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广义欧拉多项式

欧拉多项式是由Leonhard Euler于年引入的他的Remarques sur un beau relaport entre les séries des poissances tan directes que réciproques重建和平中心1749年（1765年首次印刷），他描述了计算zeta函数在负整数处阿贝尔定理应用于发散级数. 不应将欧拉多项式与欧拉多项式.

在第二部分中，我们将研究多项式的分析推广。这篇文章的第一部分可以找到在这里. 完整的帖子（用MathJax呈现）位于作者的主页.

基数B样条的连接

一阶基数B样条${\显示样式b{1}（n）}$是单位间隔的特征函数。基数B样条${\显示样式n>1}$是${\显示样式b_{n}（x）=\int_{0}^{1} b条_{n-1}（x-t）\，dt}{1} b条_{n-1}（x-t）\，dt}$.然后针对${\显示样式n>0}$

${\显示样式A_{n}（x）=n！\，\和{k=0}^{n-1}b_{n+1}（k+1）x^{k}.}\和{k=0}^{n-1}b_{n+1}（k+1）x^{k}.}$

欧拉多项式的这种表示法表明，还应考虑中点欧拉多项式

${\显示样式M_{n}（x）=2^{n} n个!\,\和{k=0}^{n} b条_{n+1}（k+1/2）x^{k}.}{n} n个!\,\和{k=0}^{n} b条_{n+1}（k+1/2）x^{k}.}$

中点欧拉多项式

正在生成函数

中点欧拉多项式由生成函数定义

${\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{M_{n}（t）}{（t-1）^{n}}\，{\frac{x^{n{}}{2^{n} n个!}}={\压裂{t-1}{t-e^{x}}}e^{x2}，}{n} n个!}}={\压裂{t-1}{t-e^{x}}}e^{x2}，}$

它与标准欧拉多项式的生成函数相对应

${\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{A_{n}（t）}{（t-1）^{n}}\，{\frac{x^{n{}{n！}}={\frac:{t-1}{t-e^{x}}}}。}$

指数生成函数

${\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}M_{n}（x）{\frac{t^{n}}{n！}}={\ frac{（1-x）\exp（（1-x$

重复关系

中点欧拉多项式可以通过递归计算得出：

${\显示样式M_{0}（t）=1，}$

$显示样式M_{n}（t）=2t（1-t）M'{n-1}（t）+M_{n-1{（t$

膨胀

与上面给出的欧拉展开式类似的是

${\displaystyle\sum_{j\geq0}x^{j}（2j+1）^{n}={\frac{M_{n}（x）}{（1-x）^{n+1}}.}$

例如，我们得到${\显示样式n\，=\，0,1,2:}$

${\显示样式1+x+x^{2}+x^}+={\压裂{1}{1-x}}，}{\压裂{1}{1-x}}，}$

${\显示样式1+3x+5x^{2}+7x^{3}+={\压裂{1+x}{（1-x）^{2}}}，}{\压裂{1+x}{（1-x）^{2}}}，}$

${\显示样式1+3^{2} x个+5个^{2} x个^{2}+7^{2} x个^{3}+...=｛\frac｛1+6x+x^｛2｝｝｝｛（1-x）^｛3｝｝｝｝。｝{2} x个+5个^{2} x个^{2}+7^{2} x个^{3}+...=｛\frac｛1+6x+x^｛2｝｝｝｛（1-x）^｛3｝｝｝｝。｝$

Worpitzky类型标识

${显示样式（2x+1）^{n}=\sum_{0\leqk\leqn}{\binom{x+k}{n}}[x^{k}]M_{n}（x）.}$

多项式的根

${\显示样式M_{n}（x）}$有${\显示样式n}$简单的负零。

中点欧拉数

中点欧拉多项式的系数为中点欧拉数${\显示样式M_{n，k}}$

$显示样式M_{n}（t）=sum_{k=0}^{n} M（M）_{n，k}\t^{k}.}{n} M（M）_{n，k}\t^{k}.}$

A060187号      A000165号

M（M）n、 k个	0	1	2	三	4	行总和
0	1	0	0	0	0	1
1	1	1	0	0	0	2
2	1	6	1	0	0	8
三	1	23	23	1	0	48
4	1	76	230	76	1	384

请注意，我们设置中的偏移量为${\显示样式（n，k）=（0,0）}$它与中的一些公式中假定的偏移量不同A060187号.

组合解释

让${\显示样式B_{n}}$表示

$｛\displaystyle I=\｛\pm I \：\ 1\leq I \ leq n \｝｝$

这样的话${\显示样式p（-i）=-p（i）}$为所有人${\在i}中显示样式i\$. 的下降次数$｛\displaystyle p｝$定义为

$显示样式des（p）={text{card}}{i\in[n]：p（i-1）>p（i）}}$

哪里${\显示样式p（0）=0}$。那么

$显示样式M_{n}（x）=B_{n{}}x^{des（p）}.}$

下表说明了该案例的这种表示${\显示样式n=2.}$

有符号排列${\显示样式B_{2}}$
和下降

第页	des（目标）	第页	des（目标）
-2, -1, 1, 2	0	1, -2, 2, -1	1
-2, 1, -1, 2	1	1, 2, -2, -1	1
-1, -2, 2, 1	1	2, -1, 1, -2	1
-1, 2, -2, 1	1	2, 1, -1, -2	2

与超验统治者的联系

自君主超然以来${\displaystyle\Phi（z，s，a）=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{z^{k}}{（a+k）^{s}}}}$（解析延拓总是隐含的）与多对数有关通过${\displaystyle\operatorname{Li}_{s}（z）=z\Phi（z，s，a）}$上面给出的公式表明

${\显示样式\Phi（z，-n，1）={{A_{n}（z）}\在（1-z）^{n+1}}\qquad（n\geq 0）~.}$

类似地，可以找到中点欧拉多项式

${\显示样式2^{n}\Phi（z，-n，1/2）={{M_{n}（z）}\在（1-z）^{n+1}}\qquad（n\geq0）~.}$

广义欧拉多项式

最后一节中的公式建议引入以下欧拉多项式的推广$显示样式A_{n，k}（z）}$.

${\显示样式k^{n}\Phi（z，-n，1/k）={{A_{n，k}（z）}\在（1-z）^{n+1}}\qquad（n\geq0，k\geq1，z\neq1）\qquad{\text{（*）}}}$

因此$显示样式A_{n，1}（z）=A_{n}（z）}$和$显示样式A_{n，2}（z）=M_{n}（z）}$.

A225117型 n个 $显示样式A_{n，3}（x）}$ 0 ${\显示样式1}$ 1 ${\显示样式2x+1}$ 2 ${\显示样式4x^{2}+13x+1}$ 三 ${\显示样式8x^{3}+93x^{2}+60x+1}$ 4 $显示样式16x^{4}+545x^{3}+1131x^{2}+251x+1}$

A225118型 n个 $显示样式A_{n，4}（x）}$ 0 ${\显示样式1}$ 1 ${\显示样式3x+1}$ 2 ${\显示样式9x^{2}+22x+1}$ 三 $｛\displaystyle 27x^｛3｝+235x^｛2｝+121x+1｝$ 4 ${\显示样式81x^{4}+1996x^{3}+3446x^{2}+620x+1}$

堵塞${\显示样式z=1}$进入（*）次的左手边${\显示样式（1-z）^{n+1}}$将设置$显示样式A_{n，k}（1）=0}$另一方面$显示样式A_{n，k}（z）}$是${\显示样式k^{n} n个!}{n} n个!}$（k阶乘数，A000142号,A000165号,A032031号,…). 但采用极限将协调这两个值

${\显示样式A_{n，k}（1）=\lim_{z\rightarrow 1}\k^{n}（1-z）^{n+1}\Phi（z，-n，1/k）=k^{n} n个!.}{n} n个!.}$

评估这些多项式最有趣的地方是${\显示样式z=-1}$（这就是欧拉在经典案例中所做的）。

$显示样式A_{n，1}（-1）}$	A155585型	1, 1, 0, -2, 0, 16, 0, -272, 0, 7936, 0,
$显示样式A_{n，2}（-1）}$	A002436号	1, 0, -4, 0, 80, 0, -3904, 0, 354560, 0,
$显示样式A_{n，3}（-1）}$	A000810号	1, -1, -8, 26, 352, -1936, -38528, 297296,
$｛\displaystyleA_｛n，4｝（-1）｝$	A079858号	1、-2、-12、88、912、-11552、-176832、，

（注意，在OEIS中，如果每隔一个项，则序列被写为零抑制是${\显示样式0}$并且，我们引用数据库中的序列，即使它具有不同的符号模式。）

如果${\显示样式0\leq n}$是整数，并且${\显示样式0<a}$那是真的

${\displaystyle\Phi（z，-n，a）=a^{n}+\sum_{j=0}^{n{{binom{n}{j}}\operatorname{Li}_{-j}（z）a^{n-j}.}$

因此${\显示样式k=1/a}$对于某个整数${\显示样式k>0}$广义欧拉多项式可以写成

${显示样式A_{n，k}（z）=\左（1-z\右）^{n+1}\左（1+\sum_{j=0}^{n}{\binom{n}{j}}\操作符名{Li}_{-j}（z）k^{j}\右）\qquad（z\neq 1）。}$

这里是索引$｛\displaystyle k｝$用于的整数值$｛\displaystyle k｝$但它也可以被视为任意的正实。例如，我们得到

${\显示样式2^{n} A类_{n，1/2}（-1）}{n} A类_{n，1/2}（-1）}$	A119881号	1, 3, 8, 18, 32, 48, 128, 528, 512,
${\显示样式3^{n} A类_{n，1/3}（-1）}{n} A类_{n，1/3}（-1）}$	A225116型	1, 5, 24, 110, 480, 2000, 8064, 32240,
${\显示样式2^{n} A类_｛n，1/2｝（2）｝{n} A类_｛n，1/2｝（2）｝$	A052841号	1、0、2、6、38、270、2342、23646，

多项式的各种值

A（n，k，I）* （1+I）^（1-n）	k=1	k=2	k=3	k=4
回复	A000111号	A001586号	A007286号	A006873号
我	A000007号	A001586号	A007289号	A225109型
A（n，k，I）* （1-I）^（1-n）	k=1	k=2	k=3	k=4
回复	A155585型	A188458号	A000810号	A000813号 A156205号
我	A122045型	A212435型	A225147型	A156201型

在其他数字中，我们可以看到Euler（或上/下）数字，广义Euler数字（Springer数字），由这一探索引发的交替k符号置换的数量和两个最近的添加。（一如既往，引用是模符号和消零。）

如何计算欧拉多项式。

上述定义对计算机不友好。例如，Maple在计算超然的牧师（据我所知，在所有版本中1998年至2012年）并给出错误的值如果使用公式（*）。基于多对数要好得多，仍然是多对数不是一个需要实现的简单函数。

拯救的是基数样条曲线（参见Schoenberg参考文献；勋伯格解释了这些案例$｛\displaystyle k=1｝$和${\显示样式k=2}$详细说明）。

基数B样条易于计算欧拉多项式可以基于它们。尽管B样条曲线的现代名称是首次研究尼古拉·洛巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）于19世纪创作。

@缓存函数定义B（n，x）：#基数B样条如果n==1：如果（x<0）或（x>=1）其他为1，则返回0返回（x/（n-1））*B（n-1，x）+（（n-x）/定义欧拉多项式（n，k，x）：如果n==0：返回1return k^n*阶乘（n）*加法（B（n+1，m+1/k）*x^m代表m in（0..n））

例如：

[（0..5）中n的欧拉多项式（n，4，x）][imag（-（1-I）^（1-n）*（0..17）中n的欧拉多项式（n，4，I）]#A156201型

除了幂函数和阶乘函数之外，没有库函数使用。还有一个因素${\显示样式k^{n}\，n！}$可以集成重复发生。

@缓存函数定义EB（n，k，x）：如果n==1：如果（x<0）或（x>=1）其他为1，则返回0返回k*x*EB（n-1，k，x）+k*（n-x）*EB定义欧拉多项式（n，k，x）：如果n==0：返回1返回加法（EB（n+1，k，m+1/k）*x^m代表m in（0..n））

也是有理参数${\显示样式m+1/k}$可以消除。

@缓存函数定义BB（n，k，x）：如果n==1：如果（x<0）或（x>=k）返回0，否则为1返回x*BB（n-1，k，x）+（n*k-x）*BB定义欧拉多项式（n，k，x）：如果n==0：返回1return add（BB（n+1，k，k*m+1）*x^m表示m in（0..n））

基于此递归，如果我们使用定义的signum函数，也可以给出一个闭合形式${\displaystyle\operatorname{sgn}（x-y）=-1{\text{if}}x<y；0{\text{if}}x=y；1{\text{if}}x>y}0{\text{if}}x=y；1{\text{if}}x>y}$然后

定义欧拉多项式（n，k，x）：如果n==0：返回1S=λm：加（（-1）^j*二项式（n+1，j）*（k*（m-j）+1）^n*sgn（k*对于（0..n+1）中的j）返回加法（S（m）*x^m代表m in（0..n））/2

最后调用（广义）欧拉多项式的系数（广义）我们得出的递归欧拉数：

@缓存函数定义欧拉数（n，k，m）：如果n==0：如果m==0，则返回1，否则为0return（k*（n-m+1）-1）*欧拉数（n-1，k，m-1）+（m*k+1）*欧拉数（n-1，k，m）定义欧拉多项式（n，k，x）：return add（欧拉数（n，k，m）*x^m代表m in（0..n））

还可以计算广义欧拉多项式通过直接重复：

${\显示样式A_{0，k}（t）=1，}$

$显示样式A_{n，k}（t）=kt（1-t）A'_{n-1，k}（t）+A_{n-1，kneneneep（t）（1+（kn-1）t）\四元（n\geq 1）\，.}$

正在生成函数

的生成函数广义欧拉多项式$显示样式A_{n，k}（x）}$是

${\显示样式\运算符名称{gf}（n；k）=k^{n} n个！\，\左（1/x-1\右）^{n+1}\，[t^{n}]\，xe^{frac{tx}{k}}\左（1-xe^{tx{右）#^{-1}.}{n} n个！\，\左（1/x-1\右）^{n+1}\，[t^{n}]\，xe^{frac{tx}{k}}\左（1-xe^{tx{右）#^{-1}.}$

在这里$｛\displaystyle[t^｛n｝]f（t，x）｝$是的系数${\显示样式t^{n}}$在里面${\显示样式f（t，x）}$.

此生成函数立即建议使用两个参数进行更对称的泛化：

${\显示样式\操作员姓名{gf}（n；k，m）=（km）^{n} n个!\,\左（1/x-1\右）^{n+1}\，[t^{n}]\，xe^{frac{tx}{k}}\左（1-xe^{frac{tx{m}}\右）^}-1}.}{n} n个!\,\左（1/x-1\右）^{n+1}\，[t^{n}]\，xe^{frac{tx}{k}}\左（1-xe^{frac{tx{m}}\右）^}-1}.}$

短桌子$显示样式A_{n，k}（x）}$

${\显示样式\脚本样式A_{0，k}（x）=1}$

${\显示样式\脚本样式A_{1，k}（x）=（k-1）\，x+1}$

${\显示样式\脚本样式A_{2，k}（x）=（k^{2} -2个\，k+1）\，x^{2}+（k^{2{+2\，k-2）\，x+1}{2} -2个\，k+1）\，x^{2}+（k^{2{+2\，k-2）\，x+1}$

${\显示样式\脚本样式A_{3，k}（x）=（k^{3}-3\，k^{2}+3\，k-1）\，x^{3}+（4\，k^{3}-6\，k+3）\，x^{2}+（k^{3}+3\，k^{2{+3\，k-3）\，x+1}{3}-3\，k^{2}+3\，k-1）\，x^{3}+（4\，k^{3}-6\，k+3）\，x^{2}+（k^{3}+3\，k^{2{+3\，k-3）\，x+1}$

${\显示样式\脚本样式A_{4，k}（x）=（k^{4} -4个\，k^{3}+6\，k^{2}-4\，k+1）\，x^{4}+（11\，k^{4}-12\，千^{3}-6\，k^{2}+12\，k-4）\，x^{3}+\ldots}{4} -4个\，k^{3}+6\，k^{2}-4\，k+1）\，x^{4}+（11\，k^{4}-12\，千^{3}-6\，k^{2}+12\，k-4）\，x^{3}+\ldots}$

${\显示样式\脚本样式\qquad\qquad_ldots\（11\，k^{4}+12\，k^{3}-6\，千^{2}-12\，k+6）\，x^{2}+（k^{4}+4\，k^{3}+6\，k*2}+4\{3}-6\，千^{2}-12\，k+6）\，x^{2}+（k^{4}+4\，k^{3}+6\，k*2}+4\$

程序

（枫树）a:=进程（n，m）局部k；#欧拉数加（（-1）^k*二项式（n+1，k）*（m+1-k）^n，k=0..m）结束时间：A:=进程（n，x）局部k；#欧拉多项式加（a（n，k）*x^k，k=0..n）结束时间：ma:=进程（n，m）局部k；#中点欧拉数加法（（-1）^（m-k）*二项式（n+1，m-k）x（2*k+1）^n，k=0..m）结束时间：mr:=proc（n，k）选项记住；#递归中间Eul.num。如果n=0，则如果k=0，否则为1，否则为0（2*（n-k）+1）*mr（n-1，k-1）+（2*k+1）*mr（n-l，k）fi结束时间：MA：=proc（n，x）局部k；#中点欧拉多项式加（mr（n，k）*x^k，k=0..n）结束时间：B:=proc（n，u）选项记住；#基数B样条如果n=1，则如果（u<0）或（u>=1），则0，否则1 fi其他（u/（n-1））*B（n-1，u）+（（n-u）/结束时间：#基于多项式的广义欧拉多项式。欧拉多项式：=proc（n，k，x）局部j；如果x=1，那么k^n*n！其他（1-x）^（1+n）*（1+加（二项式（n，j）*多项式（-j，x）*k^j，j=0..n））；简化（扩展（%））fi结束时间：#基于直接递推的广义欧拉多项式。欧拉多项式：=proc（n，k，t）如果n=0，则为1k*t*（1-t）*diff（欧拉多项式（n-1，k，t），t）+欧拉多项式（n-1，k，t）*（1+（k*n-1）*t）fi；排序（简化（扩展（%））结束：#生成函数，一般情况gf:=程序（n，k）局部f；f：=（x，t）->x*exp（t*x/k）/（1-x*exp（t*x））；级数（f（x，t），t，n+2）；（1-x）/x）^（n+1）*k^n*n*系数（%，t，n）；收集（简化（%），x）结束：seq（打印（gf（n，k）），n=0..4）；#生成上面的表（圣人）定义a（n，m）：#欧拉数返回k in（0..m）的加法（（-1）^k*二项式（n+1，k）*（m+1-k）^n）定义A（n，x）：#欧拉多项式return add（a（n，k）*x^k代表k in（0..n））def ma（n，m）：#中点欧拉数返回k in（0..m）的加法（（-1）^（m-k）*二项式（n+1，m-k）x（2*k+1）^n）@缓存函数def-mr（n，k）：#递归中点欧拉数如果n==0：如果k==0，则返回1，否则为0返回（2*（n-k）+1）*mr（n-1，k-1）+（2*k+1）*mr（n-l，k）def MA（n，x）：#中点欧拉多项式返回加法（mr（n，k）*x^k代表k in（0..n））@缓存函数def B（n，x）：#基数B样条如果n==1：如果（x<0）或（x>=1）其他为1，则返回0返回（x/（n-1））*B（n-1，x）+（（n-x）/@缓存函数def BB（n，k，x）：#修改的基数B样条如果n==1：如果（x<0）或（x>=k）其他为1，则返回0返回x*BB（n-1，k，x）+（n*k-x）*BB#基于递归的广义欧拉多项式。定义欧拉多项式（n，k，x）：如果n==0：返回1返回加法（BB（n+1，k，k*m+1）*x^m代表m in（0..n））#基于直接递推的广义欧拉多项式。定义欧拉多项式（n，k，t）：如果n==0：返回1return（k*t*（1-t）*diff（欧拉多项式（n-1，k，t），t）+欧拉多项式（n-1，k，t）*（1+（k*n-1）*t））.expand（）#基于多项式的广义欧拉多项式。从mpmath导入*mp.dps=32；mp.pretty=真定义欧拉多项式Li（n，k，x）：如果x==1：返回k^n*阶乘（n）return（1-x）^（1+n）*（1+add（二项式（n，j）*多项式（-j，x）*k^j对于j in（0..n））

笔记

工具书类

• P.Barry，通过指数Riordan阵列将欧拉多项式作为矩《整数序列杂志》，第14卷（2011年），第11.9.5条。
• 康拉德，回答：解析数论中的历史问题《数学溢出》，2010年1月29日。
• 利昂哈德·尤勒，Remarques sur un beau relaport entre les séries des poissances tan directes que réciproques重建和平中心, 1768. E352（Eneström索引），欧拉档案馆。
• 利昂哈德·尤勒，研究所在有限元分析和连续理论分析中的结石差异，1755年。E212（Eneström索引），欧拉档案馆。
• 多米尼克·福塔，欧拉多项式：从欧拉时代到现在2008年2月18日。
• Dominique Foata和Marcel-Paul Schützenberger，欧洲理工学院, 1970.
• G.Frobenius等人，Bernoullischen Zahlen和Eulerschen Polynome。Sitzungsberichte der Preussischen Akad公司。威斯康星州。，物理学-数学。Kl.（1910），809–847。
• R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，具体数学，1989年。
• 弗里德里希·赫泽布鲁，欧拉多项式数学硕士。1 (2008), 9–14.
• W.Quade和L.Collatz，Zur Interpolations在Funktitonen的卷轴周期的理论。Sitzungsbericht der Preuss公司。阿卡德。威斯康星州。，物理学-数学。Kl.，（1938），383-429。
• I.J.勋伯格，基数插值和样条函数IV.指数欧拉样条。ISNM 20（1972），382-404。