多边形数字

多边形数字

A类多边形数定义为“一种图形数，它是三角形、正方形等数字到任意n边形数的推广。上述图表以图形方式说明了建立多边形数的过程。”(Mathworld.wolfram.com)每个学数学的学生都知道平方数，很多人也知道三角数。但不太常见的是五边形、六边形等变体。

更鲜为人知的是，每种类型的数字都有一个类似的表亲，称为居中多边形数是的，正三角形数字有其相应的“居中”形式。正方形、五边形、六边形等也是如此（见下图）

因此，我们对这些数字的定义是“一个图形数字，其中多边形层以一个点为中心绘制，而不是以一个顶点的点为中心。”(Mathworld.wolfram.com)

关于多边形数，特别是关于正方形和三角形的多边形数，人们已经知道了许多事实和定理。我们无法谈论勾股定理如果不是因为广场，就提一下最著名的例子。当我们关注从1到n个.

在WTM的这一页中，我想做的是提出一些普通学校数学课通常不会涉及的想法，但大多数学生都能很好地理解这些想法。首先，我们将展示规则多边形数和中心多边形数的代数公式，达到很少讨论的程度：30边多边形！

公式
编号共个侧面	常规形式	居中的形式
三	n（n+1）/2	（3纳米²-3n+2）/2
4	n个²	2个²-2n+1
5	n（3n-1）/2	（5个月²-5n+2）/2
6	n（2n-1）	3个²-3n+1
7	n（5n-3）/2	（7个²-7n+2）/2
8	n（3n-2）	4个²-4n+1
9	n（7n-5）/2	（9个²-9n+2）/2
10	n（4n-3）	5个²-5n+1
11	n（9n-7）/2	（11个²-11n+2）/2
12	n（5n-4）	6个²-6n+1
13	n（11n-9）/2	（13亿²-13n+2）/2
14	n（6n-5）	7个²-7n+1
15	n（13n-11）/2	（15个²-15牛顿+2）/2
16	n（7n-6）	8个²-8n+1
17	n（15n-13）/2	（17个²-17n+2）/2
18	n（8n-7）	9个²-9n+1个
19	n（17n-15）/2	（19亿²-19牛顿+2）/2
20	n（9n-8）	10个²-10n+1
21	n（19n-17）/2	（21亿²-21牛顿+2）/2
22	n（10n-9）	11个²-11牛顿+1
23	n（21n-19）/2	（23亿²-23n+2）/2
24	n（11n-10）	12个²-12n+1个
25	n（23n-21）/2	（25个²-25牛顿+2）/2
26	n（12n-11）	13个²-13牛顿+1
27	n（25n-23）/2	（27个²-27n+2）/2
28	n（13n-12）/2	14个²-14牛顿+1
29	n（27n-25）/2	（29亿²-29牛顿+2）/2
30	n（14n-13）	15个²-15牛顿+1

嘿！你看到桌子上的图案了吗？如果你这样做，也许你可以写一个通用公式；然后你可以给出任何公式n个-任意一种类型的正方形数，不使用表格，甚至超过30个边。

现在对于一些数字。。。

我们的下一个图表将为我们提供多边形的一些实际数字，最多可达十边形。

前九个任期
姓名	常规	居中的
三角形	1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...	1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, ...
广场	1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...	1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, ...
五边形的	1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, ...	1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, ...
六边形	1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, ...	1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, ...
七边形的	1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189	1、8、22、43、71、106、148、197、253。。。
八角形的	1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, ...	1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, ...
非正方的	1, 9, 24, 46, 75, 111, 154, 204, 261, ...	1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, ...
十边形的	1、10、27、52、85、126、175、232、297。。。	1, 11, 31, 60, 101, 151, 211, 281, 361, ...

现在我们有了一些数字，我们应该怎么处理它们？如果我可以改写南希·辛纳特拉的一首流行歌曲，这些数字是用来加法的！所以考虑一下。。。

我们再次向数学世界寻求一些重要信息：费马多边形数定理

1638年，费马提出，每个正整数最多是三个三角形数、四个平方数、五个五边形数和n个n-多边形数的和。费马声称有这个结果的证据，尽管费马的证据从未被发现。高斯证明了三角情况，并在1796年7月10日的日记中记录了这一事件，并附有注释

这个小小的神秘符号意味着所有整数都可以表示为三个或更少三角形数的和。下面是一个有趣的示例：

100=91+6+3=T₁₃+T型_三+T型₂

100=55+45=T₁₀+T型₉

这说明，有时一个数字有两种可能性，有3项或2项。很好，嗯？

现在转到正方形的情况。。。费马说过所有整数都可以表示为四个或更少的平方数之和。让我们看看这个例子：

50=49+1=S₇+S公司₁

50=25+25=S₅+S公司₅

50=25+16+9=S₅+S公司₄+S公司_三

50=36+9+4+1=S₆+S公司_三+秒₂+S公司₁

请注意，有带有2、3和4个术语的表达式。因此，产生了一个有趣的想法：给定一个特定的数字，可以找到多少不同的表达式？我要求你对此进行研究并向我汇报。好吗？

再来一次。。。对于五边形，我们最多可以使用五个五边形来表示所有整数。让我们看看数字的情况2002.

2002=1001+1001=P₂₆+P（P）₂₆

2002=1520+477+5=P₃₂+P（P）₁₈+P（P）₂

2002=1820+176+5+1=P₃₅+P（P）₁₁+P（P）₂+P（P）₁

2002年=1717+176+92+12+5=P₃₄+P（P）₁₁+P（P）₈+P（P）_三+P（P）₂

与之前一样，我们已经证明，我们可以通过2-5个任期实现我们的目标。事实上，这样的方法比这里介绍的要多得多。找到所有可能的方法现在更加困难（除非使用计算机程序）。

故事的另一面

到目前为止，我们只使用了正则多边形数。现在让我们看看居中的案例。自然要问的问题是：如上所述，是否存在与费马定理类似的东西？具体来说，是三个CTN(居中三角形数)足以表示所有整数？

回答这个问题的最好方法是从小处做起，逐步向上这是一张1到10之间数字的图表。回想一下，CTN的集合是{1、4、10、19…}。

CTN模拟
不。	表达	不。	表达
1	1	6	4 + 1 + 1
2	1 + 1	7	没有人
三	1+1+1	8	4 + 4
4	4	9	4+4+1
5	4 + 1	10	10

好吧，我想这是对我们问题的回答，不是吗？也没花多长时间。

然而，这让我想起了另一个问题——下一步是什么不可能的数字？

接下来呢？下一个呢？

那么当这个想法扩展到CSN的(居中方形数字)和CPN的(中心五角数)? 当使用这些其他数字集时，不可能的值是什么？还有其他吗？

[记住：在表达式中最多可以使用4个CSN和5个CPN，依此类推。]

特殊数字

当一个人面对一长串数字时，另一个流行的活动是搜索具有特殊特征的数字，如正方形、立方体或回文。让我们首先考虑一下许多数学家的现代宠儿：回文.

处理回文的“所有网站之母”无疑是世界！数字的总数由Patrick De Geest编辑。在他的网站上，你可以找到对回文的广泛处理三角形数、和正方形同样。事实上，他为五边形的达到非正方的。我们衷心鼓励您访问该网站；你的时间和努力将得到应有的回报。

然而，在那里找到的所有数据都只使用有规律的多边形类型；关于居中的类型。下面是我们试图填补这个琐碎信息的空白。（注意：目前，我们的搜索仅显示n=300以下的结果k个-来自的正方形k个=3至40。我们还省略了任何一位数字的回文，因为在这种情况下，回文是微不足道的。）

回文
k个	n个	人物配对关系_k个N（N）个	基本因子分解
三	101	15151	109 x 139
	174	45154	2 x 107 x 211
	211	66466	2 x 167 x 199
	249	92629	211 x 439像素
	257	98689	首要的
4	10	181	首要的
	13	313	首要的
	17	545	5 x 109
5	8	141	3 x 47
	9	181	首要的
	65	10401	3 x 3467
6	18	919	首要的
7	三	22	2 x 11
7	20	1331	11^三
8	6	121	11²
	51	10201	101²
	56	12321	三²x 37像素²
	61	14641	11⁴
9	4	55	5 x 11
9	12	595	5 x 7 x 17
10	2	11	首要的
10	5	101	首要的
11	5	111	3 x 37
	7	232	2^三x 29（x 29）
	11	606	2 x 3 x 101
	12	727	首要的
	62	20802	2 x 3 x 3467像素
12	5	121	11²
	6	181	首要的
	16	1441	11 x 131
	46	12421	首要的
13	5	131	首要的
14	5	141	3 x 47
	8	393	3 x 131
	9	505	5 x 101
15	5	151	首要的
	10	676	2²x 13（x 13）²
	52	19891	首要的
16	5	161	7 x 23
16	46	16561	首要的
17	5	171	三²x 19
17	93	72727	首要的
18	三	55	5 x 11
	5	181	首要的
	8	505	5 x 101
	40	14041	19 x 739
19	5	191	首要的
20	4	121	11²
21	2	22	2 x 11
	9	757	首要的
	36	13231	101 x 131
	120	149941	11 x 43 x 317像素
	255	680086	2 x 11 x 19 x 1627
22	没有人	在这个	范围尚未确定
23	7	484	2²x 11（x 11）²
23	29	9339	3 x 11 x 283
24	7	505	5 x 101
25	4	151	首要的
	36	15751	19 x 829
	289	1040401	101 x 10301
26	30	11311	首要的
27	8	757	首要的
28	35	16661	首要的
29	三	88	2^三x 11（x 11）
30	4	181	首要的
	94	131131	7 x 11 x 13 x 131
	260	1010101	73 x 101 x 137
31	69	72727	首要的
32	2	33	3 x 11
	10	1441	11 x 131
	26	10401	19 x 739
	251	1004001	3 x 334667个
33	260	1111111	239 x 4649
34	25	10201	101²
	43	30703	首要的
	172	500005	5 x 11 x 9091
35	25	10501	首要的
	28	13231	101 x 131
	33	18481	首要的
36	25	10801	7 x 1543
36	260	1212121	首要的
37	没有人	在这个	范围尚未确定
38	31	17671	41 x 431
39	52	51715	5 x 10343
39	260	1313131	17 x 77243
40	三	121	11²
	9	1441	11 x 131
	27	14041	19 x 739
	225	1008001	首要的

在研究上述结果时，我看到了两个非常有趣的数字：1212121和1313131。它们不仅共享明显的数字模式1d日1d日1d日1，但他们都是260^第个术语按其各自的顺序排列（k=36和39）。

现在如果我们回顾一下33角和30角列表，我们会看到1111111和1010101。正如人们现在可能开始怀疑的那样，他们是260人^第个条款。所以又到了餐桌时间了！

260人^第个术语案例
k个	编号	基本因子分解
30	1010101	73 x 101 x 137
33	1111111	239 x 4649
36	1212121	首要的
39	1313131	17 x 77243
42	1414141	43 x 32887
45	1515151	11 x 181 x 761
48	1616161	首要的
51	1717171	199 x 8629
54	1818181	31 x 89 x 659
57	1919191	29 x 66179

停止施压！！！(4/22/2002)

就在WTM的编辑部！Patrick De Geest送来了一双6包。。。上面回文表中缺失数据的回文。它在这里。

k=22和37的回文
k个	n个	人物配对关系_k个N（N）个	主因子分解
22	4156	189949981	13 x 14611537
	524962	3031430341303	7 x 13 x33312421333
	321895111	1139781083801879311	13 x 53 x 163 x 15259 x 665102447
	358542860	1414082803082804141	7 x 19 x 67 x 349 x 2671 x 170235089
	362349816	1444271276721724441	83 x 17400858755683427
	422820435	1966548318138456691	17 x 191 x 5346613 x 113277481
37	378	2636362	2 x 163 x 8087像素
	2400	106515601	43 x 2477107像素
	407157	3066863686603	首要的
	2835585	148749979947841	859 x 56099 x 3086801
	3443283	219339595933912	2^三x 27417449491739
	6792834	853637858736358	2 x 17 x 25106995845187

还有，我的罗马尼亚朋友和同事，安德烈·拉扎努，发送了有关上述事项的一些重要数据不可能的将数字表示为3或更少CTN的和。根据他编写的程序，有超过70个数字小于200那可以不以这种方式分解。你能找到多少？你能找到所有的吗？

安德烈也很友好地向WTM提供了一些关于多少种方法的信息2002可以用5个或更少的正五边形数表示。它可以用166种方式完成。[参见上述示例。]

此外，他告诉我们，同样的任务可以用31种方法用正三角数实现，用101种方法用正平方数实现。（谢谢，安德烈。）

更新（5/13/02）

De Geest为WTM提供了更多的CTN回文。它们在这里（截至2002年4月25日）。

更多CTN回文
（n<3711895911）
n个	集装箱	基本因子分解
920	1690961	29 * 58309
1258	3162613	101 * 173 * 181
1263	3187813	首要的
1622	5258525	5²* 17 * 12373
1707	5824285	5 * 17 * 68521
170707	58281418285	5 * 39821 * 292717
904281	1635446445361	109 * 9461 * 1585889
1258183	3166046406613	173 * 13537 * 1351913
7901015	124852060258421	21589 * 5783133089
8659930	149988757889941	17 * 852013 * 10355321
12458598	310433303334013	101 * 3073597062713
17070707	582818040818285	5 * 89 * 461693 * 2836741
80472265	12951570707515921	13 * 17 * 113 * 1609 * 322326253
1616689804	5227371841481737225	5²* 941 * 104917 * 2117911937
1680689789	5649436330336349465	5 * 29 * 761 * 51197936746897
1705387644	5816694029204966185	5 * 1163338805840993237

接下来（5/13/02），Andrei扩展了中心六边形数（CP₆N）如果有那么一点点。。。

更多CP₆N回文
（n<1000）
n个	人物配对关系₆N个	基本因子分解
601	1081801	7 * 154543
630	1188811	13 * 19 * 4813

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