W

威尔·尼科尔斯

素签名的迭代映射

也许在二维网格中排列所有正整数的最优雅的方式是配对函数。在网格的起始角放置1,然后用对角线条纹填充网格:在第一条条纹中填充2和3,在第二条中填充4-6,依此类推。

下表中填写了前几个对角线:

表1

12456789
116101521283645
22591420273544
481319263443
471218253342
51117243241
616233140
7223039
82938
937

 

列、行和交叉对角线是很容易计算的整数序列,其中许多出现在整数序列的在线百科全书中。1

在二维网格中排列(几乎)所有正整数的另一种方法是排列网格,使每列都包含给定的所有数字主签名。在这个网格中,第一列将包含所有质数,第二列将包含质数的平方,依此类推。

这是一个部分素数签名表:2

表S

p p2p pp2p4ppr p5
{1}{2}{1,1}{3}{1,2}{_4_}_{1,3}{1,1,1}{5}
12456789
124681216243032
29102718814042
525141252062554
474915343282401
51112121133144
613169222197
71728926
819361
923

 

这两个表之间的一个关键区别是表S不包括数字1。这是因为第一列以第一列开头质数包含素数签名,例如{1}。数字1不包含任何素数因子,它本身将位于列中,因为没有其他正整数没有素数因子。

除了表S中缺少的1之外,两个表都只包含一次正整数。

 

交叉映射

类似于用于创建元素数二进制序列二进制编码素数签名序列,我们可以使用两个表重复地将一个整数“编码”到它的表1坐标对中,然后使用同一个坐标对“解码”表S中的数字。

让我们从数字1开始。在表1中,我们看到它的坐标是行1,列1。转到表S,我们看到占据第1行的数字,第1列是数字2。

让我们拿着“2”回到表1。它的坐标是第2行,第1列。转到表S,我们看到占据第2行的数字,第1列是“3”

到目前为止,我们的顺序是这样的:1,2,3。。。

通过重复这个过程,我们将看到序列构建为1、2、3、4、5、9、10、8、25、343、3969、13090、73344和77398016。

表1[行,列]表S
1[1,1]2
2[2,2]
[1,2]4
4[3,1]5
5[2,2]9
9[2,3]10
10[1,4]8
8[3,2]25
25[4,4]343
343[9,18]3969
3969[53,37]13090
13090[114,49]73344
73344[193191年]77398016
77398016[98882555]?

一旦我们到达77398016,行和列的编号都非常大,因此需要进行一些数字运算,才能确定表S中的那个位置上有哪些数字。

让我们尝试一个新的序列。前一个序列中没有出现的最小正整数是6,所以让我们从这个开始。

表1[行,列]表S
6[1,3]6

在本例中,我们的数字(6)位于两个表中的同一个位置,因此该序列只是一个无限的六进制序列。其他的数字映射到自己,从而创造出永远重复的序列是7,11,132和568。(这些似乎是唯一一个映射到自身的小于10000的数字。)

下面是我们将遇到的前几个序列的表,按序列中最低的编号排列(标记为“Seq”的列)对于已知的重复序列,“术语”列显示周期;否则,将显示到目前为止找到的术语数。

顺序。表1顺序条款类型
1邮编:A1792231,2,3,4,5,9,10,8,25,343,3969,13090,73344,77398016?>14不重复
66,6。。。1重复
77,7。。。1重复
1111,11。。。1重复
12?, 2303734、8133、1172、3744、295、468、94、39、26、20、18、15、12、49、4913、16312, ?>16?
13邮编:A179224?, 200662、4691、8520、1183、904、191、71、52、56、31、22、17、121、53、66、48、33、28、24、21、16、13、14、27、81、38、361、3844、2392、10032、3910、20790?>32个?
19?, 1576212、18531、669、119、108、46、29、19、125、76、196、4879681、?>十二?
23?, 85492、2851383、172、67、37、23、169、264、567、141158161?>十一?
30?, 14199,562,139,55,36,30,289,2565726409?>八?
32?, 61779、1226、229、300、256、74、78、60、50、45、32、1331、388、4225、25110, ?>十五?
34?, 23437、1327、239、174、58、34、625、1632、1288408?>九?
35?, 38229951325、288234、69、35、40、219740336?>10个?

除了包含6、7和11的重复序列外,我们唯一能明确看到其类型的序列是序列1。我们知道这必须无限期地继续下去:它不能循环回“1”,因为表S中没有“1”可供它循环回。

一旦发现足够的术语,所示出的其它序列可以被显示为重复,或者它们实际上可以被显示为非重复序列的一部分,即序列1。序列1可以被证明是唯一一个有明确起点但没有终点的序列:所有其他序列要么循环回自己,要么在两个方向上永远继续,因为1是一个表中的唯一数字,而不是另一个表中的数字。

下面是表1,用颜色表示哪些数字属于上述序列:

表1-按顺序着色

12456789
116101521283645
22591420273544
481319263443
471218253342
51117243241
616233140
7223039
82938
937

 

表1的变化

我们可以通过多种方法重新排列表1,以了解交叉映射的不同之处。

最简单的方法是简单地切换行和列,如下所示:

表1A

12456789
112471116222937
2581217233038
691318243139
4101419253240
51520263341
621273442
7283543
83644
945

让我们在表1A和表s之间进行相同的交叉映射,就像我们在上面的表1和表s中所做的那样。

从数字1开始,我们看到它的表1A坐标是第1行,第1列。转到表S,我们看到占据第1行的数字,第1列是数字2。

取“2”并返回表1A重复该过程,我们看到序列构建为1、2、4、6、5、9、25、343和844596301。

表1A[行,列]表S
1[1,1]2
2[2,2]4
4[1,3]6
6[3,1]5
5[2,2]9
9[3,2]25
25[4,4]343
343[18,9]844596301
844596301[1185129250]?

和以前一样,我们得到一个带有坐标的数字(本例中是844596301),它需要一些数字运算来确定序列中的下一个项。4

让我们尝试一个新的序列。前一个序列中没有出现的最小正整数是3,所以让我们从这个开始。

表1A[行,列]表S
[2,1]

看起来3给了我们另一个重复的序列,由一个无限的三个序列组成。(在表1A到表S的映射中重复的其他数字是16,可以在两个表的第1行第6列找到,1416可以在第38行第16列找到。)

下一个未使用的数字是7,所以让我们用它来开始一个序列。

表1[行,列]表S
7[1,4]8
8[2,3]10
10[4,1]7

在这个例子中,序列循环回到它的开始:7,8,10,7。。。

与我们发现的其他重复序列不同,这个序列的周期是3,而不是1。

下面是我们在表1A/S交叉映射中遇到的前几个序列的表:

顺序。表1A序列条款类型
1邮编:A1792251,2,4,6,5,9,25,343,844596301?>九不重复
3,3。。。1重复
77,8,10,7。。。重复
11邮编:A179226?, 1927639、48828、2069、735、664、118、46、36、19、15、11、12、27、169、57、100、279841?>17?
13?, 3126248、9589、469、780、167、98、105、43、26、21、13、14、49、56、48、66、31、625、163047361?>十九?
1616,16。。。1重复
17?, 1069453、12239、1066、1128、211、210、71、78、37、32、28、17、18、125、132、76、35、289、234、448、8464、21977344?>22个?
20?, 13989、93096、3001、253、79、64、34、22、24、20、121、120、47、243、496、127、676、1140、23716、913680?>20个?
23?, 34714、901、134、51、45、23、81、112、1419857?>九?
29?, 37675、1759、666、151、55、29、30、40、2401、6752、10290、3773、36800、1319936?>14?
33?, 1228517、16460、1953、293、186、99、136、53、33、1331、5292、19530、10317, ?>十三?

下面是表1A,用颜色表示哪些数字属于上述序列:

表1A-按顺序着色

12456789
112471116222937
2581217233038
691318243139
4101419253240
51520263341
621273442
7283543
83644
945

 

开放式问题

以下是关于这些序列的一些开放性问题:

  • 如果序列扩展到足够远的程度,显示的序列(如果有)将连接到其他序列?
  • 具体地说,所示序列中的任何一个最终都与1相连?
  • 还有哪些重复序列?有没有周期不是1或3的?(已发现不少于10000个。)

 

以0开头的表

有许多其他方法可以修改表1和1A,以产生不同的交叉映射序列集。

例如,这些表可以以0开头,而不是以整数1开头。这里有两个版本的从零开始的表,颜色如上所示(序列本身如下)

表0

12456789
102591420273544
21481319263443
71218253342
461117243241
51016233140
615223039
7212938
82837
936

 
顺序。表0序列条款类型
0邮编:A179219九、九、九、九、九、九、九、九、九?>十三不重复
1邮编:A1792201、3、5、6、7、25、20、16、121、2209、5460、571、1136、154963892093、?>14不重复
1212,14,12。。。2重复
13?, 21530、707、268、408、91、43、42、54、36、23、21、17、15、13、27、24、343、612、15376?>十九?
18?, 236162810177、3296035、14035、1130、155、57、34、40、44、32、28、19、18、125、923521?>十五?
22?, 1064380593、204482、2285、498、95、68、35、30、22、169、2187、52200625、?>十二?
26?, 153624163、88417、2630、235、124、76、80、38、26、81、24389、686016?>十二?
31?, 55161764、567656、11175、863、134、160、138、55、31、1331、1982119441、?>十一?
33?, 36795335、34991、2852、249、396、700、1560、1722、666、157、98、105、47、33、625、2357947691?>16?
7272,104,72。。。2重复

 

表0A

12456789
10161015212836
22471116222937
581217233038
491318243139
51419253240
620263341
7273442
83543
944

 
顺序。表0A序列条款类型
0邮编:A1792210,2,3,6,8,25,21,24,343,195,486,5929,35568,1450800?>14不重复
1邮编:A1792221,4,9,7,10,12,14,11,27,17,125,208,4489,42588?>14不重复
55,5。。。1重复
13?, 13104637、20285、5560、925、1254、1430、241、220、464、113、152、59、88、38,54、29、40、44、23、20、13、49、14641、33930、691200?>25?
1515,16,18,15。。。重复
19?, 20253402、135980、3733、627、115、75、35、19、121、160、304、510、9801、181888?>14?
22?, 655310498、808348、7257、398、230、73、52、33、22、81、225、7890481?>十二?
26?, 8490804138、607711、116865、10582、489、488、246、297、77、37、42、26、169、3481、711、2080、4620?>17?
28?, 4121366627、1577975、15217、1173、155、264、228、65、31、28、30、625、244、147008443?>14?
32?, 385517029、321991、8380、1175、223、170、61、50、45、36、32、1331、91125、72115879936?>14?

 

此外,下面的每个数字都映射到表0A中的自身映射。

表0A&S[行,列]
120[1,16]
198[9,12]
210[1,21]
1160[33,16]
6544[104,11]

请注意,表0和表0A的映射序列都包含两个具有起始项但没有结束项的序列:一个从0开始,另一个从1开始。

 

以2开头的表格

我们可以将表1和1A调整为从2开始,而不是从0或1开始。这样,这些表将具有与表S相同的整数:所有大于1的正整数。如上所述,这些数字已经过彩色处理,以匹配下面列出的序列。

表2

12456789
1247111622293746
26101521283645
591420273544
481319263443
51218253342
617243241
7233140
83039
938

 
顺序。表2顺序条款类型
22,2。。。1重复
3,3。。。1重复
44,4。。。1重复
55,5。。。1重复
6邮编:A179227?, 46465694290、1468045、6445、382、87、102、441、188、270、408、109、46、32、22、16、12、11、8,7、6、9、25、21、18、121、96、29791、54716, ?>28?
1010,10。。。1重复
13?, 125207413、171441、43960、1037、199、165、304、82、38、23、17、13、49、33、1331、11697083?>16?
1414,14。。。1重复
15?, 108508559、159332、4099、302、97、68、37、30、19、15、27、20、125、68921?>14?
24?, 6310137、19114、679、380、107、47、29、24、169、352、360、222、464、660、19208、54114, ?>16?
26?, 12384468273、2122843、21532、707、122、53、56、36、40、26、343、17249876309、?>十二?
28?, 1424738889、238399、2487、353、103、162、138、59、34、28、81、1369、3420、2295、1752、12744、9424、409536?>十八?
31?, 391314294、139137、3246、668、157、57、31、289、234、5329、514188、?>十一?
35?, 103788027、60391、3668、950、142、92、64、70、35、625、16875、45248、125914, ?>十三?
186186675285186。。。重复
536536,536。。。1重复
12421242,1242。。。1重复

 

表2A

12456789
12581217233038
24691318243139
7101419253240
4111520263341
51621273442
622283543
7293644
83745
946

 
顺序。表2A顺序条款类型
22,2。。。1重复
3,4,3。。。2重复
5A179228号?, 49632504515、1530323、277884、2661、7380、403、172、61、88、63、50、56、29、17、16、11、7、5、6、9、10、25、20、15、49、66、841、328509、528490692608?>30个?
88,8。。。1重复
1212,12。。。1重复
13?, 229133697534、340137、23417、5434、4004、299、77、35、22、13、27、21、121、47、36、289、2565726409?>17?
1414,14。。。1重复
1818,18。。。1重复
19?, 363730887、326002、22785、1426、1048、3080、254、79、37、19、125、117649?>十二?
23?, 17787148956、2220772、11627、514、702、119、46、23、24、81、84、161051?>十二?
26?, 第七十二三四五百七十三五百七十三五百七十三五百六十五百七十三五百六十五百七十三五百六十五百七十三五百九十五百七十三五百六十五百七十三五百六十五百七十三五百六十五百七十三五百九十五百六十五百七十三五百六十五百七十三五百六十五百七十三五百六十五百七十三五百五十六?>17?
28?, 560957413042947191,67,31,40,54,33,28,169103823?>十二?
3030,30。。。1重复
32?, 24981836、75052、12402、527、95、90、38、32、625、584、243087455521、?>十一?
34?, 92704510、270452、99232、5243、1150、1710、194、400、230、65、34、1331、4480、26520、6424482779、?>15?
108108,108。。。1重复
192192,192。。。1重复

 

与表0、0A、1和1A的序列不同,表2和2A没有起始项但没有结束项的序列,因为表2或2A中没有不在表S中的数字(反之亦然)

如果我们要创建以3或更大数字开头的表,我们会找到有结束项(例如2),但没有起始项的序列。

除了简单地更改起始编号之外,还有其他创建类似映射序列的方法:分配编号的不同方法(例如配对函数第页)可以使用。

根据使用的起始数字和数字分布的方式,新类型的序列将出现,例如有限序列,以及重复序列与我们目前所看到的不同的周期。

 

脚注

1表1的第一行包含正的“三角形数字”:1、6、3、10等,这些数字包含在OEIS序列中A000217第一列(1、2、4、7等)构成中心多边形数(A000124号),从左上角开始的对角线(1、5、13等)构成居中的正方形数字(A001844号.)

2A较大的版本表S的也可用,具有300行和160列。

与表1一样,表S中的许多列在OEIS中显示为序列:第一列是质数(A000040号),第二列是素数的平方(A001248号),第三列是平方自由半素数(A006881号)等等。

表S的前两行也显示为OEIS序列:A025487号A077560号分别。从左上角开始的对角线(2、9、14、343等)是顺序的邮编:A178849.

还有一个OEIS序列(A095904号)将表S映射到表0。如果相应地调整了偏移量,它也映射到表1和表2。序列A179216号类似地,将表S映射到表0A、1A和2A。

反向映射也有OEIS序列:邮编:A179217(A095904的逆函数)将表0映射到表S,并且邮编:A179218(A179216的逆函数)将表0A映射到表S。

与本页所述序列相关的OEIS序列的完整列表可在OEIS页面.

我们知道序列中的下一个数字将大于43589145600,即第1行第2555列的值。(在OEIS中显示为第2556行项目扩展表属于A025487号,这与表S的2555列相匹配,因为起始偏移量不同。)因为每列都是从最小到最大排序的,所以在给定的列中,数字随着行号的增加而增加。

4我们知道它会比2×10大得多14,这是第1行第10000列的数字的近似值。由于每列都是从最小到最大排序的,并且在给定的列中,随着行数的增加,我们可以看到第1行第29250列将大于第1行第10000列,而第11851行第29250列将大于第1行第29250列。

 

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