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达里杰·格林伯格，关于组合的注记代数基础（PRIMES 2015阅读项目：问题和解决方案）.
源代码.
没有解决方案的版本,无扰流板搜索。
关于二项式系数、置换和决定因素。目前涵盖一些二项式系数恒等式（Vandermonde卷积及其一些变体），排列的长度和符号，以及各种基本性质行列式（由莱布尼茨公式定义）。
还跟踪项目的源代码关于github.
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达里杰·格林伯格，素数的二项式系数模平方.
源代码.
旧版本也可在https://arxiv.org/abs/1712.02095.
我们证明了以下同余，阿帕戈杜猜想泽尔伯格:设p是奇素数，r和s是两个非负整数。然后，
- （2n选择n）对所有n=0，1，…，的总和。。。，p-1与η同余第页模p2;
- 更一般地说，（2n选择n）对所有n的总和=0，1。。。，rp-1与η一致第页时间（（2n选择n）之和）除以所有n=0，1。。。，r-1）模p2;
- （n+m选择m）之和2总n=0，1。。。，rp-1和所有m=0，1。。。，sp-1与η一致第页次数（n+m选择m的总和）2总n=0，1。。。，r-1和所有m=0，1。。。，s-1）模p2,
其中η第页是一个特定的整数，取决于p模3的剩余（即，如果剩余分别为0、1和2，则是0、1或-1）。
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达里杰·格林伯格，Fleck二项式同余循环矩阵.
源代码.
1913年，Fleck发现了以下事实：如果p是素数，j是一个整数，n和q是两个非负整数，满足q≤（n-1）/（p-1），则pq个除以(-1)米（n选择m）覆盖所有非负整数m，其中与j模p同余。
这个注释给出了这个同余的详细而基本的证明只使用矩阵和一些抽象代数。（无代数使用整数。）
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达里杰·格林伯格，18.781（2016年春季）：地板和算术函数.
源代码.
这些是我在18.781（数论导论）课程2016年麻省理工学院。（尽管它们包含更多适合单个讲座的材料；我省略了一些结果并且只在实际的讲座中草拟了一些证据。）
在第1节中，我定义了楼层功能并展示了它的一些基本功能属性；然后我证明了de Polignac的指数公式n中的素数！并用它证明二项式系数是整数（有更好的证据证明这一点，但它说明了公式）。
在第2节中，我介绍了标准的算术函数（φ，Möbius，sum除数等），定义乘法性和Dirichlet卷积，并证明了标准结果：Möbius和φ是乘法的；Dirichlet卷积是结合的；φ（d）的总和n的除数d是n；n的所有除数d上μ（d）的和是0，除非n=1；莫比乌斯反演公式；迪里克莱两个乘法函数的卷积是乘法的。Dirichlet卷积的变体（称为“lcm-卷积”）并证明了其关联性。
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达里杰·格林伯格，超阶乘可除性（2015年7月27日版本）.
还有一个详细（和更长）版本。最好只在出现问题时咨询不清楚上面的简短版本。
源代码两个版本的。
在这里，我证明了珀西的一个奇怪的组合结果亚历山大·麦克马洪（1916）：
如果H（m）表示乘积0！1! 2! ... （m-1）！对于任意整数m≥0，则任意三个整数a、b、c≥0满足
H（b+c）H（c+a）H（a+b）|H（a）H。
该证明使用基本线性代数，并且是自包含的（主要引理是Vandermonde的行列式，它的证明-略广义-包含在注释中）。比率（H（a）H（b）H（c）H（a+b+c））/（H（b+c以两种方式积分矩阵。
这张便笺的结尾是一个额外的惊喜：一个众所周知的事实的证明m个整数之间成对差的乘积总是可被H（m）整除。这与MacMahon的结果没有直接关系但它使用了相同的引理（Vandermonde的推广行列式）。
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达里杰·格林伯格，卢卡斯和巴贝奇同余.
源代码.
在这个说明性注释中，我们证明了二项式系数。证明是基本的（通过归纳法）并且有效对于任意整数参数（而不仅仅是非负参数整数）。之后，我们还证明了0k个+ 1k个+ ... + （第1页）k个对于任何素数p和任何非负整数k都可以被p整除这不是p-1的正倍数。
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达里杰·格林伯格，泽肯多夫家族身份广义的.
也可在https://arxiv.org/abs/103.4507.
源代码.
还有一个详细信息（两倍于长）版本(源代码).旧版本源代码（2011）.
Philip Matchett Wood和Doron Zeilberger建造了斐波那契数f的恒等式n个的形式
第1页n个=fn个;
第2页n个=fn-2个+（f）n+1;
第3页n个=fn-2个+（f）n+2;
4英尺n个=fn-2个+（f）n个+如果n+2;
...;
肯德基n个=f之和n-i型从一个固定的有限的“lacnar”整数集（“lacnard”表示没有两个元素此集合的是连续整数）。
这个腔隙集只依赖于k，并且对于每个k都是唯一的。
在本注释中，我们证明了这些恒等式的一个推广：对于任何家庭（a1，一个2。。。，一第页)第页，共页整数，存在且只有一个每个足够高的n满足的整数
如果不适用1+（f）不适用2++如果不适用第页=f之和n+秒全部都在美国。
（“足够高”意味着足够高如果不适用我和所有fn+秒是定义明确（一些我以及S的一些元素为负值）。）
证明使用了黄金的斐波那契近似性质比值φ；找到一个纯粹的组合证明。
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达里杰·格林伯格，理想上的积分半过滤.
请参见抽象代数页有关此预印本的更多信息。
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达里杰·格林伯格，这个Vornicu-Schur不等式及其变化（2007年8月13日版本）.
源代码.
所谓的Vornicu-Shur不等式表明x（a-b）（a-c）+y（b-c）（b-a）+z（c-a）（c-b）≥0，其中a、b、c是实数，x、y，z是非负实。当然，只有当对a、b、c、x、y、z施加某些条件，以及目的本注释的目的是收集一些可能的条件使不等式有效。例如，（a≥b≥c和x+z≥y）是这样一个充分条件（涵盖了常用条件（a≥b≥c和（x≥y≥z或x≤y≤z））。另一个充分条件是x，y，z是三角形的边长。更弱，但仍然一个充分的条件是x，y，z是边长的平方三角形。另一个不同的充分条件是ax，cz是三角形的边长，或者，再一次，是它们的边长方块。
讨论了这些以及更多的条件，以及一些变化和给出了Vornicu-Schur不等式的等价形式。这个note主要关注的不是应用程序，而是一些可以用Vornicu-Shur不等式证明的不等式作为练习。
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达里杰·格林伯格，安涉及2n个数的不等式（2007年8月22日版本）.
源代码.
本注释的主要结果是以下不等式：
定理1.1。让一个1，一个2,…，一个n个，b个1，b个2,…，bn个成为2n个现实。假设求和{1≤i<j≤n}a我一j个≥0或sum{1≤i<j≤n}b我b条j个≥ 0. 然后，
（总和{1≤i≤n，1≤j≤n，i\neqj}a我b条j个)2≥4sum{1≤i<j≤n}a我一j个总和{1≤i<j≤n}b我b条j个.
这个结果可以从Aczel不等式（Cauchy-Schwarz的许多变体），或更直接地验证通过代数运算。它出现在第39个南斯拉夫联邦1998年数学竞赛第三和第四题第一题等级，但以较弱的形式（reals a1,一2。。。，一n个，b个1，b个2。。。，b条n个被要求非负，而我们只需要sum{1≤i<j≤n}一我一j个≥0或sum{1≤i<j≤n}b条我b条j个≥ 0).
在证明定理1.1之后，我们应用它来建立一些不等式，包括Walther的n-数推广贾努斯
a/（b+c）·（v+w）+b/（c+a）·（w+u）+c/（a+b）·（u+v）≥sqrt（3（vw+wu+uv））≥3（vw+wu+uv）/（u+v+w）。
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达里杰·格林伯格，数学时间问题建议#1（含解决方案）（2010年12月5日版本）.
源代码.
让x1，x个2。。。，x个n个是实数这样x1+x个2+ ... + x个n个=1和这样x我<1表示{1,2，…，n}中的每一个i。证明这一点
和{1≤i<j≤n}x我x个j个/（（1-x我)（1-x个j个))≥n/（2（n-1））。
[注意，我们不需要x1，x个2。。。，x个n个如果不是消极的，问题会简单得多。]
