用户：Peter Luschny/广义二进制系数

广义二项式系数

我们的目标是定义二项式系数的三角形其中摆动阶乘是总是中间系数，不仅在以下情况下n个是均匀的。

为此，我们定义了广义二项式系数对于整数${\显示样式\脚本样式n\geq 0}$,${\显示样式\脚本样式m\geq 1}$作为

${\显示样式{\text{C}}_{n，k}^{（m）}=0}$如果${\显示样式\脚本样式k<0}$或${\显示样式\脚本样式k>mn}$，以及其他

${\显示样式{\text{C}}_{n，k}^{（m）}={\frac{n！}{（n-\left\lceil k/m\right\rceil）！\ left\lfloor k/m\ right\rfloor！}}\qquad\left（0\leqk\leqmn\right）\，.}$

在续集中，我们只看这个案例${\显示样式m=2}$。对于这种情况，我们将引入更具说服力的符号和不同的枚举。我们设置了

${\显示样式{\binom{n}{k}}{2}={\text{C}}{n，\，n+k}^{（2）}\qquad\left（n\geq0，\-n\leqk\leqn\right）\.}$

这给出了以下对称表示

$显示样式{\binom{n}{k}}_2}={\frac{n！}{\Omega_{n-k}\欧米茄{n+k}！}}\，\quad｛\text｛where｝｝｝\\Omega _｛x｝：=｛\frac｛x-\left〔｛x｝\｛\text｛odd｝｝\right〕｝｛2｝｝\。｝\欧米茄{n+k}！}}\，\quad｛\text｛where｝｝｝\\Omega _｛x｝：=｛\frac｛x-\left〔｛x｝\｛\text｛odd｝｝\right〕｝｛2｝｝\。｝$

我们看到二项式推广的中心项系数是摆动因子。这意味着

$｛\displaystyle｛\binom｛n｝｛0｝｝_｛2｝=n\wr\，.｝$

我们直接看到

$显示样式{\binom{n}{n}}{2}=1，{\binom{n}{n-1}}{2}=n.}$

对称关系也很清楚

${\显示样式{\binom{n}{k}}{2}={\binom{n}}{-k}}{2}\quad\left（0\leqk\leqn\right）\.}$

如果我们设置${\displaystyle\scriptstyle{\binom{n}{n}}{2}={\binom{n}{-n}}{2}=1}$和${\displaystyle\scriptstyle{\binom{n}{n-1}}{2}={\binom{n}{1-n}}{2}=n}$,然后可以计算广义二项式系数${\显示样式\脚本样式n\geq 2}$和${\显示样式\脚本样式-n+2\leq k\leq n-2}$通过重现

${\显示样式{\binom{n}{k}}{2}={\binom{n-1}{k-1}}{{2}+\left[{n-k}\{\text{奇数}}\right]{\binome{n-1{k}{2{+{\binrom{n-1}{k+1}}{}{{2}$

为了说明这一点，我们引入了缩写

${\显示样式s_{n，k}=\欧米茄{n-k}！\\欧米茄{n+k}！\.}\欧米茄{n+k}！\.}$

现在可以写出递推方程了

${\显示样式{\frac{n！}{s{n，k}}={\frac{（n-1）$

如果${\显示样式\脚本样式n\geq 2}$和${\显示样式\脚本样式-n+2\leq k\leq n-2}$这相当于

${\显示样式{\frac{n！}{\左（n-1\右）！}}={\ frac{s{n，k}}{s{n-1，k-1}}}+\左[{n-k}\{\text{奇数}}\right]{\ frac{s{n，k{}}{s{n-，k}{}}+{\frac{s{n，k}}}{s{n-1、k}}}}$

方程的左手边是${\显示样式n}$，右手边也是，因为

${\显示样式{\frac{s{n，k}}{s{n-1，k-1}}={\frac{n}{2}}+{\frac-k}{2{}}-{\frac:1}{2neneneep}\左[{n-k}\{\text{奇数}}\右]\，}$

${\displaystyle\left[{n-k}\{\text{odd}}\right]{\frac{s{n，k}}{s{n-1，k}{}=\左[{n-k}\{text{odd{}}\右]\，}$

${\显示样式{\frac{s{n，k}}{s{n-1，k+1}}={\ frac{n}{2}}-{\ frac{k}{2{}}-}\frac{1}{2neneneep}\left[{n-k}\{text{奇数}}\right]。\四边形\菱形}\四边形\菱形}$

查看下表1，我们可以看到嵌入的经典二项式三角形：帕斯卡三角形的图形表示${\displaystyle\scriptstyle{\binom{n}{k}}}$起源于${\displaystyle\scriptstyle{\binom{n}{k}}{2}}$删除这些条目，其中${\显示样式n}$和${\显示样式k}$具有不同的奇偶校验。在正式场合，我们有

${\显示样式{\binom{n}{k}}={\binom{n}}{2k-n}}_2}\qquad\left（0\leqk\leqn\right）\.}$

附录

表1。$显示样式$

n\k（不可用）	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	三	4	5	6
0							1
1						1	1	1
2					1	2	2	2	1
三				1	三	三	6	三	三	1
4			1	4	4	12	6	12	4	4	1
5		1	5	5	20	10	30	10	20	5	5	1
6	1	6	6	30	15	60	20	60	15	30	6	6	1

表2。${\显示样式\Omega _{n-k}！\\欧米茄{n+k}！=\n！\/\{\binom{n}{k}}{2}}\欧米茄{n+k}！=\n！\/\{\binom{n}{k}}{2}}$

不适用	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	三	4	5	6
0							1
1						1	1	1
2					2	1	1	1	2
三				6	2	2	1	2	2	6
4			24	6	6	2	4	2	6	6	24
5		120	24	24	6	12	4	12	6	24	24	120
6	720	120	120	24	48	12	36	12	48	24	120	120	720

序列

组织环境信息系统

A162246号	$｛\displaystyle｛\text｛C｝｝_｛n，k｝^｛（2）｝$
A056040型	$｛\displaystyle｛n｝\wr｝$
A098361号	${\显示样式n！（n-k）！\四}$
1980年	${\显示样式\Omega _{n-k}！\\欧米茄{n+k}！}\欧米茄{n+k}！}$
A180064型	${\显示样式n！\/{n}\wr}$

枫树

C:=过程（m，n，k）如果k<0或k>m*n，则为0n/（地板（k/m）*（n-cell（k/m））！）fi端：C2:=进程（n，k）C（2，n，n+k）结束；欧米茄：=程序（n）（n-（n模块2））/2端：C2o:=进程（n，k）n/（欧米茄（n-k）*欧米茄（n+k）！）结束时间：