\文档类[12pt，reqno]{article}\usepackage[用户名]{颜色}\使用包{amssymb}\使用包{graphicx}\使用包{amscd}\usepackage[colorlinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色｛webbrown｝｛rgb｝｛.6,0｝\使用包{color}\使用包{fullpage}\使用包{float}\使用包{psfig}\usepackage{graphics，amsmath，amssymb}使用包\使用包｛amsthm｝\使用包{amsfonts}\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\evensidemargin}{.1in}\集合长度{\topmargin}{-.5in}\设置长度{\textheight}{8.9in}\新命令{\seqnum}[1]{\href{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/~njas/sequences/eisA.cgi？Anum=#1}{\下划线{#1}}}\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\离开模式\epsfile{logo129.eps}\结束{中心}\开始{居中}\vskip 1cm{\LARGE\bf超fibonacci的一些性质\\\vskip.1英寸和超卢卡斯数}\vskip 1cm\large宁宁曹\脚注{这项工作得到了科学研究的支持大连理工大学基金(2008).} 和赵凤珍$^1$\\数学科学学院\\大连理工大学\\大连116024\\中国\\\链接{mailto:caoning0928@163.com}{\tcaoning0928@163.com} \\\链接{mailto:fengzhenzhao@yahoo.com.cn。}{\tfengzhenzhao@yahoo.com.cn}\\\结束{中心}\vskip.2英寸\开始{abstract}在本文中，我们讨论了超斐波那契数和超卢卡斯数。我们导出了超斐波那契和用系数法计算超卢卡斯数。此外，我们提供涉及超fibonacci和用达布方法计算超卢卡斯数。\结束{抽象}\新定理{定理}{定理{\新定理{推论}[定理]{推演}\新定理{引理}[定理]{引言}\新定理{命题}[定理]{命题\新定理{猜想}[定理]{猜测}\新定理{thm}{定理}\新定理{cor}{推论}\新定理{lem}{Lemma}[段]\新命令{\bvec}[1]{\mbox{\boldmath$#1$}}\更新命令{\d}{\displaystyle}\renewcommand\thefootnote{\fnsymbol{footnote}}更新命令%*************************第1部分*******************************************\章节{引言}Dil和Mez\H{o}\cite{ref1}介绍了``超斐波那契“”数字$F_n^{（r）}$和“超卢卡斯”数字$L_n^{（r）}$\开始{eqnarray*}F_n^｛（r）｝=\ sum_｛k=0｝^nF_k^｛（r-1）｝，\ quad｛\rm with｝\ quadF_n^{（0）}=F_n，\quad F_0^{，\结束{eqnarray*}\开始{eqnarray*}L_n^{（r）}=\sum_{k=0}^nL_k^{（r-1）}，\quad{\rm with}\quadL_n^{（0）}=L_n，\quad L_0^{，\结束{eqnarray*}其中$r$是一个正整数，$F_n$和$L_n$是斐波那契和卢卡斯数字。的生成函数$F_n^{（r）}$和$L_n^{（r）{$如下：\开始{eqnarray*}\sum_{n=0}^{\infty}F_n^{（r）}t^n&=&\frac{t}{（1-t-t^2）（1-t）^r}\\\sum_{n=0}^{\infty}L_n^{（r）}t^n&=&\frac{2-t}{（1-t-t^2）（1-t）^r}。\结束{eqnarray*}$F_n^{（r）}$和$L_n^{（r）{$的前几个值如下：\\\开始{displaymath}F_n^{（1）}：0，1，2，4，7，12，20，33，54，88，143，232，376，609，986，1596，2583，\ldot；\结束{显示方式}\开始{displaymath}F_n^{（2）}：0, 1, 3, 7, 14, 26, 46, 79, 133, 221,364、596、972、1581、2567、4163、6746；\结束{显示方式}\开始{displaymath}L_n^｛（1）｝：2、3、6、10、17、28、46、75、122、198、321、520、842、1363、2206、3570、5777、；\结束{显示方式}\开始{displaymath}L_n^{（2）}：2，5，11，21，38，66，112，187，309，507，8281348219035535759932915106。\结束{显示方式}当$r=1,2$时，$F_n^{（r）}$和$L_n^{（r）{$有一些基本恒等式。例如，\开始{eqnarray*}F^{（1）}_n&=&F_{n+2}-1\\F^{（2）}_n&=&F_{n+4}-n-3\\&=&\sum_{k=0}^n（n-k）F_k\\L^｛（1）｝_n&＝&L_｛n+2｝-1\\&=&F_n+F_{n+2}-1\\L^{（2）}_n&=&4（F_{n+1}-1）+3F_n-n\\&=&L_{n+3}-（n+4）。\结束{eqnarray*}对于$F的上述值和基本恒等式_n^{（r）}$和$L_n^{（r）}$，请参阅\cite{ref4}（\seqnum{A000071}，\seqnum{A001924}，\seqnum}A001610}，\ seqnum{A023548}）。超斐波那契数和超卢卡斯数很有用，DilMez\H{o}\cite{ref1}导出了斐波那契和卢卡斯的一些等式通过应用数字。因此，超斐波那契数和超卢卡斯数量值得调查。在本文中，我们讨论$F_n^{（r）}$和$L_n^{（r）{$的属性。我们为$F_n^{（r）}$和$L_n^{（r）{$建立一些标识。此外，我们给出了某些相关和的渐近展开式到$F_n^{（r）}$和$L_n^{（r）}$。为了方便起见，我们首先回忆一些符号。让$\alpha=（1+\sqrt 5）/2$。众所周知\开始{eqnarray*}F_n=\frac{\alpha^n-（-1）^n\alpha^{-n}}{\sqrt 5}，\quadL_n=\alpha^n+（-1）^n\alpha^{-n}，\结束{eqnarray*}$F_n$和$L_n$满足以下递归关系\开始{eqnarray}W_{n+1}=W_n+W_{n-1}，\quad n\geq 1。\标签{eq:E1}\结束{eqnarray}通常，二项式系数${n\choose m}$由以下公式定义\开始{eqnarray*}{n\choosem}=\begin{cases}\displaystyle\frac{n！}{m！（n-m）！}，\text{if}\quadn\geqm\\0，\quad\quad\quid\quae\quad_quad\qued\text{if}n0$. 很明显，当$p=1$时，$u_n^{（r）}=F_n^{（r）{$和$v_n^{[r）}=L_n^{[（r）]}$。$Fn^{（r）}$和$L_n^{。例如，put\开始{eqnarray*}U_｛n，k，r｝=\sum_｛j_1+j_2+\cdots+j_k=n｝U_｛j_1｝^｛（r）｝U_｛j_2｝^｛（r）｝\cdots U_｛j_k｝^｛（r）｝，quadV{n，k，r}=\sum_{j_1+j_2+\cdots+j_k=n}V{j_1}^{。\结束{eqnarray*}那么我们有\开始{eqnarray}U_{n，2,1}&=&\压裂{n-1}{p^2（p^2+4）}（v_n^{（0）}+2v_{n+1}^{-\裂缝{2}{p^3}（u{n+1}^{（0）}+2u_n^{\\&&+\压裂{2}{p（p^2+4）}u{n-1}^{（0）}+\压裂}np+p+4}{p^3}，\标签{eq:E22}\\U_{n，k+1，r}&=&\sum_{j=0}^n U_｛n，k，r｝u_j^{（r）}。\标签{eq:E23}\结束{eqnarray}我们可以核实一下\开始{eqnarray*}U_{n，2,1}&=&[t^n]\压裂{t^2}{（1-pt-t^2）^2（1-t）^2}\\&=&[t^n]\bigg\{\frac{1}{\Delta（1+\tau）^2}\frac}{\\&&+\压裂{1}{\Delta}\frac{1}}{（1-\tau^{-1}）^2}\frac{t^2}{\压裂{1}{t+\tau}+\压裂{1'{1-t}\bigg）\\&&-\压裂{2t^2}{三角洲（1+\tau）（1-\tau^{-1}）}\bigg（压裂{-1}{t+\tau}+\frac{1}{t-\tau^}-1}}\big）压裂{1}}{sqrt{Delta}}\\&&+\压裂{2t^2}{\三角洲（1-\tau^{-1}）}\比格\大\}\\&=&[t^n]\bigg\{\压裂{1}{p^2\Delta}\sum_{n=0}^ infty（n+1）t^{n+2}（v{n+2{^{（0）}+2v{n+3}^{\\&&-\frac{2}{p^3}\sum{n=0}^\infty t^{n+2}（u{n+3}^{（0）}+2u{n+2{^{+\裂缝{2}{p\Delta}\sum_{n=0}^填充t^{n+2}u_{n+1}^{（0）}+\frac{4+2p}{p^3}\sum_{n=0.0}^\填充t^}n+2}\大\}，\结束{eqnarray*}其中$\Delta=p^2+4$，$\tau=\frac｛p+\sqrt｛\Delta｝｝｛2｝$。因此，\eqref{eq:E22}成立。\eqref{eq:E23}的证明与\eqref{eq：E11}的相似，此处省略。关于$\{v_n^{（0）}\}$的标识可以用同样的方法找到。\{确认}节作者想感谢匿名推荐人批评和有用的建议。\开始{书目}{99}\书目样式{plain}\bibitem{ref1}A.Dil和I.Mez\H{o}，超谐波和超谐波的对称算法斐波那契数列，{\it Appl.Math.Comput.}\textbf{206}(2008), 942--951.\参考文献{ref2}D.~Merlini，R.~Sprugnoli和M.~C.~Verri系数，{\it-Amer.Math.Monthly}\textbf{114}（2007），40-57。\bibitem{ref3}N.Robbins，一些卷积型和组合恒等式关于二进制线性递归，{它是斐波那契夸脱}\textbf｛29｝（1991），249-255。\bibitem{ref4}N.J.A.Sloane，{在线整数序列百科全书}。以电子方式发布位于\ href{http://www.research.att.com/~njas/sequences}{\thttp://www.research.att.com/\char'176njas/sequences}，2010年。\bibitem{ref5}M.Z.Spivey，组合和与有限差分，{\it离散数学}\textbf{307}（2007），3130--3146。\｛ref6｝G.Szeg\H｛o｝，｛\it正交多项式｝，Amer。数学。社会团体出版物。，第23卷，修订版，1959年。\bibitem{ref7}张文鹏，涉及斐波那契数的一些恒等式，{斐波纳契夸脱}（1997），225-228。\bibitem{ref8}赵凤珍和王天明，一些涉及斐波那契数的恒等式\textbf{39}（2001），165--167。\结束{书目}\大跳跃\小时\大跳跃\noindent 2000数学学科分类：初级11B37、11B39；次要05A16、05A19。\noindent{\it Keywords}：斐波那契数，卢卡斯数，生成函数，渐近展开，达布的方法。\大跳跃\小时\大跳跃\noindent（与序列有关\序列号{A000048}，\序列号{A000071}，\序列号{A001610}，\序号｛A001924｝，以及\序列号{A023548}。）\大跳跃\小时\大跳跃\vspace*{+.1in}\无音（noindent）2010年6月6日收到；2010年9月8日收到修订版。发表于2010年9月10日的《整数序列杂志》。修正日期：2011年3月26日。\大跳跃\小时\大跳跃\无音（noindent）返回到\htmladdnormallink{整数序列杂志主页}{http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/}.\vskip.1英寸\结束｛文档｝