\文档类[12pt，reqno]{article}\usepackage[用户名]{颜色}\使用包{amssymb}\使用包{graphicx}\使用包{amscd}\usepackage[colorlinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色｛webbrown｝｛rgb｝｛.6,0｝\使用包{color}\使用包{fullpage}\使用包{float}\使用包{psfig}\usepackage{graphics，amsmath，amssymb}使用包\使用包｛amsthm｝\使用包{amsfonts}\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\evensidemargin}{.1in}\集合长度{\topmargin}{-.5in}\设置长度{\textheight}{8.9in}\新命令{\seqnum}[1]{\href{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/~njas/sequences/eisA.cgi？Anum=#1}{\下划线{#1}}}\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\离开模式\epsfile{logo129.eps}\结束{中心}\新定理{定理}{定理{\新定理{推论}[定理]{推演}\新定理{引理}[定理]{引言}\新定理{命题}[定理]{命题\新定理{猜想}[定理]{猜测}\新定理{define}[定理]{Definition}\新环境{definition}{\begin{definit}\normalfont\quad}{\end{define}}\新定理{examp}[定理]{examp}\新环境{example}{\begin{examp}\normalfont\quad}{\end{examp{}}\新定理{rema}[定理]{Remark}\newenvironment｛remark｝｛\begin｛rema｝\normalfont\quad｝｛\end｛rema｝｝\开始{居中}\vskip 1cm{\LARGE\bf运行模递归}\vskip 1cm\大型布鲁斯·迪尔登和杰里·梅茨格\\北达科他大学\\数学系\\威特默厅313室\\康奈尔街101号8376站\\大福克斯ND 58202-8376\\美国\\\链接{mailto:bruce.dearden@und.ed}{\tbruce.dearden@und.edu（英文）}\\\链接{mailto:jerry.metzger@und.edu}{\tjerry.metzger@und.edu}\\\结束{中心}\vskip.2英寸\开始{abstract}修正整数$b\geq2$和$k\geq1$。递归地定义序列$\{z_n\}$，方法是将$z_0$取为任意整数，对于$n\geq1$，取$z_n$是$bz{n-1}$模$（n+k）$的最小非负余数。由于模量从一开始增加$1$接下来，这样的定义将被称为{运行模递归}或简称{谣言}。While期间这些序列的术语似乎不规则地反弹，经验证据表明，这些术语最终将为零。当我们做了一个额外的假设时，我们证明了这一点，并且我们推测这个额外的假设始终满足条件。\结束{抽象}\章节{引言}修正整数$b\geq2$和$k\geq1$。递归地定义序列$\{z_n\}$，方法是将$z_0$取为任意整数，对于$n\geq1$，$z_n={bz_{n-1}\bmod{（n+k）}}$，$bz{n-1}$模$（n+k）$的最小非负剩余。由于从1阶跃开始，模数增加了$1$接下来，以这种方式生成的序列将被调用{\it运行模递归}或简称{\it谣言}。因为只有传言的最终行为才值得关注，我们不妨假设$0\leq z0\leqk$：使用相同的$b$参数，$z0^{prime}={z0\bmod{（k+1）}$的序列，对于$n\geq1$，$zn^{prime}={bz{n-1}^{primer}\bmod{（n+k）}}$，只有第一项与原始序列不同。这些序列的术语似乎不规则地反弹，至少有一段时间是这样，但经验证据表明最终$0$项将在序列中出现，当然，如果$0$出现在序列中，以下所有条款也将为0美元。例如，对于$z_0=1$，对于$n\geq1$，$z_n={3z_{n-1}\bmod{（n+11）}}$，序列开始\[1,3,9,13,9,11,16,12,17,11,12,14,19,9,2,6,18,26,20,0，\ldot。\]对于本例，$z_{19}$是第一个$0$术语。虽然有很多诱人的图案，但第一个$0$的位置似乎并不简单一般规则。例如，对于$k\geq1$，让$s_{b，k}$表示谣言中第一个$0$的索引由$z_0=1$和$z_｛n｝=｛bz_｛n-1｝\bmod｛（n+k）｝｝$定义。序列$\{s_{2，k}\}$开始\[1,2,5,10,3,18,7,24,23,22,13,4,19,18,9,6,15374,13,12,11370369。\]这种反复无常的行为仍在继续，下表中给出的几个附加值证明了这一点。\梅德斯基普\开始{minipage}{2.3in}\开始{tablar}{c|c|c}\氯化氢$z_0$&$b$&$k$&第一个$0$term，$s_{2，k}$\\\hline\hline（hline）1和2、68和324\\1 & 2 & 69 & 12161 \\1 & 2 & 70 & 322 \\1 & 2 & 71 & 25 \\\氯化氢\结束｛表格｝\结束{迷你页}\开始{minipage}{2.3in}\开始{tablar}{c|c|c}\氯化氢$z_0$&$b$&$k$&第一个$0$term，$s_{3，k}$\\\hline\hline（hline）1和3、68和784\\1 & 3 & 69 & 783 \\1 & 3 & 70 & 782 \\1 & 3 & 71 & 10 \\\氯化氢\结束｛表格｝\结束{迷你页}\{最终行为：条件和猜测}我们表明，谣言的初始值$z_0$可能是自然写的与相关实数$\zeta0$的基数-$b$展开式相关的级数展开式。在$\zeta_0$是有理的附加条件下，我们证明谣言最终为零。首先，我们建立$z_0的自然扩展$相对于基数-$b$及其系数的基本属性。\开始{引理}\标签{lem:dn}设$b\geq 2$和$k\geq 1$。假设$z_0$是任意整数，对于$n\geq 1$，让$z_n={bz_{n-1}\bmod{（n+k）}}$。对于$n\geq1$，设$d_n=\left\lfloor\frac{bz_{n-1}}{n+k}\right\rfloor$因此$zn=bz{n-1}-dn（n+k）$。然后\开始{enumerate}\项目[（a）]$\显示样式\和{n\geq1}\分形{dn（n+k）}{b^n}=z0，$\项目[（b）]对于$n\geq 2$，$0\leq d_n\leq b-1$，\项目[（c）]$d_n0$,因此$\gcd（p，b^p-1）>1$和$p>1$。为了完成证明，我们将证明情况（1）必须正确，因此，通过引理~\ref{lem:d_n}（d），（原始）序列$\{z_n}$是最终为0美元。为此，我们假设$\gcd（p，b^p-1）=s>1$（因此$p>1$）并推导出一个矛盾。让$r$是$b$modulo$s$的顺序，这样$r\leq\varphi（s）$，其中$\varphi$是Euler的phi函数。由于$b^p\equiv 1\，（\rm{mod\}s）$，因此，$r$除以$p$。现在$s>1$和$s|p$，因此后面是$r1$. 此外，还有一个整数$a$，其中$1\leqa<b^r-1$，即$sa=b^r-1'。通过伸缩，我们看到\[s\left[a+ab^r+ab^{2r}+\cdots+ab^}（m-1）r}\right]=b^p-1。\]由此可见\[u=\frac{b^p-1}{s}=a+ab^r+ab^{2r}+\cdots+ab^}（m-1）r}\]具有周期基数{-}$b$位，周期长度为$r$。现在$u=\frac{b^p-1}{s}$和$\frac{p}{s{$是相对优质的，而\[u=\frac{b^p-1}{s}\quad\hbox{divides}\quid\frac{p}{s{sum{1\leqn\leqp}dnb^{p-n}。\]对于一些$v>0$，我们有\[vu=sum{1\leqn\leqp}dnb^{p-n}<b^p-1=su。\]这意味着0美元<v-->