用户：Peter Luschny/SeidelTriangles

加泰罗尼亚-塞德尔连接

一些条目与赛德尔变换及其变体

…我们在前两篇博客文章中讨论过赛德尔变换,伯努利数并将在本文中进行讨论。我们假设读者熟悉讨论在里面赛德尔变换.

A000108号	A000111号	A000182号	A000245型	A000364号	A000367号	A000657号
A000660号	A000667美元	A000734号	A000737号	A000795号	A001003级	A002084号
A002445号	A005439号	A006318号	A006319号	A008280号	A008313号	A009747号
A014781美元	A035011号	A039598号	A039599号	A062161号	A062162号	A062272号
A086616美元	A090192号	A099363号	A099960型	A110501型	A112554号	A126120号
A165621号	A181131号	A212196型

加泰罗尼亚三角

考虑一下经典的加泰罗尼亚三角A053121号. 三角形中的零可以用互补的加泰罗尼亚数字填充A189230型给出扩展的加泰罗尼亚三角形A189231号.目前我们将只需忽略零，并展示赛德尔计算这种压缩形式的方法，哪个是A008313号.

定义赛德尔加泰罗尼亚三角（n）：D=[0]*（（n+5）//2）；D[1]=1b=正确；h=1对于范围（n）内的i：如果b：对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]+=D[k-1]h+=1其他：对于范围（1，h，1）中的k：D[k]+=D[k+1]b=非b打印（1..h-1）中z的[D[z]

塞德尔加泰罗尼亚三角（13）[1][1][1, 1][2, 1][2，3，1][5, 4, 1][5, 9, 5, 1][14，14，6，1][14, 28, 20, 7, 1][42, 48, 27, 8, 1][42，90，75，35，9，1][132, 165, 110, 44, 10, 1][132, 297, 275, 154, 54, 11, 1]

与Maple相同：

赛德尔加泰罗尼亚三角：=proc（n）局部d，b，i，h，k：d：=数组（0..iquo（n+4,2））；d[0]：=0；d[1]：=1；b:=真；对于i从0到n doh:=iquo（i+4.2）；d[h]：=0；如果是b，那么对于k从h-1乘以-1到1做d[k]：=d[k]+d[k-1]od；其他对于从1到h-1的k，求d[k]：=d[k]+d[k+1]od；fi；b:=不是b；打印（[i]，seq（d[k]，k=1..h-1））；od端：

加泰罗尼亚数字(A000108号)

只需对加泰罗尼亚三角函数应用一个过滤器加泰罗尼亚数字将以赛德尔算法的方式生成。

定义A000108_list（n）：D=[0]*（n+1）；D[1]=1b=正确；h=1；R=[]对于范围（2*n-1）中的i：如果b：对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]+=D[k-1]h+=1；R追加（D[1]）其他：对于范围（1，h，1）中的k：D[k]+=D[k+1]b=非b返回R

这个算法的魅力在于没有除法和需要乘法运算。

加泰罗尼亚数字的第一个差异(A000245型)

定义A000245_list（n）：D=[0]*（n+1）；D[1]=1b=错误；h=1；R=[]对于范围（2*n-1）中的i：如果b：对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]+=D[k-1]h+=1；R.append（D[2]）其他：对于范围（1，h，1）中的k：D[k]+=D[k+1]b=非b返回R

q-q=-1的Catalan数(A090192号)

定义A090192_list（n）：D=[0]*（n+2）；D[1]=1b=正确；h=1；R=[]对于范围（2*n-1）中的i：如果b：对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]-=D[k-1]h+=1；R追加（D[1]）其他：对于范围（1，h，1）中的k：D[k]+=D[k+1]b=非b返回R

加泰罗尼亚数字。(A126120号)

也是积分（x=-2..2，x^n*sqrt（（2-x）*（2+x））/（2*Pi）。

定义A126120_list（n）：D=[0]*（n+2）；D[1]=1b=正确；h=2；R=[]对于范围（2*n-1）中的i：如果b：对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]-=D[k-1]h+=1；R.append（绝对值（D[1]））其他：对于范围（1，h，1）中的k：D[k]+=D[k+1]b=非b返回R

1-x的逆切比雪夫变换(A099363号)

定义A099363_list（n）：D=[0]*（n+2）；D[1]=1b=正确；h=2；R=[]对于范围（2*n-1）中的i：如果b：对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]-=D[k-1]h+=1；R.append（（-1）^（h//2）*D[2]）其他：对于范围（1，h，1）中的k：D[k]+=D[k+1]b=非b返回R

小薛定谔数(A001003级)

正如我在中所说薛定谔数有两种小薛定谔数，偶数小Schröder数和奇数小Schróder数计数例如，不同的组合对象
S公司_即使(6) = 1 + 140 + 630 + 132 = 903
S公司_古怪的(6) = 21 + 420 + 462 = 903
在这里，我们计算以1开头的偶数较小的Schröder数（有关更多信息，请参阅链接）。

定义A001003_list（n）：D=[0]*（n+1）；D[1]=1/2b=正确；h=2；R=[1]对于范围（2*n-2）中的i：如果b：对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]+=D[k-1]h+=1；其他：对于范围（1，h，1）中的k：D[k]+=D[k-1]R.append（D[h-1]）；b=非b返回R

大Schröder数(A006318号)

大薛定谔数的计算几乎是相同的。

定义A006318_list（n）：D=[0]*（n+1）；D[1]=1b=正确；h=1；R=[]对于范围（2*n）内的i：如果b：对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]+=D[k-1]h+=1；其他：对于范围（1，h，1）中的k：D[k]+=D[k-1]R.append（D[h-1]）；b=非b返回R

格子中的皇家路径（大薛定谔的卷积数字）(A006319号).

定义A006319_list（n）：D=[0]*（n+1）；D[1]=1b=正确；h=2；R=[1]对于范围（2*n-2）中的i：如果b：对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]+=D[k-1]h+=1；其他：对于范围（1，h，1）中的k：D[k]+=D[k-1]R.append（D[h-2]）；b=非b返回R

大Schröder数的部分和(A086616美元)

定义A086616_list（n）：D=[0]*（n+2）；D[1]=1b=正确；h=2；R=[]对于范围（2*n）内的i：如果b：对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]+=D[k-1]其他：对于范围（1，h，1）中的k：D[k]+=D[k-1]R.append（D[h-1]）；h+=1；b=非b返回R

大薛定谔数减1(A035011号)

定义A035011_list（n）：D=[0]*（n+2）；D[1]=1b=正确；h=2；R=[]对于范围（2*n）内的i：如果b：对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]+=D[k-1]其他：对于范围（1，h，1）中的k：D[k]+=D[k-1]R.append（D[h-2]）；h+=1；b=非b返回R

切比雪夫U多项式中x的幂(A039598号,A039599号)

由于加泰罗尼亚数字的重要性，我们还指出了两个可从上述内容衍生出的流行变体功能。只看一个人得到的偶数A039599号，形成三角形从x的幂展开式的三角形的偶数列切比雪夫多项式U_n个（x） 。

定义A039599_三角形（n）：D=[0]*（n+2）；D[1]=1b=正确；h=1对于范围（2*n-1）中的i：如果b：对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]+=D[k-1]h+=1其他：对于范围（1，h，1）中的k：D[k]+=D[k+1]如果b：打印（1..h-1）中z的[D[z]b=非bA039599_三角形（10）[1][1, 1][2, 3, 1][5，9，5，1][14, 28, 20, 7, 1][42, 90, 75, 35, 9, 1][13229727515454,11,1][429, 1001, 1001, 637, 273, 77, 13, 1][1430, 3432, 3640, 2548, 1260, 440, 104, 15, 1][4862, 11934, 13260, 9996, 5508, 2244, 663, 135, 17, 1]

只看一个奇怪的案例A039598号，形成三角形从x的幂展开式的三角形的奇数列切比雪夫多项式U_n个（x） 。

定义A039598_三角形（n）：D=[0]*（n+2）；D[1]=1b=正确；h=1对于范围（2*n）内的i：如果b：对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]+=D[k-1]h+=1其他：对于范围（1，h，1）中的k：D[k]+=D[k+1]b=非b如果b：打印（1..h-1）中z的[D[z]A039598_三角形（10）[1][2, 1][5, 4, 1][14, 14, 6, 1][42, 48, 27, 8, 1][132, 165, 110, 44, 10, 1][429, 572, 429, 208, 65, 12, 1][1430, 2002, 1638, 910, 350, 90, 14, 1][4862, 7072, 6188, 3808, 1700, 544, 119, 16, 1][16796, 25194, 23256, 15504, 7752, 2907, 798, 152, 18, 1]

Paul Barry的两个Riordan阵列(A165621号,A112554美元)

我们提供了一个密切相关的签名版本保罗·巴里的165621英镑，Riordan数组（c（x^2）*（1+xc（x*2）），xc（x2））。

def Signed_A165621_三角形（n）：D=[0]*（n+4）；D[1]=1b=错误；h=3对于范围（2*n）内的i：如果b：对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]+=D[k-1]h+=1其他：对于范围（1，h，1）中的k：D[k]-=D[k+1]如果b：打印（2..h-2）中z的[D[z]b=非b签名_A165621_三角形（11）[1][1, 1][-1, 1, 1][-2, -2, 1, 1][2, -3, -3, 1, 1][5, 5, -4, -4, 1, 1][-5, 9, 9, -5, -5, 1, 1][-14, -14, 14, 14, -6, -6, 1, 1][14, -28, -28, 20, 20, -7, -7, 1, 1][42, 42, -48, -48, 27, 27, -8, -8, 1, 1][-42, 90, 90, -75, -75, 35, 35, -9, -9, 1, 1]

如果将这个程序与巴里公式进行比较塞德尔方法的简单性再次给人留下深刻印象。

T（n，k）=总和{j=0..n，b（n-j）*总和{i=0..k，（-1）^（k-i）*C（k，i）*总和{m=0..i，C（i，m）*（C（i-m，m+k）-C（i-m，i+k+2））}}}其中b（n）是从1开始，然后是充气加泰罗尼亚数：1,1,0,1,0,2,0,5,0,14，。。。

类似的巴里三角形A112554号，Riordan数组（c（x^2）^2，xc（x*2）），c（x）g。加泰罗尼亚数字A000108号，可以如下计算。

def Signed_A112554_三角形（n）：D=[0]*（n+4）；D[1]=1b=错误；h=2对于范围（2*n+2）中的i：如果b：对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]+=D[k-1]h+=1其他：对于范围（1，h，1）中的k：D[k]-=D[k+1]b=非b如果b和i>0：打印（2..h-1）中z的[D[z]签名_A112554_三角形（13）[1][0, 1][-2, 0, 1][0, -3, 0, 1][5, 0, -4, 0, 1][0, 9, 0, -5, 0, 1][-14, 0, 14, 0, -6, 0, 1][0, -28, 0, 20, 0, -7, 0, 1][42, 0, -48, 0, 27, 0, -8, 0, 1][0, 90, 0, -75, 0, 35, 0, -9, 0, 1][-132, 0, 165, 0, -110, 0, 44, 0, -10, 0, 1][0, -297, 0, 275, 0, -154, 0, 54, 0, -11, 0, 1][429, 0, -572, 0, 429, 0, -208, 0, 65, 0, -12, 0, 1]