非等间距双曲交叉快速傅立叶变换
让一个空间维度d日∈ ℕ和精致n个∈ ℕ0给出。双曲线十字H(H)n个d日和稀疏网格S公司n个d日由提供所以我们有|H(H)n个d日| = |S公司n个d日| ≤c(c)d日2n个n个d-1日.我们表示为T型d日 ≅[0,1)d日这个d日-维度的环面,考虑傅里叶级数ƒ:T型d日→ ℂ并将频域限制为双曲线交叉。
我们的目标是快速近似计算d变量三角多项式位于个节点x个j个∈T型d日, j个= 0,…,M(M)- 1.
图1:双曲线交叉,稀疏网格(维度2,细化5),任意采样节点T型2,和非混叠秩-1晶格
算法 |
计算复杂性 |
FFT与2dn(数字网络) 频率/节点 |
c(c)2dn(数字网络)dn(数字网络) |
HCFFT公司 |
c(c)d日2n个n个d日 |
NHCDFT公司 |
c(c)d日22n个n个2d日-2 |
NHCFFT公司 |
c(c)d日2n个n个2d日-2(|对数ε|d日+日志d日n个) |
左侧CFFT |
c(c)(M(M)日志M(M)+ |H(H)n个d日|) |
稀疏网格节点上三角多项式的有效计算x个j个∈S公司n个d日, j个= 0,…,|S公司n个d日| - 1,称为双曲交叉快速傅里叶变换(HCFFT),并从稀疏网格节点处的样本逆HCFFT重建双曲交叉上的傅里叶系数。这两种变换都可以在中计算c(c)d日2n个n个d日浮点运算。
对于任意采样节点x个j个∈T型d日, j个=0时,…,M(M)- 1,和M(M)=============================================================|S公司n个d日|,三角多项式ƒ的天真估计被称为非等空间双曲交叉离散傅立叶变换(NHCDFT),并取c(c)d日22n个n个2d日-2浮点运算。这种复杂性可以提高到c(c)d日2n个n个2d日-2(|对数ε|d日+日志d日n个)通过下文第一稿中概述的近似方案(NHCFFT)。
在节点处计算多元三角多项式x个j个=j个z(z)/M(M)国防部1, j个= 0,…,M(M)- 1, z(z)∈ ℕd日, M(M)∈ ℕ,对于秩为1的晶格,只需计算一维FFT如果秩-1晶格允许从样本值精确重建傅里叶系数,我们称其为非混叠晶格。与HCFFT的数值稳定性相比,这种基于格点的双曲交叉快速傅里叶变换(LHCFFT)实现起来非常简单c(c)(M(M)日志M(M)+ |H(H)n个d日|)浮点运算。注意这里的常数与d日.
- Döhler,M.、Kunis,S.和Potts,D。
非等间距双曲交叉快速傅里叶变换
SIAM J.数字。分析。47, 4415-4428, 2010. (全文pdf格式)
- Kämmerer,L.和Kunis,S。
双曲交叉离散傅里叶变换的稳定性
数字。数学。117581-6002011。(全文pdf格式)
- Kämmerer,L.、Kunis,S.和Potts,D。
双曲交叉三角多项式的插值格
《复杂性杂志》第28期,第76-92页,2012年。(全文pdf格式)
- 卡默勒,L。
沿生成集采样重建双曲交叉三角多项式
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