数学、Python、Sage http://sheaves.github.io <p>我一直在参加<a href=“http://www.math.jhu.edu/~eriehl/kanII/“>Kan扩展研讨会II，本周轮到我了https://golem.ph.utexas.edu/category/2017/02/distributive_laws.html“>在<a href=”https://golem.ph.utexas.edu/category网站/“>n-Category咖啡馆</a></p><p>这篇文章使用了大量的单子字符串图，生成了如下图片：</p><p><img src=“/distribute/comp_assoc.png”alt=“”title=“复合monad的关联性”/></p><p>再见<a href=“https://golem.ph.utexas.edu/category/2017/02/distributive_laws.html“>那里</a></p> 2017年2月18日星期六00:00:00+0000 http://sheaves.github.io/Distribute-Laws/ http://sheaves.github.io/Distribute-Laws/ <p>在本文中，我将演示在Sage中定义非交换环的3种方法。它们本质上是表示环中非交换关系的不同方式：</p><ol><li><a href=“http://doc.sagemath.org/html/en/reference/algebras/sage/algebras/free_algebra.html#sage.algebras.free_algebra.FreeAlgebra_generic.g_algebr“target=”_blank“>通过g_algebra：直接定义关系</li><li><a href=“http://www.sagemath.org/documentation/html/en/reference/polinomium_rings/sage/rings/polinonium/plural.html“target=”_blank“>通过NCPolynomialRing_plural：定义一对结构矩阵</li><li><a href=“http://doc.sagemath.org/html/en/reference/rings/sage/rings/quotient_ring.html“target=”_blank“>通过字母位置环的商</a>：定义由关系生成的理想（仅适用于同质关系）</li></ol><!--更多--><p>据我所知，所有3个方法都依赖Sage的接口https://www.singular.uni-kl.de/index.php“target=”_blank“>单数</a>及其非交换扩展<a href=”https://www.singular.uni-kl.de/Manual/4-0-2/sing_469.htm“target=”_blank“>复数</a></p><p>除了上面链接的所有文档外，我还严重依赖Greuel和Pfister的<a href=“http://www.cimpa-icpam.org/archivesecoles/20130130100834/singularbuch1-210.pdf“target=”_blank“><em>简单介绍交换代数</em></a>。尽管有标题，但它确实有一个相当重要的章节（1.9）专门讨论非交换$G$-代数</p>（第页）<h2 id=“umathfraksl_2-and-its-homogenization”>$U（\mathfrak{sl}_2)$及其同质化</h2><p>贯穿本文的运行示例是通用包络代数$U（\mathfrak{sl}_2)$超过$\mathbb{Q}$</p>（第页）<p>我们将其定义为（非交换）$\mathbb｛Q｝$-代数$U$，其中生成器$e，f，h$服从以下关系</p>\[[e，f]=h，\qquad[h，e]=2e，\qqquad[h，f]=-2f.\]<p>如果我们将$e，f，h$设为1次，那么这些关系就不是同质的。它们的左侧只有度2项，而右侧也有度1项。这对于前两个方法来说很好，但对于方法3（需要同质关系）来说不起作用</p>（第页）<p>为了演示第三种方法，我们将定义$\mathbb{Q}$-代数$H$，其生成器$e、f、H、t$服从同构关系</p>\[[t，e]=[t，f]=[t，h]=0，\]\[[e，f]=ht，\qquad[h，e]=2et，\qqquad[h，f]=-2英尺。\]<p>我们可以获得$U$作为$H$的商和本地化：</p>\[高/（1-t）\；\；\丛\；\<h2 id=“g-代数”>$g$-代数</h2><p>使用<a href=“http://doc.sagemath.org/html/en/reference/algebras/sage/algebras/free_algebra.html#sage.algebras.free_algebra.FreeAlgebra_generic.g_algebr“target=”_blank“><code class=“language plaintext highlighter rouge”>g_代数</code></a>Sage的<code class=“language plaintext highlighter rouge”>自由代数</code>类的方法，我们可以简单地插入我们的非对易关系，得到我们的非交换环。这很容易：</p><div class=“sage”><script type=“text/x-sage”>F.<e，F，h>=自由代数（QQ，3）U=F.g_algebra（{F*e:e*F-h，h*e:e*h+2*e，h*F:F*h-2*F}）U型</脚本></div><p>让我们来解释一下这里发生了什么</p>（第页）<h3 id=“monomial-orderings-and-pbw-basis”>单项式订购和pbw基础</h3><p>大多数用于交换环和非交换环的算法都需要对生成器进行排序。在我们的例子中，让我们使用排序</p>\[e\leq f\leq h.]<p>这在我们的代码中隐式地声明：我们编写了<code class=“language-plaintext highlighter-rouge”>F；e、 f、h&gt</code>而不是<code class=“language-plaintext highlighter-rouge”>F.&lt；h、 e、f&gt</例如，code></p>（第页）<p>标准词是该形式的单项式</p>\[e^if^jh^k，\qquad i，j，k\in\mathbb{N}\]<p>在多项式环$\mathbb{Q}[e，f，h]$中，每一个单项式都可以用这种形式表示，因此标准词集形成了$\mathbb{Q{Q}$[e，f，h]$-基</p>（第页）<p>在非交换环中，标准词是否构成基础取决于我们有什么关系。如果存在这样的基础，则称为a<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9%E2%80%93Birkhoff%E2%80%93Witt_ehemation（维基百科）“target=”_blank“>PBW基础</a></p><p>自由代数$F=\mathbb{Q}语言e，F，h\rangle$没有关系，因此没有PBW基。幸运的是，我们的代数$U$有一个PBW基础</p>（第页）<p>这意味着我们总是可以将非标准单项式（例如$fe$）表示为标准单项型的总和（例如$ef-h$）。因此，定义$U$的非交换关系可以被认为是一种将非标准字转换为标准字和的算法</p>（第页）<p>为了在Sage中做到这一点，我们定义了一个<a href=“https://docs.python.org/2/tutorial/datastructures.html#字典“target=”_blank“>字典</a>的关键字是非标准单词，值是它们成为的标准单词</p><p>在上面的示例中，我们的字典足够短，可以放在一行中，但我们也可以单独定义一个字典，并将其传递到g_algebra中：</p><div class=“sage”><script type=“text/x-sage”>F.<e，F，h>=自由代数（QQ，3）U_relations={f*e:e*f-h，h*e:e*h+2*e，h*f:f*h-2*f}U=F.g_algebra（U_relations）U型</脚本></div><p>键是非标准单词，值是标准单词的和，这一点非常重要。从数学上讲，关系$fe=ef-h$与$ef=fe+h$相同，但如果我们将代码中的<code class=“language-plaintext highlighter-rouge”>f*e:e*f-h</code>替换为<code class=”language-plaintext highlighter-rouge“>e*f:f*e+h</code>，我们将得到一个错误（请尝试！）</p>（第页）什么是$g$-代数</h3><p>$U$具有PBW基的原因是因为它是$G$-代数。简单地说，$G$-代数是其关系满足某些非简并条件的代数，这些条件使代数很容易处理</p>（第页）<p>有关$G$-代数的完整定义，请参阅<a href=“http://www.cimpa-icpam.org/archivesecoles/20130130100834/singularbuch1-210.pdf“target=”_blank“><em>交换代数的奇异导论https://www.singular.uni-kl.de/Manual/4-0-2/sing_534.htm#SEC573“target=”_blank“>复数手册</a></p><p>如果$A$是$G$-代数，那么它有一个PBW基，是左右Noetherian，是一个积分域。更重要的是（至少对于这个网站来说！），这意味着我们可以在单数/复数中定义$A$，因此也可以在Sage中定义</p>（第页）$g$-代数的结构矩阵</h2><p>书写非交换关系的另一种方法是</p>\[\开始{pmatrix}0（&amp；）；铁&amp；他\\0（&amp；）；0（&amp；）；高频\\0（&amp；）；0（&amp；）；0\结束{pmatrix}=\开始｛pmatrix｝0（&amp；）；1和amp；1 \\0（&amp；）；0（&amp；）；1 \\0（&amp；）；0（&amp；）；0\结束{pmatrix}*\开始{pmatrix}0（&amp；）；ef&amp；嗯\\0（&amp；）；0和；fh（飞行高度）\\0（&amp；）；0（&amp；）；0\结束{pmatrix}+\开始{pmatrix}0（&amp；）-h（&amp；h）；第二版\\0（&amp；）；0（&amp；）-第2页\\0（&amp；）；0和；0\结束{pmatrix}，\]<p>其中$*$表示元素乘法（因此这里没有任何线性代数；我们只是使用矩阵来组织信息）。让$N，C，S，D$是上面的矩阵，按照这个顺序，这样$N=C*S+D$</p>（第页）<p>如果我们让$x_1=e，x_2=f，x_3=h$（这样$x_i\leqx_j$如果$i\leq j$），那么对于$i&lt；j个$</p>\[n_{ij}=x_j x_i，\qquad s_{ij}=x_ ix_j。\]<p>换句话说，$N$包含了我们试图用$S$中的标准单词来表达的非标准单词</p>（第页）<p>矩阵$C$和$D$称为$G$-代数的结构矩阵</p>\[x_jx_i=c_{ij}x_ix_j+d_{ij{，\qquad i&lt；j\]<p>其他地方都是零（$i\geqj$）。如果$C=D=0$，得到的代数将是可交换的</p>（第页）<p>我们可以使用结构矩阵$C$和$D$通过Sage的<a href=“http://www.sagemath.org/documentation/html/en/reference/polinomium_rings/sage/rings/polinonium/plural.html“target=”_blank“>NCPolynomialRing_plural函数（请注意，Python对矩阵使用零诱导）：</p><div class=“sage”><script type=“text/x-sage”>从sage.rings.polynomial.plural导入NCPolynomialRing_pluralR=QQ['e'，'f'，'h']R.注入变量（）C=矩阵（R，3）D=矩阵（R，3）C[0,1]=1C[0,2]=1C[1,2]=1D[0,1]=-小时D[0,2]=2*eD[1,2]=-2*f显示（C）显示（D）U.<e，f，h>=NCPolynomialRing_plural（QQ，c=c，d=d，order=TermOrder（'lex'，3），category=代数（QQ））U型</脚本></div><p>注意，<code class=“language-plaintext highlighter-rouge”>R</code>是一个交换多项式环。实际上，直到我们调用NCPolynomialRing_plural之前，甚至变量e、f、，h</code>被视为可交换变量</p>（第页）<p>与使用g_algebra相比，这种定义$U$的方法要长得多，而且更容易出错。如<a href=“http://www.sagemath.org/documentation/html/en/reference/polinomium_rings/sage/rings/polinonium/plural.html“target=”_blank“>文档</a>，这不是要使用的！我在这里包括它，因为这基本上就是在Singular中定义$G$-代数的方法。事实上，Sage方法<code class=“language-plaintext highlighter-rouge”>G_algebra</code>调用<code class=”language-plaintext highlighter-rouge“>NCPolynomialRing_plural</code>，它又称为Singular</p><h2 id=“信宿环的商”>信宿环的商</h2><p>我们定义非交换环的最后一种方法是使用<a href=“http://doc.sagemath.org/html/en/reference/algebras/sage/algeras/letterplace/free_algebra_letterplace.html“target=”_blank“>Sage实现Singular的字母位置环</a></p><p>如本文开头所述，此方法要求关系是同质的，因此我们将使用$H$而不是$U$</p>（第页）<p>设$\mathbb{Q}\langle e，f，h，t\rangle$是4个变量上的自由代数。考虑由$H$的关系生成的双边理想$I$：</p>\[I=（te-et，tf-ft，th-ht，ef-fe-ht，he-eh-2et，hf-fh+2ft）\]<p>然后</p>\[H=\mathbb{Q}语言e，f，H，t\rangle/I.\]<p>这可以用Sage-ly来表达：</p><div class=“sage”><script type=“text/x-sage”>F.<e，F，h，t>=自由代数（QQ，实现='letterplace'）I=[t*e-e*t，t*f-f*t，t*h-h*t，e*f-f*e-h*t，h*e-e*h-2*e*t，h*f-f*h+2*f*t]H=F.商（F*I*F）H（H）</脚本></div><p>表达式<code class=“language-plaintext highlighter-rouge”>F*I*F</code>是由列表中的元素生成的双边理想值</p>（第页）<p>虽然$U$不能使用此方法定义，但$H$可以使用所有三种方法定义。作为一个（有趣的？）练习，尝试使用其他两种方法定义$H$</p>（第页）<h2 id=“困难”>困难</h2><p>这些方法可以用来定义许多非交换代数，如Weyl代数和李代数的各种包络代数。还可以在$\mathbb{Q}$以外的字段上定义这些代数，例如$\mathbb{F} （p）$（编辑：但不幸的是不是$\mathbb{C}$或$\mathbb{R}$）</p>（第页）<p>然而，我们不能定义$\mathbb{Q}（Q）$上的代数，$\mat血红蛋白{Q}[Q]$的分数域：</p><div class=“sage”><script type=“text/x-sage”>Qq=Qq['q'].fraction_field（）Qq.注入变量（）F.<x，y>=自由代数（Qq，2）F.g_代数（{y*x:q*x*y}）</脚本></div><p>如果我们想用关系定义环，比如</p>\[yx=qxy.\]<p>例如，在研究量子群时，这种关系经常出现</p>（第页）<p>这是令人惊讶的，因为人们可以很容易地在单数/复数中定义$\mathbb{Q}（Q）$和非交换的$\mathbb{Qneneneep（Q）$-代数，这就是Sage所使用的。似乎问题出在Sage的单数/复数包装器中，因为Sage甚至无法将环$\mathbb{Q}（Q）$传递给Singular</p>（第页）<p>有一个<a href=“http://trac.sagemath.org/ticket/14886“target=”_blank“>trac ticket</a>用于解决此问题，但在问题解决之前，我们只需直接在单数/复数中定义此类环。感谢<a href=”https://sagecell.sagemath.org/“target=”_blank“>Sage Cell Server，我们将在下一篇文章中完成这项工作</p> 2016年3月3日星期四00:00:00+0000 http://sheaves.github.io/Noncommunive-Sage/ http://sheaves.github.io/Noncommunive-Sage/ <!--更多--><p>我离开这个博客已经有一段时间了，事实上已经快一年了！我的借口是我的婚礼和预赛（也称为资格赛），以及所有的准备工作（尽管，老实说，这些事情直到去年9月才占用我的时间！）</p>（第页）<p>回顾我以前的帖子，我意识到在尝试教数学和代码时，我可能最终都没教。例如，这里并不是学习表征理论的最佳场所——那里有更好的书籍和博客。此外，我为说明这些帖子而编写的大多数代码都有点做作，既没有突出Sage的优势，也没有反映出我通常如何在我的任务和项目中使用Sage</p>（第页）<p>因此，我决定用我实际使用的代码写一些较短的帖子（在<a href=“https://cloud.sagemath.com/“target=”_blank“>SageMathCloud</a>），以及对代码的一些解释。最近，我一直在为非交换代数和组合学编写代码，所以今天我将从一个非交换代数的简单示例开始</p>weyl代数</h2><p>1美元的点心。Weyl代数是由$x，\partial_x$根据关系生成的（非交换）代数</p>\[x\partial_x=\partial _x x-1。\]<p>如果我们将$x$视为“乘以$x$”，将$\partial_x$视为“微分w.r.t.$x$”，则这种关系实际上只是链式规则的应用：</p>\[\partial_x（x（f（x）））=f（x<p>我们可以推广到更高的维度：$n$-dim。Weyl代数是由$x_1，\dots，x_n，\partial{x_1}，\ dots，\parcial{x_n}$商生成的代数，这些商是通过将它们视为$\mathbb{F}[x_1、\dots、x_n]$上的明显运算符而产生的关系</p>（第页）sage中的weyl代数</h3><p>很容易<a href=“http://doc.sagemath.org/html/en/reference/algebras/sage/alge布拉s/weyl_algebra.html“target=”_blank“>在Sage中定义Weyl代数：</p><div class=“linked”><script type=“text/x-sage”>#QQ[x，y，z]上的三维Weyl代数R.<x，y，z>=QQ[]W=微分Weyl代数（R）W.注入变量（）</脚本></div><p>通过调用<code class=“language-plaintext highlighter-rouge”>inject_variables</code>，我们可以在后续代码中使用操作符x、y、z、dx、dy、dz（其中dx表示$\partial_x$等）</p>（第页）<p>人们可以进行相当复杂的计算：</p><div class=“linked”><script type=“text/x-sage”>dx*dy*dz*（x+y+z）^2</脚本></div><p>默认情况下，Sage选择在dx，dy，dz前面用x，y，z表示单项式：</p><div class=“linked”><script type=“text/x-sage”>dx×x</脚本></div><p>请记住，x</code>不是指多项式$x\in\mathbb{F}[x]$，所以不应该期望dx*x</code>是<code class=“language-plaintext highlighter-rouge”>1</code></p>（第页）<p>（由于某些原因，<code class=“language-plaintext highlighter-rouge”>show没有给出正确的输出。例如，尝试<code class=”language-plaintext highlighter-rouge“>show（x）</code>或<code class=（language-laintext highligter-rouge）>show</p>（第页）<h2 id=“representations-of-mathfraksl_2”>$\mathfrak的表示{sl}_2$</h2><p>原来是1美元的点心。Weyl代数给出了$\mathfrak的表示{sl}_2（\mathbb{F}）$</p>（第页）<p>李代数$\mathfrak{sl}_2（\mathbb{F}）$由受关系约束的$E、F、H$生成</p>\[[H，E]=2E，[H，F]=-2F，[E，F]=H<p>定义$1$-dim的以下元素。Weyl代数：</p>\[E=x\partial_x^2，\qquad F=-x，\qquad H=-2x\parcial_x.\]<p>我们可以使用Sage快速验证这些元素是否确实满足$\mathfrak的关系{sl}_2$（使用换向器作为李括号，即$[A，B]=AB-BA$）：</p><div class=“sage”><script type=“text/x-sage”>R.<x>=QQ[]W=微分Weyl代数（R）W.注入变量（）E=x*dx ^2F=-xH=-2*x*dx打印（H*E-E*H==2*E）打印（H*F-F*H==-2*F）打印（E*F-F*E==H）</脚本></div><p>在$\mathbb{C}$上工作，$\mathfrak的这个操作{sl}_2（\mathbb{C}）$使$\mathbb{C}[x]$成为权重最高的Verma模块$0$</p>（第页）<p>事实上，我们可以使用以下方法使$\mathbb｛C｝[x]$成为任何$C\In\mathbb｛C｝$的最高权重$C$的Verma模块：</p>\[E=（x\partial_x-c）\partial _x，\qquad F=-x，\q quad H=-2x\parcial_x+c。\]<p>我们在Sage中再次验证了这一点：</p><div class=“sage”><script type=“text/x-sage”>Fc.公司<c> =CC[]#这允许c是复数不定项R.<x>=Fc[]W=微分Weyl代数（R）W.注入变量（）E=（x*dx-c）*dxF=-xH=-2*x*dx+c打印（H*E-E*H==2*E）打印（H*F-F*H==-2*F）打印（E*F-F*E==H）</脚本></div><p>在随后的帖子中，我将更多地讨论在Sage和Singular中定义其他非交换代数</p>（第页） 2016年2月17日星期三00:00:00+0000 http://sheaves.github.io/Weyl-Algebra网站/ http://sheaves.github.io/Weyl-Algebra网站/ <p>本文阐述了SageMath的一些特征理论功能，以及关于有限群特征的一些基本结果</p>（第页）<!--更多-->基本定义和属性</h2><p>给定组$G$的表示$（V，\rho）$，其<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Charact_theory网站“target=”_blank“><strong>字符</strong></a>是一个映射$\chi:G\to\mathbb{C}$，它返回<a href=”http://en.wikipedia.org/wiki/Trace_（linear_algebra）“target=”_blank“>跟踪$\rho$给出的矩阵：</p>\[\chi（g）=\text{trace}（\rho（g））.\]<p>如果相应的$（V，\rho）$是不可约的，则字符$\chi$是不可以约的</p>（第页）<p>尽管定义很简单，但组的（不可约）字符包含有关组的惊人数量的信息。一些<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Character_theory#应用程序群论中的“target=”_blank“>大定理</a>在很大程度上依赖于特征理论</p><p>让我们计算$D_4$的置换表示的特征。对于g$中的每个$g\，我们将显示这些对：</p>\[[\rho（g），\chi（g）]\]<p><em>（这篇文章中的Sage单元格是链接的，所以如果你不按顺序执行它们，事情可能会不起作用。）</em></p><div class=“linked”><script type=“text/x-sage”>#定义群及其置换表示G=二面体群（4）定义rho（g）：返回g.矩阵（）#定义返回表示字符的函数定义字符（rho）：定义chi（g）：返回rho（g）.trace（）返回chi#计算角色chi=字符（rho）对于g中的g：显示（[rho（g），chi（g）]）</脚本></div><p>字符的以下许多属性都可以从轨迹的属性中推导出来：</p><ol><li>字符的<strong>维度是$（V，\rho）$中$V$的维度。由于$\rho（\text{Id}）$始终是单位矩阵，因此$\chi$的维度是$\chi</li><li>因为跟踪<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Similarity_invariance网站“target=”_blank“>在相似性变换下是不变的，$\chi（hgh^{-1}）=\chihttp://en.wikipedia.org/wiki/Class_function网站“target=”_blank“><strong>类函数</strong></a></li><li>让$\chi_V$表示$（V，\rho）$的字符。回顾<a href=“/Rerepresentation Theory Sums Products/”target=“_blank”>直接和和和张量乘积</a>的定义，我们发现</li></ol>\[\开始{align*}\chi_{V_1\oplus V_2}&amp；=\chi{V_1}+\chi{V_2}\\\chi_{V_1\otimes V_2}&amp；=\chi_{V_1}\次\chi_{V2}\结束{align*}\]字符表</h2><p>现在让我们忽略表示$\rho$，只看字符$\chi$：</p><div class=“linked”><script type=“text/x-sage”>打印（“Chig”）表格（[[chi（g），g]代表g中的g）</脚本></div><p>这很简洁，但我们可以把它写得更短。从上面的第2点来看，$\chi$在$G$的共轭类上是常数，因此我们只需查看每个共轭类上$\chi$s的值，就不会丢失任何信息：</p><div class=“linked”><script type=“text/x-sage”>印刷品（“奇幻类”）表（[[chi（C[0]），C.list（）]用于G.concugacy_classes（）中的C）</脚本></div><p>更简短的是，让我们只显示$\chi$的值：</p><div class=“linked”><script type=“text/x-sage”>[chi（g）代表g中的g，concugacy_classes_representatives（）]</脚本></div><p>这一行数字代表$G$的<em>one</em>表示的字符。如果我们知道$G$的所有不可约表示及其对应的字符，我们就可以为每个字符形成一行表。这被称为<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Character_table$G$的“target=”_blank“><strong>字符表</strong></a></p><p>还记得我们是如何一个接一个地手工定义表示的吗？我们不必为角色这样做，因为SageMath具有<a href=“http://www.sagemath.org/doc/constructions/rep_theory.html“target=”_blank“>内置的小组字符表：</p><div class=“linked”><script type=“text/x-sage”>char_table=G.character_table（）字符表（_T）</脚本></div><p>这只是为了说明一个组的字符有多重要。我们也可以将单个字符作为一个函数来访问。假设我们想要最后一个：</p><div class=“linked”><script type=“text/x-sage”>c=G.字符（字符表[4]）打印（“g中每g的c（g）：”）打印（[c（g）代表g中的g]）打印（“每个魔术类的c（g）：”）打印（[c（g）for g in g.concugacy_classes_representatives（）]）</脚本></div><p>请注意，我们正在玩的角色$[4,2,0,0,0]$不在表中。这是因为它的表示$\rho$不是不可约的。在<a href=“/Representation-Theory-Decomposing-Representions/”target=“_blank”>分解表示的帖子末尾，我们看到$\rho$分裂为两个$1$-维不可约表示和一个$2$-维表示。不难看出，$\rho$的字符是字符表中第1、4和5行的总和：</p><div class=“linked”><script type=“text/x-sage”>c1=G字符（char_table[0]）c4=G.字符（字符表[3]）c5=G.字符（字符表[4]）c=c1+c4+c5打印（“c1+c4+c5:”）打印（[c（g）for g in g.concugacy_classes_representatives（）]）打印（“chi:”）打印（[chi（g）for g in g.concugacy_classes_representatives（）]）</脚本></div><p>正如我们可以将$G$的每个表示分解为不可约表示的总和一样，我们可以将任何字符表示为不可约化字符的总和</p>（第页）<p>下一篇文章讨论了如何利用<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Schur_orthogonality_relations网站“>Schur正交关系</a>。这些是字符表的行和列之间的非常酷的关系。除了将表示分解为不可约之外，我们还可以证明字符表始终是方形的</p><p><strong>编辑：</strong>承诺的关于这些主题的“下一篇文章”从未发生过。也许在未来的某个时候，我可能会回到这些话题上来，但现在没有承诺</p>（第页） 2015年3月20日，星期五00:00:00+0000 http://sheaves.github.io/角色理论/ http://sheaves.github.io/角色理论/ <p>我真的应该发布关于性格理论的帖子，但我分心了，对这个博客做了一些美学上的改变（新图标和favicon！），并创作了这样的动画：</p><p><img src=“/images/harmonograph_loop.gif”alt=“harmonograph”/></p><!--更多--><div class=“no_out”><script type=“text/x-sage”>d、 c、p、k=[0.01、0.05、-0.15、0.05]x（t，u）=（sin（t*2*pi）+sin（（1-c+u*c*2）*t*2*1）+p*piy（t，u）=（sin（（1-c+0.55*c*2）*t*2*pi+k*a=动画（[parameteric_plot（（x（t，u），y（t，u）），（t，0,30），color=[u，1-u，0.52]，axes=False，plot_points=200）对于u在[0.48+0.45*sin（v）对于v在srange（0,2*pi，0.1）]]中）a.gif（保存文件='my_animation.gif'，延迟=20，迭代=0）</脚本></div><p>我不会把它放在SageCell中，因为这可能需要很长时间，特别是如果您增加了帧数（通过更改<code class=“language-plaintext highlighter-rouge”>srange中的参数），但可以在自己的Sage上试用。它将保存一个动画GIF，该GIF将在保存文件指定的位置永久循环（<code class=“language-plaintext highlighter-rouge”>iterations=0</code>）</p>（第页）<p>有关详细信息，请查看<a href=“http://www.sagemath.org/doc/reference/plotting/sage/plot/animate.html“>动画绘图的Sage参考</a></p> 2015年3月12日星期四00:00:00+0000 http://sheaves.github.io/动画/ http://sheaves.github.io/动画/ <p>在<a href=“/Representation-Theory-Decomposing-Representions/”target=“_blank”>之前的帖子中，我们看到了如何将给定的组表示分解为不可约的。但我们仍然不太了解（有限）群的不可约表示。它们长什么样？有多少？无限多</p>（第页）<p>在本文中，我们将构建<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Group_ring“target=”_blank“>群的群环。将其视为向量空间，我们得到http://en.wikipedia.org/wiki/Regular_representation“target=”_blank“>正则表示</a>，它包含$G$的所有不可约表示</p><!--更多--><h2 id=“the-group-ring-fg”>群环$fg$</h2><p>给定一个（有限）群$G$和一个字段$F$，我们可以将$G$的每个元素作为$F$上向量空间的基元素。由g$中的$g\生成的矢量空间为</p>\[FG:=\left\｛\sum_｛g\ in g｝\alpha_g g:\alpha_g\ in F\right\｝<p>让我们用组$G=D_4$和字段$F=\mathbb{Q}$来实现Sage：</p><p><em>（本文中的Sage单元格是链接的，因此如果您不按顺序执行它们，可能无法正常工作。）</em></p><div class=“linked”><script type=“text/x-sage”>G=二面体群（4）F=QQFG=群代数（G，F）v=FG.an_element（）v（v）</脚本></div><p>我们可以将FG$中的$v\视为$F^n$中的向量，其中$n$是$G$的大小：</p><div class=“linked”><script type=“text/x-sage”>v.to_vector（）</脚本></div><p>在这里，我们将g$中的每个$g\视为$FG的基本元素$</p><div class=“linked”><script type=“text/x-sage”>对于g中的g：g=FG（克）打印（“{}={}”.format（g.to_vector（），g））</脚本></div><p>$FG$中的向量以组件方式添加：</p>\[left（g}中的sum{g\alpha_g g\right）+left（g中的sum-{g\beta_g g\ right）=g}（alpha_g+beta_g）g\]<div class=“linked”><script type=“text/x-sage”>w=FG.random_element（）打印（'w={}'.format（w.to_vector（）））打印（'v+w={}'.format（（v+w）.to_vector（）））</脚本></div><h2 id=“乘法即线性变换”>乘法即线性变换</h2><p>事实上，$FG$也是一个环（称为http://en.wikipedia.org/wiki/Group_ring“target=”_blank“><strong>群环</strong></a>），因为我们可以使用群$G$的乘法规则乘法向量：</p>\[left（G}\alpha_h\right中的sum_{h\rift）\left（G}\beta_G中的sum _{G\right）=G}（alpha_h \beta _G）hg<div class=“linked”><script type=“text/x-sage”>打印（'v*w={}'.format（（v*w）.to_vector（）））</脚本></div><p>这不是很有启发性。然而，将FG$中的$v\乘法视为一个函数</p>\[\开始{align*}T_v:FG（&amp；）；\至FG\\w&amp；\mapsto大众，\结束{align*}\]<p>可以检查每个$T_v$是否是线性变换！因此，我们可以将$T_v$表示为一个矩阵，其列为$T_v（g），g\以g$表示：</p><div class=“linked”><script type=“text/x-sage”>对于g中的g：g=FG（克）打印（“v*{}={}”.format（g.to_vector（），（v*g）.to_向量（）））T=矩阵（g中g的[（v*FG（g））.to_vector（）]）.转置（）显示（T）</脚本></div><h2 id=“正则表示”>正则表示</h2><p>我们对g$中的$T_g、g\特别感兴趣。它们是可逆的，具有逆$T_{g^{-1}}$，它们的矩阵都是置换矩阵，因为在g$中乘以$g\只是置换$g$的元素：</p><div class=“linked”><script type=“text/x-sage”>对于G中的v：v=FG（v）show（矩阵（[（v*FG（g））.to_vector（）for g in g]）.tosposte（））</脚本></div><p>定义一个函数$\rho_{FG}$，该函数为g$中的每个$g\分配相应的$T_g$：</p>\[\开始{align*}\rho_{FG}:G&amp；\到\mathrm{GL}（FG）\\g和amp；\映射到T_g\结束{align*}\]<p>那么$（FG，\rho_{FG}）$是<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Regular_representation“target=”_blank“><strong>定期代表$G$超过$F$</p><p>任何非平凡群的正则表示都不是不可约的。事实上，它是$G$的所有不可约表示的直接和！此外，如果$（V，\rho）$是$G$和$\dim V=k$的不可约表示，则$V$在$FG$的直接和分解中出现$k$次</p>（第页）<p>让我们将<a href=“/Representation-Theory-Decomposing-Representments/”target=“_blank”>上一篇文章中的分解算法应用到$（FG，\rho_{FG}）$（这可能需要一些时间）：</p><div class=“sage”><script type=“text/x-sage”>#定义组及其正则表示G=二面体群（4）FG=群代数（G，QQbar）定义rho（h）：h=FG（h）返回矩阵（g中g的[（h*FG（g））.to_vector（）]）.转置（）#分解算法将numpy导入为np定义是可约的（rho，G，n=无）："""如果rho不可约，则返回（True，I），其中I是n×n单位矩阵，n=rho的维数。否则，返回（False，H），其中H是与rho（G）交换的非标量矩阵。"""#计算表示的维数如果n为无：n=rho（G.标识（））.尺寸（）[0]#遍历所有r，s=1,2，。。。，n个对于范围（n）中的r：对于范围（n）内的s：#定义（_R）H_rs=矩阵零（QQbar，n）如果r==s：H_rs[r，s]=1elif r>s：H_rs[r，s]=1H_rs[s，r]=1其他：#r<sH_rs[r，s]=我H_rs[s，r]=-I#计算HH=和（[rho（g）.共轭传输（）*H_rs*rho（g）for g in g]）/g.基数（）#检查H是否为标量如果H[0,0]*矩阵恒等式（n）！=高：返回False，H#如果所有H都是标量return True，matrix.identity（n）def分解（rho，G，H）："""使用H的特征空间将G分解为子表示。返回基矩阵P的变化以及在此基础上rho的块分解的指数。"""#计算J，P，使H=PJP^（-1）J、 P=H.jordan_form（QQbar，转换=True）#计算块细分边缘=[]对于g中的g：边+=（P.共轭转置（）*rho（g）*P）.非零位置（）graph=图形（边，多边=假，循环=真）subrep_indices=已排序（graph.connected_components（），key=lambda x:x[0]）返回P，subrep_indicesdef irr_decompose（rho，G，索引=无）："""将ρ分解为G的不可约表示。返回基矩阵P的变化以及在此基础上rho的块分解的指数。"""n=rho（G.标识（））.尺寸（）[0]如果索引为“无”：指数=范围（n）#不可还原性试验is_irred，H=is_irredusible（rho，G，n）如果是_irred：subrep_indexs=列表（np.array（index）[范围（n）]）返回H，[subrep_indices]其他：P、 subrep_indices=分解（rho，G，H）打印（[list（np.array（index）[subrep_index]）用于subrep_索引中的subrep索引]）new_subrep_indices=[]new_P_list=[]对于subrep_indices中的subrep_索引：定义子代表（g）：return（P.反转（）*rho（g）*P）[subrep_index]new_P，new_indices=irr_decompose（subrep，G，list（np.array（index）[subrep_index]）new_subrep_indices+=新_ indicesnew_P_list+=[新建_P]return P*block_diagonal_matrix（new_P_list），new_subrep_indices定义show_irreps（rho，G，P，无索引）：subdivisions=[i代表subrep_index中的subrep_索引，inrep_index代表subrrep_index][1:]对于inrep_indexs中的subrep：对于subrep[1:]中的i：细分。删除（i）#以块-对角形式显示rho对于g中的g：M=P.逆（）*rho（g）*PM==M*1#只是为了美观M.细分（细分，细分）显示（M）#执行！P、 inrep_指数=irr_分解（rho，G）打印（无索引）show_irreps（rho，G，P，无索引）</脚本></div><p>因此，$D_4$的正则表示可以分解为四个（不同的）$1$-dim表示和两个（同构的）$2$-dims表示</p>（第页）<h2 id=“building-character”>建筑字符</h2><p>我们花了很多时间直接处理组的表示。虽然更具体，但实际的矩阵表示本身往往有点笨拙，尤其是当所讨论的组变大时</p><p>在接下来的几篇文章中，我将切换到<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Character_theory“target=”_blank“>字符理论</a>，这是一种使用组表示法的更简单但更强大的方法</p> 2015年2月15日，星期日00:00:00+0000 http://sheats.github.io/Group-Ring-Regular-代表/ http://sheaves.github.io/Group-Ring-Regular-Representation/ <p>在本文中，我们将实现一种分解表示的算法，<a href=“http://www.ams.org/journals/com/1970-24-111/S0025-5718-1970-0280611-6/S0025-5718 1970-0280611-6.pdf“target=”_blank“>Dixon于1970年出版</p><!--更多--><p>作为一个鼓舞人心的例子，我将使用我们在<a href=“/representation-Theory-Intro/”target=“_blank”>早期帖子中看到的$D_4$的置换矩阵表示。为了使代码更普遍适用，让我们调用组$G$和表示$\rho$：</p><p><em>（本文中的Sage单元格是链接的，因此如果您不按顺序执行它们，可能无法正常工作。）</em></p><div class=“linked”><script type=“text/x-sage”>G=二面体群（4）#定义排列表示定义rho（g）：返回g.矩阵（）g=g.an_element（）显示（rho（g））</脚本></div><p>我们将看到它是可分解的，并找出它的不可约分量</p>（第页）统一表示</h3><p>开始之前的简短备注：算法假设$\rho$是A<A href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Unitary_representation“target=”_blank“>单一表示</a></p><p>即，对于所有$g\g$</p>\[\rho（g）^*\rho<p>其中$A*$是<A href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_transpose矩阵$a$的“target=”_blank“>共轭转置</a>。对于有限群$G$，在适当改变基的情况下，所有表示都可以成为幺正的，所以我们不必太担心这一点。无论如何，置换表示总是幺正的，所以我们可以继续我们的示例</p>（第页）查找非标量交换矩阵</h2><p>在<a href=“/Representation-Theory-Irreducibility-Indecomposability/”target=“_blank”>前一篇文章的末尾，我们看到为了分解一个表示$（V，\rho）$，找到一个非标量矩阵$T$就足够了，对于g$中的每$g\，它与$\rho（g）$进行交换。第一步找到<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Hermitian_matrix“target=”_blank“>与$\rho（G）$通勤的非标量$H$（如果有）</p><p>让$E_{rs}$表示$n\timesn$矩阵，在$（r，s）$th项中有一个$1$，其他地方都是零。这里$n$是表示$（V，\rho）$中$V$的维度。定义</p>\[H_｛rs｝=\开始｛case｝E_{rr}（&amp；）；\文本{if}r=s\\E_{rs}+E_{sr}&amp；\文本{if}r&gt；秒\\i（E_{rs}-E_{sr}）&amp；\文本{if}r&lt；第页，\结束｛case｝\]<p>然后矩阵集$H_{rs}$构成了$mathbb{C}$上$n次n$矩阵的厄米特基</p>（第页）<p>现在，计算每个$r，s$的总和</p>\[H=\frac{1}{|G|}\sum_{G\在G}\，\，\rho（G）^*\，H_{rs}\，\ρ（G）.\]<p>注意$H$具有以下属性：</p><ul><li>是赫米蒂安</li><li>对于g中的所有$g\，它都以$\rho（g）$进行通勤$</li></ul><p>如果$\rho$是不可约的，则$H$是所有$r，s$的标量矩阵。否则，结果是<strong>将是一些$r，s$，使得$H$是非标量的（这是因为$H_{rs}$矩阵是$n次n$矩阵$的基础）</p>（第页）<p>让我们在$D_4$的置换表示上测试此算法：</p><div class=“linked”><script type=“text/x-sage”>定义是可约的（rho，G，n=无）："""如果rho不可约，则返回（True，I），其中I是n×n单位矩阵，n=rho的维数。否则，返回（False，H），其中H是与rho（G）交换的非标量矩阵。"""#计算表示的维数如果n为无：n=rho（G.标识（））.尺寸（）[0]#遍历所有r，s=1,2，。。。，n个对于范围（n）中的r：对于范围（n）内的s：#定义（_R）H_rs=矩阵零（QQbar，n）如果r==s：H_rs[r，s]=1elif r>s：H_rs[r，s]=1H_rs[s，r]=1其他：#r<sH_rs[r，s]=我H_rs[s，r]=-I#计算HH=总和（[rho（g）.cojugate_transpose（）*H_rs*rho（g）for g in g]）/g基数（）#检查H是否为标量如果H[0,0]*矩阵恒等式（n）！=高：返回False，H#如果所有H都是标量return True，matrix.identity（n）is_irred，H=是可约的（rho，G）显示（is_irred）显示（H）</脚本></div><p>我们得到了非标价$H$！因此，$D_4$的置换表示是可约的</p>（第页）<h2 id=“using-h-to-decompose-rho”>使用$h$分解$\rho$</h2><p>我们的下一步是使用$H$的本征空间来分解$\rho$。在<a href=“/Representation-Theory-Irreducibility-Indecomposability/”target=“_blank”>前一篇文章的末尾，我们看到$\rho（g）$保留了$H$的特征空间，因此我们只需要找到$H$中的特征空间来分解$\rho$</p>（第页）<p>因为$H$是隐士，所以它是<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Diagonalizable_matrix“target=”_blank“>可对角化</a>，因此其特征向量构成$V$的基。实际上，特征基可以选择为正交基</p><p>我们可以通过计算<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Jordan_normal_form“target=”_blank“>$H$的Jordan分解，然后对其进行正交化：</p><div class=“linked”><script type=“text/x-sage”>#计算J，P，使H=PJP^（-1）J、 P=H.jordan_form（QQbar，转换=True）P=P.转置（）.gram_schmidt（正交=真）[0]转置（）显示（P）</脚本></div><p>重要的是，我们要对$p$进行正交归一化，使$p$成为幺正的。这将确保子表示保持统一</p>（第页）<p>观察$p^{-1}\rho（g）p$对于g$中的每个$g\具有相同的块对角形式：</p><div class=“linked”><script type=“text/x-sage”>#计算块细分（仅用于美观）边缘=[]对于g中的g：边+=（P.共轭转置（）*rho（g）*P）.非零位置（）graph=图形（边，多边=假，循环=真）subrep_indices=graph.connected_components（）subdivides=图形垂直（）[1:]对于subrep_indices中的l：对于l[1:]中的i：细分。删除（i）#以块-对角形式显示rho对于g中的g：M=P.逆（）*rho（g）*PM.细分（细分，细分）显示（M）</脚本></div><p>因此，我们将$\rho$分解为两个一维表示和一个二维表示</p>（第页）<h2 id=“decomposing-into-irreducibles”>分解为不可约</h2><p>最后，为了得到不可约的分解，我们可以在每个子表示上递归地应用算法，看看它们是否进一步分解</p>（第页）<p>下面是一个独立的脚本，它将表示分解为不可简化的组件：</p><div class=“sage”><script type=“text/x-sage”>#在此处定义组和表示G=二面体群（4）定义rho（g）：返回g.矩阵（）#算法将numpy导入为np定义是可约的（rho，G，n=无）："""如果rho不可约，则返回（True，I），其中I是n×n单位矩阵，n=rho的维数。否则，返回（False，H），其中H是与rho（G）交换的非标量矩阵。"""#计算表示的维数如果n为无：n=ρ（G.恒等式（））.尺寸（）[0]#遍历所有r，s=1,2，。。。，n个对于范围（n）中的r：对于范围（n）内的s：#定义（_R）H_rs=矩阵零（QQbar，n）如果r==s：H_rs[r，s]=1elif r>s：H_rs[r，s]=1H_rs[s，r]=1其他：#r<sH_rs[r，s]=我H_rs[s，r]=-I#计算HH=总和（[rho（g）.cojugate_transpose（）*H_rs*rho（g）for g in g]）/g基数（）#检查H是否为标量如果H[0,0]*矩阵恒等式（n）！=高：返回False，H#如果所有H都是标量return True，matrix.identity（n）def分解（rho，G，H）："""使用H的特征空间将G分解为子表示。返回基矩阵P的变化以及在此基础上rho的块分解的指数。"""#计算J，P，使H=PJP^（-1）J、 P=H.jordan_form（QQbar，转换=True）P=P.转置（）.gram_schmidt（正交=真）[0]转置（）#计算块细分边缘=[]对于g中的g：边+=（P.共轭转置（）*rho（g）*P）.非零位置（）graph=图形（边，多边=假，循环=真）subrep_indices=已排序（graph.connected_components（），key=lambda x:x[0]）返回P，subrep_indicesdef irr_decompose（rho，G，索引=无）："""将ρ分解为G的不可约表示。返回基矩阵P的变化以及在此基础上rho的块分解的指数。"""n=rho（G.标识（））.尺寸（）[0]如果索引为“无”：指数=范围（n）#不可还原性试验is_ired，H=是可约的（rho，G，n）如果是_irred：subrep_indices=列表（np.array（索引）[范围（n）]）返回H，[subrep_indices]其他：P、 subrep_indices=分解（rho，G，H）打印（[list（np.array（index）[subrep_index]）用于subrep_索引中的subrep索引]）new_subrep_indices=[]new_P_list=[]对于subrep_indices中的subrep_索引：定义子代表（g）：return（P.inverse（）*rho（g）*P）[subrep_index，subrep_index]new_P，new_indices=irr_decompose（subrep，G，list（np.array（index）[subrep_index]）new_subrep_indices+=新_ indicesnew_P_list+=[新_P]return P*block_diagonal_matrix（new_P_list），new_subrep_indices定义show_irreps（rho，G，P，无索引）：subdivisions=[i代表subrep_index中的subrep_索引，inrep_index代表subrrep_index][1:]对于inrep_indexs中的subrep：对于subrep[1:]中的i：细分。删除（i）#以块-对角形式显示rho对于g中的g：M=P.逆（）*rho（g）*PM.subdive（细分，细分）显示（M）#执行！P、 inrep_指数=irr_分解（rho，G）show_irreps（rho，G，P，无索引）</脚本></div>获取所有不可约表示</h2><p>现在我们知道了如何测试不可约性和分解可约表示。但我们仍然不知道一个群有多少不可约表示</p>（第页）<p>事实证明，有限群有有限多个不可约表示！在<a href=“/Group-Ring-Regular-Representation/”>下一篇文章中，我们将为任何包含$G$不可约表示的有限群$G$构造一个表示</p>（第页） 2015年2月2日星期一00:00:00+0000 http://sheaves.github.io/Representation-Theory-Decomposing-Representation/ http://sheats.github.io/Representation-理论-决策-陈述/ <p>根据我在上一篇文章末尾提出的问题，我将定义（ir）可还原和（in）可分解表示，并讨论如何检测它们。与之前的帖子不同，这篇帖子只包含文本，没有代码。这一讨论将成为下一篇文章中算法的基础</p>（第页）<!--更多--><h2 id=“decomposability”>可分解性</h2><p>在前一篇文章中，我展示了如何形成两种表示$（V_1，\rho_1）$和$（V_2，\rho2）$的直接和$（V1\oplus V2，\rro）$。$\rho$给出的矩阵如下所示：</p>\[\开始{pmatrix}\rho1（g）&amp；0个\\0（&amp；）；\rho2（克）\结束｛pmatrix｝.\]<p>如果$V$有一个基，使得每个$\rho（g）$都采用块对角线形式，则表示$（V，\rho）$是可分解的。如果$（V、\rho</p>（第页）<p>等价地，如果存在可逆矩阵$p$，则$（V，\rho）$是可分解的，对于g$中的所有$g</p>\[P^{-1}\rho（g）P=\开始{pmatrix}\rho_ 1（g）&amp；0个\\0（&amp；）；\rho2（克）\结束{pmatrix}，\]<p>否则不可分解。这里，$P$是基差矩阵的变化，通过$P$将标准基差变为$P$列给出的基差</p>（第页）<h2 id=“reducibility”>可还原性</h2><p>注意，如果$\rho（g）$是块对角线，那么将v$中的$v\写成${v_1\choose v_2}$，其中$v_1$和$v_2$是向量，其维数与$\rho$的块一致，我们可以看到</p>\[\rho（g）v=\开始{pmatrix}\rho1（g）&amp；0个\\0（&amp；）；\rho2（克）\结束{pmatrix}{v1\choose v2}={\rho_1（g）v_1\choose\rho_2（g）v_2}<p>设$V_1$是$V$的子空间，与${V_1\choose0}$形式的向量相对应，$V_2$是${0\choose V_2}$形式向量的子空间。那么对于g中的所有$g，v_i$中的所有v\</p>\[\rho（g）v=\rho_i（g）v_i\in v_i.\]<p>现在假设对于g中的所有$g\，\rho（g）$都具有块上三角形式</p>\[\rho（g）=\开始｛pmatrix｝\rho_1（g）和*\\0（&amp；）；\rho2（克）\结束{pmatrix}，\]<p>其中$*$表示任意矩阵（g$中的每个$g\可能不同）。如果$*$不是某些$g$的零矩阵，那么在v_1中仍然有$\rho（g）v\，对于v_1$中的所有v\，但是在v_2$中不再有$\ rho（g）v\。在这种情况下，我们说$V_1$是$V$的子表示，而$V_2$不是</p>（第页）<p>形式上，如果我们有一个子空间$W\子集V$，对于g中的所有$g\，W\</p>\[\rho（g）w\in w，\]<p>则$W$是$V$的$G$-<strong>不变</strong>子空间，而$（W，\rho）$是$（V，\rho）$的<strong>sub-representation</p>（第页）<p>任何表示$（V，\rho）$都至少有两个子表示：$（0，\rho）$和$（V、\rho，$）。如果没有其他子表示，则$（V，\rho）$是<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Ireducible_representation网站“target=”_blank“><strong>不可约</strong></a>。否则，它是可约的</p><p>等价地，如果存在可逆矩阵$p$，对于g$中的所有$g，$（V，\rho）$都是可约的</p>\[P^{-1}\rho（g）P=\开始{pmatrix}\rho_1（g）和*\\0（&amp；）；\rho2（克）\结束{pmatrix}，\]<p>否则是不可约的</p>（第页）马斯克定理</h2><p>注意，一个可分解的表示也是可约的，但反过来通常不是真的。（等价地：不可约表示也是不可分解的，但通常情况下相反。）<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Maschke%27_定理“target=”_blank“>Maschke定理告诉我们，在特征为零的字段上，反之亦然！换句话说：</p><区块报价><p>假设$V$是特征为零的字段上的向量空间，例如$\mathbb{C}$，并且$（V，\rho）$具有子表示$（W_1，\rho）$。然后有一个子空间$W_2$（称为$W_1$的直接补码），使得$V=W_1\oplus W_2$</p>（第页）</blockquote><p>由于我们将处理$\mathbb{C}$，因此可以将（in）可分解性视为（ir）可还原性。为了理解$G$的表示，我们只需要理解它的不可约表示，因为任何其他表示都可以分解为不可约的直接和</p>（第页）舒尔引理</h2><p>我们如何检测（ir）可约表示？我们将利用以下线性代数属性：</p><p>给定矩阵$a\in\mathbb{C}^{n\timesn}$的特征值$\lambda$，其$\lampda$-特征空间为</p>\[E_\lambda=\{v\in\mathbb{C}^n:Av=\lambda v\}.\]<p>显然，每个本征空间都是$A$的不变子空间。如果我们有另一个矩阵$B\in\mathbb{C}^{n次n}$，使得$AB=BA$，那么$B$也保留了$A$的本征空间。要查看此内容，请在E_\lambda$中取$v\，然后</p>\[A（Bv）=B（Av）=B<p>所以$E_\lambda$也是$B$的不变子空间</p>（第页）<p>现在假设我们有一个表示$（V，\rho）$和一个线性映射$T:V\到V$，这样对于g中的所有$g\，V\</p>\[\rho（g）（Tv）=温度<p>将$T$视为一个矩阵，这相当于说$\rho（g）T=T\rho。在这种情况下，$T$的特征空间是$G$不变子空间，如果它们不是$V$的整体，则将产生$（V，\rho）$的分解。但是如果$E_\lambda=V$，那么对于V$中的所有$V\，$Tv=\lambda V$，实际上$T=\lampda I$，其中$I$是单位矩阵。因此，我们显示了<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Shur%27s_lemma（英文）“target=”_blank“>Schur引理：</p><区块报价><p>如果$（V，\rho）$是不可约的，并且对于g$中的所有$g，$\rho（g）T=T\rho</p>（第页）</blockquote><p>我们已经知道标量矩阵（即形式为$\lambdaI$的矩阵）与所有矩阵进行交换。如果$（V，\rho）$是不可约的，这个结果表明没有其他矩阵可以与所有的$\rho（g）$进行交换。反之亦然：</p><区块报价><p>如果$（V，\rho）$是可约的，则存在一些$T\neq\lambda I$，使得对于g$中的所有$g\，$\rho（g）T=T\rho</p>（第页）</blockquote><p>我不会证明这一点，但请注意，如果$V$有一个分解$W_1\oplus W_2$，那么任何一个$W_I$上的投影都将具有所需的属性。如果我们有这样一个$T$，那么它的本征空间将给出$（V，\rho）$的分解。这将是下一篇文章的主题</p>（第页） 2015年1月26日星期一00:00:00+0000 http://sheaves.github.io/Representation-Theory-Irreducibility-Indecomposability/ http://sheaves.github.io/Representation-Theory-Irreducibility-Indecomposability/ <p>在这篇短文中，我们将展示两种组合现有表示以获得新表示的方法</p>（第页）<!--更多-->召回</h2><p>在前面的帖子中，我们看到了$D_4$的两种表示：置换表示和http://en.wikipedia.org/wiki/Dihedral_group#Matrix_representation网站“target=”_blank“>维基百科示例。首先让我们在Sage中定义这些：</p><p><em>（本文中的Sage单元格是链接的，因此如果您不按顺序执行它们，可能无法正常工作。）</em></p><div class=“linked”><script type=“text/x-sage”>D4=二面体群（4）#定义置换表示定义perm（g）：返回g.matrix（）#定义维基百科示例中的表示r、 s=D4.gens（）D4_dict={}对于范围（4）中的i：对于范围（2）中的j：D4_dict[r^i*s^j]=（i，j）定义wiki_rep（g）：i、 j=D4_dict[g]返回矩阵（[[0，-1]，[1,0]]）^i*矩阵（[[1,0]，[0，-1-]）^j#看看他们长什么样g=D4.an_element（）显示（perm（g））显示（wiki_rep（g））</脚本></div>直接和</h2><p>如果$（V_1，\rho_1），（V_2，\rho2）$是$G$的表示，<a href=“http://groupprops.subwiki.org/wiki/Direct_sum_of_linear_representations“target=”_blank“>这些表示的直接和</a>是$（V_1\oplus V_2，\rho）$，其中$\rho$将$g\ in g$发送到<a href=”http://en.wikipedia.org/wiki/Block_matrix#Block_diagonal_matrixes“target=”_blank“>块对角线矩阵</a></p>\[\开始{pmatrix}\rho1（g）&amp；0个\\0（&amp；）；\rho2（克）\结束{pmatrix}\]<p>这里$\rho_1（g）、\rho_2（g）$和“零”都是矩阵</p>（第页）<p>最好用一个例子来说明。我们可以在Sage中定义一个函数<code class=“language-plaintext highlighter-rouge”>direct_sum</code>，它接受两种表示并返回它们的直接和</p>（第页）<div class=“linked”><script type=“text/x-sage”>定义direct_sum（rep1，rep2）：定义new_rep（g）：返回块对角矩阵（rep1（g），rep2（g））返回new_rep#形成perm和wiki_rep的直接总和sum_rep=直接sum（perm，wiki_rep）#看看它是什么样子显示（sum_rep（g））</脚本></div><h2 id=“张量乘积”>张量乘积</h2><p>我们还可以形成<a href=“http://groupprops.subwiki.org/wiki/Tensor_product_of_linear_representations“target=”_blank“>张量积</a>$（V_1\otimes V_2，\rho）$，其中$\rho$将$g\in g$发送到<a href=”http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_product矩阵$\rho_1（g）$和$\rho2（g</p><p>我们定义了一个函数tensor_prod，它接受两种表示并返回其张量积</p>（第页）<div class=“linked”><script type=“text/x-sage”>定义tensor_prod（rep1，rep2）：定义new_rep（g）：返回rep1（g）.tensor_product（rep2（g））返回new_rep#形成perm和wiki_rep的张量乘积prod\rep=张量杆（perm，wiki_rep）#看看它是什么样子显示（prod\rep（g））</脚本></div><p>请注意</p><ul><li>$\dim V_1\oplus V_2=\dim V1+\dim V2$</li><li>$\dim V_1\otimes V_2=\dim W_1\times\dim V_2$</li></ul><p>这激发了直接和乘积和张量乘积这两个术语</p>（第页）<p>我们可以继续采用现有表示的直接和和张量积来获得新的表示：</p><div class=“linked”><script type=“text/x-sage”>new_rep=直接总和（perm，tensor_prod（perm、wiki_rep））显示（new_rep（g））</脚本></div><h2 id=“分解表示”>分解表示</h2><p>现在我们知道如何从旧的表示构建新的表示。人们可能会对相反的问题感兴趣：</p><ol><li>给定的表示是较小表示的直接和吗</li><li>给定的表示是较小表示的张量积吗</li></ol><p>事实证明，Q1是一个比Q2更有趣的问题</p><p>这种情况的一个（非常糟糕的）类比是“建立”自然数的问题。我们有两种从旧整数构建新整数的方法：既可以加法，也可以乘法。给定一个数字$n$，很容易（也不是很有趣）找到加起来等于$n$的较小数字。然而，<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Integer制造“target=”_blank“>查找产品为$n$</a>的数字要困难得多（尤其是对于大$n$），而且要多得多http://en.wikipedia.org/wiki/代数数字理论“target=”_blank“>奖励</a>。素数在后一种情况下也扮演着特殊的角色：每个正整数都有一个唯一的素数分解</p><p>这个类比很差劲（尤其是因为“总和”和“产品”的角色互换了！）。然而，它激发了这个问题</p><ul><li>表征的“质数”类似物是什么</li></ul><p>我们将尝试在接下来的几篇帖子中回答最后一个问题和Q1，并看看在处理Sage中的表示时，这对我们意味着什么</p>（第页） 2015年1月24日星期六00:00:00+0000 http://sheaves.github.io/Representation-Theory-Sums-Products公司/ http://sheaves.github.io/Representation-Theory-Sums-Products公司/