\文档类[12pt，reqno]{article}\usepackage[用户名]{颜色}\使用包{amssymb}\使用包{graphicx}\使用包{amscd}\usepackage[colorinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色{webbrown}{rgb}{.6,0,0}\使用包{color}\使用包{fullpage}\使用包{float}\使用包{psfig}\usepackage{graphics，amsmath，amssymb}使用包\使用包{amsthm}\使用包{amsfonts}\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\evensidemargin}{.1in}\集长度｛\topmargin｝｛-.1in｝\设置长度{\textheight}{8.4in}\新命令{\seqnum}[1]{\href{http://oeis.org/#1}{\下划线{#1}}\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\leavevmode\epsffile｛logo129.eps｝\结束{中心}\理论风格{普通}\新定理{定理}{定理{\新定理｛推论｝〔定理〕｛推论｝\新定理{引理}[定理]{引言}\新定理{命题}[定理]{命题\理论风格{定义}\新定理{definition}[定理]{definition}\新定理{example}[定理]{example}\新定理｛猜想｝〔定理〕｛猜想｝\理论风格{remark}\新定理{remark}[定理]{remark}\开始{居中}\关于双二次曲线上的积分点\\\vskip.02英寸和中平方的近倍数\\\vskip.12英寸卢卡斯序列}\vskip 1cm\大型马克斯·阿列克塞耶夫\\数学系\\乔治华盛顿大学\\西北G街2115号\\华盛顿特区20052\\美国\\\链接{mailto:maxal@gwu.edu}{\tmaxal@gwu.edu} \\\ \\萨博尔斯·腾格里\\数学研究所德布勒森大学\\4010 Debrecen，邮政信箱12\\匈牙利\\\链接{mailto:tengely@science.unideb.hu}{\ttengely@science.unideb.hu} \\\结束{中心}\vskip.2英寸\新定理{同余}{同余}\新命令{\lcm}{\mathop{\mathrm{lcm}}}\新命令{\Disc}{\mathop{\mathrm{Disc}}}\新命令{\Res}{\mathop{\mathrm{Res}}}\新命令{\beq}{\begin{equation}}\新命令{\eeq}{\end{equation}}\vskip.2英寸\开始｛摘要｝我们描述了在曲线$y^2=ax^4+bx^2+c$上搜索积分点的算法简化使用$ac（b^2-4ac）\n 0$求解有限个Thue方程。虽然预计会出现这种减少从代数数论的论点，我们的算法是基本的，据我们所知，第一个公布的此类算法。结合其他方法并由现有的Thue方程求解器提供支持，它可以有效地计算双二次曲线上的积分点。我们用一个在Lucas序列中求平方的近倍数的特殊应用来说明这种方法。例如，我们确定斐波那契数列中只有$2$和$34$形式为$2m^2+2$；只有$1$、$13$和$1597$的形式为$m^2-3$；等等。作为辅助结果，我们还给出了求解丢番图方程$k^2=\tfrac｛f（m，n）｝｛g（m，n）｝$的整数$m，n，k$的算法，其中$f$和$g$是齐次二次多项式。\结束{抽象}\章节{引言}Siegel~\cite｛Siegel1929｝证明了任何具有不可约多项式$f\in\mathbb｛Z｝[x]$的方程$y^2＝f（x）$至少3次有有限多个积分点。通过Baker1966、Baker1967a、Baker1967 b}的方法绑定解决方案并执行彻底搜索。对于三阶曲线，贝克的方法受到了许多实际改进，现在有许多软件实现来寻找椭圆曲线上的积分点。这些程序基于Stroeker和Tzanakis{StTz}开发的方法，并由Gebel、Peth\H{o}和Zimmer\cite{GPZell}独立开发。形式为$g（x，y）=d$的方程，其中$g\in\mathbb{Z}[x，y]$是一个至少3次的齐次不可约多项式，$d\in\mathbb{Z{$，首先由Thue~\cite{Thue1909}研究，他证明了它们只有有限个整数解。在计算机时代，Thue方程成为计算方法发展的主题，导致至少两种实现：在计算机代数系统中MAGMA~\cite{MAGMA}和PARI/GP~\cite{PARI}。在实际计算中，我们选择了SAGE~\cite{SAGE}，它采用了基于Bilu和Hanrot改进的PARI/GP-Thue方程求解器引用{Tzanakis1989}。在当前的工作中，我们展示了如何减少对双二次曲线上积分点的搜索$$y^2=ax^4+bx^2+c$$对于Diophantine方程，首先使用整数（或更一般地说，有理）系数$a$、$b$、$c$和$ac（b^2-4ac）\n 0$$k^2=\tfrac{f（m，n）}{g（m，n）}$在具有齐次二次多项式$f$和$g$的互素整数$m$、$n$中（定理~\ref{TBiqCur}），然后是有限个四次Thue方程（定理~\ref{TFracSq}）。\脚注{在这个缩减过程中，我们还可能遇到类Thue-方程$g（x，y）=d$，其中$g$是一个4次的\emph{可约}齐次多项式。然而，这样的方程很容易求解~\cite[定理3]{Alekseyev2011}。}虽然Mordell~\cite{Mordell1969}基于代数数论的参数描述了简化为Thue方程的可能性，据我们所知，目前还没有发布适用于一般情况的算法。此外，与代数数论对这类问题的传统处理不同，引用{莫代尔1969，斯坦纳1991，韦格1995，佩托1998}，我们的约简方法是基本的。它可以被视为施泰纳和扎纳基斯方法的推广他将Ljunggren方程$y^2=2x^4-1$简化为两个Thue方程（特别是，我们得到了相同的Thue方程）。在某些情况下，还可以使用其他方法来确定方程$y^2=ax^4+bx^2+c$的所有积分解。Poulakis~\cite{RungeP}提供了一个基本算法来求解形式为$y^2=f（x）$的丢番图方程，其中$f（x）$是具有整数系数的四次一元多项式，基于Runge的方法~\cite{RungeR，RungeS，RungeW}。这一点至关重要$f（x）$的领先系数是1（如果领先系数是一个完美的平方，这个想法也适用）。Kedlaya-Cell}利用Pell方程理论描述了求解方程组的方法$$\开始{cases}x^2-a_1y^2=b_1\\P（x，y）=z^2，\结束{cases}$$其中$P$是给定的整数多项式，并在Mathematica中实现了他的算法。\脚注｛Kedlaya的实现可从\url｛http://math.ucsd.edu/~Kedlaya/pears/pell.tar｝获得。｝如果我们设置$P（x，y）=c_1x+d_1，$，那么我们得到了一个四次方程的形式$（a_1c_1y）^2=a_1z^4-2a_1d_1z^2-a_1b_1c^2$方程$y^2=ax^4+bx^2+c$也可以简化为一个椭圆方程：将方程乘以$a^2x^2$，1获得$$（axy）^2=（ax^2）^3+b（ax^ 2）^2+ac（ax ^2），$$可以进一步写成$$Y^2=X^3+bX^2+acX。$$正如我们前面提到的，要确定给定椭圆曲线上的所有积分点，可以使用开发的方法由Stroeker和Tzanakis引用{StTz}，由Gebel、Peth\H{o}和Zimmer\cite引用{GPZell}独立完成。这种方法的缺点是没有已知的算法来确定所谓的Mordell-Weil群的秩椭圆曲线，这是确定曲线上所有积分点所必需的。为了有效计算双二次曲线上的积分点，我们在SAGE中实现了椭圆曲线和简化为Thue方程方法的组合。\脚注{我们的实现可从\url{http://www.math.unideb.hu/~tengely/bisquadratic.sage}.}获取默认情况下，我们使用椭圆曲线方法，如果它失败了，我们将回到Thue方程的简化。我们的方法还可以有效地计算丢番图方程组的解（定理~\ref{Tzz2}）：$$\开始{cases}a_1 x ^2+c1 z=d_1\\b2y^2+c2z^2=d2。\结束{cases}$$从这个角度来看，它继续了早期的工作，例如{Alekseyev2011}，第一作者描述了计算丢番图方程组解的算法：$$\开始{cases}a_1 x ^2+b_1 y ^2+c_1 z ^2=d_1\\a2 x ^2+b2 y ^2+c2 z ^2=d2，\结束{cases}$$并演示了求$U（P，\pm 1）$或$V（P，\ pm 1”$形式的不同Lucas序列的公共项的应用，其中包括斐波那契数、卢卡斯数、佩尔数和卢卡斯佩尔数。当前的方法也适用于此类Lucas序列，允许查找所有项%（对于固定的$P$）对于任何固定整数$a$、$b$，格式为$a\cdot m^2+b$。虽然在Lucas序列中寻找平方倍数（即$b=0$）的问题已经得到了广泛的研究，但从以下工作开始科恩和怀勒（我们参考了布雷姆纳和扎纳基斯对文献的广泛评论），到目前为止，发现正方形的倍数（即$b\ne0$）只得到了有限的关注，例如1973年的{Finkelste1975年的Finkelste，1981年的Robbins，WalshNear}。在当前的工作中，我们提出了一种解决此问题的统一计算方法。例如，我们建立斐波那契数列只有$2$和$34$的形式为$2m^2+2$；只有$1$、$13$和$1597$的形式是$m^2-3$；等等。论文组织如下。在第~\ref｛SecHomPol｝节中，我们开发了具有整数系数的齐次二次多项式的机制。在第~\ref{SecBiQ}节中，我们证明了我们在双二次曲线上寻找积分点的方法并对Ljunggren方程的工作流程进行了说明。在第~\ref{SecInLucas}节中，我们进一步演示了如何使用我们的方法在Lucas序列和列出这类结果。\截面{齐次二次多项式}\标号{SecHomPol}我们首先研究了二元和三元整系数二次齐次多项式的性质。我们不区分两个变量的齐次多项式和它们的单变量对应项（即$f（x，y）=ax^2+bxy+cy^2$和$\tilde{f}（z）=az^2+bz+c$），它允许我们在它们上定义结果（$\Res$）和判别（$\Disc$）。\开始{定理}[引用{Alekseyev2011}脚注{这个定理纠正了引用[Corolary~6.3.8]{Cohen07}中的错误。}]\标签{ThABC}设$A、B、C$为非零整数，设$（x_0、y_0、z_0）$和$z_0\ne0$为特定的非平凡整数解丢番图方程$Ax^2+By^2+Cz^2=0$。然后通过下式给出其一般整数解\开始{方程式}\标签{SolSys}（x，y，z）=\压裂{p}{q}\；（P_x（m，n），\；P_y（m，n），\；P_z（m，n））\结束{方程式}其中$m，n$以及$p，q$是$q>0$除以$2\lcm（A，B）Cz_0^2$的互质整数，并且\开始{方程式}\标签{Pxyz}\开始{数组}{lcl}P_x（m，n）&=&x_0 A m^2+2y_0 Bmn-x_0 B n^2\\P_y（m，n）&=&-y_0 A m^2+2x_0 A mn+y_0 B n^2\\P_z（m，n）&=&z_0 A m^2+z_0 B n^2。\结束{数组}\结束{方程式}\结束{定理}我们参考{Cohen07，Cremona03}了解求二次齐次方程特定解的一般方法在三个变量中。\脚注{在PARI/GP中，可以使用函数\emph{bnfisnormal}计算特定的解。}\开始{定理}标签{TPolGCD}设$P_1（x，y）$和$P_2（x，y）$是整系数齐次二次多项式和$R=\Res（P_1，P_2）\ne 0$。设$G$是$P_1$和$P_2$合成矩阵的Smith范式中的最大元素。\脚注{虽然$G=R$也满足定理陈述，我们想要尽可能小的$G$。结果$R$通常比定理中定义的$G$大得多。}然后对于任意互质整数$m，n$，$\gcd（P_1（m，n），P_2（m，n））$除以$G$。\结束{定理}\开始｛证明｝设$P_1（x，y）=a_1 x^2+b_1 x y+c_1 y^2$和$P_2（x，y）=a_2 x^2+b_2 x y+c_2y ^2$，其中$a_1，b_1，c_1，a_2，b_2，c_2$是整数。考虑多项式$x\cdot P_1（x，y）$、$y\cdot P_1（x，y）$、$x\cdot P_2（x，y）$、$y\cdot P_2（x，y）$为整数系数为基本术语$x^3$、$x^2y$、$xy^2$、$y^3$。我们的目标是找到这些多项式的两个线性组合：一个等于$x^3$的整数倍，另一个等于$y^3$整数倍。这对应于具有相同合成矩阵的以下两个线性方程组：\beq\标签{EqTwoSys}\开始{矩阵}x^3：\\x ^2年：\\xy^2：\\y^3年：\结束{矩阵}\qquad（平方米）\开始{bmatrix}a1&0&a2&0\\b1&a1&b2&a2\\c1和b1、c2和b2\\0&c_1&0&c_2\结束{bmatrix}\cdot（光盘）\开始{bmatrix}第1天\\第2天\\第3天\\第4天\结束{bmatrix}\四线组=\四线组\开始{bmatrix}1\\0\\0\\0\结束{bmatrix}\四线组\文本{或}\四线组\开始{bmatrix}0\\0\\0\\1\结束{bmatrix}\脑电图关于有理数$t1，t2，t3，t4$。由于矩阵行列式等于结果$R\ne 0$，这些系统具有独特的解决方案：$$（t_1，t_2，t_3，t_4）=\frac｛1｝｛R｝\left（\Delta_1，\Delta_2，\Delta_3，\Delta_4\right）=\frac｛1｝｛G｝\left（\frac｛\Delta_1｝｛d_3｝、\frac｛\Delta_2｝｛d_3｝、\frac｛\Delta_3｝｛d_3｝、\frac｛\Delta_4｝｛d_3｝\right）$$其中，每个$\Delta_i$是所得矩阵的特定$3\乘3$次的行列式$d3$是它的第三个决定因子。这里我们使用的事实是$\tfrac{R}{d_3}=G$是合成矩阵的第四个初等除数（以及它的Smith范式的最大元素）。需要注意的是，所有矢量分量$\tfrac{\Delta_i}{d_3}$都是整数。因此，我们有两个具有整数系数的$x\cdot P_1（x，y）$、$y\cdot P1（x、y）$和$x\cdot P_2（x，y）$的线性组合$\tfrac{\Delta_1}{d_3}$、$\tfrac{\Delta _2}{d_ 3}$和$\tfrac:\Delta_3}{d\U 3}$分别等于$G\cdot x^3$和$G\cdot y^3$。对于$（x，y）=（m，n）$，其中$m，n$是互质整数，这些线性组合意味着$\gcd（P_1（m，n），P_2（m，m））$除以$G\cdot m^3$和$G\cdot n^3$。因此，$\gcd（P_1（m，n），P_2（m，n））$将$\gcd（G\cdot m^3，G\cdotn ^3）=G\cdote gcd（m ^3，n^3）=G$除以。\结束{proof}\开始{remark}为了在实践中计算$G$，我们不需要计算合成矩阵的Smith范式。相反，我们只需求解两个线性系统\eqref{EqTwoSys}，并将$G$定义为两个解$（t1，t2，t3，t4）$中所有分母的最小公倍数。\结尾{remark}\开始{定理}标签{TPol2Sq}任何具有整数系数和非零判别式的齐次二次多项式都可以表示作为两个齐次线性多项式平方的非零有理系数的线性组合。此外，这些多项式是线性无关的。\结束{定理}\开始{证明}让$ax^2+bxy+cy^2$是具有整数系数和非零判别式的齐次二次多项式，即$b^2-4ac\ne0$。如果$b=0$，则$ac\ne 0$，该语句微不足道。假设$b\ne0$。如果$a\ne 0$，则我们有$$a x ^2+b x y+c y ^2=压裂{1}{4a}\cdot（2a x+by）^2+压裂{4ac-b^2}{4 a}\ cdot y ^2$$类似地，如果$c\ne 0$，则$$a x ^2+b x y+c y ^2=压裂{4ac-b ^2}{4c}\cdot x ^2+\frac{1}{4c}\cdot（bx+2cy）^2$$最后，如果$a=c=0$，那么$$bxy=\frac{b}{4}\cdot（x+y）^2-\frac}{4{cdot（x-y）^2$$很容易看出，在所有情况下，线性多项式都是线性无关的。\结束{proof}\开始{定理}\标签{TFracSq}设$P_1（x，y）$和$P_2（x，y）$是齐次二次多项式具有整数系数，例如$\Disc（P_1）\ne 0$、$\Disk（P_2）\ne 0$和$\Res（P_1,P_2）\n 0$。然后是方程式\比利时\标签{EqSqFrac}z^2=压裂{P_1（x，y）}{P_2（x，y）}\脑电图具有有限个整数解$（x，y，z）=（m，n，k）$，其中$\gcd（m，n）=1$。\结束{定理}\开始｛证明｝假设$（x，y，z）=（m，n，k）$，其中$\gcd（m，n）=1$满足等式\eqref{EqSqFrac}。由于$P_2（m，n）$除以$P_1（m，n）$，我们得到$\gcd（P_1，n），P_2（m，n））=P_2（米，n）美元，根据定理~\ref{TPolGCD}必须除以某个整数$G$。那么对于某些除数\脚注{除非另有规定，整数的除数包括正除数和负除数。}$g$的$g$，我们有$P_2（m，n）=g$和$P_1（m，n）=gk^2$。因此，$（x，y，z）=（m，n，k）$表示以下方程组的解：\开始｛方程式｝\标签｛SysSplit｝\开始{cases}P_1（x，y）=g\cdot z^2\\P_2（x，y）=g。\结束{cases}\结束{方程式}因此，要找到\eqref{EqSqFrac}的所有解决方案，我们需要求解$g$的系统\eqref{SysSplit}，范围是$g$的除数。每个此类系统的求解方法如下。我们从开始使用定理~\ref{TPol2Sq}表示$P_1（x，y）$作为两个线性无关多项式的平方有理系数的线性组合，例如，$P_1（x，y）=a\cdot Q_1（x，y）^2+b\cdot Q_2（x，y）^2$。将此表示替换为\eqref{SysSplit}的第一个等式，我们得到以下等式：\beq\标签{EqQ1Q2}a\cdot Q_1（x，y）^2+b\cdot Q_2（x，y）^2-g\cdot z^2=0。\脑电图我们使用定理~ref{ThABC}求解该方程，得到$Q_1（x，y）=\tfrac{p}{Q}\cdot R_1（m，n）$和$Q_2（x，y）=\tfrac{p}{Q}\cdot R_2（m，n）$，%和$z=\tfrac{p}{Q}\ cdot R_3（m，n）$其中$q$的范围超过某个整数的正除数，整数$p$与$q$互素。我们求解关于$x，y$的线性方程组，以获得$$（x，y）=\压裂{p}{q}\cdot\左（S_x（m，n），\；S_y（m，n）\右），$$其中$S_x（m，n）$和$S_y（m，n）$是具有有理系数的线性齐次多项式（仅依赖于$g$，而不依赖于$p，q$）。将其插入\eqref{SysSplit}的第二个方程中，我们得到以下具有整数系数w.rt.$m，n$的四次方程：\beq\标签{EP2S}\ell_g\cdot P_2（S_x（m，n），S_y（m，n））=q^2\cdot\frac{g\cdot\ell_g}{P^2}。\脑电图其中$\ell_g$是$P_2（S_x（m，n），S_y（m，n））$的系数分母的最小公倍数（注意$\ell _g$仅依赖于$g$，而不依赖于$P，q$）。这里$p^2$必须除以$g\ell_g$，因此这样的方程数量有限。通过引用[定理3]{Alekseyev2011}，每个这样的方程都有有限个解，除非对于某些多项式$T（x，y）$，$P_2（S_x（m，n），S_y（m，n））=c\cdot T（m，m）^2$，这与$\Disc（P_2）\ne0$的情况不同。\结束{proof}\begin{remark}为$g、p、q$选择不同的值可能会得到相同的等式\eqref{EP2S}。特别地，如果对于某些整数$d$，$g'=g\cdot d^2$，那么我们可以表示$g'$的等式\eqref{EqQ1Q2}格式为$a\cdot Q_1（x，y）^2+b\cdot QU_2（x，y）^2-g\cdot（d\cdot z）^2=0$，因此它具有与$Q_1（x，y）$和$Q_2（x，y）$相同的解决方案。那么，$g'$的方程式\eqref{EP2S}与$g$的方程式具有相同的左手边（$\ell_{g'}=\ell_g$），而前者在右侧有一个额外的因子$d^2$。因此，为了减少实际方程式的数量，我们可以将$g$限制为$g$的无平方除数：对于每个这样的$g$，我们计算\eqref{EP2S}的左侧并迭代表单的所有\emph{distinct}整数右侧$q^2\cdot\tfrac{g\cdot\ell_g\cdot d^2}{p^2}$，其中$d^2$除以$\tfrac}{g}$。\结尾{remark}\｛在双二次曲线上寻找积分点｝\标签｛SecBiQ｝现在我们准备证明我们的主要结果：\开始｛定理｝\标签｛TBiqCur｝寻找双二次曲线上的积分点\beq\标签{EqBiqCur}y^2=a\cdot x^4+b\cdot x ^2+c\脑电图使用整数系数$a、b、c$和$ac（b^2-4ac）\ne0$，可简化为求解有限数量的四次Thue方程。\结束{定理}\开始{proof}将方程式\eqref{EqBiqCur}乘以$4c$，我们可以将其重写为三个正方形的线性组合对于非零整数系数：脚注{或者，我们可以将\eqref{EqBiqCur}乘以$4a$，得到三个正方形的另一个线性组合：$（2ax^2+b）^2+（4ac-b^2）\cdot 1^2-4ay^2=0$，其系数较小，因此当$c\gg a$时可能更可取。}$$（b^2-4ac）（x^2）^2+4cy^2-（bx^2+2c）^2=0$$表示$X=X^2$，$Y=Y$，$Z=bx^2+2c$，$A=b^2-4ac$，$b=4c$，$C=-1$，我们得到一个丢番图方程：\beq\标签{EqABCXYZ}A\cdot X^2+B\cdot Y^2+C\cdot Z^2=0。\脑电图如果此方程可以用特定解$（X，Y，Z）=（X_0，Y_0，Z_0）$，$Z_0\ne 0$求解，然后根据定理~\ref{ThABC}，其通解由下式给出$$（X，Y，Z）=左（P_X（m，n），\P_Y（m，n），\P_Z（m，m）\右）$$其中$P_i（m，n）$是由\eqref{Pxyz}定义的多项式，$m，n$是互质整数，$r$是有理数。在我们的案例中，此解决方案还应满足以下关系：$$2c=Z-bX=r\cdot\左（P_Z（m，n）-b\cdot P_x（m，n）\右）$$这意味着$$r=\压裂{2c}{P_z（m，n）-b\cdot P_x（m，n）}$$所以我们得到了一个约束丢番图方程：\beq\标签{EqXfrac}x^2=分形{2c\cdot P_x（m，n）}{P_z（m，n）-b\cdot P_x（n，m）}，\脑电图根据定理~\ref{TFracSq}，除非$\Res（P_x，P_z-b\cdot P_x）=0$或$\Disc。$\Res（P_x，P_z-b\cdot P_x）=\Res。如果$\Disc（P_z-b\cdot P_x）=0$，我们有$\Disc（P_z-b\cdot P_x）=4b^2B^2Y_0^2-4 AB（z_0^2-b^2 x_0^2）=0$因此$b^2BY_0^2=A（Z_0^2-b^2 X_0^2）$。由于$BY_0^2=-A X_0^2-C Z_0^2$，我们进一步得到$b^2（-A X_0^2-CZ_0^2）=A（Z_0^2-b^2 X_0^ 2）$，它减少到$A+b^2C=0$。然而，这是不可能的，因为$A+b^2C=-4ac\ne0$。因此，定理~\ref{TFracSq}是适用的。\结束{proof}作为一个推论，我们得到\开始｛定理｝\标签｛Tzz2｝丢番图方程组：$$\开始{cases}z=ax^2+d1\\z^2=乘以^2+d_2，\结束{cases}$$其中$a、b、d1、d2$是带$abd_2（d1^2-d_2）\ne 0$的有理数，简化为有限个四次Thue方程。\结束{定理}\开始{证明}系统暗示$（ax^2+d_1）^2=by^2+d_2$或$（by）^2=a^2bx^4+2abd_1x^2+b（d_1^2-d_2）$。自$（2d_1ab）^2-4a^2b^2（d_1^2-d_2）=4a^2_2d_2\ne 0$，定理~\ref{TBiqCur}适用。\结束{proof}\分段{示例：永格伦方程}我们说明了我们对Ljunggren方程$y^2=2x^4-1$的方法，该方程的简化在{Steiner1991}中首次得到。这里我们有$（a，b，c）=（2,0，-1）$。首先，我们计算$A=b^2-4ac=8$、$b=4c=-4$和$C=-1$，并考虑等式\eqref{EqABCXYZ}。它的特殊解是$（1,1,2）$，根据定理~\ref{ThABC}得出一般解：$$（X，Y，Z）=\压裂{p}{q}\；（P_x（m，n），\；P_y（m，n），\；P_z（m，n））$$具有\开始{eqnarray*}P_x（m，n）&=&8 m^2-8mn+4 n^2\\P_y（m，n）&=&-8 m^2+16 mn-4 n^2\\P_z（m，n）&=&16 m^2-8 n^2。\结束{eqnarray*}现在我们考虑方程式\eqref{EqXfrac}：$$x^2=压裂{2cP_x（m，n）}{P_z（m，n）-b\cdot P_x$$并使用定理~\ref{TFracSq}求解。我们取$P_1（x，y）=-2x^2+2xy-y^2$和$P_2（x，y）=2x^2-y^2$s的合成矩阵，并求解两个线性系统\eqref{EqTwoSys}获得$（t1，t2，t3，t4）=\tfrac{1}{4}（-2，-1，0，1）$和$。所以我们得到$G=4$。让$g$的范围超过$g$的除数，即$g\in\{-4，-2，-1,1,2,4\}$。我们使用定理~\ref{TPol2Sq}将$P_1（x，y）$表示为平方的线性组合：$$P_1（x，y）=-2 x ^2+2xy-y ^2=-\frac{1}{8}\cdot（-4x+2y）^2-\frac}{2}\cdoty ^2=-\frac{1}{2}\ cdot（-2x+y）^2-\ frac{1\{2}\cdot y^2$$并获得方程式\eqref{EqQ1Q2}（乘以$-2$）：$$（-2x+y）^2+y^2+2gz^2=0$$显然，它可能只有当$g<0$，并且只有当$-1$是二次剩余模$2g$时，才有非平凡解，这给我们留下了唯一合适的值$g=-1$。相应的方程有一个特解$（1,1,1）$，根据定理{ThABC}，其通解为$$（-2x+y，y，z）=\frac{p}{q}\cdot\left（m^2+2mn-n^2，-m^2+2mmn+n^2，m^2+n^2\right）$$其中$（p，q）=1$且$q>0$除以4。从这个解决方案中，我们表示$x=\tfrac｛p｝｛q｝\cdot（-m^2+n^2）$和$y=\tfrac｛p｝｛q｝\cdot（-m^2+2mn+n^2）$，并将它们代入方程$p_2（x，y）=g$以获得以下四次方程：$$m^4+4m^3n-6m^2n^2-4mn^3+n^4=q^2\cdot\frac｛-1｝｛p^2｝$$得出$p^2=1$的结论。因为左边的多项式是不可约的，所以这些是Thue方程。我们使用PARI/GP解出了三个Thue方程（对于$q=1,2,4$），发现只有$q=2$的方程有解，它们是$（m，n）=\pm（5，-1）$，$\pm。$\tfrac{P_1（m，n）}{P_2（m，n）}=x^2$的对应解是$（m，n）=\pm（12,17）$和$\pm。因此，Ljunggren方程的解是$（\pm 13，\pm 239）$和$（\p.1，\pm1）$。\截面{Lucas序列中方块的近倍数}\标签{SecInLucas}Lucas序列对$U（P，Q）$和$V（P，Q$）$由与系数$P，Q\in\mathbb{Z}$相同的线性递归关系定义，但不同的初始术语：$$\开始{数组}{lll}U_0（P，Q）=0，&U_1（P、Q）=1，&U_{n+1}\\V_0（P，Q）=2，&V_1（P、Q）=P，&V_{n+1}（P和Q）=P\cdot V_n（P；Q）-Q\cdot V{n-1}（P，Q），\，n\geq 1。\结束{数组}$$一些卢卡斯序列有自己的名字：\开始{center}\begin{tablar}{llll}\氯化氢引用{OEIS}中的顺序、名称、初始术语和索引\\\hline\hline（hline）$U（1，-1）$&Fibonacci数&$0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，\ldots$&seqnum{A000045}\\\氯化氢$V（1，-1）$&Lucas数字&$2，1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，\ldots$&seqnum{A000032}\\\氯化氢$U（2，-1）$&Pell数字&$0，1，2，5，12，29，70，169，408，985，\ldots$&seqnum{A000129}\\\氯化氢$V（2，-1）$&Pell-Lucas数字&$2，2，6，14，34，82，198，478，1154，\ldots$&seqnum{A002203}\\\氯化氢\结束｛表格｝\结束{中心}其他示例包括雅各布斯塔尔数$U（1，-2）$、梅森数$U（3，2）$等。Lucas序列$U（P，Q）$和$V（P，Q$）$的特征多项式为$\lambda^2-P\lambda+Q$，判别式为$D=P^2-4Q$。对于非退化序列，判别元$D$是一个正的非方整数。Lucas序列的项满足以下恒等式：\开始{方程式}\标签{MainEq}V_n（P，Q）^2-D\cdot U_n（P,Q）^2=4 Q^n。\结束{方程式}在当前的论文中，我们关注的是$Q=1$或$Q=-1$的情况，这意味着对$（V_n（P，Q），U_n（P，Q））$满足等式：\脚注{等式的r.h.s.中$\pm$下面的这里和任何地方都表示我们接受这两个符号作为解。}\开始{方程式}\标签{EqXDY}x ^2-D y ^2=下午4点。\结束{方程式}逆语句可以用来证明给定的正整数分别属于$V（P，Q）$或$U（P，Q）$：\begin｛theorem｝[引用｛Alekseyev2011｝中的定理~1]\label｛Trecog｝设$P$，$Q$是整数，使得$P>0$，$|Q|=1$，$（P，Q）\ne（3,1）$，而$D=P^2-4Q>0$。如果正整数$u$和$v$是这样的$$v^2-D u^2=下午4点$$然后对于某些整数$n\geq 0$，$u=u_n（P，Q）$和$v=v_n（P，Q）$。\结束{定理}\开始{定理}\label{finit1}对于固定整数$a\ne0$和$b$，查找形式为$am^2+b$的项在非退化Lucas序列$U（P，Q）$或$V（P，Q）$中，$Q=\pm 1$简化为有限个Thue方程，除非该序列是$V（P，Q）$和$b=\pm 2$。\结束{定理}\开始{proof}让$ax^2+b$成为$U（P，\pm1）$的项。根据定理~\ref{Trecog}，我们得到$y^2=D（ax^2+b）^2\pm 4=Da^2x^4+2Dabx^2+（Db^2\pm 4）$。定理~\ref{TBiqCur}适用，因为$Db^2\pm 4\ne 0$（注意$D\ne\pm 1$）和$（2Dab）^2-4 Da^2（Db^2\pm 4）=\mp 16 Da^2\ne 0$。现在让$ax^2+b$成为$V（P，\pm 1）$的项。根据定理~\ref{Trecog}，我们得到$（Dy）^2=D（（ax^2+b）^2\mp4）=Da^2x^4+2Dabx^2+D（b^2\mp4）$。我们有$（2Dab）^2-4D^2a^2（b^2\mp 4）=\pm 16D^2a ^2\ne 0$。定理~\ref{TBiqCur}适用于$b^2\mp4\ne0$（即$b\ne\pm2$）。\结束{proof}\begin{remark}对于$b=\pm2$，序列$V（P，Q）$可能有无限个形式为$am^2+b$的项。特别是，Lucas序列$V（1，-1）$（Lucas数）自$V_{4n}（1，-1）=V_{2n}，（1，-1）^2-2$和$V_}4n+2}（l，-1）=V_{1n+1}（1,-1）^2+2$。\结尾{remark}以下定理允许在$V（P，\pm 1）$中找到形式为$am^2\pm 2$的所有项解。\开始{定理}\label{finit2}对于固定整数$a\ne0$和$b=\pm2$，查找形式为$am^2+b$的项在非退化Lucas序列中，$V（P，Q）$与$Q=\pm 1$可简化为有限数量的Thue方程和Pell-Fermat方程。\结束{定理}\开始{proof}设$ax^2+b$和$b=\pm2$是$V（P，\pm1）$的项。根据定理~\ref{Trecog}，我们得到以下方程式：$$（Dy）^2=D（（ax^2+b）^2+4）=Da^2x^4+2Abx^2+8D$$和$$（Dy）^2=D（（ax^2+b）^2-4）=Da^2x^4+2Dabx^2$$前一个方程由定理~\ref{TBiqCur}处理，而后一个方程的解总是$x=0$（对应于项$V_0=2$）和对于$x\ne 0$等于Pell-Fermat方程：$$\左（\tfrac{Dy}{x}\右）^2-Da^2x^2=2Dab$$关于该方程的解，请参考[第6.3.5]{Cohen07}节。\结束{proof}定理~\ref{finit1}暗示了Lucas序列$U（P，Q）$或$V（P，Q）$中$am^2+b$形式的项的有限性，除非这个序列是$V（P，Q）$和$b=\pm 2$。后一种情况由定理~\ref{finit2}解决，有时可能会产生无穷多项。虽然这个特征表示Nemes和Peth\H{o}cite{NemesPetho}以及Peth\H{o}cite{PethoGn}结果的一个特例，我们的证明依赖于本文开发的简单变换方法。在表~\ref{Tab1}中，我们列出了Fibonacci、Lucas、Pell和Pell-Lucas数字中$1\leq-a\leq-3$和$-3\leq-b\leq3$的$am^2+b$形式的所有术语。\开始｛footnotesize｝\开始{table}\开始{居中}\开始｛表格｝｛|l||l|l|l|l|l|｝\赫林&斐波那契数、卢卡斯数、佩尔数和佩尔-卢卡斯数列\\表格&$U（1，-1）$&$V（1，-1$&$U（2，-1）$&$V（2，-1$）$\\\hline\hline（hline）$m^2$&$0，1，144$&$1,4$&$0,1169$&无\\\氯化氢$m^2+1$&$1,2,5$&$1,1,2$&$1.2,5$&$2,82$\\\氯化氢$m^2-1$&$0、3、8$&$3$&$0$无\\\氯化氢$m^2+2$&$2,3$&$2、11$和$V_{4n+2}$&$2$&$$2$和$V_{4n+2}$\\\氯化氢$m^2-2$&$2、34$&$V_{4n}$&$2$&$14$和$V_[4n}$\\\氯化氢$m^2+3$&$3$&$3、4、7、199$&$12$&无\\\氯化氢$m^2-3$&$1，131597$&$1$&$1$\\\氯化氢200万美元^2美元&0，2，8美元&2，18美元&0美元，2美元&2美元\\\氯化氢200万美元^2+1美元和1美元、3美元和1、3美元&1美元&无\\\氯化氢200万美元^2-1$&$1$&$1,7199$&$1$无\\\氯化氢$2m^2+2$&$2、34$&$2,4$&$2$&$2$和$V_{4n}$\\\氯化氢$2m^2-2$&$0$&无&$0,70$&$V_{4n+2}$\\\氯化氢200万美元^2+3美元&35、21美元&3、11美元&5美元&无\\\氯化氢200万美元^2-3美元&5美元&29，47，64079美元&5，29美元&无\\\氯化氢300万美元^2美元&0美元，3美元&3美元&0，12美元&无\\\氯化氢300万美元^2+1美元和1、13美元&1、4、76美元&1美元&无\\\氯化氢300万美元^2-1美元和2美元和2美元、11美元、47美元和2美元和2美元\\\赫林300万美元^2+2美元和2美元、5美元和2美元、29美元和2美元、5美元、29美元和2美元、14美元\\\氯化氢300万美元^2-2$&$1$&$1$&$1$无\\\氯化氢300万美元^2+3美元和3美元&3美元&无&6美元\\\氯化氢300万美元^2-3美元&0144美元&无&0美元&无\\\氯化氢\结束｛表格｝\标题{斐波纳契、卢卡斯、佩尔和佩尔-卢卡斯数字中$1\leqa\leq3$和$-3\leqb\leq3+$am ^2+b$形式的术语。\label{Tab1}}\结束{中心}\结束{表格}\结束{footnotesize}\部分｛确认｝我们感谢John Cremona博士、Nikos Tzanakis博士和Noam Elkies博士提出的一些有益建议和讨论。第一位作者得到了国家科学基金会的支持批准号：IIS-1253614。第二位作者得到了欧洲联盟和欧洲社会基金通过项目``超级计算机，国家虚拟实验室电话：AMOP-4.2.2.C-11/1/KONV-2012-0010。\开始{书目}{10}\bibitem{Alekseyev2011}M.~A.Alekseyev，关于{F}ibonachi、{P}ell和{L}ucas的交点数字，{\em整数}{\bf 11}（2011），239--259。\bibitem{贝克尔1966}A.~Baker，代数数对数的线性形式（I），{\emMathematika}{\bf 13}（1966），204-216。\bibitem{贝克尔1967a}A.~Baker，代数数对数的线性形式（II），{\emMathematika}{\bf 14}（1967），102-107。\bibitem{贝克尔1967b}A.~Baker，代数数对数的线性形式（III），{\emMathematika}{\bf 14}（1967），220-228。\bibitem{Bilu1996年}Y.~Bilu和G.~Hanrot，解{T}高阶色调方程，{\em J.数理论}{\bf 60}（1996），373--392。\双项目{MAGMA}W.~Bosma、J.~Cannon和C.~Playout，{{M}agma代数系统。{一} ●●●●。{T} 他用户语言，｛\em J.符号计算｝｛\bf 24｝（1997），235-265。\bibbitem｛布雷默2007a｝A.~Bremner和N.~Tzanakis，Lucas序列，其{$N$}项是平方或几乎是方形的，《阿里斯学报》（2007），第261--280页。\bibitem{科恩07}科恩，《数论》~{一} ●●●●。{T} ools和{D}映象方程}，{\em数学研究生教材}第239卷，施普林格出版社，2007年。\bibitem{科恩1964}J.~H.~E.科恩，关于方形{F}伊波那契数，{\em 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2010（数学学科分类）：初级11Y50；次级11D25、11B39、14G05。\noindent\emph{关键字：}积分点，双二次曲线，椭圆曲线，Thue方程，斐波那契数，卢卡斯序列。\大跳跃\小时\大跳跃\noindent（与序列有关\序列号{A000032}，\序列号{A000045}，\序列号{A000129}，\序列号{A002203}。）\大跳跃\小时\大跳跃\vspace*{+.1in}\无音（noindent）2014年2月22日收到；2014年5月17日收到修订版。发表于《整数序列杂志》，2014年5月18日。\大跳跃\小时\大跳跃\无音（noindent）返回到\htmladdnormallink{整数序列杂志主页}{http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/}。\vskip.1英寸\结束{文档}