用户：Peter Luschny/FigurateNumber

数字-非常简短的介绍

关键词：多边形数、正交数、欧拉多项式

多边形数字
-P（P）_k（n） 对于k<0；P（P）_k（n） 对于k≥0。

k个\n	0	1	2	三	4	5	6
-5	0	−1	5	18	38	65	99
-4	0	−1	4	15	32	55	84
-3个	0	−1	三	12	26	45	69
-2	0	−1	2	9	20	35	54	A014107号
-1	0	−1	1	6	14	25	39	A095794号
0	0	1	0	−3	−8	−15	−24	A005563号 A013648号 A067998号 A082562号 A131386号 A132411号
1	0	1	1	0	−2	−5	−9	A000096号 A080956美元 123337英镑 61680英镑 A175631号
2	0	1	2	三	4	5	6	A001477号
三	0	1	三	6	10	15	21	A000217号,A089594号
4	0	1	4	9	16	25	36	A000290型 A162395号
5	0	1	5	12	22	35	51	A000326号

多边形数

数字的历史可以追溯到用小石块代表数字的计数板。显然，以形象化的方式安排石头很有帮助，为数字制作小象形图。

引用卡尔·曼宁格的话，“数字单词和数字符号”：

希腊人把计数板或桌称为“abakion”。。。，这些计数器被称为psephoi（鹅卵石）。 除了将它们放在计数栏中之外在董事会上，希腊人还独立安排柜台形式“几何数”-三角形、直角、，正方形等。 这些“鹅卵石编号”（计数器编号）稍后出现在数学史上被称为“比喻数字”，因此代表了最古老的数字数字与几何形状的联系。

这个三角形数为定义n个= 1,2,3,.. 作为

${\显示样式d_{n}=\sum_{i=1}^{n} 我,}{n} 我,}$

这个平方数作为

$显示样式q{n}=sum{i=1}^{n}（2i-1），}$

这个五角数作为

$显示样式p_{n}=\sum_{i=1}^{n}（3i-2）。}$

一般来说，这个多边形数定义为

$｛\displaystyle P_｛n｝^｛k｝=\sum_｛i=1｝^｛n｝（（k-2）i-（k-3））。｝$

的部分和序列${\显示样式P_{n}^{k}}$(k固定）是金字塔数. 这些数字可以表示为空间图形。

多边形数是算术序列2阶金字塔数是3阶算术序列。。。一般来说计算尺寸数第页是顺序算术序列的成员第页.

罗马几何学家埃帕夫罗迪特斯和维特里厄斯鲁弗斯（约公元150年）发现了金字塔形的数字公式

${\显示样式\sum_{i=1}^{n} P（P）_{i} ^{k}=（2P{n}^{k{+n）（n+1）/6.}{n} P（P）_{i} ^{k}=（2P{n}^{k{+n）（n+1）/6.}$

费马声称有以下证据命题是拉格朗日定理的推广，在数论中有一定的兴趣多边形数定理：

假设k> 2. 每个整数n个>0最多可以写为的总和k多边形数。

勒让德和柯西证明了这个定理。

• 

  10是第四个三角形数A000217号.

• 

  16是第四个平方数A000290型.

• 

  22是第四个五边形数A000326号.

• 

  28是第四个六边形数A000384号.

• 

  19是第四个中心三角形数A005448号.

• 

  25是第四个居中的平方数2018年1月44日.

• 

  31是第四个居中的五边形数A005891号.

• 

  37是第四个中心六边形数A003215号.

情节作者：Stefan Friedrich Birkner，许可证：Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported。

建议介绍多边形数：丹·麦金农，三角化多边形数,数学教师，第103卷，第7期，2010年3月。

正位数字

的生成函数正则正交数本质上是由欧拉多项式这是欧拉于1749年建立的。

消除歧义：正位可以表示处于正常或通常的位置. 例如，它在临床医学中就是这样使用的。另一个含义来自平行尖它被称为矫正器如果跨越向量相互垂直。在本文中，它用于后面的意思。

与枫叶的欧拉多项式（由D.E.Knuth定义，现在也NIST数字数学函数库）可计算为：

A:=proc（n，x），如果n=0，则为1否则x*（1-x）*diff（A（n-1，x），x）+A（n-l，x）*（1+（n-1）*x）fi结束：seq（打印（排序（展开（A（n，x））），n=0..5）；11x+1x^2+4x+1x^3+11 x^2+11 x+1x^4+26 x^3+66 x^2+26 x+1

的生成函数正则正交数由提供G（n，x）=xA（n，x）/（1−x）ⁿ⁺¹。查看未移位的版本F（n，x）=A（n，x）/（1−x）^n+1个我们发现：

F:=进程（n，x）A（n，x）/（1-x）^（n+1）结束：计算下表：seq（打印（[n^k]，排序（系数（F（k，x））），seq（系数（系列（F（k，x），x，12），x（j），j=0..5）），k=0..5）；[n^0]：（1-x）^（-1），1，1，1,1，1[n^1]：（1-x）^（-2），1，2，3，4，5，6[n^2]：（1-x）^（-3）（x+1），1，4，9，16，25，36[n^3]：（1-x）^（-4）（x^2+4x+1），1，8，27，64，125，216[n^4]：（1-x）^（-5）（x+1）（x^2+10x+1），1,16，81，256，6251296（1-x）^（-6）（x^4+26x^3+66x^2+26x+1），1,32243102431257776

通过对角线读取矩形数组西式（从左到右）

正交数三角形 A009998号
1
1	1
1	2	1
1	4	三	1
1	8	9	4	1
1	16	27	16	5	1
1	32	81	64	25	6	1

彼得·巴拉注意到这是欧拉数的希尔伯特变换A123125号（请参见A145905号对于三角阵列的希尔伯特变换的定义。）请注意，这只是对欧拉1749定理的重新表述。不幸的是，有几个不同的约定关于欧拉数的枚举，目前正在使用。巴拉评论道：“欧拉数三角形A008292号[可以查看]作为系数n维h-多项式全自形体类型A）。”（另见巴拉在A145905号.)

---

的生成函数中心正则正交数由提供

H:=进程（n，x）（1+x）*A（n，x）/（1-x）^（n+1）结束：计算下表：seq（打印（[n^k]，排序（因子（H（k，x））），seq（coeff（系列（H（k，x），x，12），x，j），j=0..5），k=0..5）；[n^0]：（1-x）^（-1）（1+x），1,2,2,2,2,2[n^1]：（1-x）^（-2）（1+x），1，3，5，7，9，11（1-x）^（-3）（1+x）（x+1），1，5，13，25，41，61[n^3]：（1-x）^（-4）（1+x）（x^2+4x+1），1，9，35，91，189，341[n^4]：（1-x）^（-5）（1+x）（x+1）（x^2+10x+1），1,17，97，337，881，1921（1-x）^（-6）（1+x）（x^4+26x^3+66x^2+26x+1），1,332751267414910901

通过对角线读取矩形数组西式（从左到右）

中心正交数三角形 A179927号
1
1	2
1	三	2
1	5	5	2
1	9	13	7	2
1	17	35	25	9	2
1	33	97	91	41	11	2

注意，这个三角形与三角形A008518号。在更正式的设置中，确切的措辞取决于欧拉多项式的定义。行总和以A179928号.

对应于以下行的数据库的链接场上面的两个数字矩形。（注意，序列的偏移可能需要调整以满足您的约定。）

GF公司	0	1	2	三	4	5
A（n，x）x/（1-x）^（n+1）	A057427号	A001477号	A000290型	A000578号	A000583号	A000584号
A（n，x）（x+1）/（1-x）^（n+1）	40000澳元	A005408号	A001844号	A005898号	A008514号	A008515号

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看到了丹尼尔忘记了形数.建议读数为规则多边形作者：H.S.M.Coxeter，多佛出版社。