12.1什么是chebfun2？
Chebfun2是Chebfun的一部分，它处理矩形$[a，b]\times[c，d]$上定义的两个变量的函数。就像1D中的Chebfun一样，它是一个非常方便的工具，用于各种计算，包括代数操作、优化、积分和寻根。它还扩展到两个变量的向量值函数，因此可以执行向量演算。
例如，这里有一个测试函数，多年来一直是MATLAB的一部分。MATLAB通过$49乘以49$矩阵表示“峰值”函数：
峰值
z=3*（1-x）^2.*经验（-（x.^2）-（y+1）^2) ... -10*（x/5-x.^3-y.^5）.*导出（-x.^2-y.^2）。。。-1/3*经验（-（x+1））^2年^2）
chebfun2库中的chebfun2中也提供了相同的功能：
f=厨房2（“峰值”）；图（f），轴紧，标题（‘Chebfun2 Peaks’）
在Chebfun中，我们可以用函数做各种高精度的事情，比如评估函数
f（0.5,0.5）
安=0.375375578848315
或者计算它们的最大值，
最大值2（f）
安=8.106213589442337
chebfun2是一个MATLAB对象，它是chebfun的2D模拟。chebfun2对象的语法与MATLAB中矩阵的语法类似，并且Chebfun 2对象有许多MATLAB命令过载。例如，迹线（A）返回矩阵$a$和迹线（f）当$f$是chebfun2时，返回$f（x，x）$的积分。
Chebfun2基于Chebfun的单变量表示和算法。算法细节见[Townsend&Trefethen 2013b]，数学基础见[Town send&TRefethen2014]。有关更多信息，请参阅第12.8节。
12.2什么是chebfun2v？
Chebfun2可以表示标量值函数，比如$\exp（x+y）$，以及向量值函数，例如$[\exp[x+y]；\cos（x-y）]$。向量值函数被称为chebfun2v，而chebfun2v对象对于向量微积分的计算很有用。有关chebfun2v对象和向量演算的信息，请参阅本指南第15章和第16章。
12.3构建chebfun2对象
可以通过向chebfun2构造函数提供双变量函数句柄或字符串来构造chebfun2.默认的矩形域是$[-1,1]\times[-1,1]$。（第6节给出了一个显示如何指定不同域的示例。）例如，这里我们构造并绘制了一个chebfun2，表示$[-1,1]\times[-1,1]$上的$\cos（2\pi xy）$。
f=chebfun2（@（x，y）cos（2*pi*x.*y））；
我们也可以先为变量$x$和$y$构造chebfun2对象，然后根据这些对象计算$f$：
x=chebfun2（@（x，y）x）；y=chebfun2（@（x，y）y）；f=cos（2*pi*x.*y）；
还有一条捷径cheb.xy公司构造这些对象x个和年，所以我们也可以执行
cheb.xy公司f=cos（2*pi*x.*y）；
下面是$f$的图：
图（f），zlim（[-2 2]）
随着情节，也有命令轮廓和冲浪用于显示chebfun2。下面是$f$的等高线图：
轮廓（f），轴方形
第8.8节讨论了一种求代表$f$的近似值秩的方法，如下所示：
长度（f）
安=11
或者，通过显示chebfun2对象可以提供更多信息：
（f）
（f）=chebfun2对象域排名角点值[1，1]x[-1，1]11[1 1 1]垂直比例=1
角值是按$（-1，-1）$、$（-1，1）$、$（1，1）$、$（1，-1）$和$（1，1）$顺序排列的chebfun2的值。垂直标尺用于操作，以接近相对于该数字的机器精度。
12.4基本操作
一旦我们有了chebfun2，我们就可以计算诸如其定二重积分之类的量：
总和2（f）
安=0.902823333580281
这很好地匹配了微积分得到的精确答案，即$（2/\pi）\hbox{Si}（2\pi）$：
精确=0.9028233335802806267957003779
精确=0.902823333580281
我们还可以在点$（x，y）$或沿直线计算chebfun2。当沿着一行进行求值时，会返回chebfun，因为答案是一个变量的函数。
评估点：
x=2*rand-1；y=2*rand-1；f（x，y）
安=-0.997677434419261
沿直线$y=\pi/6$进行评估：
f（：，pi/6）
安=chebfun行（1个平滑块）间隔长度端点值[ -1, 1] 23 -0.99 -0.99 垂直比例=1
还有很多其他可能感兴趣的问题。例如，$f（x，y）-.95$的零轮廓是什么？
r=根（f-.95）；绘图（r），轴（[-1 1-1 1]）轴方形，标题（“f-.95的零轮廓”）
什么是偏导数$\偏f/\偏y$？
fy=差异（f，1,1）；绘图（fy）
的语法差异命令可能会导致混淆，因为我们遵循MATLAB中的矩阵语法。Chebfun2还提供了更容易记住的diffx（f，k）和差异（f，k），分别针对第一和第二个变量区分$f（x，y）$$k$次。
$f$对$[-1,1]\乘以[-1,1]$的平均值是多少？
平均2（f）
安=0.225705833395070
12.5 Chebfun2方法
有100多种方法可以应用于chebfun2对象。对于完整列表类型：
chebfun2方法
chebfun2类的方法：腹肌horzcat颤动3biharm imag秩双调和积分cdr积分2实数chebcoeffs2是PeriodicTech限制chebfun2是空根chebpolyplot等于根0chebpolyplot2以色列根2月19日chebpolyval2是零根清理乔尔·雅各宾根系数2 lap rootsnew复拉普拉斯样本组成ldivide样本测试联合长度简化构造函数日志sin轮廓lu singleSignTest轮廓最大sinhcos max2大小cosh平均sph2cartctranspose表示2个球体cumprod中位数sqrt积云网挤压cumsum2最小标准值dblquad min2标准2诊断最小值和最大值2子参考差异最小和最大2和diffx减去总和2diffy mldivide摘要磁盘判别mrdivide surfdisp mtimes曲面显示规范表面ea域检查规范化数据透视svddomainarea normalizeRowsAndCols棕褐色eig枢轴图和椭球枢轴tanh结束绘图时间exp plotcoeffs跟踪解释plotcoeffs2转置发烧加铝费瓦尔姆pol2cart uplusflipdim poldec vertcat公司触发器电位伏flipud功率vscale弗雷德·普德瀑布获取qr梯度四边形梯度颤动静态方法：chebpts2 paduaVals2coefs系数2 vals poisson外部产品价值2
这些命令大多已从MATLAB中过载。有关Chebfun2命令的更多信息，请访问帮助:
帮助chebfun2/max2
MAX2 CHEBFUN2的全局最大值。Y=MAX2（F）返回其域上F的全局最大值。[Y，X]=MAX2（F）返回Y及其位置X的全局最大值。如果安装了OPTIMIZATION TOOLBOX，此命令可能会更快。另请参见MIN2、MINANDMAX2。
12.6 chebfun2对象的组成
通过使用以下操作组合现有chebfun2对象，可以从中构造新的chebfun 2对象+,-,.*、和^例如，
x=chebfun2（@（x，y）x，[-44-22]）；y=chebfun2（@（x，y）y，[-44-22]）；f=1./（2+cos（.25+x.^2.*y+y^2））；轮廓（f），轴相等
12.7分析功能
分析函数$f（z）$可以被认为是两个实变量的复值函数，$f（x，y）=f（x+iy）$。如果Chebfun2构造函数被赋予一个带有一个参数的匿名函数，它会假定该参数是一个复杂变量。例如，
f=chebfun2（@（z）sin（z））；f（1+1i），sin（1+1 i）
安=1.298457581415977+0.634963914784736i安=1.298457581415977+0.634963914784736i
这些功能可以通过使用称为相图的技术进行可视化。给定复数$z＝re^｛i \ theta｝$，相位$e ^｛i \ theta｝$可以用颜色表示。我们遵循Wegert的颜色建议【Wegert 2012年】，相位$i$使用红色，相位沿单位圆顺时针移动时使用黄色、绿色、蓝色和紫色。例如，
f=chebfun2（@（z）sin（z）-sinh（z），2*pi*[-1 1-11]）；绘图（f）
分析函数的许多性质可以通过这些类型的图来直观化，例如零点的位置及其重数。你能从这个图中计算出$z=0$处根的重数吗？再举一个例子，试试厨房2（“航空综合体”）.
由于Chebfun2仅代表平滑函数，因此需要一个技巧来为带极点的函数绘制这样的图片【Trefethen 2013年】。对于具有分支点或基本奇点的函数，目前无法在Chebfun2中绘制相位图。
12.8 Chebfun2低阶近似
Chebfun2利用了一个观察结果，即两个变量的许多函数可以用低秩近似很好地逼近。排名$1$函数，也称为可分离的的形式为$u（y）v（x）$，秩$k$函数是可以写为$k$rank$1$函数之和的函数。光滑函数往往被低阶函数很好地逼近。Chebfun2通过一种算法自动确定低秩函数近似值，该算法可视为高斯消去的迭代应用，具有完整的旋转[Townsend&Trefethen 2013]。基本功能表示与Carvajal、Chapman和Geddes【Carvajal、Chapmin和Geddess 2008】以及其他人的工作有关，包括Bebendorf【Bebendor 2008】、Hackbusch、Khoromskij、Oseledets和Tyrtyshnikov。关于低级别陈述的更多方面，请参见【Trefethen 2017年】和【Beckermann和Townsend 2019年】。
以下是改编自【Townsend&Trefethen 2013】和厨师厨房2（“吸烟”）函数$$f（x，y）=\exp（-40（x^2-xy+2y^2-1/2）^2）$$在单位正方形中具有椭圆环的形状，Chebfun2通过合理的高阶近似表示它：
ff=@（x，y）exp（-40*（x.^2-x.*y+2*y.2-1/2）^2);f=chebfun2（ff）；水平=0.1:0.1:0.9；轮廓（f，水平），轴（[-1 1-1 1]），轴方形标题（['rank'int2str（长度（f））]，'fontsize'，12）
为了说明低秩近似的性质，而不是让Chebfun2自适应地确定秩，我们可以强制它取秩$1,2，\点，9$。以下是在$0.2,0.4,0.6,0.8$高度处用黑色液位曲线绘制的结果：
水平=0.2:0.2:0.8；clf公司对于k=1:9轴（“位置”，[0.33+.33*mod（k-1,3）.67-.3*floor（（k-1）/3）.28.28]）轮廓（chebfun2（ff，k），标高，‘k’）xlim（[-1 1]），轴相等，轴关闭结束
对于该功能，“绘图精度”大约达到16级；剩下的术语则需要从2-3位数字变为15位。
12.9参考文献
[Bebendorf2008]M.Bebendorf，层次矩阵：有效解决椭圆边值问题的方法，施普林格出版社，2008年。
[Beckermann&Townsend 2019]“位移结构矩阵奇异值的界”，SIAM修订版。61 (2019), 319--344.
【Carvajal，Chapman，&Geddes，2008年】O.A.Carvajal，F.W.Chapman和K.O.Geddes《通过张量积级数实现多维混合符号-数字集成》，ISSAC’05会议记录M.Kauers主编，ACM出版社，2005年，84-91。
【Townsend&Trefethen 2013年】A.Townsen和L.N.Trefethern，“高斯消去作为迭代算法”，SIAM新闻2013年3月。
[Townsend&Trefethen 2013b]A.Townsen和L.N.Trefethern，“Chebfun到二维的延伸”，SIAM科学计算杂志，35（2013），C495-C518。
[Townsend&Trefethen 2014]A.Townsen和L.N.Trefethern，“矩阵分解的连续类似物”，英国皇家学会会刊A471 (2014) 20140585.
【Trefethen 2013】L.N.Trefethern，“带极点功能的相位图”，http://www.chebfun.org/examples/complex/PortraitsWithPoles.html.
[Trefethen 2017]L.N.Trefetchen，“超立方体中的体积、近似和各向同性”，SIAM修订版。59 (2017), 469--491.
【Wegert 2012】E.Wegert，视觉复杂函数：相图简介，Birkhauser/Springer，2012年。
