这个原始版本以下文章的第一篇发表于几何再研究在斯沃斯莫尔数学论坛在里面1998年4月。

第一部分：帕斯卡四面体

从中心向外聚集等半径球体同心立方八面体层中的球体产生各向同性巴洛包装通常称为面心立方或fcc。包装包括用于堆叠炮弹的四面体排列，称为在美国内战时期，一些人用“黄铜猴子”，通常用于杂货店的水果包装。核球体，加上层在立方八面体的8个三角面中的一个面上，定义了一个四面体填料。

这种包装是三角形钉板的体积模拟，有时在柏青哥游戏中用来引导落球，Pascal三角形描述了给定桩的“路径数”可能达到，“多少”=“结束的可能性某处’——结果是高斯分布或钟形曲线。

11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1

出于同样的原因，四面体填料，带有一个轴向入口指向底角，每个钉有3个选择定义了可数路径的“帕斯卡四面体”，又是一种峰值状的统计结果。

1     1     1        1          11 1   2 2      3 3       4  41 2 1    3 6 3     6 12 61 3 3 1   4 12 12 41 4  6  4 1

帕斯卡的四面体也描述了金刚石的结构晶体中，碳原子排列成堆叠的四面体。

fcc钉板的另一个特点是任何四个不在同一平面上的桩定义了整数的四面体体积，相对于四个封闭的单位四面体fcc球体。这对于倾斜和规则都适用四面体。

如果球体具有单位半径，则每个球体中心为距离12个周围中心2，但这2也=1间隔或1直径，因此单位体积四面体也是1x1x1或1^3的模型，以间隔测量。

1,3,6,10…球体的连续分层（如帕斯卡四面体）沿边，其体积分别为1^3、2^3、3^3…，表明体积相对于线性的第三次幂增长率距离增加。三角形同样可以用于模型2供电；我们可以说，不是“平方”和“立方”“三角剖分”和“四面体剖分”。

四面体的体积，由四面体的单位体积tet校准1间隔边，可以使用类似于一个由Euler获得：作为输入。

参考文献：

• 乌尔纳，查科。帕斯卡四面体
• 帕斯卡三角形还是帕斯卡四面体？作者：Jim纽金特
• 斯内尔森。《原子肖像》中的钻石图案
• 查科，格雷、德容、乌纳。完整编号的fcc Tets。
• 富勒。三角形和Tet作为第二和第三电源模型。
• 判定元件郑大世。升华定理。
• 数学论坛帕斯卡三角页面
• 关于：使用Python的Pascal三角
• 厄纳关于二项式定理。

第二部分：八角桁架

每1个周围12个球体的最各向同性Barlow填充在立方八面体构造中，作为探索的基础结晶学中。被视为边缘的骨架排列，全长2和互连相邻单位半径球体中心，我们得到了一个被工程师们称为octet-trus的空间框架。亚历山大·格雷厄姆·贝尔是最早研究八隅病毒的人之一大约1907年，因为其与大型结构物的相关性，例如塔楼和巨大的风筝。Fuller在他的几何研究，将其命名为各向同性向量矩阵。

八面体桁架定义四面体和八面体空隙，是许多前者的体积比分别为1:4。A类第二个八边形桁架通过将所有八边形构架居中来贯穿第一个八面体空隙上的顶点。第三个和第四个占了一半每个四面体空隙。

四个桁架可以成对出现两组顶点以立方体模式排列，ala XYZ，其中一组具有顶点在对方立方体的中心。这种模式被称为体心立方结晶学中的bcc。

开普勒曾发现，fcc晶格中的球体可能膨胀成菱形十二面体，从而填充所有空隙。八隅桁架是一个骨架空间框架所有边缘垂直于菱形刻面。内嵌的球体菱形十二烷基在这些面部中心“亲吻”。

菱形十二面体的14个顶点占据了围绕任何fcc球体的8个四面体和6个八面体空洞。它相对于四面体的体积是6，因此提供同心层次结构的开始：

形状体积-----            ------四面体1立方体3八面体4Rh十二面体6立方八面体20表1：同心等级

第三卷立方体上刻着菱形的短对角线十二面体和运行在一对八面体桁架之间四面体空洞的互补集。

第4卷八面体刻为菱形十二面体并定义第四个八面体的顶点与第一个桁架配对，即菱形定义的桁架十二面体中心。

上述同心层次结构形状可能全部断开为“公约数”模，其最小集合由A和B模型，左右不规则四面体镜像版本（或内部版本），两个卷1/24。

左右A模加上任意一只手的B模，构成一个体积1/8的最小四面体空间填充器或MITE。所有MITE（MInimum TEtrahedra）外观相同且可互换，不管B的内部惯用手。八个MITE构成一个第1卷的耦合器，另一个太空望远镜。我们的更完整层次结构现在如下所示：

形状体积-----            ------A模块1/24B模块1/24螨类1/8连接器1四面体1立方体3八面体4Rh十二面体6立方八面体20表2：同心等级

工具书类

• 儿童,楚晶格化学和结晶学。
• 勒布。对协同学的贡献（第一卷打印，麦克米伦）
• 富勒，乌纳。同心层次。
• 亚力山大格雷厄姆·贝尔。八月份。
• DeVarco开启开普勒和菱形十二面体。
• 富勒、霍金斯、乌尔纳。A和B模块、MITE、耦合器。[1][2]

第三部分：Jitterbug

20体积的立方八面体嵌入fcc晶格中由围绕核球体的12个单位半径球体定义。被视为带有柔性接头的线框，它会扭曲收缩以顺时针或逆时针方向沿着其正方形面的对角线的顶点对更近一起。当所有边的长度为2时，生成的二十面体相对于20的立方八面体，体积约为18.51。

这种转变至少在牛顿时代就已为人所知在20世纪，富勒（Fuller）将其推广开来称之为“吉特巴”，并继续收缩至八面体相及以上。吉特巴构成了一个有用的桥梁在2.3.4倍对称晶格形状和2.3.5倍对称晶格之间非周期构象的对称世界。

jitterbug转换可以使用打击，用于构建的Java应用程序使用在受力时按指数方向推拉的边的结构远离预定义的静止长度。STRUCK还允许设置边缘平滑地改变其静止长度，如吉特巴的这个例子，其中的对角线立方八面体的六个正方形面从2 x根（2）变为2（和以八相位前进至零）。STRUCK可以选择连续写入用于光线追踪和电影制作的POV格式动画帧目的。

fcc立方八面体是fcc多面体的一个子类（具有与fcc封装中球体中心对齐的顶点）已知作为Waterman多面体。Waterman多面体是那些凸壳由所有与公共fcc等距的fcc顶点组成中心。因为所有这些形状都可能是四面体的，我们知道它们的体积将是相对于我们单位体积的整数四个fcc球体的四面体。Erickson使用STRUCK和波夫雷虽然Russell Towle，另一位几何学家-探险家（也是波夫雷爱好者），雇佣数学软件以可视化这些形状。

尽管五重世界是非周期性的，但其组成部分多面体仍然易于模块化。各种方案存在，其中最巧妙的是科斯基的科斯基mods源于黄金长方体，一块边缘为phi、1和1/φ。这三条边加上不同的面部和身体对角线一组7个长度，其中任意6个可以用于四面体。鉴于这些基本量杯，Koski允许每个量杯生长或通过φ的幂收缩，发现五倍形状都有这类模和的代数和几何等价性。

一些五重对称形状，30面菱形例如，三面体可以紧密地收缩单位半径的fcc球体，开普勒的四重对称球体菱形十二面体。关于收缩包装的有趣事实菱形三面体的体积是多少精确到5。通过将其单位半径缩小一根头发（~0.0005），我们可以使其120个T型模块中的每个模块的体积精确到5/120或1/24，与上面讨论的A和B模块相同——A将这个五重对称形状拟合到我们的不断增长的同心层次结构。

T-mod也是主要的Koski mod，他递归地可分解为越来越小的phi-scaled版本它本身，一直到他那武断的小“剩余的tets”。

形状体积-----               ------A模块1/24B模块1/24T模块1/24螨类1/8连接器1四面体1立方体3八面体4Rh三contahedron 5Rh十二面体6二十面体18.51。。。立方八面体20表3：同心等级

考虑到上述同心层次结构，几何专业的学生可以看到一个八进制桁架，并叠加一个容易记忆的缩放形状系统。四重和五重对称构件用桥接变换表示，并且是同心的并按等级排列。许多形状也是双重的成对，然后可以将这些成对组合在一起以形成其他形状。例如，立方体和八面体是对偶的，并结合起来给出菱形十二面体。

鉴于fcc填料与八角形桁架和同心层次结构的易于记忆的卷，这门课程的要点很可能会归结为较低的等级，以便以上所有内容都以某种形式出现一个平均14岁的孩子就可以使用。使用电视、互联网和电影，应该可以传达这个初级水平向相当大的全球受众快速提供信息。我们希望在1998年底前完成或顺利开展这项工作。

参考文献：

• 实施Beyond Flatland课程
• 设计科学玩具
• 埃里克森谈沃特曼多面体。Synergetics-L归档参考网站
• 罗素Towle重现荷兰公寓的历史
• 德容。打击。
• 埃里克森。SpringSpace。
• 科斯基。五重形状模块化w/phi尺度长方体tets[1] [2] [三]
• 乌纳·格里普·基特里克·富勒。第5卷RT[1] [2] [三]
• 斯内尔森论张力
• 乌纳·富勒。同心层次。
• 乌纳。使用STRUCK和Povray制作Jitterbug动画。
• 霍金斯。颤抖虫全球金融论坛。
• 富勒、苹果白、格雷。协同学（网络版）
• 雄鹿。双重和双重组合。
• 埃里克森。Duals和其他STRUCK动画。
• 1998数学改造活动

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