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几乎等距集主页

这个网站包含一个程序和补充数据,这些数据被用来证明

摘要

对于正整数$d$,如果在$d$-维欧几里德空间中的任何三个点中,有两个点在单位距离上,则称为\emph{几乎等距}。让$f(d)$表示$d$-空间中几乎等距集的最大大小。

众所周知,$f(2)=7$,$f(3)=10$,且极值几乎等距集是唯一的。 我们给出这些陈述的独立的计算机辅助证明。 我们还知道$f(5)\ge 16$。 我们进一步证明了$12\leq f(4)\leq 13$,$f(6)\geq 18$,$f(7)\geq 20$,和$f(9)\geq f(8)\geq 24$。尺寸$4$,我们的工作基于计算机搜索,在尺寸$6$到$9$中,我们根据$d=5$的构造给出构造。

对于每个维数$d\ge3$,我们给出了一个在$d$-空间中几乎等距的$2d+4$点集的例子,并证明了$f(d)\le O(d^{3/2})$的渐近上界。

结果

下面的文本文件包含$\mathbb{R}^d$中的所有$n$-vertex abstract几乎等距图,对于$d=2,3,4$。这些图用graph6表示法编码(图形6编码).

对于尺寸$d=5$,我们提供$n=13,14,15$顶点的$\mathbb{R}^5$ 中的所有抽象几乎等距图都可以根据要求提供。 我们注意到,对于重复的$n=15$,我们没有过滤结果文件,因此,一些图可能是同构的。
对于尺寸$d=6$,我们提供凡$n=13$顶点的$\mathbb{R}^6$ 中的所有抽象几乎等距图均可按要求提供。

我们的Sage计划

程序在~$\mathbb{R}^d$中生成所有$n$-顶点抽象几乎等距图,对于\{2,3,4\}$中的$d\和$d=5$以及一些足够小的$n$值(定义见论文)。程序的源代码可用在这里和 可以使用圣哲该程序要求三个参数。第一个参数定义维度,它可以是2、3、4、5或6。 如果所有图形都应枚举,则第二个参数应设置为1;如果只应对图形进行计数,则应将第三个参数设置为1图6编码如果要打印边缘列表,则为0。
以下命令演示了如何使用该程序:

$sage program.sage 3 1 1 
一个三维抽象的几乎等距图是一个独立数最多为2的图,没有K
5或K{3,3} .
下面是所有这类图的列表。
 
 1个顶点上的几乎等距图:
写入文件的图:graphs3 _1.g6 
 2个顶点上的几乎等距图:
写入文件的图:graphs3 
 2.g6 
 3个顶点上的抽象几乎等距图:
写入文件的图:graphs3 u3.g6 
 7抽象几乎等距图在4个顶点上:
写入文件的图:graphs3_4.g6 
 13 5个顶点上的几乎等距图:
写入文件的图:graphs3 u5.g6 
 29抽象6个顶点上的几乎等距图:
写入文件的图:graphs3_6.g6 
 7个顶点上的几乎等距图:
写入文件的图:graphs3_7.g6 
 69 abstract8个顶点上的几乎等距图:
写入文件的图:graphs3_8.g6 
 35抽象9个顶点上的几乎等距图:
写入文件的图:graphs3_9.g6 
 10个顶点上的几乎等距图:
写入文件的图:graphs3_10.g6 
 11个顶点上的几乎等距图:
写入文件的图:graphs3_11.g6 
 0在12个顶点上抽象几乎等距的图:
写入文件的图:graphs3_12.g6
为了枚举给定维数$d$的所有抽象的几乎等距图, 我们从一个顶点开始,反复添加一个新顶点,并讨论将新顶点与旧顶点连接的所有可能性。 对于每个添加边的可能性,我们检查得到的图是否包含两个禁止子图中的一个,并且它的补码不包含三角形。 我们使用两个技巧来加速这个过程。 首先,当添加一个顶点时,我们可以假设新插入的顶点在扩展图中具有最小阶数。 其次,我们只需要检查所有可能的至少$n-d-1$个新边,其中$n$是扩展图之前的顶点数。 这是因为新添加的顶点的度数必须至少为$n-d-1$, 因为抽象的几乎等边图$G$的补足是无三角形的,因此每个顶点的非邻域在$G$中诱导一个团,其中最多有$d+1$个顶点。

过滤极小图

我们还提供了Sage程序来测试给定图的最小值。对于每一条边,程序都会尝试删除它并检查补码是否仍然是无三角形的。如果没有边缘可以去除, 我们知道给定的图是最小的。 源代码是可用的在这里.
以下命令演示了如何使用该程序:
$$sage filter_minimal_graphs.sage graphs3_10.g6 
 7个图形中有4个是最小的。

我们的C++程序(与triangleramsey和/或MTF结合使用)

不幸的是,我们的Sage程序无法在合理的时间内计算出$d=5$和大$n$的所有图形三角帆MTF公司为了列举所有最大无三角形图,这些图的补码中不包含$K{d+2}$,也就是所谓的“Ramsey(3,d+2)-图”。然后我们测试了这样一个图的补码是否是维数为$d$的(最小)几乎等距的图(尺寸5的代码,尺寸6的代码)它只测试a图中禁止的子图。 有关如何构建和使用TrianglerAsey的信息,以及“多代码”文件格式(*.mc), 我们参考三角网主页. 根据说明编译triangleramsey时, 可以使用以下bash命令(在unix/linux中,使用管道) 枚举维度为$d=5$的$n=20$顶点上的所有最小几乎等距图:
$./triangleramsey-1.0/triangleramsey 20 |./testvalid_d5 output20.mc
在这里,triangleramsey生成所有最小无三角形图和 我们的testvalid 程序过滤图, 其补码是维数为$d=5$的几乎等距图。
为了加速使用in triangleramsey计算,参数“ramsey”和“write_all_ramseygraphs”只能用于枚举ramsey(3,d+2)-图。 下面的命令演示了如何使用triangleramsey枚举19个顶点上的所有ramsey(3,8)-图。
$./triangleramsey-1.0/triangleramsey 19 ramsey K8.mc写_all_ramseygraphs
同样MTF程序可用于枚举最小无三角形图。 下面的命令给出了如何使用MTF枚举19个顶点上的所有Ramsey(3,8)-图的插图。
$/mtf n 19拉姆齐岛8
然而,正如MTF网站上所提到的,triangleramsey建议优于MTF。

上次更新:08.07.2017,(c)2017 Manfred Scheucher