在本文中，我们将刻画$X$服从拓扑半群$S$的左$X$粗子集。我们的结果推广了$T$的结果。Mitchell以[12]$和Wilde and Witz以[15]$计价。

Dixmier正规Radon测度和Oxtoby范畴测度的同时推广。我们研究了剩余测度的正则性、$\tau$-光滑性、紧性和支持性。我们证明了当存在实值可测基数时，存在无支持的剩余测度。在紧致设置中，我们将任何紧致Hausdorff空间$X$与一个更大的Stonian紧致Hawsdorf空间相关联，即$X$的Gleason空间，因此这些空间上的剩余测度与这些空间上剩余Radon测度之间存在双射对应。因此，我们将某些类型的剩余测度的存在性问题提升到Dixmier的Stonian设置中。

Rudin-Shapiro系数$\{a（n）\}$是$\pm 1$的无限序列，由$a（0）=1$、$a（2n）=a（n^{n} 一个（n） $，$n\geq 0$为该序列的第$n$个部分和$s（n）$和第$n$个交替部分和$t（n）$开发了各种公式。然后使用这些公式显示$\sqrt{3/5}<s（n）/\surdn<\surd6$和$0leq；t（n）/\surd n<\surd 3$，$n\geq 1$，其中不等式尖锐，两个区间的比率密集。对于给定的$n\geq 1$，方程$s（k）=n$显示正好有$n$个解$k$。