之和的两倍；它是长度$m+n-2$的2-Motzkin路径权重之和的四倍，即$4F（m，n）$。\结束{proof}\开始{图形}[h]\定心\includegraphics[scale=.4]{MotzkinPaths2.eps}\caption{当$m=2$时，有十条$m$-正2-Motzkin路径和四条长度为3的$m$-负2-Motzkin路径$T（2,3）=P（2,3\结束{图形}这种加权解释可用于组合证明$T（m，n）=T（n，m）$。设$\pi$是由$T（m，n）$计数的长度为$m+n-2$的路径。假设路径的相反方向是从右向左读取的路径。由于$\pi$的$m^{th}$步和$\pi$reverse的$n^{th{$步从同一点开始，因此将路径映射到其reverse是$T（m，n）$计数的2-Motzkin路径和$T（n，m）$计的2-Motskin路径之间的保权对合。我们可以用Dyck路径重新表述定理{main定理}的结果。在这种情况下，$P（m，n）$是长度为$2m+2n-2$的Dyck路径数，其$2m-1^{st}$step在级别$1\pmod4$结束，$n（m，n）$是其$2m-1 ^{st{$step到级别$3\pmod4]结束的长度为$2m+2n-2$Dyck路数。与Dyck路径类似，投票路径从原点开始，使用有限数量的对角\textit{up}和对角\textit{down}步数，并且不低于$x$-轴。投票路径在$x$-轴或其上方结束。设$B（n，r）$是在点$（2n-1,2r-1）$处结束的投票路径数。众所周知，$B（n，r）=\frac{r}{n}{2n\choosen+r}$。然后\开始{方程式}T（m，n）=\sum_{r=1}^{\min\{m，n\}}（-1）^{r-1}乙（m，r）B（n，r）\结束{方程式}和\开始{方程式}\label{balloteq}T（m，n）=\sum_{r=1}^{min\{m，n\}}（-1）^{r-1}\frac{r^2}{nm}{2m\选择m+r}{2n\选择n+r}。\结束{方程式}方程（ref{balloteq}）是超加泰罗尼亚数$T（m，n）$的一个新恒等式。{PolyArt}中给出了这个恒等式的$q$模拟，其代数证明见{thesise}。\部分｛组合技术｝我们将一对有序Dyck路径$（\pi，\rho）$的总长度定义为路径$\pi$和$\rho$的长度之和。空Dyck路径的高度为零。引用{GesselXin}中，Gessel和Xin使用了inclusion-exclusion参数来证明以下结果。\开始{定理}[Gessel，Xin]对于$n\geq 1$，数字$T（2，n）$用$|h（\pi）-h（\rho）|\leq 1$计算总长度为$2n$的Dyck路径$（\pi。此处允许$\pi$和$\rho$为空路径。\标签{Gessel}\结束{定理}本节中我们的目标是使用定理\ref{main定理}和一些直接Dyck路径减法技术导出类似的结果，这些技术更容易推广到更大的$m$值。我们已经能够将这个结果推广到{PolyArt}中的超级加泰罗尼亚多项式。让$\mathcal{D}（D）_{n} $表示长度为$2n$的Dyck路径集。对于路径$\pi\in\mathcal{D} _n（n）$，让$R$成为$\pi$上最右边的最高点。我们将$\pi$的$X$-点定义为$\pi$s之前部分（包括$R$）从左到右的最后一个一级点。换句话说，如果$h（\pi）>1$，则$X$-点是$R$之前从左到右的最后一个水平点。如果$h（\pi）=1$，则$X$-点和$R$重合。请参见图~\ref{Xdef}。\开始｛figure｝[！ht]\开始{居中}\includegraphics[比例=0.5]{Xdef.eps}\标题{两条Dyck路径的$X$-点。}\标签{Xdef}\结束{中心}\结束{图形}让$h_{-}（\pi）$表示路径$\pi$从开始到包含$X$-点所达到的最大级别，而$h_}+}（\ pi）美元表示路径$\ pi$在包含$X$点之后所达到的最高级别。显然，$h_-（\pi）\leqh_+（\π）=h（\π）$。\开始{定理}让$n\geq1$。超级加泰罗尼亚数字$T（2，n）$计算长度为$2n$的Dyck路径$\pi$，这样$h_{+}（\pi）\leqh_{-}（\ pi）+2$，高度为1的路径计数两次。\标签{T（2，n）}\结束{定理}\开始{proof}让$\mathcal{答}_{n} $表示长度为$2n$的Dyck路径集，以{\it-up、down、up}、$\mathcal开头{乙}_{n} $表示长度为$2n$的Dyck路径集，以{\it-up、up、down}和$\mathcal开头{无}_{n} $表示长度为$2n$的Dyck路径集，以{\it-up，up，up}开头。根据定理{main定理}，$T（2，n）=P（2，n）-n（2，n$）$，其中$P（2、n）$是以{it level}步长开始的长度为$n$的2-Motzkin路径数，$n（2，n-）$是从{it up步长开始、长度为$n$的2-Montzkin-路径数。2-Motzkin路径和Dyck路径之间的正则双射导致以下解释：$$T（2，n）=|\mathcal{答}_{n+1}|+|\mathcal{乙}_{n+1}|-|\马塔尔{无}_{n+1}$$注意$\mathcal{答}_｛n+1｝$，$\mathcal{乙}_{n+1}$和$\mathcal{无}_{n+1}$是$\mathcal的子集{D}（D）_{n+1}$。通过收缩$\mathcal路径中的第二步和第三步{答}_{n+1}$和$\mathcal{乙}_{n+1}$我们得到两倍的$\mathcal{D}（D）_{n} $，所以$|\mathcal{答}_{n+1}|=|\马塔尔{乙}_{n+1}|=C_n$。我们考虑$\mathcal中的所有路径$\pi${无}_{n+1}$在$\pi$的第三步和$\pi$s上最右边的最高点$R$之间没有达到一级。所有这些路径的集合将由$\mathcal{N}^*_{N+1}$表示。设$\mathcal{N}^{**}_{N+1}=\mathcal{无}_{n+1}-\mathcal{n}^*_{n+1}$。然后\开始{方程式}\标签｛fin｝T（2，n）=2|\数学{D}（D）_{n} |-|\mathcal{n}^*_{n+1}|-|\ mathcal}n}^{**}_{n+1}|。\结束{方程式}首先，我们从$\mathcal{N}^*_{N+1}\subset\mathcal建立一个注入$f${D}（D）_{n+1}$到$\mathcal{D} _n（n）$. 对于$\pi\in\mathcal{N}^*{N+1}$，让$RQ$是紧跟在$\pi$最右边最高点$R$之后的{\it-down}步骤。我们将$f（\pi）$定义为通过删除$\pi$中的第二步和第三步获得的路径，这两个步骤都是{it-up}步骤，然后用{it-up}步骤替换{it-down}步骤$RQ$。参见图~\ref{Mn+1}。由于$\pi$在第三步和$R$之间没有达到一级，因此$f（\pi）$是长度为$2n$的Dyck路径。注意，$Q$是$f（\pi）$上最左边的最高点。此外，由于$f（\pi）$上的$Q$前面至少有两个{\it-up}步骤，因此$f（\ pi）$$的高度至少为两个。因此，高度为1、长度为$2n$的Dyck路径不在$f$的图像中。\开始{图}[！ht]\开始{居中}\包含图形[比例=0.5]{Mn+1.eps}\标题{$f$删除了$2^{nd}$和$3^{rd}$步骤，将{it-down}步骤$RQ$替换为{it-up}步骤。}\标签{Mn+1}\结束{中心}\结束{图形}我们将显示$f$是一个注入，并且$\mathcal中的唯一路径{D} _n（n）不在$f$图像中的$是高度为1的Dyck路径。让$\rho$位于$\mathcal中{D} _n（n）$高度$h（\rho）>1$。假设$Q$是$\rho$上最左边的最高点，$RQ$是在$Q$之前的{\it-up}步骤。在$\rho$的第一个步骤之后插入两个{\it-up}步骤，然后用{\it-down}步骤替换{\it-op}步骤$RQ$，这使$R$成为结果路径$\pi$的最右边最高点。路径$\pi$位于$\mathcal{N}^*_{N+1}$和$f（\pi）=\rho$中。接下来是$|\mathcal{D}（D）_{n} |-|\mathcal｛n｝^*_｛n+1｝|$只计算一条路径，即长度为$2n$、高度为1的Dyck路径。接下来，我们从$\mathcal{N}^{**}_{N+1}\subset\mathcal建立注入$g${D}（D）_{n+1}$到$\mathcal{D} _n（n）$. $\mathcal{N}^{**}_{N+1}$中的路径$\pi$在其第三步和$\pi$s上最右边的最高点$R$之间达到一级。假设$Y$是$\pi$的第三步和$R$之间的第一个点，$\pi$s达到第一级。$Y$之前有两个{\it-down}步骤组成的段$XY$。我们删除了$\pi$的第二步和第三步，并将两个{it-down}步骤$XY$替换为两个{it-up}步骤。参见图~\ref｛M1｝。生成的路径是一个长度为$2n$的投票路径，该投票路径在第二级结束。从左到右，$X$是此投票路径上的最后一级一点。此路径在$X$之前（包括点$X$）达到的最大级别比在$X$s之后（包括点）达到的最高级别至少少4。\开始{图}[！ht]\开始{居中}\includegraphics[比例=0.5]{M1.eps}\标题{$g$操作的第一部分是删除$2^{nd}$和$3^{rd}$步骤，将两个{it-down}步骤$XY$替换为两个{ti-up}步骤。}\标签{M1}\结束{中心}\结束{图形}假设$L$是此投票路径最左侧的最高点，$ML$是$L$之前的{\it-up}步骤。将{\it-up}步骤$ML$替换为{\it-down}步骤。参见图~\ref{M2}。生成的路径$g（\pi）$位于$\mathcal中{D} _n（n）$和$M$是其最右边的最高点。请注意，$X$是$g（\pi）$上的最后一个级别，位于其最右边的最高点$M$和$h_{+}（g（\π））\geqh_{-}（g（\ pi））+3$之前。\开始{图}[！ht]\开始{居中}\includegraphics[比例=0.5]{M2.eps}\标题{$g$操作的第二部分是用{\it-up}步骤代替{\it-down}步骤$ML$。}\标签{M2}\结束{中心}\结束{图形}我们将显示$g$是一个注入，并且$\mathcal中的唯一路径{D} _n（n）不在$g$图像中的$是满足$h_{+}（\sigma）\leqh_{-}（\sigma）+2$的Dyck路径$\sigma$。让$\rho$位于$\mathcal中{D} _n（n）$和$h_{+}（\rho）\geq-h_{-}（\ rho）+3$。假设$M$是$\rho$上最右边的最高点，$ML$是$M$后面的{\it-down}步骤。假设$X$是$\rho$的$X$点，即$M$之前（包括$M$）从左到右的最后一级一点。将{\it-down}步骤$ML$替换为{\it-up}步骤。结果是一条长度为$2n$的投票路径结束于第二级。请注意，$L$是此投票路径上最左侧的最高点。让$R$表示此投票路径上最右边的最高点。从左到右，$X$是此投票路径上的最后一级一点。此路径在$X$之前（包括点$X$）达到的最大级别比在$X$s之后（包括点）达到的最高级别至少少4。由于$X$是最后一级一点，它后面是由两个{\it-up}步骤组成的段$XY$。接下来，我们在投票路径的第一步之后插入两个{\it-up}步骤，然后用两个{\t-down}步骤替换两个{it-up{向上}步骤$XY$。生成的路径是长度为$2n+2$的Dyck路径，我们用$\pi$表示。点$Y$是$\pi$第三步之后的第一级1点。请注意，此Dyck路径在$Y$之后达到的最大级别至少是此Dycl路径达到并包括$Y$的最大级别，这意味着最右侧的最高点$R$位于$Y$右侧。如果后面跟着$p\in\mathcal{N}^{**}_{N+1}$和$g（\pi）=\rho$。因此$|\mathcal{D}（D）_{n} |-|\mathcal{n}^{**}_{n+1}|$计算满足$h_{+}（\pi）\leqh_{-}（\ pi）+2$的Dyck路径$\pi$，长度$2n$。请注意，长度为$2n$、高度为1的Dyck路径位于这些路径中。方程式（ref{fin}）可以重写为\[T（2，n）=（|\mathcal）{D}（D）_{n} |-|\mathcal{n}^*_{n+1}|）+（|\mathcal{D}（D）_{n} |-|\mathcal{n}^{**}_{n+1}|）。\]因此，$T（2，n）$对长度为$2n$的Dyck路径$\pi$进行计数，使得$h_{+}（\pi）\leqh_{-}（\ pi）+2$，高度为1的路径计数两次。\结束{proof}我们现在将展示一个简单的双射，从定理~\ref{T（2，n）}中描述的对象到定理~\ref{Gessel}中的对象。\开始{图}[！ht]\开始{居中}\includegraphics[比例=0.5]{gessel.eps}\标题{从定理~\ref{T（2，n）}中描述的Dyck路径到定理~\ref{Gessel}.}中所描述的Dyck路径对\标签{gessel}\结束{中心}\结束{图形}设$\pi$是长度$2n$、高度$h（\pi）>1$的Dyck路径，这样$h_{+}（\pi）\leqh_{-}（\ pi）+2$。设$R$为$\pi$的最右边最高点。注意，$X$后面是一个{\it-up}步骤$XY$，$R$后面是{\it-down}步骤$RL$。用向下的步骤代替向上的步骤$XY$，用向上的步骤代替向下的步骤$RL$。参见图~\ref{gessel}。因此，$\pi$在$Y$和$R$之间的部分将降低两个级别。由于$\pi$没有达到$Y$和$R$之间的级别1，因此生成的路径是一个Dyck路径，其点$Y$位于级别0上。请注意，$Y$将此Dyck路径分隔为一对Dyck路$（\rho，\sigma）$。$\rho$的高度为$h_{-}（\pi）$，$\sigma$的高度是$h_}+}（\ pi）-1$。因此$|h（\rho）-h（\sigma）|\leq 1$。由于$L$是$\sigma$上最左侧的最高点，因此此映射是可逆的。定理~ref{T（2，n）}将高度为1的Dyck路径$\tau$计数两次。这对应于定理~\ref｛Gessel｝中的对$（\tau，\epsilon）$和$（\epsilon，\tau）$，其中$\epsilon$是空路径。\{确认}节我们非常感谢Ira Gessel的有益评论。这个超级加泰罗尼亚语组合解释问题已故的赫伯·威尔夫（Herb Wilf）首先向我们提到了数字，我们就是他非常感激。\开始{书目}{99}\bibitem{论文}E.Allen，加泰罗尼亚语泛化的组合解释数字和选票}，卡内基梅隆大学博士论文，2014年。\bibbitem｛PolyArt｝E.Allen和I.Gheorghiciuc，关于超加泰罗尼亚多项式，预印本，\网址{http://arxiv.org/abs/1403.5296}2014年8月31日。\双项目{CW}X.Chen和J.Wang，超级加泰罗尼亚数字$S（m，m+S）$代表$S\leq3$和一些整数阶乘比率，预打印\\\网址{网址：http://www.math.umn.edu/~reiner/REU/ChenWang2012.pdf}，2012年。\bibitem{GMT}E.Georgiadis、A.Munemasa和H.Tanaka，关于超加泰罗尼亚数字的注释，{it Interdiscip.Inform.Sci.}{\bf 18}（2012），23-24。\bibitem{SuperBallot}（超级投票）I.Gessel，《超级选票数字》，{it J.Symb.Comput.}{bf 14}（1992），179-194。\bibitem{GesselXin}（中文）I.Gessel和G.Xin，数字的组合解释6（20亿）美元/不！（n+2）！$，{\it J.整数序列}{\bf 8}（2005）\href公司{https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL8/Gessel/xin.html}{第05.2.3}条。\bibitem{tag}M.Pierre Delest和G.Viennot，代数语言和多面体枚举，《理论计算科学》（1984），196-206。\双项目{P&S}N.Pippenger和K.Schleich，随机的拓扑特征三角曲面，{\it随机结构算法}{\bf 28}(2006), 247--288.\bibitem{谢弗}G.Schaeffer，超Catalan数的组合解释第二批，未出版手稿，2003年。\Bibbitem｛EC｝R.Stanley，｛\it枚举组合学｝，第2卷，剑桥大学出版社，1998年。\结束{书目}\大跳跃\小时\大跳跃\noindent 2010（数学学科分类）：初级05A15；次要05A19。\noindent\emph{关键词：}超加泰罗尼亚数，Dyck路径，2-Motzkin路径，组合解释，组合恒等式。\大跳跃\小时\大跳跃\noindent（与序列有关\序列号{A000108}，\序列号{A007054}，以及\序列号{A007272}。）\大跳跃\小时\大跳跃\vspace*{+.1in}\无音（noindent）2014年8月26日收到；2014年8月31日收到修订版；2014年9月11日。发表于《整数序列杂志》，2014年11月5日。\大跳跃\小时\大跳跃\无音（noindent）返回到\htmladdnormallink{整数序列杂志主页}{http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/}.\vskip.1英寸\结束{文档}