########################################################################SVT.txt：将此文件另存为SVT.txt###要使用它，请留在###同一目录，进入Maple（输入：Maple)###然后键入：read`SVT.txt`###然后按照那里给出的说明进行操作### ###罗格斯大学Doron Zeilberger撰稿##zeilberg在数学dot rutgers dot edu########################################################################创建日期：2016年4月26日#本版本：2016年5月13日带有（linalg）：打印（`创建日期：2016年4月26日`）：打印（`本版本：2016年5月13日`）：打印（`这是SVT.txt`）：打印（“文章附带”）：print（`On the Sequences Enumerating Singular Vector Tuples of d-dimension n by n…by n tensors）（关于用n张量枚举d维n的奇异向量元组的序列）：印刷品（由Shalosh B.Ekhad和Doron Zeilberger创作）：打印（“也可从Zeilberger的网站上获得”）：打印（``）：打印（`Please report bug to zeilberg at math dot rutgers dot edu`）：打印（``）：打印（“此软件包和纸张的最新版本”）：打印（“可从以下位置获得”）：打印(`http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/.`）：打印（`--------------------------------------------`）：print（`有关支持过程的列表，请键入ezra1（）；，有关“）的帮助：print（`特定过程，键入ezra（procedure_name）；.`）：打印（``）：打印（`----------------------------------------`）：打印（`----------------------------------------`）：print（`有关MAIN过程的列表，请键入ezra（）；，有关“）的帮助：print（`特定过程，键入ezra（procedure_name）；.`）：打印（``）：打印（`----------------------------------------`）：使用（组合）：数字：=20：ezra1:=处理（）如果args=NULL，则print（`支持程序为：Asy、AsyC、A3f、B3f、A4f、B4f、CharRoots、Cnk、EmpirAsyC，findrec、findrec、MMMT，`）：打印（`SVTseqSlow，SeqFromRec，Zinn`）：打印（``）：其他的ezra（参数）：图1：结束时间：ezra:=进程（）如果args=NULL，则print（`主要程序是：Adf、Bdf、Bdr、SVT、SVTseq、SVTsq3、SVTeq4、SVTseqPC、SVTpaper`）：打印（``）：elif nops（[args]）=1，op（1，[args'）=A3f，则print（`A3f（a1，a2，a3）：0≤b1≤a1，0≤b2≤a2，0≤B3≤a3`的B3（b1，b2，B3）之和：打印（`Try:`）：打印（`A3f（3,3,3）；`）：elif nops（[args]）=1，op（1，[args'）=A4f，则print（`A4f（a1，a2，a3，a4）：0≤b1≤a1，0≤b2≤a2，0≤b3≤a3，0≤B4≤a4`）的B4（b1，b2，b3，B4）之和：打印（`Try:`）：打印（`A4f（3,3,3,1）；`）：elif nops（[args]）=1，op（1，[args'）=Adf，则print（`Adf（a）：c（a），其中a是长度为k的非负整数列表，例如，输出x1^a[1]*的系数。。。xd^a[d]`）：print（`在有理函数1/（1-e_2（x1，…，xd）-2*e_3（x1、…、xd）-（d-1）e_d（x1…，xt））*（1/（（1-x1）**（1-xd））`）：打印（`Try:`）：打印（`Adf（[3,3,3]）；`）：elif nops（[args]）=1，op（1，[args'）=Asy，则print（`Asy（ope，n，n，mu，M）：输入多项式系数的线性递归算子，`）：print（`在变量n中，向前移位运算符用n表示，即Nf（n）：=f（n+1）`）：print（`及其特征根之一mu和正整数M找到渐近级数`）：print（`annihating the requency，to order M`）：打印（“不考虑初始条件”）：打印（`Try:`）：打印（`Asy（n^2*（n-1）*（n-2）*（n-3）+n*（n^2+5*n+1）+（n^2+7*n+1，n，n，3,4）；`）：elif nops（[args]）=1，op（1，[args'）=AsyC，则print（`AsyC（ope，n，n，mu，M，INI，K）：输入多项式系数的线性递归算子，`）：print（`在变量n中，向前移位运算符用n表示，即Nf（n）：=f（n+1）`）：print（`及其特征根之一mu和正整数M以及列表`）：print（`数字的INI，其长度是递归的顺序（即次数（ope，N）），`）：print（`它还输入一个大整数K，告诉我们要估计/猜测前面的常数需要走多远`）：print（`它输出渐近序列，包括前面的常数`）：print（`annilihating the returnal，to order M，and saving the given initial conditions`）：print（`如果mu错误，则返回FAIL `）。print（`除估计的常数外，其他一切都很严格。`）：打印（`Try:`）：打印（`AsyC（n ^2*（n-1）*（n-2）*（n-3）+n*（n ^2+5*n+1）+（n ^ 2+7*n+1），n，n，3,4，[1,1]，1000）；`）：elif nops（[args]）=1，op（1，[args'）=B3f，则打印（`B3f（a1，a2，a3）：x1^a1*x2^a2*x3^a3在1/（1-（x1*x2+x1*x3+x2*x3）-2*x1*x2*x3`）中的系数：打印（`Try:`）：打印（`B3f（3,4,6）；`）：elif nops（[args]）=1，op（1，[args'）=B4f，则打印（`B4f（a1，a2，a3，a4）：x1^a1*x2^a2*x3^a3*x4^a4在1/（1-e2（x1，x2，x3，x4）-2*e3（x1、x2、x3、x4）-3*e4打印（`Try:`）：打印（`B4f（3,3,3,1）；`）：elif nops（[args]）=1，op（1，[args'）=Bdf，则print（`Bdf（a）：f（a），其中a是长度为d的非负整数列表，例如，输出x1^a[1]*的系数。。。xd^a[d]`）：print（`在有理函数1/（1-e_2（x1，…，xd）-2*e_3（x1、…、xd）-（d-1）e_d打印（`Try:`）：打印（`Bdf（[3,3,3]）；`）：elif nops（[args]）=1，op（1，[args'）=Bdr，则print（`Bdr（a）：f（a），其中a是长度为d的非负整数列表，而正整数r输出系数x1^a[1]*。。。xd^a[d]`）：print（`在有理函数1/（1-e_2（x1，…，xd）-2*e_3（x1，…，xd）-（d-1）e_d（x1，…，xd））^r`中：打印（`Try:`）：打印（`Bdr（[3,3,3]，2）；`）：elif nops（[args]）=1，op（1，[args'）=CharRoots，然后print（`（ope，n，n）：输入具有多项式系数的线性递归运算符，ope`）：print（`在变量n中，向前移位运算符用n表示，即Nf（n）：=f（n+1）`）：打印（`并输出有序列表`）：print（其特征根的`。如果它有复杂根，则返回FAIL。尝试：a`）：打印（`字符根（（n+4）*n^2-n*n-1，n，n）；`）：打印（``）：elif nargs=1且args[1]=Cnk，则print（`Cnk（n，k）：长度为n且k为1的所有0-1向量`）：elif nargs=1且args[1]=EmpirAsyC，则print（`EmpirAsyC（L1，n，mu，t，M）：输入一个正数列表L1，该列表被认为给出了形式的渐近性`）：print（`mu^n*n^t，使用ofer M的sympotics查找常量。尝试：`）：打印（`EmpirAsyC（[seq（5*3^i/i*（1+4/i），i=1..40）]，n，3，-1,5）；`）：elif nargs=1且args[1]=findrec，则print（`findrec（f，DEGREE，ORDER，n，n）：猜测递归运算符的湮灭`）：print（`degree和order order.`的顺序f）：print（`例如，try:findrec（[seq（i，i=1..10）]，0,2，n，n）；`）：elif nargs=1和args[1]=Findrec，然后print（`Findrec（f，n，n）：给定一个列表f，尝试用`求线性递归方程：print（`poly-coffs.ope（n，n），其中n是离散变量，n是移位运算符`）：print（`消除序列f。如果失败，则返回FAIL。这意味着要么没有重复出现`）：print（`或其复杂性使您需要更多术语。它不处理常系数递归的解决方案`）：打印（`例如，尝试Findrec（[seq（i，i=1..20）]，n，n）；`）：elif nargs=1且args[1]=MMMT，则print（`MMMT（A，x）：变量x列表中MacMahon主定理给出的生成函数。`）：打印（`Try:`）：打印（`MMMT（[[0,1,1]，[1,0,1]，[1,1,0]]，[x1，x2，x3]）；`）：elif nargs=1且args[1]=SeqFromRec，则print（`SeqFromRec（ope，n，n，Ini，K）：给定第一个L-1`）：打印（`序列项Ini=[f（1），…，f（L-1）]`）：print（`满足递归操作（n，n）f（n）=0`）：print（`将其扩展到前K个值`）：print（`例如，try:`）：打印（`SeqFromRec（N-N-1，N，N，[1]，10）；`）：elif nops（[args]）=1，op（1，[args'）=SVT，则print（`SVT（N）：输入一个非负的列表。整数N=[n1，…，nd]，并输出奇异向量元组的数量`）：打印（`对于一般的n1 x n2 x…x nd张量`）：打印（`它使用文章中给出的常量公式`）：print（Shmuel Friedland和Giorgio Ottaviani，奇异向量元组的数量和张量的最佳秩一近似的唯一性，）：印刷品（《Found.Comput.Math.14》（2014），第6期，1209-1242.）：打印（`尝试：SVT（[3,3,3]）；`）：elif nops（[args]）=1，op（1，[args'）=SVT纸张，然后print（`SVTpaper（d，n，Kama，M，K）：输入整数d、符号n、正整数Kama、正整数M和大正整数K`）：print（`输出一篇文章，首先告诉您序列枚举的第一个Kama项`）：打印（`一个n乘以n乘以…乘以n（d倍）张量的奇异向量元组的数目，使用本文中的常数项公式：`）：print（“Shmuel Friedland and Giorgio Ottaviani，奇异向量元组的数量和张量最佳秩一近似的唯一性”）：印刷品（《Found.Comput.Math.14》（2014），第6期，1209-1242.）：print（“然后它试图用那么多项找到一个由该序列满足的齐次线性递归方程。如果它失败了”）：打印（`论文在那里完成了。如果成功了，它会陈述出来，并试图用它来找到一个简单的公式。`）：打印（`如果成功，它会告诉您。请尝试：`）：打印（`SVT纸张（3，n，70,52000）：`）：elif nops（[args]）=1，op（1，[args'）=SVTseq，则print（`SVTseq（d，N）：输入正整数d和正整数N，输出SVT（[N$d]）从N=1到N=N的前N项：打印（`警告，非常慢，直接从定义中完成。如果d=3，则执行SVTseq3（N），如果d=4，则执行SVTseq4（N）`）：打印（`Try:`）：打印（`SVTseq（3,30）；`）：elif nops（[args]）=1，op（1，[args'）=SVTseqSlow thenprint（`SVTseqSlow（d，N）：输入正整数d和正整数N，输出SVT（[N$d]）的前N项，从N=1到N=N。`）：打印（`警告，非常慢，直接从定义中完成。如果d=3，则执行SVTseq3（N），如果d=4，则执行SVTseq4（N）`）：打印（`Try:`）：打印（`SVTseqSlow（3,30）；`）：elif nops（[args]）=1，op（1，[args'）=SVTseq3，则print（`SVTseq3（N）：输入一个正整数N，输出SVT（[N，N，N]）从N=1到N=N的前N项：打印（`Try:`）：打印（`SVTseq3（30）；`）：elif nops（[args]）=1，op（1，[args'）=SVTseq4，则print（`SVTseq4（N）：输入一个正整数N，输出SVT（[N，N，N]）的前N项，从N=1到N=N.`）：打印（`Try:`）：打印（`SVTseq4（6）；`）：elif nops（[args]）=1，op（1，[args'）=SVTseqPC，然后打印（`SVTseqPC（d，N）：与SVTseq（d，N）类似，但对于d=3和N<=70预先计算以节省时间。`）：打印（`如果不是d=3且N<=70，则使用SVTseq（d，N）`）：打印（`Try:`）：打印（`SVTseqPC（3,30）；`）：elif nops（[args]）=1，op（1，[args'）=Zinn，则print（`Zinn（L）：输入整数列表，使用Zinn-Justin的方法进行估算`）：print（“μ和θ使得”）：打印（`resh[i]约为常数*mu^i*i^theta`）：print（`例如，try:`）：打印（`Zinn（[seq（5*i*2^i，i=1..30）]）；`）：其他的print（`没有ezra for `，args）：图1：结束时间：######从FindRec开始sn:=进程（resh，n1）：-1/log（op（n1+1，resh）*op（n1-1，resh结束时间：#Zinn（resh）：Zinn-Justin的估算方法#C、μ和θ使得#resh[i]是近似值。常数*mu^i*i^theta#例如，尝试：#Zinn（[seq（5*i*2^i，i=1..30）]）；Zinn:=进程（重新）局部s1，s2，θ，mu，n1，i：如果nops（{seq（符号（resh[i]），i=1..nops（resh））}）<>1，则返回（失败）：图1：n1：=nops（重新）-1：s1：=sn（resh，n1）：s2:=sn（resh，n1-1）：θ：=evalf（2*（s1+s2）/（s1-s2）^2）：mu：=evalf（sqrt（op（n1+1，resh）/op（n1-1，resw））*exp（-（s1+s2）/（（s1-s2）*s1））：[θ，μ]：结束时间：#findrec（f，DEGREE，ORDER，n，n）：猜测一个递归算子的湮灭#度和序的顺序f#例如，尝试：findrec（[seq（i，i=1..10）]，0,2，n，n）；findrecVerbose:=proc（f，度，顺序，n，n）本地操作，var，eq，i，j，n0，kv，var1，eq1，mu，a：如果（1+度）*（1+阶）+3+阶>nops（f），则错误（`数据不足，无法重复出现顺序`，order，`degree`，degree）：图1：操作：=0：变量：={}：对于i从0到ORDER do对于0到度do的jope:=ope+a[i，j]*n^j*n^i：var:=var联合{a[i，j]}：日期：日期：等式：={}：对于n0，从1到（1+度）*（1+阶）+2 do等式1：=0：对于i从0到ORDER doeq1：=eq1+subs（n=n0，系数（ope，n，i））*op（n0+i，f）：日期：eq:=eq联合{eq1}：日期：var1：=求解（eq，var）：kv：={}：对于i从1到nops（var1）domu：=op（i，var1）：如果op（1，mu）=op（2，mu），则kv:=kv联合{op（1，mu）}：图1：日期：ope:=子（var1，ope）：如果ope=0，则返回（失败）：图1：ope:={seq（系数（展开（ope），kv[i]，1），i=1..nops（kv））}减去{0}：如果nops（ope）>1，则print（`There is some slack，There`，nops（ope））：打印（操作）：返回（Yafe（操作[1]，N）[2]）：elif nops（ope）=1，则返回（Yafe（操作[1]，N）[2]）：其他的返回（失败）：图1：结束时间：#findrec（f，DEGREE，ORDER，n，n）：猜测一个递归算子的湮灭#度和序的顺序f#例如，尝试：findrec（[seq（i，i=1..10）]，0,2，n，n）；findrec:=proc（f，度，阶，n，n）本地操作，var，eq，i，j，n0，kv，var1，eq1，mu，a：选项记住：如果不是findrecEx（f，DEGREE，ORDER，ithprime（20）），则返回（失败）：图1：如果不是findrecEx（f，DEGREE，ORDER，ithprime（40）），则返回（失败）：图1：如果不是findrecEx（f，DEGREE，ORDER，ithprime（80）），则返回（失败）：图1：如果（1+度）*（1+阶）+5+阶>nops（f），则错误（`数据不足，无法重复出现顺序`，order，`degree`，degree）：图1：操作：=0：变量：={}：对于i从0到ORDER do对于从0到DEGREE的j doope:=ope+a[i，j]*n^j*n^i：var:=var联合{a[i，j]}：日期：日期：等式：={}：对于从1到（1+度）*（1+阶）+4 do的n0等式1：=0：对于i从0到ORDER doeq1：=eq1+subs（n=n0，系数（ope，n，i））*op（n0+i，f）：日期：eq:=eq并集{eq1}：日期：var1：=求解（eq，var）：kv：={}：对于i从1到nops（var1）domu：=op（i，var1）：如果op（1，mu）=op（2，mukv:=kv联合{op（1，mu）}：图1：日期：ope:=子（var1，ope）：如果ope=0，则返回（失败）：图1：ope:={seq（系数（展开（ope），kv[i]，1），i=1..nops（kv））}减去{0}：如果nops（ope）>1，则返回（Yafe（操作[1]，N）[2]）：elif nops（ope）=1，则返回（Yafe（操作[1]，N）[2]）：其他的返回（失败）：图1：结束时间：Yafe:=proc（ope，N）局部i，ope1，coe1，L:如果ope=0，则返回（1,0）：图1：ope1:=展开（ope）：五十： =度（ope1，N）：coe1:=系数（ope1，N，L）：ope1:=正常（ope1/coe1）：ope1:=正常（ope1）：操作1：=转换([seq（系数（系数（ope1，N，i））*N^i，i=度（ope2，N）..度（ope 1，N））]，`+`）：系数（coe1），ope1：结束时间：#FindrecOld（f，n，n，MaxC）：给定一个列表f，尝试用#聚咖啡。#最大阶数+阶数<=最大C#例如，尝试Findrec（[1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89]，n，n，2）；FindrecOld:=进程（f，n，n，MaxC）本地学位、订单、操作、L：对于从0到MaxC的L do对于从0到L的订单学位：=L级：如果（2+度）*（1+阶）+4>=nops（f），则打印（`degree，degree，`andorder，order`数据不足）：返回（失败）：图1：ope：=findrec（[op（1..（2+度）*（1+阶）+4，f）]，度，阶，n，n）：如果操作失败，则返回（操作）：图1：日期：日期：失败：结束时间：#Findrec（f，n，n）：给定一个列表f，尝试用#多边形系数。Findrec:=proc（f，n，n）局部DEGREE，ORDER，ope:选项记住：对于来自1的ORDER，而2*（1+ORDER）+5+ORDER<=nops（f）do对于从1开始的度，而（1+DEGREE）*（1+ORDER）+5+ORDER<=nops（f）doope:=findrec（f，度，阶，n，n）：如果操作失败，则返回（操作）：图1：日期：日期：失败：结束时间：#SeqFromRec（ope，n，n，Ini，K）：给定第一个L-1#序列Ini=[f（1），…，f（L-1）]的项#满足递归操作（n，n）f（n）=0#将其扩展到第一个K值SeqFromRec:=进程（操作，n，n，Ini，K）本地ope1、gu、L、n1、j1：ope1:=Yafe（ope，N）[2]：五十： =度（ope1，N）：如果nops（Ini）<>L，则错误（`Ini应为长度`，L）：图1：ope1:=展开（子项（n=n-L，ope1）/n^L）：gu:=Ini:对于n1，从nops（Ini）+1到K dogu:=[op（gu），-add（gu[nops（gu）+1-j1]*subs（n=n1，coeff（ope1，n，-j1）），j1=1..L）]：日期：古：结束时间：#结束Findrec带有（linalg）：#findrecEx（f，DEGREE，ORDER，m1）：探究thre#很有可能再次出现学位#并使用素数m1对order进行排序#例如，尝试：findrecEx（[seq（i，i=1..10）]，0,2，n，n，1003）；findrecEx:=proc（f，度，顺序，m1）本地操作，var，eq，i，j，n0，eq1，a，A1，D1、E1、等式、变量、f1、n、n：选项记住：f1：=f模m1：如果（1+度）*（1+阶）+5+阶>nops（f），则错误（`数据不足，无法重复出现顺序`，order，`degree`，degree）：图1：操作：=0：变量：={}：对于i从0到ORDER do对于从0到DEGREE的j doope:=ope+a[i，j]*n^j*n^i：var:=var联合{a[i，j]}：日期：日期：等式：={}：对于从1到（1+度）*（1+阶）+4 do的n0等式1：=0：对于i从0到ORDER doeq1：=eq1+subs（n=n0，系数（ope，n，i））*op（n0+i，f1）mod m1：日期：eq:=eq联合{eq1}：日期：等式：=转换（等式，列表）：变量：=转换（变量，列表）：D1:=nops（变量）：E1:=nops（等式）：如果是E1然后是0返回（false）：图1：如果E1-D1>=1，则对于j从1到nops（Var）doA1[D1，j]：=系数（等式[D1+1]，Var[j]）：日期：如果det（A1）mod m1＜＞0，则返回（假）：图1：图1：如果E1-D1>=2，则对于j从1到nops（Var）doA1[D1，j]：=系数（等式[D1+2]，Var[j]）：日期：如果det（A1）mod m1<>0，则返回（假）：图1：图1：正确：结束时间：###从FindRec结束#CharRoots（ope，n，n）：输入具有多项式系数的线性递归算子，#在变量n中，并且其中前进档运算符由n表示，即Nf（n）：＝f（n+1）#并输出有序列表#它的特征根。尝试：#特征根（（n+4）*n^2-n*n-1，n，n）；CharRoots:=proc（ope，n，n）局部ope1，lu:ope1：=lcoeff（展开（ope），n）：如果度（ope1，N）=0，则返回（失败）：图1：lu:=[求解（ope1，N）]：lu:=排序（lu）：结束时间：#Asy（ope，n，n，mu，M）：输入多项式系数的线性递归算子，#变量n中，向前移位运算符用n表示，即Nf（n）：=f（n+1）#它的一个特征根mu发现#一个渐近级数，其前导项为μ^n，满足递归性，与初始条件无关。尝试：#Asy（（n+5）*n^2-（3*n+4）*n+2*n+2，n，n，2）；Asy:=proc（ope，n，n，mu，M）局部ope，ope1，gu，t，i，x，d，eq，var，c，f：Ope:=展开（数字（Ope））：d： =度（Ope，n）：ope1：=系数（展开（Ope），n，d）：如果简化（subs（N=mu，ope1））<>0，则返回（失败）：图1：gu:=加（x^d*subs（n=1/x，系数（Ope，n，i））*mu^i*（1+i*x）^t，i=ldegree（Ope，n）。。度（Ope，N）：gu:=展开（gu）：gu:=泰勒（gu，x=0.2）：如果展开（系数（gu，x，1））=0，则返回（失败）：图1：t： =求解（系数（gu，x，1），t）：f： =1+加（c[i]/n^i，i=1..M）：var:={seq（c[i]，i=1..M）}：gu:=加（x^d*subs（n=1/x，系数（Ope，n，i））*mu^i*（1+i*x）^t*subs。。度（Ope，N）：gu:=展开（gu）：gu:=泰勒（gu，x=0，M+3）：eq:={seq（展开（系数（gu，x，i）），i=2..M+1）}：var：=求解（eq，var）：如果var=NULL，则返回（失败）：图1：mu^n*n^t*subs（var，f）：结束时间：#AsyC（ope，n，n，mu，M，INI，K）：见ezraAsyC:=进程（ope，n，n，mu，M，INI，K）局部ope，gu，L1，C:Ope:=展开（数字（Ope））：gu:=Asy（ope，n，n，mu，M）：如果gu=失败，则返回（失败）：图1：如果nops（INI）<>度（Ope，N），则打印（INI，`应为长度`，度（Ope，N））：返回（失败）：图1：L1:=序列源记录（Ope，n，n，INI，K）：如果abs（evalf（L1[K]/subs（n=K，gu））<10^（-10），则返回（失败）：图1：C： =评估（L1[K]/subs（n=K，gu））：C： =识别（evalf（C，10））：C*gu：结束时间：#SVT（N）：输入非负列表。整数N=[n1，…，nd]，并输出奇异向量元组的数量#对于一般n1 x n2 x。。。x nd张量。#警告，非常缓慢，直接从定义开始。如果N为3-dim，则执行SVT3SVT：=proc（N）局部z，d，i，gu，lu：选项记住：d： =无（N）：lu:=添加（z[i]，i=1..d）：gu：=1：对于i从1到d dogu:=gu*正常（（（lu-z[i]）^N[i]-z[i]^N[i]）/（lu-2*z[i））：日期：gu:=展开（gu）：因为我从1到d做gu:=系数（gu，z[i]，N[i]-1）：日期：古：结束时间：#SVTseqSlow（d，N）：输入正整数d和正整数N，输出B（[N$d]）从N=1到N=N的前N项。#警告，非常缓慢，直接从定义开始。如果N是3维，则执行SVTseq3（N）；如果N是4维，则进行SVTseq 4（N），#尝试：#SVTseqSlow（3,30）；SVTseqSlow:=进程（d，N）本地n1：[seq（SVT（[n1$d]），n1=1..N）]：结束时间：#SVTseq（d，N）：输入正整数d和正整数N，输出B（[N$d]）从N=1到N=N的前N项。##尝试：#SVTseq（3,30）；SVTseq:=进程（d，N）局部n1：[seq（Adf（[n1$d]），n1=0..N-1）]：结束时间：#SVTseqPC（d，N）：与SVTseq（d，N）类似，但如果d=3且N<=70，则它会给出预先计算的值#尝试：#SVTseqPC（3,30）；SVTseqPC:=进程（d，N）局部n1，L1，L2：第一层：=[1, 6, 37, 240, 1621, 11256, 79717, 572928, 4164841, 30553116, 225817021, 1679454816, 12556853401, 94313192616, 711189994357, 5381592930816, 40848410792017, 310909645663332, 2372280474687277, 18141232682656320, 139010366280363601, 1067160872528170536, 8206301850166625797, 63203453697218605440, 487480961825645988721, 3764885111909676266856, 29112650384540312124397, 225377607037294291831008, 1746648730442554074446041, 13549903631370307542264936, 105214484529950220234997141, 817709228332592281063815168, 6360391464220968384566019745, 49511928791684034124645730676, 385707501237368849206626328717, 3006846684379174364465426255616, 23455977069620091841962275705089, 183092319857177553953377636176456, 1430037723632571918813195121704997, 1117556244135989347042802862284928、873846304864847451749353666860367841，683632453962320044584305182576200288, 5350886598153793514481537897337176493, 41902005901674406571033924405839308768, 328277426887267454292261947436072998521, 2572978040988090019983161573900671390056, 2017年4938455027696505833506309037744673717，158256711967850325867904932175164613805568, 1241878121565109721305598151979300621187041, 9748914697534511954263668793857706936885416, 76557533012847845401553482298831558586858781, 601406624861928916400901634219448551509045216, 4725977743774598911951207466985442875802004041, 37149518272412304070221079042862933387873130216, 292110984170941385701186299397195372784867345221, 2297582777856431871486896289498367921392694659456，18076679242941480643112276737449814240450399614961, 142261109059091890572028251448021584831777493283976, 1119875738825722199969846898012482760095108120469421, 8817913547145642408782946965788762982054339519598816, 69449739062865201034991808469623104398486763332361881, 547117715028973597496117057639950244728453193275378536, 4311149329690424172211655089600627818487132234309850581, 33978514528762393389117490950553726381113420890825711616, 267862418462871260646089896898133632801592296425890350401, 2112090051496950649407979640746003519860385829377421719956, 16657262165394749047223410973405780093084150560578941606221, 131396189046352933535318043187955359702871390804208939532416, 1036686394280916864442473886582846818530956264890966401359201, 8180787959749319986573210152825554401372254551057541041233416]:L2级：=[1, 24, 997, 51264, 2940841, 180296088, 11559133741, 765337680384, 51921457661905, 3590122671128664, 252070718210663749, 17922684123178825536, 1287832671004683373753, 93368940577497932331288, 6821632357294515590873917, 501741975445243527381995520, 37121266623211130111114816929, 2760712710223967190110979892824, 206267049696409355312012281872181, 15475371710788303634337687336412224, 1165407938272751946314416465834086889, 88061985234092428001001009986265842520, 6674841972181830152646239523454436828797, 507365393175531718935697292222219542209024, 38665843085507634007413709865882990263469041，2953740030556494206297508806673140156327404248, 226139608318389776420643582181314917081622957061, 17348847768732971801911980996414434839471856232768, 1333495999756767180730069621847180744764824179044825，102679492043788645453302773152678289049925015355480088, 7919467782979625176350608079488125284094134882129213277, 611762406707957516785060447056716898028654120149205549056, 47326297794171750329395108432285966368588072502073467990849, 3666210684055121798038265960682272734448162887732387739437656, 284375989192008571736288450556047894658675111432554006369198101, 22085002503311452557061359446412536526728124547277566177787892288, 1717125381944152148262069150947173852066288121156424979958627271625, 133653371349899710144611275023346214165051471055586217662726722907736，10413736715423917925250315399202563233072956051319130146752533719981053, 812193134071724372030028233213580873621215660428760806777376397599783424, 63404056487163136402118230809098571181603513366964484046606874882278962769, 4954048702957761157113524005575838540485231482644154318297501579169017363736, 387410031814835435731535807396509767481143902823175117339431737579621537848213,3032019104953631935927245935785181752925383265226972671661881411766405320238624\0, 2374803834313774545027493708891468517565412197712400933613898364537188007266\415065, 18614165945764264383509075035019318709521380225496240889482096963404716\0142280221656, 1460043170995964708856156528528938389222377695391471169729078084\4366152779284725947757, 1145990988900840641498974352772435574812691486580998832\888840442789761192955239298207744, 90007356802866260340681675743343295423352567\419796418449737235391358299924670403492251105, 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963928412350\6855464449809920875436150950158978724735593078362062580367081608324773260416447\5537240915090867972917971623929500252975810303606489303752372534473043627885386\4436039209313509777765737707229688131987871984640935269854081481874480275117805\84740034918665999836819456968088、77304921561973471173747996636737093551836158\4887957327539893447470040317300038938247284501679175881750994473384343419957541\0241424107825147360729741931073643856081804626725297103435345215948991331623351\9359081081520431387822205346992144971806148707416350933510784091736410452709031\7、62009015580241457496300218636373206269814727106792288578063930961372304129\2210339914169979839281968071600352254683404531216408454522578254397460637422561\6103916174017158718088276984133755409680874526577812779758964226036196777184045\558546786851600776591224549613246799646881870762496, 49729831827414204843565862\0056484566753505119393736165263259760101209882504232142360486868719906919764798\2901463034901710678025294227349396119423337305744185047609606360154982540346481\4997710236263669257861037135299341744902323155194040188376598749728900583148262\455830225353552724863025, 39889972375891613617936323283599955783877853073347496\3316202836114740806316737052061221172237832297217362159812075964566983373912705\9734323381673162519969545306726055994300165533323128690406330285832859378045967\203810200116252772157122341467047827164471568791050174169914928119764117138456,3199910862166606912277039254677820822698798048582346913021255972216009631801265\7076644870788999105453345753166533590120923924011680346876235422526513632842936\3680518530708988284274394878347930726829330777235558713466009270450380601887413\641581818448251982158977339359134500219882489714959477, 25670780528212513771497\5786239322500941241903338947911715035803494535811745645970033249431923813601477\9397804399480031510560882509634808745840071780396315018739988775523286994877341\0144298625174323900333314829399166065848597608588698203562236466485304667688100\948299959508762765145378143752000, 20595245326726584758610229212329448286354824\5862087620972762811149921147073211253255414204396928994324544086125148245694571\4967366135155771605346006752890211231889808217867801046918983421527497699318215\6639628472974269408006773362412833486225942350295065998951745853259364139791080\47329992029945, 165242299274620869147709542011007038985041685512469910763517631\2666259162833465228639426153414841113494546131429806952390996776391367704742357\9959493293373707538351484171796994680284131697107609412683574659372894239132405\6340683245461602523496132126071400038458249536013876688274467954743726131288, 1325871760716780556386436615872058537411437268448479124741252070527340936586750\6067893265399350698138529271459899897810509808714415544124534247214517903067705\3919990127850311769321814382469491028176443145312166226059110810057814106466896\44956319603742937831916338068889473123005840642313569999898157, 106391643517342\7606703119661956209811986342604111601457596843271127467762084662827790711336845\0033727607117475889803378026638962040474731621640569943321407714941476540708075\6734955812396284518795976259267514901874237355504728421602907948342743988391929\0358715337467434742316043994769648852923099283456]:如果d＝3并且N＜＝nops（L1），则返回（[操作（1..N，L1）]）：elif d=4且N<=nops（L2），则返回（[op（1..N，L2）]）：其他的SVTseq（d，N）：图1：结束时间：#EmpirAsyC（L1，n，mu，t，M）：输入一组正数L1，这些正数被认为给出了形式的非对称性#mu^n*n^t，使用ofer M的sympotics查找常量。尝试：#EmpirAsyC（[seq（5*3^i/i*（1+4/i），i=1..40）]，3，-1,5）；EmpirAsyC:=proc（L1，n，mu，t，M）局部eq，var，c，lu，i:如果nops（L1）<20或M>nops（L2）/2，则打印（“列表太短”）：返回（失败）：图1：lu:=mu^n*n^t*add（c[i]/n^i，i=0..M）：var：=｛seq（c[i]，i=0..M）｝：eq:={seq（L1[i]-subs（n=i，lu），i=nops（L1）-M.nops（L2））}：var：=求解（eq，var）：如果var=NULL，则返回（失败）：图1：evalf（子项（var，c[0]），10）：结束时间：#SVTpaper（d，n，Kama，M，K）：输入整数d、符号n、正整数Kama、正整数M和大正整数K`）：#print（`输出一篇文章，首先告诉您序列枚举的第一个Kama项#n乘n乘n的奇异向量元组的个数。。。通过n（d倍）张量，使用本文中的常数项公式：#Shmuel Friedland和Giorgio Ottaviani，奇异向量元组的数目和张量最佳秩一近似的唯一性#已找到。计算。数学。14（2014），第6期，1209-1242。#然后，它试图用这么多的项找到由该序列满足的齐次线性递归方程。如果它失败了#论文在那里完成了。如果它成功了，它会陈述它，并尝试用它来找到一个非对称公式。#如果它成功了，它就会告诉你。SVTpaper:=proc（d，n，Kama，M，K）局部gu，a，ope，t0，ope，ru，mu，lu，n，i，ku，C:t0:=时间（）：打印（``）：gu:=SVTseqPC（d，卡玛）：print（`The Number of Singular Vector Tuples of a general`，[n$d]，`张量`）：打印（``）：打印（`By Shalosh B.Ekhad`）：打印（``）：print（`定理：设a（n）为a`，d，'-维张量的奇异向量元组的个数，其维数均为`，n）：打印（``）：print（`The first`，Kama，`该序列的术语是`）：打印（``）：打印（gu）：ope:=Findrec（gu，n，n）：如果ope=FAIL，则print（`虽然我们知道序列是P-递归的，即满足一些具有常系数的齐次线性递归方程`）：print（`input中的词条数`，Kama，`不够。如果您真的感兴趣，请尝试放大。`）：打印（``）：print（‘不过，让我们对渐近性进行一些非严格估计。’）：ku:=Zinn（gu）：print（`序列的行为似乎类似于`，C*ku[2]^n*n^ku[1]，`对于某些常数C`）：如果evalf（ku[2]/（d-1）^d-1）<0.1且evalf（ku[1]+（d-1）/2）<0.2，则print（`这些接近我们的推测渐近`）：打印（C*（（d-1）^d）^n*n^（-（d-1，/2））：打印（``）：打印（`对于某些常量C`）：#print（`估计得到的常数可能近似`）：#打印（``）：#C0:=EmpirAsyC（gu，n，（d-1）^d，-（d-1）/2，M）：#打印（C0）：#打印（``）：#print（`因此渐近性的非严格估计为`）：#打印（``）：#打印（C0*（（d-1）^d）^n*n^（-（d-1，/2））：#打印（``）：图1：print（`This ends This paper that taked `，time（）-t0，` seconds.`）：打印（“祝你今天愉快”）：返回（）：图1：print（`定理1:序列a（n）满足以下多项式系数线性递归方程`）：打印（``）：打印（添加（系数（ope，N，i）*a（N+i），i=0..度（ope、N））=0）：打印（``）：打印（“根据初始条件”）：打印（``）：lprint（seq（a（i）=gu[i]，i=1..度（ope，N））：打印（``）：打印（`and in Maple notification`）：打印（``）：lprint（加上（系数（ope，N，i）*a（N+i），i=0..度（ope、N））=0）：打印（``）：print（`只是为了好玩，这个序列的第`，K，`项，即`的奇异向量元组的数量）：print（`a`，d，`-维张量，其维数均等于`，K，`等于`）：打印（``）：lprint（SeqFromRec（操作，n，n，[op（1..度（操作，n），gu）]，K）[K]）：打印（``）：Ope:=展开（数字（Ope））：ru:=排序（[求解（lcoeff（Ope，n），n）]）：mu:=ru[nops（ru）]：lu:=AsyC（Ope，n，n，mu，M，[op（1..度（Ope、n），gu）]，K）：如果lu=失败且nops（ru）>1，则mu:=ru[nops（ru）-1]：lu:=AsyC（Ope，n，n，mu，M，[op（1..度（Ope、n），gu）]，K）：图1：如果lu=失败，则print（`我们无法找到渐近展开，但我们知道它存在。欢迎您亲自尝试。'）：打印（``）：print（`This ends This paper that taked `，time（）-t0，` seconds.`）：打印（“祝你今天愉快”）：返回（）：图1：print（`定理2:a（n）的渐近公式，阶为`，M，`由`给出）：打印（lu）：打印（``）：print（`和以Maple表示法`）：打印（``）：l打印（lu）：打印（``）：打印（``）：print（`This ends This paper that taked `，time（）-t0，` seconds.`）：打印（“祝你今天愉快”）：结束时间：#MMMT（A，x）：麦克马洪主定理在变量x列表中给出的生成函数。#尝试：#MMMT（[[0,1,1]，[1,0,1]，[1,1,0]]，[x1，x2，x3]）：MMMT:=程序（A，x）局部M，M1，i，j：M： =[]：对于i从1到nops（A）doM1：=[]：对于从1到nops（A[i]）的j，do如果i=j，则M1:=[op（M1），1-A[i][j]*x[i]]：其他的M1:=[操作（M1），-A[i][j]*x[i]]：图1：日期：M： =[op（M），M1]：日期：1/det（M）：结束时间：SVTseq3:=进程（N）本地i:[序列（A3f（i，i，i），i=0..N-1）]：结束时间：SVTseq4:=进程（N）本地i:[序列（A4f（i，i，i），i=0..N-1）]：结束时间：S1:=proc（）：op（排序（[args]））：结束：#B3f（a1，a2，a3）：x1^a1*x2^a2*x3^a3在1/（1-2*（x1*x2+x1*x3+x2*x3）-2*x1*x2*x3*）中的系数B3f:=过程（a1，a2，a3）选项记住：如果a1<0、a2<0或a3<0，则0:elif a1=0、a2=0和a3=0，则1:其他的B3f（S1（a1-1，a2-1，a3））+B3f图1：结束时间：#A3f（a1，a2，a3）：0的B3（b1，b2，B3）之和，A3f:=程序（a1，a2，a3）选项记住：如果a1<0、a2<0或a3<0，则0:elif a1=0、a2=0和a3=0，则1:其他的A3f（S1（a1-1，a2，a3））+A3f（S2（a1，a2-1，a3-A3f（S1（a1-1，a2-1，a3））-A3f+A3f（S1（a1-1，a2-1，a3-1））+B3f（S1（a1，a2，a3））：图1：结束时间：#B4f（a1，a2，a3，a4）：x1^a1*x2^a2*x3^a3*x4^a4在1/（1-2*e_2（x1，x2，x3，x4）-3*e3（x1、x2、x3、x4）-4e4（x1和x2、x3和x4）中的系数B4f:=进程（a1、a2、a3、a4）选项记住：如果a1<0或a2<0或a3<0或r4<0，则0:elif a1=0，a2=0，以及a3=0和a4=0，然后1:其他的B4f（S1（a1-1，a2-1，a3，a4））+B4f+2*（B4f（S1（a1-1，a2-1，a3-1，a4））+B4f+3*B4f（S1（a1-1，a2-1，a3-1，a4-1））：图1：结束时间：#A4f（a1，a2，a3，a4）：0的B4（b1，b2，b3，B4）之和A4f:=进程（a1，a2，a3，a4）选项记住：如果a1<0或a2<0或a3<0或r4<0，则0:elif a1＝0且a2＝0且a3＝0且a4＝0，则1:其他的A4f（S1（a1-1，a2，a3，a4））+A4f-A4f（S1（a1-1，a2-1，a3，a4））-A4f+A4f（S1（a1-1，a2-1，a3-1，a4））+A4f-A4f（S1（a1-1，a2-1，a3-1，a4-1））+B4f（S1（a1，a2，a3，a4））：图1：结束时间：#Cnk（n，k）：长度为n且k为1的所有0-1向量Cnk:=proc（n，k）局部gu，gu1，gu11：选项记住：如果n=0，则如果k=0，那么返回（{[]}）：其他的返回（{}）：图1：图1：如果k>n或k<0，则返回（{}）：图1：gu1：=Cnk（n-1，k）：gu:={seq（[op（gu11），0]，gu1中的gu11）}：gu1：=Cnk（n-1，k-1）：gu:=gu联合{seq（[op（gu11），1]，gu11在gu1中）}：结束时间：#Bdf（a）：f（a），其中a是非负整数列表，系数x1^k1*。。。xd ^kd（扩展^kd）#有理函数1/（1-e2（x1，…，xd）-2*e3（x1、…、xd）-（d-1）e_d（x1#尝试：#Bdf（[3,3,3]）；Bdf:=proc（a）局部d，gu，gu1，k，su：选项记住：d： =无（a）：如果min（op（a））<0，则返回（0）：图1：如果a=[0$d]，则返回（1）：图1：su:=0:对于k从2到d dogu:=Cnk（d，k）：su:=su+（k-1）*add（Bdf（排序（a-gu1）），gu1 in gu）：日期：苏：结束时间：#Adf（a）：c（a），其中a是非负整数列表，系数x1^k1*。。。xd ^kd（扩展^kd）#有理函数1/（1-e_2（x1，…，xd）-2*e_3（x1、…、xd）-（d-1）e_d（x1））*（1/（（1-x1）**（1倍）#尝试：#Adf（[3,3,3]）；Adf:=proc（a）局部d，gu，gu1，k，su：选项记住：d： =无（a）：如果min（op（a））<0，则返回（0）：图1：如果a=[0$d]，则返回（1）：图1：su:=Bdf（a）：对于k从1到d dogu:=Cnk（d，k）：su:=su+（-1）^（k-1）*添加（Adf（排序（a-gu1）），gu1 in gu）：日期：苏：结束时间：#Bdr（a，r）：f（a），其中a是长度d的非负整数列表，例如，输出x1^a[1]*的系数。。。xd^a[d]#有理函数1/（1-e2（x1，…，xd）-2*e3（x1、…、xd）-（d-1）e_d（x1#尝试：#Bdr（[3,3,3]）；Bdr:=proc（a，r）局部d，gu，gu1，k，su：选项记住：如果r=1，则返回（Bdf（a））：图1：d： =无（a）：如果min（op（a））<0，则返回（0）：图1：如果a=[0$d]，则返回（1）：图1：su:=Bdr（a，r-1）：对于k从2到d dogu:=Cnk（d，k）：su:=su+（k-1）*add（Bdr（排序（a-gu1），r），gu1 in gu）：日期：苏：结束时间：