斐波那契弯道
这是这部电影的续集博客. 我们假设读者熟悉其中给出的定义。
关键词：斐波那契曲线，斐波那契胼胝树，斐波那奇森林，斐波纳契曲流的分类。
与序列有关：
A000071号,A110236号,A141147号,2016年2月31日,A361574飞机,
A361575型,A361894飞机,A361681型,
A201634号,
A202411型,A203611型.
斐波那契曲流
A000071号是序列“斐波那契数−1”，从0、0、1、2、4、7、12、20、33、54、88……开始。。。偏移量为1。前两个零来自递归a（1）=0，a（2）=0以及其后的a（n）=a（n−2）+a（n‐1）+1并作为一个工件出现在我们的组合设置中。因此，我们将看到这个序列向左移动了两个位置。
1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, 54, 88, ... 偏移量为1。
这个序列计算斐波那契曲流的数量。斐波那契曲流就是曲流它不会向左改变方向，除非在它所在的曲线的开始处允许（或不允许）尽可能多的左转。回忆一下“改变”曲流的“方向”定义为LL或RR形式的一对台阶。
更正式地说，在我们的设置中，如果曲流通过以下测试，则曲流属于斐波那契类型：
定义是斐波那契（S）：方向=1os=S[0]对于s中的s：如果s和os：dir=目录+1如果dir==1：返回false其他：目录=0os=秒返回true
应该注意的是，这个定义与曲流无关参数m。
定义：二元曲线C=（m，S）是广义斐波那契曲流当且仅当isMeander（m，S）和isFibonacci（S）。（在m=1的情况下，我们只说C是斐波那契曲流。）
例如，当m=3且长度为12时，斐波那契弯曲表示为二进制字符串如下表所示。
| 米 |
伦恩 |
卡片 |
斐波那契
曲流 |
| 三 |
12 |
21 |
100000010001
100010000001
110000000001
100000100100
100100000100
100010001000
110000001000
100100100000
110001000000
111000000000
110100100101
111001001001
111100010001
111110000001
111010010010
111100100100
111110001000
111111000000
111111110001
111111111000
111111111111
|
下表统计了长度为n、中心角为360/m的广义斐波那契曲流。行由n的除数进行索引。例如，第12行中的值表示斐波那契曲流中心角为360/m，其中m分别为1、2、3、4、6和12。
| n\m公司 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
总和 |
| 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
| 2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
三 |
| 三 |
4 |
|
1 |
|
|
|
|
5 |
| 4 |
7 |
三 |
|
1 |
|
|
|
11 |
| 5 |
12 |
|
|
|
1 |
|
|
13 |
| 6 |
20 |
6 |
三 |
|
|
1 |
|
30 |
| 7 |
33 |
|
|
|
|
|
1 |
34 |
| 8 |
54 |
13 |
|
三 |
|
|
|
71 |
| 9 |
88 |
|
8 |
|
|
|
|
97 |
| 10 |
143 |
30 |
|
|
三 |
|
|
177 |
| 11 |
232 |
|
|
|
|
|
|
233 |
| 12 |
376 |
70 |
21 |
10 |
|
三 |
|
481 |
| 13 |
609 |
|
|
|
|
|
|
610 |
| 14 |
986 |
167 |
|
|
|
|
三 |
1157 |
| 15 |
1596 |
|
68 |
|
12 |
|
|
1677 |
| 16 |
2583 |
405 |
|
35 |
|
|
|
3027 |
| 17 |
4180 |
|
|
|
|
|
|
4181 |
| 18 |
6764 |
992 |
242 |
|
|
14 |
|
8016 |
| 19 |
10945 |
|
|
|
|
|
|
10946 |
| 20 |
17710 |
2450 |
|
154 |
61 |
|
|
20379 |
| 21 |
28656 |
|
861 |
|
|
|
16 |
29534 |
| 组织环境信息系统 |
A000071号 |
A201631号 |
邮编：361574 |
|
|
|
|
A361575型 |
按二进制和分类
上面大表的列可以看作是三角形的行和。这些三角形按二进制和对斐波那契曲流进行分类。我们将看看前三种情况：
情况m=1： A000071号是惠特尼数字表的行总和W（n，k）=反对偶读取的二项式（k，j）之和{j=0..n}A004070号三角形的、和A052509号，的骑士-移动帕斯卡三角形
A052509号（n，k）=和{j=0..n}二项式（n-k，k-j）.
1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 4, 4, 2, 1, 1, 5, 7, 4, 2, 1, 1, 6, 11, 8, 4, 2, 1, 1, 7, 16, 15, 8, 4, 2, 1, 1, 8, 22, 26, 16, 8, 4, 2, 1, 1、9、29、42、31、16、8、4、2、1、，1, 10, 37, 64, 57, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1、11、46、93、99、63、32、16、8、4、2、1、，
对角线在2处静止n个=和{k=0..n}二项式（n，k）。
情况m=2： A201631号是三角形的行和A361894飞机如下所示。
1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 6, 2, 1, 5, 16, 6, 2, 1, 6、35、20、6、2、1、，7, 66, 65, 20, 6, 2, 1, 8, 112, 186, 70, 20, 6, 2, 1, 9, 176, 462, 246, 70, 20, 6, 2, 1, 10, 261, 1016, 812, 252, 70, 20, 6, 2, 1, 11, 370, 2025, 2416, 917, 252, 70, 20, 6, 2, 1,
第二列显示第n个n-正方数，A060354号（n） =n（4−n（3−n））/2。第三列是a（n）=n（36−n（46−n）（29−n。
对角线在中心二项式数处变得平稳，二项式（2n，n）=和{k=0..n}二项式。
情况m=3：A361574飞机是三角形的行和A361681型如下所示。这个这个三角形的对角线似乎收敛于马克斯·阿列克塞耶夫A141147号.
1,2, 1,5, 2, 1,10, 8, 2, 1,17, 40, 8, 2, 1,26, 161, 44, 8, 2, 1,37, 506, 263, 44, 8, 2, 1,50, 1312, 1466, 268, 44, 8, 2, 1,65, 2948, 6812, 1726, 268, 44, 8, 2, 1,101,11026,84149,64548,11617,1732,268,44, 8, 2,1,
挑战1：证明了由这种分类产生的三角形的对角线是静止的，并且给出了一个基于m的描述极限序列的通式。
按最大运行长度分类
对曲流进行分类的另一种方法是根据最大数量的连续左转。在曲流的二进制表示中对应 达到最大连续1s数。
情况m=1：适当设置偏移，n≥0，0≤k≤n：
104762英镑（n，k）=和{j=0..（n-k）/2}二项式（n-k-j，j）。
1,1, 1,2, 1, 1,3, 2, 1, 1,5, 3, 2, 1, 1,8, 5, 3, 2, 1, 1,13, 8, 5, 3, 2, 1, 1,21, 13, 8, 5, 3, 2, 1, 1,34, 21, 13, 8, 5, 3, 2, 1, 1,
A000071号是这个三角形的行和基本上简化为“一维”序列A000045号（n-k+1）（一个R.J.Mathar的观察）。
情况m=2：下一个三角形不在数据库中。这个三角形是本质上也是一个序列，在每个步骤中添加两个项行的左侧。
0, 1,1, 1, 0, 1,2, 1, 1, 1, 0, 1,4, 3, 2, 1, 1, 1, 0, 1,10, 7, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 0, 1,24, 16, 10, 7, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 0, 1,58、39、24、16、10、7、4、3、2、1、1、1、0、1、，143, 95, 58, 39, 24, 16, 10, 7, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 0, 1,354233143、95、58、39、24、16、10、7、4、3、2、1、1、0、1、，
第一列似乎是A110236号，所有无峰Motzkin路径中的（1，0）步数长度n，由Emeric Deutsch给出。Deutsch写道：“A110236号可以很容易地转化为RNA次级结构术语”。幸运的是，Paul Barry给出了一个简单的公式不学习基因工程：
A110236号（n+1）=和{k=0..n，C（k+1，n-k+1）*C（k，n-k）}；
0, 1, 2, 4, 10, 24, 58, 143, 354, 881, 2204, 5534, 13940, 35213, ...
通过分析第二列，我们发现了新的序列：
A203611型（n） =和{k=0..n}C（k-1，2*k-1-n）*C（k，2*k-n）；
1, 1, 1, 3, 7, 16, 39, 95, 233, 577, 1436, 3590, 9011, 22691, 57299, ...
很明显，生成三角形的序列
1, 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 7, 10, 16, 24, 39, 58, 95, 143, 233, 354, 577, 881, ...
值得包含在数据库中。这个序列压缩第一个和从从右向左。二项式和超几何公式如下所示A202411型.
挑战2：给出一个基于m的通用公式，它描述了序列的一般形式这种分类生成的三角形基本上减少到了这个程度。这些序列可以看作是斐波那契数的推广。
| m=1 |
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... |
A000045号 |
| m=2 |
1, 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 7, 10, 16, 24, ... |
A202411型 |
| m=3 |
1, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 6, 13, 16, 18,
40、60、74、135、202、282、515。。。 |
|
生成斐波那契曲流
观察斐波那契数列的递归如何转化为生成斐波那契曲流的算法。假设您已经计算了斐波那契曲流长度为n-2和n-1，F（n-1）和F（n-2）。附加到F（n-1）a“0”中的每一个m，并附加到F（n-2）a“01”中的每个m；另外，将长度为n的“统一字符串”11…1添加到集合中。
这种结构可以通过Sage实现，如下所示：
定义FibonacciMeander（n）：光纤1=[“1”]如果n==1：返回Fib1Fib2=[“10”，“11”]如果n==2：返回Fib2return GenerateFibonacciMeander（图1，图2，n-3）定义生成FibonacciMeander（Fib1，Fib2，n）：Fib3=[]对于Fib1中的s：Fib3.append（s+“01”）对于Fib2中的s：Fib3.append（s+“0”）图3追加（图2[长度（图2）-1]+“1”）如果n==0：返回Fib3return GenerateFibonacciMeander（图2、图3、n-1）def PrintFibonacciMeanderList（k）：对于[1..k]中的n：m=斐波那契曲线（n）打印m，长度（m）打印FibonacciMeanderList（4）
| 1 |
2 |
三 |
4 |
5 |
6 |
| 1 |
2 |
4 |
7 |
12 |
20 |
|
1
|
10
11 |
101
100
110
111 |
1001
1101
1010
1000
1100
1110
1111 |
10101
10001
11001
11101
10010
11010
10100
10000
11000
11100
11110
11111
|
100101
110101
101001
100001
110001
111001
111101
101010
100010
110010
111010
100100
110100
101000
100000
110000
111000
111100
111110
111111
|
从构造中我们立即导出可逆数长度n为F（n-1）的斐波那契曲流和不可逆数长度n的斐波那契曲流为F（n-2）+1。
如果将长度为n的零序列添加到这些曲流中，我们显然也会解读斐波那契数列A000045号作为长度为n的特殊二进制字。
斐波那契曲流不应与斐波那奇单词混淆，例如J.Arndt的书计算事项(1.27).
斐波纳契森林
斐波那契数列通常由斐波那契树. 我们的设置不同。请注意，我们在每个阶段都种植了一棵新树（描述如下在上述结构中，作为“额外添加‘统一字符串’11…1长度n到集合“）。因此，我们在这里考虑的是斐波那契森林.斐波纳契森林是一个由不相交的根组成的森林根据上述斐波那契规则构建的树。
从图中可以看到五个同心圆和五个有根圆树，都是从一个绿色的根开始的。事实上，所有的树都只是第一个扎根于中心。在每个阶段，都会向森林和另外一个圆圈被添加到图表中。到处跑第n个圆收集长度为n的斐波那契曲流。
上图是五级斐波那契森林的极地图。这种可视化的优点是对于大n比树状图。类似的想法可以用于可视化大型调用树并行程序。在其动态形式中，这被称为极光动画。
