五月09, 2019

威廉·斯坦

我是否应该辞去我的全职教授在CalCalc上全职工作?

将近3年前,我给了谈话在哈佛数学会议上宣布“我要离开学术界去建立一家公司”。我真正做的是继续无薪假期从我终身教授的职位到现在已经三年了。不可能再延长这一假期,所以我最终必须决定是否返回学术界或辞职。

我是怎么到这里的?

近二十年前,作为一个新近被收购的伯克利数学博士,我被哈佛大学数学系聘为非终身教职教师。我在哈佛大学呆了五年,然后申请了工作,在加州大学圣地亚哥分校的数学系接受了终身教授的职位。数学界非常支持我的数论研究,我跳过终身教职,在我30岁的时候就获得了一个终身职位。2006,我从UCSD搬到华盛顿大学(UW)数学系的终身教授职位,主要是因为我的妻子是那里的研究生,UW在数论和代数几何学方面有很强的研究,并且他们有很好的文化支持本科研究。

在我离开哈佛之前,我开始了SaGeMaTM开源软件项目最初的目标是创建一个免费的开源Mathematica,MAPLE,Matlab和岩浆的可行替代方案。因此,除了出版数十篇数学研究论文一些书我也开始花很多时间编写软件,组织起来。圣日工作室.

UW数学招生

在UW,我招募了一批优秀的本科生和研究生,他们对圣人的发展产生了重大的影响。我被学生(无论是研究生还是研究生)的素质所驱散,以至于我能够参与圣人的发展。我完全预料,在未来几年里,我将有足够的资源雇佣这些学生在圣人全职工作。他们已经编写了SAGE的许多核心功能的第一个版本(例如,图论、符号演算、矩阵等等)。

当我申请UW大学的教授被耽搁了一年时,我很惊讶,因为有人告诉我,我没有发表足够的研究论文。这是因为我在建造圣人的过程中非常努力。我认真地接受了反馈,把更多的时间放在传统的研究和出版上,这是我一生中第一次因为研究原因而不是仅仅因为我喜欢做数学而研究数学。

我很努力地雇佣比尔·哈特作为终身教职的教师在UW。然而,有人告诉我他的出版物数量是“有点轻”我没有成功雇用他。如果你打印出他编写的软件的源代码,那将是一堆很高的纸。在任何情况下,我完全失败的政治需要作出他的案子,并留下失望,意识到我个人的缺点在部门政治意味着我可能无法聘请的同事,我迫切需要。
UW也非常支持我教授一个开源数学软件的课程。我曾经在研究生班上教过一门类似的课程,成绩非常好,在我看来,这是我在UW上教过的最好的课程。当我再次申请GRAD课程的申请被拒绝时,我感到非常惊讶,我被告知研究生应该去我的本科课程。我想,“这真的很奇怪”,而不是游说教这门课,更好地介绍我的情况。

说清楚,我并不想批评数学系。UW数学系对他们的优先事项以及如何适应UW进行了非常认真和系统的思考。它们是传统的纯净的数学系一般在全国排名25左右,具有一定的实力。在校园里有一个单独的应用数学系,几个统计部门,和一个庞大的计算机科学学校。也许我是在一个错误的地方尝试雇用一个主要资格是世界级的写数学软件的人。这篇博客文章是关于UW数学系是否适合我的问题。

外部补助金支持?

我的数论研究得到了NSF的难以置信支持,而我就是PI。六美国国家自然基金会补助金. 也,岩浆(与SAGE相似,但封闭源)设法找到足够的政府资金,所以我保持乐观。也许我可以资助人们通过资助建立圣人,甚至成立一个研究所!我申请补助金以更大规模支持SaGeMaTM的工作,并取得了一些初步的成功(一半的博士后,和一些研讨会等)。

为什么补助金对圣人来说如此重要?SaGeMaTM项目的目标是创建一个免费的开源软件,它是Mathematica、Maple、Matlab和Mathema的一个可行的替代软件。这些软件是由数千名全职员工组成的公司生产的。虽然最初的进展是令人鼓舞的,但很明显,我迫切需要大量资金来真正竞争。例如,一个圣人的开发者有一个圣人的开发项目,他希望在夏天一个20K的时间全职工作,我找不到钱,结果他放弃了圣人的工作。该项目涉及实现一些更深层次的算法,这些算法需要更直接地与Mathematica竞争以解决符号不等式。这种事一次又一次地发生,我真的很沮丧。我可以为1周的工作坊获得足够的资金(只是旅行费用——每个人都免费工作),但是在这样的冲刺中你只能做这么多。

我一直听说,在接下来的一两年里,美国国家科学基金会将有一个十年的大型竞赛。人们向我暗示,这将是一件值得关注的事情,我梦见我可以找到这样一个研究所,它的使命就是让数学共同体最终拥有教学和研究所基于的深层软件。这个研究所将给计算数学带来同样的开放性和稳健性,这是一个世纪前对数学本身的严格证明。

唉,这并没有发生。我记得那一刻我发现了NSF协会的真实竞争。乔西尔弗曼站在我身后喝咖啡休息亚利桑那州冬季学校2010告诉人们如何他的ICRM提案刚刚赢得了NSF学院的比赛。我转过身来,祝贺他,因为我听了在去年的工作中做了多少工作,在内心深处,我的心沉了下来。我不仅赢了,我甚至不知道比赛已经发生了!我想我太忙于圣人了。无论如何,我梦想创建一个由NSF资助的研究所在那一刻去世了。当然,ICRM已经成为一个了不起的研究所,它已经主持了几个支持开源数学软件开发的工作坊。

这一次,我也开始了我的赠款提案被否决了因为我不明白的原因。这让我很困惑,因为我以前收到过很多NSF资助。2012,西蒙斯基金会提出了一个呼吁,我希望通过NSF资助的研究所完成的事情。我又很兴奋,但是不像我希望的那样. 所以接下来我尝试了一些我从没想过一百万年后会做的事情…

UW的商业化

由于种种原因,我未能获得NSF或其他基金会资助我所需要的SAGE,所以在2013,我决定尝试出售一种商业产品,并利用利润来资助圣人发展。我第一次尝试在华盛顿大学做这件事。商业化办公室(C4C)向SAGE在线销售。只要企业和产品仅仅是抽象的想法(例如,让我们编一个名字和商标吧!)让我们写一些服务条款吧!)事情进展顺利。然而,当事情变得更加具体化时,与C4C一起工作对我来说是奇怪和令人沮丧的。我显然遗漏了什么东西。

例如,第一件事C4C告诉我,在我们一起坐的第一天,如果我为这个开源软件编写的软件,他们将不与我合作,并且大学将拥有软件。鉴于目前还没有软件,我想我会把一个快速现代化的基于Web的前端移植到贤者身上,然后把一大笔钱直接投入到UW账户中,用来资助贤人,这对我来说似乎很好。然而,我有一种唠叨的感觉,一个纯粹的封闭源解决这个问题是不可能的,而且没有这种灵活性会回来困扰着我。

天真的乐观,我发现自己在UW全职工作,同时尝试自己开发一个复杂的Web应用程序,许多重要的早期用户依赖于它的课程。这很紧张,花费了大量的时间和精力。我觉得我只是软件的一部分,经常得到警告说,事情被打破或打破,并手动修复它们。辛苦是很高的,而且只有越来越多的人使用软件。我会整夜醒来。我不能旅行,因为事情总是在破裂。

每次我在Web应用程序上遇到一些非常困难的问题,而不是仅仅放弃,我就更加坚定地决定不放弃。

上面描述的Web应用程序在过去6年中发展到现在。HTTPS://COCalC.com功能与第1天非常相似,但质量和可伸缩性已经达到了很长的路。COCALC让您合作使用胶乳,鼠尾草,终端,Juyter笔记本等,用于教学和研究。

2014,我进行了休假,全职开发了这个Web应用程序,上面提到的反馈回路只变得更加强烈:解决问题,克服困难,更加坚定地不放弃。幸运的是,我有一些剩余的NSF-Grand基金,并且能够利用他们来雇佣几个学生来帮助发展。我找不到学生,我可以雇佣他们做后端工作(无论白天还是晚上都有空),这意味着保持站点运行的大部分压力持续地落在我的肩上。随着网站的普及和功能的增强,网站的压力也越来越大。

我的休假结束了,我被要求返回UW全职一年,或退还我在休假期间支付的所有钱。到目前为止,CalCalc越来越受欢迎,但我没有被“商业化办公室”允许商业化,所以它仍然是一个免费的网站。
我在UW教学,同时作为主要的人试图运行这个非常复杂和痛苦的生产Web应用程序。基于用户反馈,我也有很大的动机来改进COCALC。我通常会睡几个小时,凌晨3点起床,写代码直到上午8点,然后准备上课,希望上课前不要有任何网站问题,等等。有一天,CalCalc在我上课之前几分钟遭受了大量DDoS攻击,而我正和一个未来的捐赠者交谈。

我是那种一次只专注于一件事的人。如果有机会在一段时间内完全集中在一件事情上,我有时甚至会做一些真正重要的事情并产生影响。我不擅长同时做许多不同的事情。

与此同时,圣人本身也在成长并获得资助,尽管这与我无关。例如,Gregg Musiker正在整理一个IMA大计划,以一吨圣贤日工作坊的形式。此外,大型ODK项目这是一个支持开源数学软件的欧盟资助计划将得到充分的资助。在离家更近的地方,穆尔和斯隆资助了一个重大新举措这也可能支持圣人的工作。我被邀请去参加研讨会和活动,涉及这些和其他赠款,但我经常说没有或取消在最后一分钟,因为辛苦的需要,只是为了保持CalCalc运行。而且,我相信如果我能开始给顾客充电,那么我会有更多的钱,并且可以雇佣更多的帮助。
我在UW的C4C遇到了更多的老年人,最后向人们收取使用CalCalc的费用。他们希望我与他们的许可证管理系统集成,并出售“Express”软件许可证。这对我没有任何意义,我们绕圈子。然后我问了一个独立的公司(一个法律实体),该大学将拥有一些所有权,这样公司就可以接受付款等等。他们不会因为“利益冲突”而与我谈论创建公司。

我寻找其他的UW教师,他们已经商业化了类似的远程产品,并找到了一个。他告诉我这是如何发生的,并说这是他一生中最糟糕的经历。UW拥有该公司50%的股份和公司所有的软件,这些公司都是在繁重的条件下授权的。他们拒绝与他谈判任何事情,相反要求他的分拆公司雇佣一名外部谈判代表。由于这一切,我尽可能地教育自己的相关规则和法律,并咨询了律师。

事实证明,NSF资助我用来资助COCalc的工作明确规定,这些资助所资助的代码必须是GPL许可的。这意味着CoCalc的所有代码都必须是开源的。后来,该大学甚至同意在BSD许可证下发布所有COCALC代码的快照,而自从发布以来,我还没有收到UW的一分钱,所以没有可能声称该公司不能使用该代码。

建立公司

我在哈佛的一个同事在城里待了一天,我们见面喝咖啡。他希望我们谈谈圣人和数论,但我告诉他CoCalc和我在商业化和创办公司的尝试。他立刻提出了一个解决我的问题的办法,那就是和他的一位朋友谈谈,他有丰富的工作经验,与公司合作,与数学有着深厚的联系。我确信,在最坏的情况下,我可以辞去UW的工作,从头开始重写所有的软件,所以我接受了他的提议。
2015,我成立了一家公司,并接受了一些外部投资,并利用这一点(并大幅削减我已经很小的学术收入)“离开学术界”。更确切地说,在2016(在UW工作了一年之后),我终于从UW公司开始了100%次无薪假期,以便完全专注于CCOCLC的发展和业务的发展。此外,没有足够的理由辞去终身教授的工作,当你可以休假,也COCalc支持教学的数学系,所以它是密切相关的我的学术工作。我唯一的学术责任是我的两个博士生,我每周至少一次一对一的见面。两年后,我要求第三年的无薪假期,这是UW同意的(这不是惯例)。在这一切中,UW数学系非常支持。
在这三年的无薪假期里,我被雇佣了其他三个人谁在CalCalc上全职工作。我们一起大规模地改进了软件,并建立了一个拥有数千付费用户的业务。该公司仍然没有盈利,但未来显然是非常光明的,如果我们继续我们目前正在做的事情。COCALC已经成为越来越多的可扩展产品的平台(如正在建设中,明年有巨大的增长潜力。

在这一点上,这在社区看来是理所当然的。我离开了SaGeMaTM开发,专注于把CalCalc作为一个独立的业务建立起来。事实上,我不花任何重要的时间来贡献圣人,我甚至转换到每天的消化。圣人邮件列表.
另一方面,如上所述,COCCAC通过许多指标(质量、特征开发、客户爱、市场地位等)进行得很好。最重要的是,我和其他三个在CalCalc上全职工作的人,真的很喜欢这份工作,并且有很大的潜力。我仍然不知道CCOCLC是否会永远盈利,并大量资助SAGE开发。如果我只是痴迷于这个目标,我就不得不放弃CalCalc的工作(因为它花费了太长的时间),并追求其他机会来资助圣人。

回想起来,我从7年前就开始从零开始建立一个基于网络的软件公司,并把它打造成一个成功的有利可图的业务,到目前为止还没有完全资助贤者。

对基金会进行全职写作补助金的使用将更容易,并利用公认的成功圣人到目前为止。我错了,因为我原来的目标。令人惊讶的是,我真的很享受我现在正在做的事情!

我没有带薪休假,我该怎么办?

我的第三年无薪假期来自UW。我必须决定是返回UW还是辞职。如果我回来,结果我不得不至少50%次约会. 我目前有50%的一年的教学“学分”,这意味着我不会被要求教学的第一年,我回去作为50%的任命。此外,现任部门主席(John Palmieri)理解并欣赏圣人——他是其中之一。圣哲源代码的前10位贡献者

我已决定辞职。我担心的是知识产权问题,如果我拿到了50% W的位置,那就对我的员工、投资者和客户造成极大的不公平,结果后来被UW起诉了。在UW有50%个有偿聘任会导致一个很大的法律危机,这就是为什么我在过去的三年里一直在100%次无薪休假。但更重要的是,我很高兴继续关注100%在CCOCLC的发展,这将是一个令人难以置信的一年。我真的很喜欢建立这个(非VC资助)的公司,感觉很好。

William Stein[电子邮件保护])五月09, 2019日下午2时21分

2019年1月24日

巴斯蒂安·拉布

评论安装程序和应用程序上升,UNE扩展DU笔记本JUVEYTER

Jeroen Demeyer,一个值得信赖的人工作室/PARI/GP 2019Au SujedeCyPARI2.

La PraysEngest-Endo-dioosisith-HTML O'Les计算器Sunt FaIT-EN直接(AVEC Jujyter)et on Peter LES修饰符EN直接DANS LES diaosisides。印象派!Tela GelaCe Au包Python上升.

倾注安装程序和使用工具上升,UNE扩展DuJuyter笔记本倾倒FEL。倾诉“安装者丹斯圣人”

SAGE -PIP安装上升sAGE SH JUJYTER NBULL安装升级-PY-sys前缀

佩特咨询公司德莫Youtube公司EST ICI文件.

2019年1月24日上午10点37分,巴斯蒂安

2018年12月12日

巴斯蒂安·拉布

王拼接求解器的比较

去年,我写了一篇Python模块处理包含大约4K行代码的王瓦片,包括文档和文档。

它可以这样安装:

SAIP - PIP安装Sabbe

可以这样使用:

圣人  斯拉贝 进口 旺蒂莱塞
圣人  = [(    
      
圣人 T0 = 旺蒂莱塞([地图STRT  T 进入 
圣人 T0.蒂克兹n纵列=十一.PDF()
/文件/ 2018 / t0

Wang瓦片上的模块包含一个类旺蒂莱斯尔弗其中包含了三个王平铺问题的第一次使用。MILP求解器第二次使用SAT求解器第三个使用Knuth的舞蹈链接.

这里有一个例子,使用跳舞链接减少找到一个瓷砖:

圣人 %时间 瓷砖 = T0.求解器.解决求解器=“舞会链接”
CPU 时代 用户 三十六 毫秒 系统 十二 毫秒 全部的 四十八 毫秒
 时间 六十五点五 毫秒
圣人 瓷砖.蒂克兹().PDF()
/文件/ 2018 / t01010xTelig.vg

所有这些削减现在允许我比较各种类型的求解器的效率限制于王瓷砖类型的问题。这是我经常使用的解决方案列表。

求解器列表
求解器 描述
古罗比 MILP求解器
“GLPK” MILP求解器
“PPL” MILP求解器
“LP” 一种基于降维的SAT求解器
隐花菌素 SAT求解器
皮科萨特 SAT求解器
“葡萄糖” SAT求解器
“舞会链接” Knuth算法

在这近期工作在Jeandel Rao tilings的替代结构上,我引入了不同的王瓦集(Ti i),用于(i,{0,1,\点,12)。珍德尔和拉奥以及(Ty2)含有20个瓦片和含有24个瓷砖的(Ty3)。

瓦解一个n×n方

最自然的问题是用给定的王瓦片找到(n倍n)平方的有效王倾斜。下面是每个提到的求解器在三个王瓦集\(T0 0)、\(Ty2)和(Ty3)中的每一个找到小于10秒的一个(n倍n)平方的有效瓦片所花费的时间。

文件/ 2018 / T0X平方根。SVG文件/ 2018 / T2平方平方根。SVG文件/ 2018 /T3X平方寄存器。SVG。

我们指出MILP求解器较慢。舞蹈链接可以解决20x20平方米与Jeandel Rao瓷砖\(T0O)和SAT求解器执行得很好,与葡萄糖是最好的,因为它可以找到一个55 X55瓷砖与Jeandel Rao瓷砖\(Ty0)在不到10秒。

找到允许给定半径周围的所有多米诺骨牌

在我的研究中经常需要的是枚举所有水平的垂直和多米诺骨牌,允许给定的周围半径。一般来说,这是一个困难的问题,如判定给定的瓦片集是否承认无限平面的平铺是不可判定的。但在某些情况下,我们从多米诺骨牌获得的信息,承认半径1, 2, 3或4的半径足以得出结论,例如,平铺可以被取代。这就是为什么我们需要尽可能快地回答这个问题。

下面是每个求解器计算所有垂直和水平多米诺骨牌的时间的比较,允许半径为1, 2和3的圆周(每次执行不到1000秒)。

/文件/ 2018 / T0l DimeOrtheSudio.SVG/文件/ 2018 /T2L DimeOrtheSuff.SVG文件/ 2018 /T3L DimeOrtheSouthEngurn.SVG

首先令人惊讶的是,在第一个(n次n)方经验中表现良好的求解器在第二个实验中不是最好的计算有效多米诺骨牌。舞蹈链接和MILP求解器GuRuii现在是计算所有多米诺骨牌的最佳算法。其次是PICSOAT和密码子,然后是葡萄糖。

上述比较的源代码

上面的比较的源代码可以在这里找到。Juyter笔记本. 请注意,这取决于葡萄糖作为鼠尾草可选的包装(第26361)以及最新的开发版本斯拉贝可选的SAGE封装。

2018年12月12日上午03:24由巴斯蒂安·拉布雷

九月07, 2018

巴斯蒂安·拉布

木制激光切割Jeandel Rao瓷砖

我一直在研究Jeandel Rao瓷砖最近.

/文件/ 2018 /节2T0Ty.TI.SVG

会前模型集与非周期序在英国达勒姆举行(SEP 3-7 2018),我认为在发布会上带一些真正的瓷砖是个好主意。因此,我首先决定了一些约定,以基本上使用基1中整数的表示来表示上面的瓦片作为拓扑封闭的磁盘:

/文件/ 2018 / t0*形状

有了这些形状,我创建了一个33×19的补丁。每边3cm,贴片在激光切割机(1m×60×cm)的容量范围内为99厘米×57厘米。

/文件/ 2018 / 33×192 a1等级3.VG

在拉比里的David Renault的帮助下,我们去了COH@钻头波尔多大学的Fablab,我们激光切割两片3mm厚的胶合板,总共有1282个瓦片。这就是结果:

/文件/ 2018 /激光

一个可以重新创建33×19瓦片如下(请注意,我使用的是笛卡尔坐标,所以第一个列表)数据〔0〕实际上是从底部到顶部的第一个纵列:

圣人 数据 = [[                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  
  [                  ] ]

上面的贴图被选择在其他1000个随机生成的部分中,作为最接近于JeordelRo Trimes中的瓦片的渐近频率(或者至少在我在预印本中描述的最小子移位):

圣人  收藏 进口 计数器
圣人 C = 计数器压扁数据
圣人 提利数 = [C[I]  I 进入 范围十一

渐近频率:

圣人 φ = 黄金比率.N()
圣人 林伟 = [*φ +  *φ +  十八*φ +  *φ +  *φ + 
      *φ +  *φ +  十二/*φ + 十四/ *φ + 
      *φ +  *φ + ]
圣人 完美比例 = 矢量([/   进入 林伟

每种类型的瓦片数量与预期频率的比较:

圣人 第二行 = [“瓦片ID” “渐近频率” “预期的拷贝数”
               “NB拷贝在3x19补丁”]
圣人 专栏 = [范围十一 完美比例 矢量完美比例*三十三*十九 提利数]
圣人 专栏=专栏 第二行=第二行
   身份证件   渐近性 频率   预期  属于 副本    副本 进入 这个 三十三X19 补丁
+------------------------------------------------------------+。
           零点一零八二七一一八二三二九五五零      六十七点八八六零三一三二零六二八零        六十七
           零点一零八二七一一八二三二九五五零      六十七点八八六零三一三二零六二八零        六十五
           零点零二五五五九三五九零三四零四七九     十六点零二五七一八一一四三四八零        十六
           零点一零八二七一一八二三二九五五零      六十七点八八六零三一三二零六二八零        七十一
           零点零六六九一五二七零六八一七九九一     四十一点九五五八七四七一七四八八零        四十二
           零点零八二七一一八二三二九五五零二三     五十一点八六零三一三二零六二八零零        五十一
           零点一零八二七一一八二三二九五五零      六十七点八八六零三一三二零六二八零        六十五
           零点一四九六二七零九三九七七三零一      九十三点八一六一八七九二三七六八零        九十五
           零点零六六九一五二七零六八一七九九一     四十一点九五五八七四七一七四八八零        四十四
           零点一零八二七一一八二三二九五五零      六十七点八八六零三一三二零六二八零        六十七
          零点零六六九一五二七零六八一七九九一     四十一点九五五八七四七一七四八八零        四十四

我在会议上带来了(33个时间19=641)瓦片,并提供给前7个人,以找到一个(7倍7)瓦片的机会来保持他们使用的49瓦片。49是一个好的数字,因为最低瓦片的频率(ID 2)大约为2%,这允许在49个瓦片的子集中允许每个瓦片的至少一个拷贝,从而允许解决方案。

一个自然的问题是,有多少这样的(7次7次)倾斜存在?带票α25125该算法在Spre 8.3中于今年春季被合并,可以与Knuth舞蹈链接算法并行地枚举和计数解决方案。安装SAGE可选包后斯拉贝圣人-匹普安装板条可以计算出152244种解决方案。

圣人  斯拉贝 进口 旺蒂莱塞
圣人  = [(    
      
圣人 T0 = 旺蒂莱塞
圣人 T0-解算器 = T0.求解器
圣人 %时间 T0-解算器.数列解NCPU=
CPU 时代 用户 十六 毫秒 系统 八十二点三 毫秒 全部的 九十八点三 毫秒
 时间 三百八十八 毫秒
十五万二千二百四十四

还可以得到所有解决方案的列表并打印其中一个:

圣人 %时间 L = T0-解算器.全解(); 打印伦恩L
十五万二千二百四十四
CPU 时代 用户 六点四六 S 系统 三百四十四 毫秒 全部的 六点八 S
 时间 六点八二 S
圣人 L[]
  瓷砖 属于   X  矩形
圣人 L[].()  警告:输出是笛卡尔坐标
[[      
 [      
 [      
 [      
 [      
 [      
 [      ] ]

这是49个瓦片的不同集合的数量,允许7x7解决方案:

圣人  收藏 进口 计数器
圣人 DEF 五元数瓷砖):
     C = 计数器压扁瓷砖.())
     退货 元组C.得到   进入 范围十一
圣人 LFRQ = 地图五元数 L
圣人 吕弗里克数 = 计数器LFRQ
圣人 伦恩吕弗里克数
八万三千二百五十八

具有相同的49个瓦片集的其他解决方案的数量:

圣人 计数器吕弗里克数.价值观()
计数器({ 四万九千零七十六  一万九千八百四十九  六千三百一十三  三千六百六十四  一千四百一十  一千三百四十一  七百零五 
二百九十三  一百五十九 十四 一百一十六  一百零四 十二 九十七 十八 四十四 十一 二十六 十五 二十四 十三  十七 
二十二  三十二  十六  二十八  十九  二十一 })

(k次k)解的个数是如何增长的K从0到9:

圣人 [T0.求解器KK.数列解()  K 进入 范围
[ 十一 八十五 四百四十四 一千七百二十三 九千一百七十二 五万零六百三十八 十五万二千二百四十四 二十六万二千零一十九 一百六十四万一千六百九十五]

不幸的是,大多数(k次k)解不可扩展到整个平面的平铺。事实上,我能描述的最小非周期子移位的语言中的\(k次k)补丁的数目,似乎是Jeordel-Ro倾斜的一个适当子集,根据一些启发,似乎是:

[ 十一 四十九 一百零八 一百八十四 二百六十八 三百六十七 四百八十三]

我不同意我的(丑陋)代码用于这个计算,因为我宁愿分享干净代码很快到来的时候。因此,在152244个中,只有483个(0.32%)它们被延展成平面的均匀重复的平铺。

由巴斯蒂安·拉布雷于九月07, 2018时9:16