本文利用优化测度的存在性证明了正交级数a.s.收敛性的完全刻画。这意味着，对于给定的$（a_｛n｝）^｛\infty｝_｛n＝1｝$，$a_｛n｝＞0$，序列$\sum^｛\infty｝_｛n＝1｝a_｛n｝\varphi_｛n｝$是收敛的。例如，对于每个正交序列$（\varphi_｛n｝）^｛\infty｝_｛n＝1｝$，当且仅当上存在测度$m$

\[T=\{0\}\cup\Biggl\{\sum^{米}_{n=1}a{n}^{2}，m\geq1\Biggr\}\]

这样的话

\[\sup_{t\in t}\int^{\sqrt{D（t）}}_{0}（m（B（t，r^{2}）））^{-{1}/{2}}\，dr<\infty，\]

其中$D（T）=\sup_{s，T\in T}|s-T|$和$B（T，r）=\{s\in T : |s-t|\leqr\}$。该方法基于弱优化措施和特定的划分方案。