用户：Peter Luschny/MotzkinNumbers

莫茨金数
和Riordan数

关键词：扩展的Motzkin数Motzkin数，互补Motzkin数。

与序列有关：

A001006号	莫茨金数
A005717号	互补Motzkin数
A189912号	扩展Motzkin数
A097610号	Motzkin三角形
A189913号	扩展Motzkin三角形
A089627号	莫茨金摆动
1945年	补充Motzkin挥杆
A163649号	扩展莫茨金摆动
A002026号	广义选票数
A025179号	完成。通用选票号码
A194587号	外部通用选票编号

扩展的Motzkin数

确保加泰罗尼亚数字扩展的一种方法是有意义的是看看古典加泰罗尼亚风格的特点有多好数字被保留。另一种方法是查看延长件的适合程度从总体上看，他们如何将众所周知的加泰罗尼亚数字和其他重要数字。在这里，我们将简要介绍与Motzkin数的关系。

关键事实是：加泰罗尼亚数字在奇数位置用0填充A126120号是Motzkin数的二项式逆变换A001006号.

此外，互补加泰罗尼亚数A001700号均匀充气0位置A138364号是互补Motzkin数的二项式逆变换A005717号.

因此，扩展的加泰罗尼亚数字(A057977号=A126120号+A138364号)是扩展Motzkin数的二项式逆变换A189912号.

以下三个公式总结了这些关系。（星号表示扩展情况和“c”补充情况。）

${\displaystyle\scriptstyle{\text{Motzkin数字}}}$ ${\显示样式{米}_{n} ^{}{=}\sum\limits_{k\geq0}{\binom{n}{k}}{C}（C）_{k} ^｛\ast｝\left[k\\operatorname｛is\even｝\right]\｝{米}_{n} ^{}{=}\sum\limits_{k\geq0}{\binom{n}{k}}{C}（C）_{k} ^｛\ast｝\left[k\\operatorname｛is\even｝\right]\｝$ ${\显示样式1,1,2,4,9,21,51，…}$ ${\displaystyle\scriptstyle{\text{互补Motzkin数字}}}$ ${\显示样式{米}_{n} ^{c}{\=}\sum\limits_{k\geq0}{\binom{n}{k}}{C}（C）_{k} ^{\ast}\left[k\\operatorname{is\odd}\right]\}{米}_{n} ^{c}{\=}\sum\limits_{k\geq0}{\binom{n}{k}}{C}（C）_{k} ^{\ast}\left[k\\operatorname{is\odd}\right]\}$ ${\显示样式0,1,2,6,16,45126，…}$ ${\displaystyle\scriptstyle{\text{扩展莫茨金数字}}}$ ${\显示样式{米}_{n} ^{\ast}{\=}\sum\limits_{k\geq0}{\binom{n}{k}}{C}（C）_{k} ^{\ast}\}{米}_{n} ^{\ast}{\=}\sum\limits_{k\geq0}{\binom{n}{k}}{C}（C）_{k} ^{\ast}\}$ ${\显示样式1,2,4,10,25,66177，…}$

A001006号	莫茨金数
A005717号	互补Motzkin数
A189912号	扩展Motzkin数

通过加泰罗尼亚数引入扩展的莫茨金数首先是动机问题，因为它们也可以更直接地表达作为摆动阶乘的二项式和。

${\显示样式{米}_{n} ^{\ast}{\=}\sum\limits_{k\geq0}{\binom{n}{k}}{\frac{k\wr}{\floor k/2\floor+1}}{米}_{n} ^{\ast}{\=}\sum\limits_{k\geq0}{\binom{n}{k}}{\frac{k\wr}{\floor k/2\floor+1}}$

使用Maple：

扩展加泰罗尼亚语：=n->（n！/iquo（n，2）^2） /（iquo（n，2）+1）：Motzkin:=进程（n）局部k；加法（二项式（n，k）*扩展加泰罗尼亚语（k）*irem（k+1,2），k=0..n）结束：seq（Motzkin（i），i=0..9）；互补Motzkin:=proc（n）局部k；加法（二项式（n，k）*扩展加泰罗尼亚语（k）*irem（k，2），k=0..n）结束：seq（互补Motzkin（i），i=0..9）；ExtendedMotzkin:=进程（n）局部k；加法（二项式（n，k）*ExtendedCatalan（k），k=0..n）结束：seq（ExtendedMotzkin（i），i=0..9）；

Motzkin数的组合解释导致递归：设w（i，j，n）表示n^2中满足多元递归的游动

w（i，j，n）=w（i，j+1，n-1）+w（i-1，j，n-1

如果i或j或n小于0，则边界条件w（0,0,0）=1且w（i，j，n）=0。那么a（n）=和{i=0..n，j=0..n}w（i，j，n）是长度为n的这种游程的数目。

与枫叶：

Motzkin_list:=proc（n）局部w，m，j，i；w:=proc（i，j，n）选项记忆；如果最小（i，j，n）<0或最大（i，j）>n，则0elif n=0，则如果i=0且j=0，那么1为0，否则为0w（i，j+1，n-1）+w（i-1，j，n-1[seq（相加（w（i，j，m），i=0..m），j=0...m），m=0..n）]结束：Motzkin_list（9）；

扩展的Motzkin三角形

Motzkin数序列由Motzkin三角形护送A097610号，M（n，k）计算长度为n且具有k个水平台阶的Motzkin路径数。

行总和是Motzkin数A001006号左边的边界是加泰罗尼亚的加泰罗尼亚文数字A000108号.

扩展的Motzkin三角形A189913号定义为${\displaystyle\scriptstyle M_{n，k}^{ast}{\=}{\binom{n}{k}}C_{k}^}{ast}}$,或同等方式：

${\displaystyle\scriptstyle{\text{扩展莫茨金三角形}}}$ $｛\displaystyle（显示样式）{米}_{n，k}^{\ast}{\=}{\binom{n}{k}}{\frac{k\wr}{\floor k/2\floor+1}}}{米}_{n，k}^{\ast}{\=}{\binom{n}{k}}{\frac{k\wr}{\floor k/2\floor+1}}}$

行和是扩展的Motzkin数A189912号右边框显示扩展的加泰罗尼亚数字A057977号.

扩展Motzkin三角形
偏移量（0，0），x^n的升序。
栗色：经典，绿色：互补

								1
							1		1
						1		2		1
					1		3		3		3
				1		4		6		12		2
			1		5		10		30		10		10
		1		6		15		60		30		60		5
	1		7个		21		105		70		210		35		35
14		280		140		560		140		168		28		8		1

A097610号	莫茨金三角形
A189913号	扩展Motzkin三角形

摆动的Motzkin三角形

还有另外三个与Motzkin数密切相关的三角形。

A089627号	莫茨金秋千
A194586号	互补式Motzkin摆动
A163649号	扩展莫茨金摆动

例如，让我们看看63649英镑在它的未签名版本中。（n$为穷人对摆动阶乘的记法$｛\displaystyle\scriptstyle n\wr.）｝$

ms（q）=和{k=0..n}二项式（n，k）*（k$）*q^k。

11+q1+2 q+2 q^21+3q+6q^2+6q^31+4 q+12 q^2+24 q^3+6 q^41+5 q+20 q^2+60 q^3+30 q^4+30 q^51+6 q^2+30 q^2+120 q^3+90 q^4+180 q^5+20 q^6

替换q^k个→ 1/（楼层（k/2）+1）多项式中给出了扩展的Motzkin数。其他的有两种情况涉及这个三角形的充气版本。相同的替代导线然后分别到Motzkin数和互补Motzkin数。

广义选票数

莫茨金数字的第一个区别是广义选票数字A002026号.

${\displaystyle\scriptstyle{\text{通用选票号码}}}$ ${\显示样式{b}_{n} ^{\}{\=}{米}_{n+1}^{\}-{米}_{n} ^{\}}{b}_{n} ^{\}{\=}{米}_{n+1}^{\}-{米}_{n} ^{\}}$ ${\显示样式{b}_{n} ^｛c｝｛\=｝{米}_{n+1}^{c}-{米}_{n} ^{c}}{b}_{n} ^｛c｝｛\=｝{米}_{n+1}^{c}-{米}_{n} ^{c}}$ ${\显示样式{b}_{n} ^{\ast}{\=}{米}_{n+1}^{\ast}-{米}_{n} ^{\ast}}{b}_{n} ^{\ast}{\=}{米}_{n+1}^{\ast}-{米}_{n} ^{\ast}}$

注意一个技术要点，因为数据库中有相当多的混淆关于术语“最初的差异”：一些人将其用于远期差异的意义Δ_一^→（n） =a（n+1）−a（n）和一些反向差异Δ_一^←（n） =a（n）−a（n-1）。A002026号定义为远期差额我们也在这里通过了这一公约。特别是，这意味着如果原始序列从n=0开始，第一个差异的序列也是如此。 

现在让我们看看这三个案例。

广义选票号码

n个	0	1	2	3	4	5	6	7
A002026号	0	1	2	5	12	30	76	196
A025179号	1	1	4	10	29	81	231	659
A194587号	1	2	6	15	41	111	307	855

我们看到了A025179号应该通过在前面加上一个1并将序列1的索引移到左边来纠正（以适应我们的方案）。

好的方面是A025179号Vladeta Jovovic exp（x）（BesselI（0,2x）+BesselII（2,2x））给出的结果完全符合我们的观点。还有Jovovic的二项式公式。正如保罗·巴里的公式。因此，我认为A025179号应该修改。

Riordan数

Riordan数被定义为（同样星号表示扩展情况和“c”补充情况）：

${\displaystyle\scriptstyle{\text{Riordan数字}}}$ ${\显示样式{右}_{n} ^{\}{\=}{米}_{n-1}^{\}-{右}_{n-1}^{}；\\\\({右}_{0}^{\ }=1)}{右}_{n} ^{\}{\=}{米}_{n-1}^{\}-{右}_{n-1}^{}；\\\\({右}_{0}^{\ }=1)}$ ${\显示样式1,0,1,1,3,6,15,36,91，…}$ ${\displaystyle\scriptstyle{\text{扩展Riordan数字}}}$ ${\显示样式{右}_{n} ^{\ast}{\=}{米}_{n-1}^{\ast}-{右}_{n-1}^{\ast}；\\\\({右}_{0}^{\ast}=1）}{右}_{n} ^{\ast}{\=}{米}_{n-1}^{\ast}-{右}_{n-1}^{\ast}；\\\\({右}_{0}^{\ast}=1）}$ ${\显示样式1,0,2,8,17,49128356，…}$ ${\displaystyle\scriptstyle{\text{互补Riordan数}}}$ ${\显示样式{右}_{n} ^{c}{\=}{右}_{n} ^｛\ast｝-{右}_{n} ^｛\｝｝{右}_{n} ^{c}{\=}{右}_{n} ^｛\ast｝-{右}_{n} ^｛\｝｝$ ${\显示样式0,0,1,1,5,11,34,92265，…}$

A005043号	Riordan数
A194589号	互补Riordan数
A194588号	扩展Riordan数

与枫叶：

Riordan：=n->`如果`（n=0,1，Motzkin（n-1）-Riordan（n-1扩展Riordan:=n->`如果`（n=0，1，ExtendedMotzkin（n-1）-ExtendedRiordan（n-1互补Riordan：=n->扩展Riordan（n）-Riordan

我们还可以给出互补Riordan数的定义这并不是指扩展的Riordan数。

${\显示样式R_{n}^{c}={\frac{1}{2}}\sum\limits_{k=0}^{n}（-1）^{k}{\binom{n}{k}}\左（k+1）\wr\左（{\frac{k+1}{2{}\右）$

这个公式与A194590号,A100071号和罗宾斯提出了广义Heron多项式次数的公式。

类似地，我们可以获得扩展Riordan的公式数字：

${显示样式R{n}^{ast}=\left[n{text{even}}\right]+{frac{1}{2}}\sum\limits_{k=1}^{n}（-1）^{k}{\binom{n}{k}}\left（k+1）\wr\left c{2（2k）\wr}{k+1}}\右）}$

Riordan三角形的扩展

扩展的Riordan三角形A000000元定义为：

$｛\displaystyle\scriptstyle｛\text｛Extended Riordan Triangle｝｝｝$ ${\显示样式{右}_{n，k}^{\ast}{\=}{\binom{n}{k}}{右}_{n} ^{\ast}}{右}_{n，k}^{\ast}{\=}{\binom{n}{k}}{右}_{n} ^{\ast}}$

如果n=0，则行总和为1，否则为1A077587号（n-1）。

扩展Riordan三角形
偏移量（0，0），x^n的升序。

								1
							1		0
						1		0		2
					1		0		6		2
				1		0		12		8		8
			1		0		20		20		40		17
		1		0		30		40		120		102		49
	1		0		42		70		280		357		343		128
1		0		56		112		560		952		1372		1024		356

A124926号	二项式Riordan三角形
A000000元	扩展二项式Riordan三角形

摆动的Riordan三角形

与Motzkin案例一样，还有三个与Riordan数密切相关的基于多项式的三角形。

A000000元

Riordan秋千

1012平方米1+4问^28 q^2+6 q^41+12 q^2+24 q^418 q^2+66 q^4+20 q^61+24 q^2+144 q^4+120 q^6

替换q^k个→ 1/（楼层（k/2）+1）多项式中给出了Riordan数。类似地，扩展和补充Riordan数可以计算出来。OEIS中仍然缺少三角形。

A000000元

加长Riordan摆动

101+qq+2 q^21+2 q+4 q^2+6 q^32 q+8 q^2+18 q^3+6 q^41+3 q+12 q^2+42 q^3+24 q^4+30 q^53 q+18 q^2+78 q^3+66 q^4+150 q^5+20 q^6