教程：苏西诺的群论

0.入门

Susyno是一个Mathematica软件包，可以进行与李群和置换群$S_n$有关的各种计算（尽管程序的主要目标不同，但代码的很大一部分与群论有关）。本页显示了一些示例。

要开始使用，需要安装该程序：可以在此处下载 。解压缩下载的zip文件将生成一个文件夹苏西诺。此文件夹应放置在Mathematica可见的目录中（键入$路径在Mathematica中显示了可能的位置列表）。一个好的选择是放置它（整体苏西诺文件夹，而不仅仅是其内容！）在里面

<<苏西诺`

“Renato M.Fonseca，计算重正化群方程
带有Susyno的SUSY模型，《计算机物理通信》183（2012）2298“

寻求帮助，对于下文中描述的每个功能（以及其他功能），都有一个易于使用的内置文档；一旦安装了包，就可以从Mathematica中访问它。有关问题、评论或错误报告，请联系我

renato.fonseca@ific.uv.es

1.使用李群的表示

收件人表示一个组，只需使用其名称：

U1、SU2、SU3、SU5、SO10、E6、E8、G2。。。

{SU3、SU2、U1}{SU5、SU5}{SO10，U1}

｛SU2｝

收件人表示表示对于每个因子组，需要写入其Dynkin系数（除非它是$U（1）$，在这种情况下，电荷[即一个数]就足够了）。这些是$n$非负整数的列表，其中$n$是组的秩。反过来，群的秩对应于群代数中可以同时对角线化的最大元素数，实际上，这可以通过键入Susyno来获得

长度[<组>]

长度[SU5]

这意味着$SU（5）$的秩是四，因此它的每个表示都可以由四个非负整数的列表{n1，n2，n3，n4}唯一标识。用户可以调用代表姓名函数帮助识别Dynkin系数的每个表示。例如：

代表名称[SU5，｛1,0,0,0｝]代表姓名[SU5，{0,1,0,0}]代表姓名[SU5，{0,0,0,1}]代表姓名[SU5，{1,0,0,1}]

在函数的帮助下RepsUpToDimN它列出了某个大小的组的所有表示，然后很容易得到表示表。例如，大小为30的所有$SU（3）$表示的列表可按如下方式获得：

su3Reps=RepsUpToDimN[SU3，30]；网格[Prepend[{#，RepName[SU3，#]}和/@su3Reps，{“Dynkin系数”，“Name”}]，框架->全部，框架样式->浅灰色]

2.维数、Casimir、Dynkin指数和三角异常

给定一个表示$R$，它的维数$d（R）$、Casimir$C（R）@和Dynkin指数$T（R）#可以用函数计算调光R,卡西米尔和Dynkin索引:

DimR[SO10，{0，0，0,0，1}]卡西米尔[SO10，{0,0,0,1}]动态索引[SO10，{0,0,0,1}]

DimR[SU2，{d-1}]卡西米尔〔SU2，｛d-1｝〕

已知规三角异常与量$\textrm{Tr}\left（\left\{T^{a}，T^{b}\right\}T^{c}\right）\equiv\kappa（R）d^{abc}$有关，其中对称张量$d^{abc}$可以被视为固定的（对于给定的群），而$\kappa$（R）依赖于表示。需要注意的是，唯一可能存在异常的组是具有$SU（n>2）$和/或具有$U（1）$因子的组，因此指数$a$、$b$和$c$中至少有一个必须指代这些组中的一个。
可以使用三角异常值功能：

三角异常值[{SU3}，{{1，0}}]三角异常值[{U1}，{y}]

Q={1/6，{1}，{1，0}}；三角异常值[{U1，SU2，SU3}，Q]

Q={1/6，{1}，{1，0}}；三角异常值[{U1，SU2，SU3}，Q，详细->真]

uc={-2/3，{0}，{0,1}}；dc={1/3，{0}，{0,1}}；Q={1/6，{1}，{1，0}}；ec={1，{0}，{0，0}}；L={-1/2，{1}，{0，0}}；字段={uc，dc，Q，ec，L}；三角异常值[{U1，SU2，SU3}，#]&/@字段总计[%]

3.表示产品

三重SU3={1，0}；ReduceRepProduct[SU3，{tripletSU3，triplet苏3，triletSU3}]

ReduceRepProduct[SU3，{tripletSU3，triplet苏3，triletSU3}，UseName->True]

uc={-2/3，{0}，{0,1}}；Q={1/6，{1}，{1，0}}；H={1/2，{1}，{0，0}}；ReduceRepProduct[{U1，SU2，SU3}，{uc，Q，H}，UseName->True]

rep10={1，0，0，0}；ReduceRepProduct[SO10，{rep10，rep10，rep10，rep10，rep10}，UseName->True]

4.显式表示矩阵

考虑某些表示形式$R$的生成器$T^a$。对于某些可逆矩阵$O$，可以进行变换

$T^{a}\rightarrow{T'}^{a{\equiv O_{ab}T^{b} \$

$T^{a}\rightarrow{T'}^{a{\equiv U^{-1}T^{b} U型 \,. $

在物理学中，通常需要矩阵$\exp\left（i\varepsilon）表示的群变换^{a} T型^{a} 对于一些实参数$\varepsilon^{a}$，$是酉的，这意味着$T^{a{$需要是厄米矩阵（${T^{a}}^\dagger=T^{a}$）。此外，$C（R）Id=\sum很方便_{a} T型^{a} T型^{a} $和$T（R）\delta^{ab}=\textrm{Tr}\left（T^{a} T型^{b} \右）$（请参阅第2部分以上）。这些要求在一定程度上限制了上述转换的自由：如果$T^{a}$遵守这些条件，那么上面的$O$和$U$必须分别是正交的和酉的，以便保持$C（R）Id=\sum_{a}{T'}^{a{T'}$和$T（R）\delta^{ab}=\textrm{Tr}\left（{T'{a}}{T'{b}\right）$。

到目前为止，我们一直在讨论在这些$O$/$U$基变换下不变的量的计算。然而，人们通常希望获得与基本相关的量（例如拉格朗日量）。这不可避免地需要特殊基础选择.

记住这一点，Susyno可以进行各种与基础相关的计算。最基本的方法是用RepMatrices公司功能。例如，$SU（2）$的对偶的表示矩阵是泡利矩阵的一半：

矩阵形式/@RepMatrices[SU2，{1}]（*{1}=双重表示*）

矩阵形式/@RepMatrices[SU2，{4}]（*{4}=五元组表示*）

矩阵形式/@RepMatrices[SU3，{1,0}]（*{1,0{=基本表示*）

结果表明，Susyno对$T^a$使用的基础是存在最大数量的对角线生成器（RepMatrices总是最后给出）。这通常是一个非常方便的基选择，但对于我们现在将要讨论的实际表示有一个重要的结果。组转换$V=\exp\left（i\varepsilon^{a} T型^{a} \ right）$是实数，$V=V^*$，这意味着$T^{a}$代数矩阵必须是反对称的，$T^}a}=-{T^{a}}^T$，因此它们都不能是对角的。这意味着苏西诺的基本选择是从未真正的那个。例如，即使$SU（2）$的三元组表示是真实的，RepMatrices给出的$T^a$也不会导致真实的$V=\exp\left（i\varepsilon^{a} T型^{a} 从事实上可以看出，并非所有这些都是反对称的：

矩阵形式/@RepMatrices[SU2，{2}]

$U=\左（\开始{数组}{ccc}\压裂{1}{\sqrt{2}}&0&-\frac{i}{\scrt{2}\\0&-i&0\\\压裂{1}{\sqrt{2}&0&\frac{i}{\scrt{2}}\结束{数组}\右）$

会做到这一点：

repMs=代表矩阵[SU2，{2}]；U={{1/Sqrt[2]，0，-（I/Sqrt[2]）}，{0，-I，0}，}1/Sqrt[2]，0、I/Sqrt[2]}；矩阵形式[共轭转置[U].#。U] &/@代表

5.表示的群不变组合

人们通常需要知道如何以组不变的方式收缩表示产品的组件。最简单的例子是两个$SU（2）$doublets——让我们称它们为$D=（D_1，D_2）^T$和$D'=（{D'}_1，{D'{_2）^T$：众所周知，组合$D_1{D'}_2-D_2{D'{}_1$在$SU组的作用下保持不变。要使用Susyno计算组不变组合，请使用不变式功能：

不变量[SU2，{{1}，{1}}]（*两个SU（2）对偶的乘积*）

注意，上面的输出不仅仅是a[2]b[1]-a[1]b[2]；这个表达式用花括号括起来。原因是，一般来说，可能有不止一种独立的方式以不变的方式收缩表示。为了说明这一点，考虑四个$SU（2）$doublets的乘积，已知它有两个独立的不变量（通过计算四个doublets的乘积中的单线态数量，可以用ReduceRepProduct函数来证实这一说法）：

不变量[SU2，{{1}，{1}，{1{，{1'}]（*四个SU（2）对偶的乘积*）

用户应该记住，如果$I{1}$，$I{2}$。。。是独立群不变量的列表，那么它们的任何线性组合也都是不变量。因此，对于某些可逆矩阵$P$，可以用$I'_a\equivP_{ab}I_b$代替$I_a$。例如，在上面的$SU（2）$的4对乘积的例子中，这两个不变量可以以不同的方式组合和表示。事实上，即使只有一个不变表达式，它也可以任意乘以某个数值因子。

另一个重要点是，不变量假设表示在RepMatrices给定的基础上进行转换。当然，我们可以测试这一点：如果我们将一个不变量写为$I=c_{ijk\cdots}a\left[I\right]b\left[j\right]c\left[Ck\right=cdots$，读者可以检查要验证的条件是否为

$\left（T^｛a｝\right）_｛ii'｝c_｛ijk\cdots｝+\left（｛T'｝^｛a｝\right）_｛jj'｝c_｛ij'k\cdots｝+\left（｛T'｝^｛a｝\right）_｛kk'｝c_｛ijk'\cdots｝+\cdots=0$

对于所有$a$，其中$T^{a}$，${T'}^{a{$，$}T''}^{a}$。。。是$\left（a[1]，a[2]，…\right）^{T}$，$\ left（b[1]，b[2]，…\ right），^{T{$，$\lert（c[1]，c[2]，…\\right）。。。分别是。可以用上面四个$SU（2）$的乘积形成的两个不变量进行如下测试：

不变量=不变量[SU2，{{1}，{1},{1}]；subsRuleA=表[MapThread[Rule，{{a[1]，a[2]，mat.{a[1]，a[2]}]，{mat，RepMatrices[SU2，{1}]}]；subsRuleB=subsRule/。a->b；subsRuleC=subsRule/。a->c；subsRuleD=subsRule/。a->d；（不变量/.subRuleA）+（不变量/。subsRuleB）+（不变量/.subRuleC）+（不变量/.sUBRuleD）

6.表示乘积的置换对称性

第3节解释了如何将表示$R{1}\次R{2}\次cdots\次R{n}$的乘积分解为不可约部分。然而，有时这还不够：如果$R_i$中的一些是相同的，那么也需要考虑置换对称性。例如，在$SU（2）$中，我们有$\mathbf{2}\times\mathbf{2}=\mathbf1}+\mathbf2{3}$，众所周知，单线（$\mathbf{1}$）是两个$\mat血红蛋白{2}$的反对称收缩，而三线（$\ mathbf}3}$）则是对称的。通常表示为$\mathbf{2}\times\mathbf2}=\mathbf{1} _A（_A）+\马特布夫{3} _秒$. 中引入的功能ReduceRepProduct第3节没有提供有关乘积$R{1}\times R{2}\times\cdots\times R{n}$中等式表示置换下发生的情况的信息，但是Tensor产品部件的置换对称性做。

此函数计算此类信息时具有全面的通用性，但有些用户可能会惊讶地发现，这不仅仅是将S和a添加到产品中每个不可约表示的问题。那么，首先考虑四个$SU（2）$双元组的乘积：$\mathbf｛2｝\times\mathbf｛2｝\times\mathbf｛2｝\times\mathbf｛2｝=\mathbf｛1｝+\mathbf｛1｝+\mathbf｛3｝+\mathbf｛3｝+\mathbf｛5｝$中会发生什么也许是有启发性的。这些非对称是对称的（S）还是反对称的（A）？事实证明，这样的问题并没有很好地表述：在$\mathbf{2}\times\mathbf{2}=\mathbf1}+\mathbf2{3}$的情况下，乘积中只有两个相等的因子，所以相关的置换群是$S_2$，它有两个一维不可约表示：对称的（S）和反对称的（A）。在$\mathbf{2}\times\mathbf{2}_times\mathbf{2\times\mathbf}2}$的情况下，应该用$S_4$inreps标识其中包含的不可约$SU（2）$表示。一般来说，如果有一个具有$n$重复表示$R$的乘积，那么应该查看$S_n$置换群的不可逆性，它们是由$n$的分区给出的（例如，在$n=4$的情况下，{4}、{3,1}、}2,2}、[2,1,1}，{1,1,1,1}）。

说到这里，我们已经准备好查看PermutationSymmetryOfTensorProductParts的输出。考虑第一个$\mathbf{2}\times\mathbf{2}$（请小心括号）：

置换Tensor产品部件的对称性[{SU2}，{{1}}，}}]

输出的第一部分{{1,2}}告诉我们，表示#1和#2是相同的（这对用户来说很明显）。第二部分说

1. 乘积中有一个$SU（2）$triplet（={2}），它是由偶极子置换引起的$S_2$的{2}=对称表示（重数为1）；
2. 乘积中有一个$SU（2）$singlet（={0}），它是由二重态的置换引起的$S_2$的{1,1}=反对称表示（重数为1）。

在$\mathbf{2}\times\mathbf{2}\times\mathbf}2}\temes\mathbf{2{$的情况下，代码如下：

置换TensorProductParts的对称性[{SU2}，{{1}}，}}

它说，在$SU（2）_{S_{4}}$组下，产品分解为$\mathbf{5}_{S} +\mathbf{3}_{\mathbf{3}}+\mathbf{1}_{\mathbf{2}$（对于$S_4$表示形式，使用符号$\left\{4\right\}=S$，$\left \{3,1\right\}=\mathbf{3}$，$\ left \{2,2\right\{}=\mathbf{2}$）。因此，例如，这个乘积中的两个单态都不是完全对称的，也不是完全反对称的：这对单态通过双态的置换相互转换（置换对称使它们纠缠），从而形成$S_4$的二维不可约表示。

最后，请注意，PermutationSymmetryOfTensorProductParts函数能够处理更一般的情况，例如当有多个类型的重复表示被乘以时，或者当Lie组不简单时：

置换Tensor产品部件的对称性[{SU2}，{{1}}，}}、{1}、}}

置换Tensor产品部件的对称性[{SU3，SU2}，{{{1，0}，}，{{1, 0}, {1}}, {{1, 0}, {1}}}]

7.对称破缺：分支规则等

关于对称破缺，人们通常想知道群的给定表示如何破缺为某些子群的不可约表示。这可以用以下公式计算分解Rep，需要用户提供3个元素：

1. 集团$G$；
2. 子群$H\子集G$；
3. 关于$H$如何嵌入$G$&#8212的信息投影矩阵具体来说；
4. 要分解的$G$的表示$R$。

考虑一个简单的例子，$SU（3）$分解为$SU。这种情况下的投影矩阵可以选择为

$\左（\开始{数组}{cc}1 & 0\\1 & 2\结束{数组}\右）$

组={SU3}；rep＝｛｛1,0｝｝；（SU（3）的*3）*）亚组={SU2，U1}；prjMat={{1，0}，{1，2}}；分解rep[group，rep，subgroup，prjMat，UseName->True]

同样，考虑$SU（5）\右箭头SU（3）\乘以SU（2）\乘以U（1）$。一旦给出了群、子群和投影矩阵，就很容易编写几行代码，这些代码将生成一个分解$SU（5）$表示的表：

组={SU5}；亚组={SU3，SU2，U1}；prj矩阵={{1,0,0,0}，{0,1,0,0}，}，2,4,6,3}；SU5reps=RepsUpToDimN[SU5100]；数据=表[{Style[RepName[group[[1]]，rep]，较深的[Red]]，分解rep[group，{rep}，subgroup，prjMatrix，UseName->True]}，{rep，SU5reps}]；网格[前缀[data，Style[#，Bold]和/@{“SU（5）”，“SU[3）x SU（2）x U（1）content”}]，框架->全部，框架样式->浅灰色]

那么如何计算投影矩阵呢？功能正则子群投影矩阵为此目的而存在。它需要一些Dynkin图的知识。例如，$SU（5）$的图是

而$SU（3）\乘以SU（2）\乘以U（1）$中的一个是

后者可以通过删除其中一个点（代表一个简单的根）并将其转换为$U（1）$，

这是RegularSubgroupProjectionMatrix所需的信息：必须描述子群的点/简单根与原始组的点/根之间的关系。在这种情况下，$SU（3）$点是由$SU。同样，$SU（2）$点与$SU。然后程序会注意到$SU（5）$中的一个点未使用（第三个点），并假设它已被删除。每个拖放的点都有一个$U（1）$组，根据用户的意愿，该组可能是子组的一部分，也可能不是。

首先考虑案例$SU（5）\右箭头SU（3）\乘以SU（2）$：

组={SU5}；子群={SU3，SU2}；breakingInfo={{1、{1、2}}、{1和{4}}}；prjMat=RegularSubgroupProjectionMatrix[组，子组，breakingInfo]；prjMat//矩阵形式

现在假设$SU（5）\右箭头SU（3）\乘以SU（2）\乘以U（1）$。如前所述，程序知道$U（1）$是“可用的”，因为没有使用的第三个点，所以用户只需要说出这些“可用的“$U（1$的线性组合确实在子组中。在这种情况下，只有一个$U（1）$，因此最多可以选择一个归一化因子$Z$：

组={SU5}；亚组={SU3，SU2，U1}；breakingInfo=｛｛1，｛1，2｝｝，｛1，｛4｝｝，｛Z｝｝；prjMat=RegularSubgroupProjectionMatrix[组，子组，breakingInfo]；prjMat//矩阵形式

（从这里可以看出，$Z=1$之前用于获取Out[65]中的表。）有关如何使用此RegularSubgroupProjectionMatrix的更多示例，请参阅程序的内置文档文件。

8.与$S_n$置换组相关的函数

到目前为止，我们一直在讨论与李群有关的量的计算。然而，如中所述第6节，与离散置换群$S_n$有联系，因此，Susyno程序还包含一些与$S_n$S相关的函数，我们现在将详细介绍这些函数。

回想一下，$S_n$的不可约表示是由$n$的分区给出的（即可以标记）：

（*示例：S5*的表示）整数分区[5]

（IntegerPartitions是一个Mathematica内置函数。）同样，众所周知，$S_n$的共轭类也可以用$n$的分区来标记，因为这可以用来描述组元素的循环长度。例如，$S_5$的标识元素可以在循环符号中写成$（1）（2）（3）（4）（5）$，这意味着它属于{1,1,1,1,1}共轭类，而$（143）（52）$组元素属于{3,2}类。

有了这个提示，我们继续进行功能SnIrrepDim它计算$S_n$不可约表示的维数。例如，{2,1}是$S_3$的二维表示：

SnIrrepDim[{2，1}]

作为第二个示例，我们可以计算$S_5$表示的维数：

S5reps=整数分区[5]dimS5reps=SnIrrepDim/@S5repsdimS5reps.dimS5-reps（*检查尺寸平方和是否为120=5！*）

功能SnClass字符更一般，因为它在$S_n$的某些不可约表示中计算给定共轭类的特征。例如，我们可以使用它构建$S_5$的字符表：

n=5；characterTable=反向/@表[SnClassCharacter[i，j]，{i，整数分区[n]}，{j，整数分区[n]}]；打印[“字符表”，下标[S，n]，“：”]；characterTable//矩阵形式

每个共轭类的阶数（即其中的元素数）可以用SnClassOrder（SnClass顺序）:

SnClassOrder[{1，1，1}]SnClassOrder[{2，1}]SnClassOrder[{3}]

有了这些数据，可以很容易地分解$S_n$的乘积，实际上这就是分解SnProduct:

分解SnProduct[{{2，1}，{2，10}}]

输出指示给定乘积中每个$S_n$irrep的重数，按IntegerPartitions[n]排序，因此在这种情况下，输出表示$\left\｛2,1\right\｝\times\left\｛2,1\right\｝=\left\｛3\right\｝+\left\｛2,1\right\｝+\left\｛1,1,1\right\｝$。下面是一个稍微复杂一些的$S_5$示例：

多重性=分解SnProduct[{{3，2}，{3，2]，{2，2，1}}]；打印[“{3,2}x{3,2]x{2,2,1}contains…”]；Do[打印[“…”，重数[[i]]，“表示时间”，整数分区[5][[i]]]；，{i，长度[多重数]}]；

最后，还有一个函数SnIrrep生成器它显式计算$S_n$的组元素$（12）$和$（12\cdot）$的表示矩阵。请注意，这两个元素足以生成整个组，大小为$n！$。此函数返回的矩阵始终是实矩阵和正交/酉矩阵。例如：

MatrixForm/@SnIrrepGenerators[{2，1}]矩阵形式/@SnIrrepGenerators[{3，2}]

使用连续矩阵乘法，可以恢复所有群元素：

gens=SnIrrepGenerator[{2，1}]；MatrixForm/@FixedPoint[Sort[DeleteDuplicates[Join[#，Dot@@@Tuples[#，2]]]&，gens]

作者
雷纳托·丰塞卡

电子邮件
renatfonseca@gmail.com
或
renatfonseca@ugr.es

上次更新时间
2024年3月5日