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用户对话:Wolfdieter Lang

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虽然我想说下面引用的评论没有问题,但我有点困惑。也许你的意思是圆周率的顺序是“不是”质数指数,也就是质数?我想我读到了为什么用pi(x)来将质数指数缩短为一个希腊字母来描述质数的原因。我同意你其余的发言。我总是更担心我的写作会导致混乱,而不是沟通,所以我理解我想把事情搞清楚的愿望。

沃尔夫迪特·朗:谢谢约翰·W·尼科尔森。对不起,我在读‘prime index’的圆周率,但没关系。总之,很高兴能说出圆周率的含义。WL

约翰·尼克尔森2014年5月16日18:54(UTC)

尊敬的Nicholson先生:,“对不起”是因为我在第一次评论中没有意识到,对于x来说,pi是作为“素数索引”还是作为素数计数函数pi(x)都无关紧要。所以我最初的评论应该是这样的:“请给出圆周率的定义”。顺颂商祺,沃尔夫迪特·朗


A115131号:幂和函数在初等对称函数中的Waring数。

亲爱的Wolfdieter,

这是一个惊喜A115131号已经存在于OEIS中。“Waring numbers”的引用让我去了谷歌,但我只找到了拉格朗日的“四平方”定理。问题:是什么促使你使用这个名字?

我被绊倒了A115131号通过将1的n次根代入单项式对称函数的n个变量。按逆字典顺序排列:

{1},{2,-1},{3,-3,1},{4,-4,-2,4,-1},{5,-5,-5,5,5,-5,1},{6,-6,-6,6,-3,12,-6,2,-9,6,-1},{7,-7,-7,7,-7,14,-7,7,7,-21,7,-7,14,-7,1},{8,-8,-8,8,-8,16,-8,-4,16,8,-24,8,8,-12,-24,32,-8,-2,16,-20,8,-1},{9,-9,-9,9,-9,18,-9,-9,18,9,-27,9,9,18,-27,-27,36,-9,3,-27,18,-9,54,-45,9,9,-30,27,-9,1},{10,-10,-10,10,-10,20,-10,-10,20,10,-30,10,-5,20,20,-30,-30,40,-10,10,-15,10,-60,40,-10,60,-50,10,-10,-15,60,-25,40,-100,60,-10,2,-25,50,-35,10,-1}

所有行总和等于1。(检查:单项式上的和只是单部分分区{n}的s_n:Schur)。

对函数e、h、p、m、f和s做类似的事情表明(证明?):e(λ,n)=-(-1)^n,如果λ={n},则为0;如果λ={n},则h(λ,n)=1;如果λ={n},则p(λ,n)=n;s(λ,n)=(-1)^(k+n),如果λ={k,1^(n-k)}其他为0;f(λ,n)=-(-1)^n m(λ最后,m(lambda,n)是一个棘手的问题,是-(-1)^n*A115131号.

关于你给出的公式:a(n,k)=(n/m(n,k))*|A111786号(n,k)|表示n的k次划分,其中m(n,k)部分为Abramowitz-Stegun序。n> =1,k=1。。。,我认出了矩阵A111786号就像“内卷化欧米茄”e<->h(麦当劳),但就是不明白。表达m(n,k)对我来说很模糊。你能指给我看吗?如果我做对了,那么我将输入Mathematica%t行(对于其他有“障碍”的用户);-)沃特·梅森2015年2月28日15:28(UTC)


2015年3月9日Wolfdieter Lang致Wouter Meeussen:之所以选择Waring数,是因为这是Waring的N个不定项的公式。请参见。例如。,http://planetmath.org/waringsformula它是牛顿公式的解,表示不定项x1,…的n次幂和。。。,xN表示这些indermiantes的基本对称函数。另请参阅以下引用的参考A115131号. 在我的论文中,我将这个公式称为Girard公式和Girard-Waring公式。有关历史,请参阅我的页面http://www.itp.kit.edu/~wl/links.html(再往下看,2006年:Albert Girard和Waring公式)。这是Chebyshev T多项式的N变量推广(参见引用的Lidl和Lidl-Wells论文)。该数组是一个分区数组,其中的分区按Abramowitz-Stegun(a-St顺序,也称为Hindenburg顺序,请参见A036036号,我在2011年4月4日的评论)。多项式N*t^{(N)}(si1,…siN)(sij表示\ sigma_j,不确定项x1,…,xN的第j个初等对称函数(其中在si处省略了上标N))具有系数a(N,k)=A115131号(n,k)按A-St顺序乘以与n的第k次分区相对应的σ。请参阅给定示例中的n=4,例如,n*T^{(n)}_4(si1,…,siN)=-4*s1^2*si2+,因为在第n=4[-442-41]行中,n=4的第4个分区是A-St顺序为(1^2,2),对应于si1^2*si2。公式a(n,k)中的符号m(n,k)表示n的第k次分区的部分数,按a-St顺序。查看分区数组A036043型.