Von Mangoldt函数

这个von Mangoldt函数 ${\显示样式\脚本样式M（n）\，}$，也称为lambda函数 ${\displaystyle\scriptstyle\Lambda（n）\，}$，是的函数正整数 ${\显示样式\脚本样式n\，}$由定义

${\displaystyle\Lambda（n）={\begin{cases}\log（p）&{\mbox{if}}n=p^{k}{\mbax{表示一些素数}}p{\mbox{和整数}}k\geq1，\\0&{\mpox{otherwise。}}\end{cases{}}}}$

从而得出超越序列

{${\displaystyle\scriptstyle 0，\log（2），\ log（3），\日志（2）$}

von Mangoldt函数的指数

A014963号von Mangoldt函数M（n）的指数：a（n）=1，除非n是素数或素数幂，当a（n。

{1, 2, 3, 2, 5, 1, 7, 2, 3, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 2, 17, 1, 19, 1, 1, 1, 23, 1, 5, 1, 3, 1, 29, 1, 31, 2, 1, 1, 1, 1, 37, 1, 1, 1, 41, 1, 43, 1, 1, 1, 47, 1, 7, 1, 1, 1, 53, 1, 1, 1, ...}

由公式给出

${\显示样式e^{\Lambda（n）}={\分形{LCM（1,2，…，n）}{LCM$

哪里${\显示样式\脚本样式LCM（1,2，…，n）\，}$是最小公倍数功能。

这个全球气候变化大会所有内部单元的${\显示样式\脚本样式n\，}$^第个第行，共行帕斯卡三角形给出了von Mangoldt函数. ( ^{（验证：该推测需要确认……）} )

狄利克雷生成函数

因为我们有狄里克莱级数身份

${\显示样式{{\bigg[}\log{\big（}{\frac{1}{\zeta（s）}}{\bigh）}}}{\ bigg]}^{'}=-{\big[}\log{\bing（}\zeta）{\bigs]}}^{'}=-{\frac{\zeta^{}}{ty}{\frac{\Lambda（n）}{n^{s}}}，\\Re（s）>1，\，}$

这个Dirichlet生成函数的von Mangoldt函数就是那个时候

$D_{\{\Lambda（n）\}}（s）={{\bigg[}\log{\big（}{\frac{1}{\zeta（s）}}{\big]}^{'}=-s）}}.\，$

此外，由于Dirichlet生成函数的莫比乌斯函数是

$D_{\{\mu（n）\}}（s）={\frac{1}{\zeta（s）}}，\，$

因此，我们在von Mangoldt函数的Dirichlet生成函数以及Möbius函数的Dirichlet母函数

$D_{\{\Lambda（n）\}}（s）={{\big[}\log{\big（}D_{\\mu（n）\}$

另请参见

• 求和von Mangoldt函数
• 用户：Peter Luschny/VonMengoldtTransformation