\文档类[12pt，reqno]{article}\usepackage[用户名]{颜色}\使用包{amssymb}\使用包{graphicx}\使用包{amscd}\usepackage[colorinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色{webbrown}{rgb}{.6,0,0}\使用包{color}\使用包{fullpage}\使用包{float}\使用包{psfig}\usepackage{graphics，amsmath，amssymb}使用包\使用包{amsthm}\使用包{amsfonts}\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\evensidemargin}{.1in}\集合长度{\topmargin}{-.5in}\设置长度{\textheight}{8.9in}\新命令{\seqnum}[1]{\href{http://oeis.org/#1}{\下划线{#1}}\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\离开模式\epsfile{logo129.eps}\结束{中心}\新定理{定理}{定理{\新定理｛推论｝｛推论｝\新定理｛练习｝｛练习｝\新定理{命题}{命题\理论风格{remark}\新定理\新定理\新定理\开始{居中}\vskip 1cm{\LARGE\bf广义的一个特例\\\vskip.1英寸Girard-Waring公式}\vskip 1cm\large米尔恰·梅卡\\数学系\\克拉约瓦大学\\A.I.Cuza 13号机组\\克拉奥瓦，200585\\罗马尼亚\\\链接{mailto:mircea.merca@profinfo.edu.ro}{\tmircea.merca@profinfo.edu.ro} \\\结束{中心}\vskip.2英寸\开始{abstract}在本说明中，我们介绍了一种新的方法来证明和发现包含二项式系数和阶乘的恒等式。\结束{抽象}\第{节简介}设$n$为正整数。给定一组变量$\{x_1，x_2，\ldots，x_n\}$，这些变量上的第$k$个基本对称函数$e_k（x_1、x_2、\dots，x_n）$是这些$n$变量的$k$的所有可能乘积之和，选择时不进行替换\开始{等式*}\标记{ESP}e_k（x_1，x_2，\ldots，x_n）=\sum_{1\lei_1如果n$或$k<0$，我们将$e_k（x_1，x_2，\ldots，x_n）设置为0$。本文的出发点是以下结果：\开始{定理}\标签{T0}设$n$为正整数，$x_1、x_2、\ldots、x_n$为$n$自变量。然后\开始｛方程式｝\标签｛gw｝e_k\左（x_1^2，\ldots，x_n^2\right）=\sum_{i=-k}^{k}（-1）^ie_{k+i}\左（x1，\ldot，x_n\右）e_{k-i}\右（x_1，\ldots，x_n\right）\。\结束{方程式}\结束{定理}\开始{proof}考虑到这一点$$\prod_{i=1}^{n}\left（x+x_i\right）=\sum_{k=0}^{n} e（电子）_{n-k}\左（x_1，\ldots，x_n\右）x^k$$和$$e_k\left（-x_1，\ldots，-x_n\right）=（-1）^ke_k\left$$我们可以写\开始{eqnarray}\prod_{i=1}^{n}\left（x^2-x_i^2\right）&=&\sum_{k=0}^{n} e（电子）_{n-k}\左（-x_1^2，\ldots，-x_n^2\right）x^{2k}\n非数字\\&=&\sum_{k=0}^{n}（-1）^{n-k}e_{n-k}\左（x_1^2，\ldots，x_n^2\right）x^{2k}\。\标签{eq:T1a}\结束{eqnarray}另一方面，我们有\开始{eqnarray}&&\prod_{i=1}^{n}\left（x^2-x_i^2\right）=\n数字\\&&\qquad=左（\prod_{i=1}^{n}\left（x-x_i\right）\right\\&&\qquad=左（\sum_{k=0}^{n}（-1）^{n-k}e_{n-k}\左（x_1，\ldots，x_n\右）x^{k}\右）\左（\sum_{k=0}^{n} e（电子）_{n-k}\左（x_1，\ldots，x_n\右）x^{k}\右）\n数字\\&&\qquad=\sum_{k=0}^{n}\左（\sum_}i=0}^{2k}（-1）^{n-i}e_{n-i}\左（x_1，\ldots，x_n\右）e_{n-2k+i}\左（x1，\ldots，x_n\right）\右）x^{2k}\。\标签{eq:T2}\结束{eqnarray}通过\eqref{eq:T1a}和\eqref{eq：T2}，我们推导出$$(-1)^｛n-k｝e_{n-k}\左（x_1^2，\ldots，x_n^2\right）=\sum_{i=0}^{2k}（-1）^{n-i}e_{n-i}\左（x_1，\ldots，x_n\右）e_{n-2k+i}\左（x1，\ldets，x_n\right）\$$可以用以下方式重写\开始{eqnarray*}(-1)^{k} e（电子）_{k} \左（x_1^2，\ldots，x_n^2\right）&=&\sum_{i=0}^{2（n-k）}（-1）^{n-i}e_{n-i}\左（x_1，\ldots，x_n\右）e_{2k-n+i}\右（x_1，\ldot，x_n\right）\\&=&\sum_{i=k-n}^{n-k}（-1）^{k-i}电子_{k-i}\左（x_1，\ldots，x_n\右）e_{k+i}\左（x1，\ldets，x_n\right）\。\结束{eqnarray*}由于$e_k\left（x_1，\ldots，x_n\right）=0$，对于$k<0$或$k>n$，我们有\开始{eqnarray}&&\和{i=k-n}^{n-k}（-1）^{i} e（电子）_{k-i}\left（x_1，\ldots，x_n\right）e_{k+i}\leaft（x_1，\ldot，x_n\ right）\nonumber\\&&\qquad\qquad=\sum{i=-k}^{k}（-1）^{i} e（电子）_{k-i}\左（x_1，\ldots，x_n\右）e_{k+i}\左（x1，\ldets，x_n\right）\。\标签{eq:T3}\结束{eqnarray}校样完成了。\结束{proof}众所周知，幂和对称函数可以使用Girard-Waring公式[eq.8]{Gou99}用初等对称函数表示。 引用{Kon96、Kon98、Zen97}中的Girard-Waring公式推广到指数相等的单项式对称函数。关系\eqref{gw}是广义Girard-Waring公式\cite[等式\（3）]{Zen97}中$n=2$的情况并可用于证明和发现某些身份。 为了说明这一点，我们提出了涉及二项式系数和第一类斯特林数的两个应用。\{涉及二项式系数的恒等式}%首先，让我们考虑二项式系数\开始｛方程*｝\label｛方程：bc1｝\binom｛n｝｛k｝=e_k（\underrace｛1，\ldots，1｝_n）\。\结束{方程式*}以下恒等式是定理{T0}的直接结果。\开始{推论}\标记{c:1}设$k$和$n$是两个非负整数。然后$$\求和{i=-k}^{k}（-1）^i\binom{n}{k+i}\binom}n}{k-i}=\binom[n}{k.k}\。$$\结束{推论}考虑到这一点\开始{等式*}\标签{b1}\和{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n\qquad\mbox{和}\qquad_sum{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2=binom{2n}{n}\，\结束{方程式*}通过推论{c:1}，我们获得了一个新的恒等式：\开始{推论}设$n$为正整数。然后\开始{方程式*}\标记{eq:1}\总和{0-->