连续素数之间的间隙

介绍

第一次出现的计算主要差距在连续素数有一些理论意义[1，问题A8],[2].让p_k（磅）成为k个-第个质数，即。，p_1=2,p_2=3,p_3=5。。。，然后让g_k=p（k+1）-p-k是两者之间的差距连续素数p_k（磅）和p（k+1）哈拉尔德·克拉姆[3]基于概率思想，推测克（_k）成长像（日志p_k）^2我们的经验数据不允许我们在这两者之间进行区分增长率，例如，（对数pi（p_k））^2，其中π（x）通常是素数计数功能（注意pi（pk）=k). 此外，下面给出的界限表明还有另一个增长率，即所谓的Lambert W函数.这些增长率因增长非常缓慢的因素而不同（如日志p_k). 更多数据是需要实证验证哪一个更接近真实增长率。

让P（克）成为最小素数P（克）+克最小素数大于P（克）。的值P（克）对于我们的经验数据，受函数的限制

0.5 0.50.5克0.5克P_最小值（g）=0.12 g e，P_最大值（c）=30.83 g e。

对于大型克，这些边界符合马雷克的猜想狼[4].

计算结果

我们的主要缺口计算是我们的哥德巴赫猜想验证努力[5].我们计算了所有小于4·10^18到目前为止，我们反复检查了我们的结果4·10^17（参见详细状态大量计算的结果）。我们的结果与中给出的结果一致[6],[7],[8]、和[9].在此表[14KiB，用gzip压缩]我们展示了P（克）我们能够计算出每个间隙出现的次数。记录持有者，即比所有之前的同样的，在表中清楚地标明。下图显示了一个具有的可用值P（克）。黑线表示的下限P（克）由克雷默猜想提出。

P（g）图

上表中标记的两种记录持有人对应于P（克）更接近导言中提出的两个界限之一。在这个图中它可以可以看出，1132的素数间隙的首次出现是异常小的。

让D（x；g）是间隙出现的相对频率克为所有人素数不大于x个下图显示了这方面的图表函数，为哥德巴赫猜想的当前验证极限计算。

D（x；n）的图形

近似指数衰减D（x；g）在中进行了解释[10].从图中可以看出D（x；g）何时克是倍数属于6=2·3（白点）比它们的邻居（黄点）大；那些的倍数30=2·3·5、和，共210=2·3·5·7，甚至更大。

Hardy-Littlewood常量和跳跃冠军

如果一个人假设首要的k个-元组猜想 [11]，可以估计最多出现次数x个质数间隙的克，此处表示为N（x；g）,对于相对较小的克 [5], [12]。使用的帮助齐格弗里德·赫尔佐格我们设法做到了计算所有（偶数）进行此操作所需的所有相关常数克小于214。（我们反复检查了彼此的结果，直到克=190我检查了一些Zig的结果对于较大的的值克.）常数，以及如何使用它们进行估算的最小细节N（x；g），可以找到这里[97KiB，用gzip].

根据经验观察N（x；g）似乎没有偏离他们的真正价值

sqrt（2 N（x；g）对数N（x）g）
（重对数定律）。我们的数据表明，使用100倍于此的公差即：
对于x<=1.74274357320*10^35，N（x；6）大于N（x，30）当x>=1.74274357327*10^35时，N（x；6）小于N（x；30）对于x≤6.42869106260176003801404998376634178448636748209672309347340003645134694299767336670488099261901128516281579025488441183328096124815117206180590350061428807728994628470520846144445274265143048582533167857*10^425对于x>=6.42869106260176003801404998376634178448636748209672309347340003645134694299767336670488099261901128516281579025488441183328096124815117206180590350061428807728994628470520846144445274265143048582533167861*10^25
我们预计会发生变化跳跃冠军 [10]在由这些边界分隔的间隔内。

前50名

下表列出了最大的50个克发现（主要差距）到目前为止P（g）<4·10^18由本项目的贡献者或其他发现者（发现者名称前有*）。的重复值克已从该列表中排除。

排名   克     P（克）   发现者
  1     1476     1425 17282 44376 99411   托马斯·奥利维拉·席尔瓦
2个   1454     3219 10718 24928 71783   西尔维奥·帕迪
  3     1442     804 21283 06866 77669   齐格弗里德·赫佐格（Siegfried“Zig”Herzog）
4个   1418     3725 23553 35041 01511   托马斯·奥利维拉·席尔瓦
  5     1416     3750 99252 93399 78877   托马斯·奥利维拉·席尔瓦
  6     1410     2635 28193 24815 39903   齐格弗里德·赫佐格（Siegfried“Zig”Herzog）
  7     1400     3431 65779 58583 78003   西尔维奥·帕尔迪
  8     1398     2424 70872 97267 67749   托马斯·奥利维拉·席尔瓦
  9     1392     1480 03203 79396 34731   托马斯·奥利维拉·席尔瓦
  10     1390     3492 65766 10051 61107   西尔维奥·帕迪
  11     1388   2975 20552 41233 01149 托马斯·奥利维拉·席尔瓦
  12     1386     3449 34008 02746 51527   西尔维奥·帕迪
  13     1380   1031 50183 31302 43273 齐格弗里德·赫佐格（Siegfried“Zig”Herzog）
  14     1374     2812 81423 52816 09869   西尔维奥·帕迪
  15     1370     418 03264 59367 12127   *D。克努特
  16     1364     1051 14088 80512 30423   齐格弗里德·赫佐格（Siegfried“Zig”Herzog）
17个   1362     3937 45795 06462 69397   托马斯·奥利维拉·席尔瓦
  18     1360     1153 27764 73035 40597   齐格弗里德·赫佐格（Siegfried“Zig”Herzog）
  19     1358     523 25522 06146 45319   齐格弗里德·赫佐格（Siegfried“Zig”Herzog）
  20     1356     401 42992 59991 53707   *天。克努特
  21     1354     2805 56288 34484 62853   西尔维奥·帕迪
  22     1350   1180 35175 22041 37089 托马斯·奥利维拉·席尔瓦
  23     1348     3754 93042 77306 28273   托马斯·奥利维拉·席尔瓦
  24     1344     753 91763 53808 95597   齐格弗里德·赫佐格（Siegfried“Zig”Herzog）
  25     1342     1578 16910 61411 87727   托马斯·奥利维拉·席尔瓦
  26   1340个   1954 31746 71273 10787   托马斯·奥利维拉·席尔瓦
  27     1338     2927 64805 72684 73633   托马斯·奥利维拉·席尔瓦
  28     1336     2221 89928 82387 68093   齐格弗里德·赫佐格（Siegfried“Zig”Herzog）
  29     1334     2722 01256 97476 81653   西尔维奥·帕迪
30个   1332     3103 25146 45367 97599   西尔维奥·帕迪
  31     1330     2918 47807 68491 34103   托马斯·奥利维拉·席尔瓦
32个   1328     352 52122 34513 64323   托马斯·奥利维拉·席尔瓦
  33     1326     2075 06944 41432 79153   托马斯·奥利维拉·席尔瓦
  34     1324     2937 02084 97138 56977   托马斯·奥利维拉·席尔瓦
  35     1322   1106 02843 61874 67937 齐格弗里德“齐格”赫尔佐格
  36     1320     605 04633 00290 26447   齐格弗里德·赫佐格（Siegfried“Zig”Herzog）
  37     1318     2216 27085 98031 42601   齐格弗里德·赫佐格（Siegfried“Zig”Herzog）
  38     1316     2187 39466 98657 44117   齐格弗里德·赫佐格（Siegfried“Zig”Herzog）
  39     1314   1214 11964 65476 13277 托马斯·奥利维拉·席尔瓦
  40     1312     1396 48771 92534 03577   齐格弗里德·赫佐格（Siegfried“Zig”Herzog）
  41     1310   1918年58679 96576 17591 托马斯·奥利维拉·席尔瓦
  42     1308     749 56545 75543 71299   齐格弗里德·赫佐格（Siegfried“Zig”Herzog）
  43     1306     3278 01806 91024 80227   西尔维奥·帕迪
  44     1304     1188 13437 93823 95323   托马斯·奥利维拉·席尔瓦
  45   1302个   1731 08087 63942 28577   托马斯·奥利维拉·席尔瓦
  46     1300     1141 04186 63848 33123   齐格弗里德·赫佐格（Siegfried“Zig”Herzog）
  47     1298     1739 01802 68170 67239   托马斯·奥利维拉·席尔瓦
  48     1296     1799 23519 83799 03447   克里斯蒂安·克恩
49个   1294     1868 32618 47640 55803   齐格弗里德·赫佐格（Siegfried“Zig”Herzog）
  50     1292     494 65339 43054 48051   托马斯·奥利维拉·席尔瓦

贡献者

下表列出了所有人（过去和现在）贡献的一些细节向该项目捐赠计算能力的个人或组织。

姓名 位置 数量
任务		 首次（已知）出现次数
  最小Goldbach分区     主要差距  
  托马斯·奥利维拉·席尔瓦   全部   2100920     325 (0)     70 (0)  
  DETUA公司   2015年5月46日   191 (0)     51 (0)  
主页   440316     11 (0)     12 (0)  
  海怪     109000     4 (0)     1 (0)  
  IEETA公司     41058     119 (0)     6 (0)  
齐格弗里德“齐格”赫尔佐格   PSU（电源单元）     1471605     80 (0)     52 (0)  
西尔维奥·帕迪   信息     869080     15 (0)   9（0）
克里斯蒂安·克恩 德国   48999     3 (0)     2 (0)  
约翰·费蒂格和纳希尔·索布   NCSA公司     33641     2 (0)     1 (0)  
乔·曼努埃尔·罗德里格斯   DETUA公司     16072     9 (0)   2（0）
  安东尼奥·特谢拉     IEETA公司     14995     0 (0)     1 (0)  
卡洛斯·巴斯托斯   DETUA公司     8646     11 (0)     1 (0)  
SIAS集团   IEETA公司     7752     2 (0)     0 (0)  
鲁伊·阿纳尔多·科斯塔   IEETA公司     3847     4 (0)     0 (0)  
  阿曼多·皮尼奥     IEETA公司     3285   2（0）   1 (0)  
  米格尔·奥利维拉·席尔瓦     DETUA公司     2659     7 (0)     0 (0)  
劳伦特·德斯诺盖斯 法国   200     0 (0)     0 (0)  
全部 全部   4581701   460（0）   139 (0)  

这项工作得到了国家超级计算应用中心的部分支持并利用NCSA Xeon集群。

这项研究得到了高级计算资源分配的部分支持由国家科学基金会资助。部分计算是在海怪身上进行的（a Cray XT5）国家计算科学研究所.

工具书类

[1] 理查德·盖伊,数论中尚未解决的问题,第三版，Springer-Verlag，2004年。
[2] 汉斯·里塞尔,素数和因子分解的计算机方法,第二版，Birkhäuser，1994年。
[3] 哈拉尔德·克雷默,关于连续素数之间差的数量级,《算术学报》，第2卷，第23-46页，1936年。
[4] 马雷克·沃尔夫,连续素数之间给定间隙的首次出现,预印本，1997年4月。
[5] 托马斯·奥利维拉·席尔瓦,齐格弗里德·赫尔佐格、和西尔维奥·帕迪,偶数哥德巴赫猜想的实证验证和素数间隙的计算,计算数学，第83卷，第288号，第2033-2060页，2014年7月（2013年11月18日以电子方式发布）。
[6] 杰夫·杨和亚伦·波特勒,第一次出现的素数间隙,计算数学第52卷，第185号，第221-224页，1989年1月。
[7] 托马斯·尼克利,新的最大素数间隙和首次出现,计算数学第68卷，第227号，第1311-1315页，1999年7月。
[8] 托马斯·尼克利和贝蒂尔·尼曼,第一次出现1000或更大的质数间隙（未发表）。
[9] 贝蒂尔·尼曼和托马斯·尼克利,10^15和5·10^16之间的新素数差距,整数序列杂志2003年8月，第6卷，第3号，第03.3.1条（以电子方式发布）。
[10] 安德鲁·奥德里兹科,迈克尔·鲁宾斯坦、和马雷克·沃尔夫,跳跃冠军,实验数学第8卷，第2期，第107-118页，1999年。（有关本文结果的外行解释，请参阅伊恩·斯图尔特,跳跃冠军,科学美国人，第283卷，第6期，第80-81页，2000年12月。）
[11] 戈弗雷·哈罗德·哈代和J.E.利特伍德,“部分数字”的几个问题；三： 关于数作为素数之和的表示,《数学学报》，第44卷，第1-70页，1922年。
[12] 理查德·布伦特,连续素数之间小间隙的分布,计算数学第28卷，第125号，第315-324页，1974年1月。

其他链接