我是如何找到一个
盖伊·斯蒂尔序列
关键词：伯努利多项式，克劳森数，盖·斯蒂尔序列。
与序列有关： A064538号,A135517号,A091090型,2014年1月16日,A141056号.
Maple代码审查
当我试图理解一个序列时，计算描述这个序列对我来说和数学公式一样重要。例如，当我看到公式时
-
|
那么我认为这些是非常复杂的数字。然而，当我看到它们的算法描述
T（n，k）=k*T（n-1，k-1）+（k+1）*T（n-1，k），基T（0，0）=1，边界T（n，k）=0，如果k>n，
那么我认为数学符号有时会混淆固有的含义形式简单。我说过你可能理解我为什么有时会难过阅读使简单数学变得模糊的代码。现在我的故事开始了。
最近我读了Maple序列码A064538号.
A064538号：=程序（n）局部t1；t1:=评估（（伯努利（n+1，m+1）−伯努利）/（n+1））；分母（因子（t1））结束；
我看不出局部变量“t1”、“eval”或“factor”的原因。“分母”对于我的枫叶版本来说是未知的，也许它是一个拼写错误。在那里也是一个更微妙的点。函数计算（隐式）伯努利（n+1，m+1）−伯努利而对我来说伯努利（n+1，m+1）−伯努利显然是正确的。因此代码简化为：
A064538号：=n->denom（（bernoulli（n+1，x+1）−bernoulli/（n+1））：
现在可以观察到，商（n+1）可以从分母中提取出来，成为一个因子。[您需要证明这一点，因为对于正整数a、b、c，denom（a/（b*c））=c*denom（a/b）通常是不正确的。例如，1=denom（1/1）=denom。谢谢-乔纳森·桑多2015年11月20日22:09（UTC）]
A064538号：=n->（n+1）*denom（伯努利（n+1，x+1）-伯努利（n+1,1））：
这是一个进一步的简化。但更明显的是，这不是自然枚举n→ （n+1）。实际上，以“0”开头更自然并编写在OEIS上发布的版本
B064538:=n->n*分母（伯努利（n，x+1）−伯努里（n，1））：B064538（n）（n≥0）=0，1，2，6，4，30，12，42，24，90，20
注意，只有当我们希望包含n=0时，这才可能是由于新表单在参数范围内。左移将导致原始公式中被零除。清楚地显示原文的措辞解释必须对公式进行调整。
我仍然不满意。因素n个可以模糊真正的意义在其他一些上下文中的序列。所以我决定以更通用、更灵活的形式提交序列。
使用（数字理论）：a：=n->denom（B（n，x+1）−B（n、1））：a（n）（n≥0）=1，1，1，2，1，6，2，6，3，10，2，6,2，210
故事到此结束了吗？
盖·斯蒂尔的序列
好吧，我认为什么对伯努利来说有意义多项式对欧拉多项式也有意义。让我们看看。
a:=n->分母（欧拉（n，x+1）−欧拉（n，1））：a（n）（n≥0）=1，1，1，2，1，4，1，2，1，4，1，2，1
OEIS知道这个序列吗？尤里卡，真的！以下是我的发现：
a（n）=A135517号（n） =2^(A091090型（n） −1）。作者：N.J.A.Sloane基于一条消息Guy Steele和D.E.Knuth，2008年3月1日。
我们的公式表明，右偏移量为0，a（0）=1。然而，我没有看到任何迹象与欧拉多项式的联系是已知的。当然，这值得一提。
那么E（n，x+1）−E（n、1）是盖·斯蒂尔的序列GS（2,5）（推测）。
GS:=proc（p，q，len）局部a，n；a:=[1]；n从1到len doa:=a，[0,1，a[n]，a[n]+1,2*a[n]+1][p]；a:=a，[0,1，a[n]，a[n]+1,2*a[n]+1][q]；od端：
GS（2,5，…）->[1],1,[2],1,2,1,[4],1,2,1,4,1,2,1,[8],1,2,1,4,1,2,1,8,1,2,1,4,1,2,1,[16],
我插入了方括号，使图案更加明显。事实上，这是不是模式没有把Matryoshka序列带回我们的脑海？也许是这样的一个序列类型可以称为分形Matryoshka顺序？
关于分形Matryoshka序列和GS序列还有很多要了解的地方。对于示例固定GS序列中的参数p=2和q=5，但引入新参数x和y是这样的：
xGS:=proc（x，y，len）局部a，n；a:=1；n从1到len doa:=a，[0，x，a[n]+x，a[n]，2*a[n]+y，2*a[n]+x][2]；a:=a，[0，x，a[n]+x，a[n]，2*a[n]+y，2*a[n]+x][5]；od端：
注意：
xGS（x=0，y=1）→ GS（p=1，q=6）；xGS（x=1，y=0）→ GS（p=2，q=5）；xGS（x=1，y=1）→ GS（p=2，q=6）。
有人知道斯蒂尔的序列吗？（在这种情况下，请在上留下答案讨论页.)
集中式伯努利多项式
让我们回到序列a（n）=denom（B（n，x+1）−B（n、1））。我们已经看到这个序列开始：
1, 1, 1, 2, 1, 6, 2, 6, 3, 10, 2, 6, 2, 210, 30, 6, 3
然而，我个人的口味更喜欢这个序列，它更同质。
1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 3, 5, 1, 3, 1, 105, 15, 3, 3
除以2不起作用，因为子序列a（2^n），其本身很有趣：
设n>0，则对于某些k≥0，a（n）是奇数<=>n=2^k。
a（2^n）（n≥0）111三三3 * 7 * 113 * 5 * 11 * 133 * 7 * 13 * 19 * 433 * 7 * 13 * 19 * 29 * 37 * 43
所以我会尝试找到我喜欢的序列。第一个I引入伯努利多项式的变体，
集中伯努利多项式CB（断路器）n个（x） 。
带有（数字理论）：集中贝努利：=（n，x）->2^n*B（n，x/2+1/2）；别名（CB=集中贝努利）；
这相当于将剩下的多项式移到原点（这使得多项式B（n，1−x）=（−1）n B（n、x）的对称性看起来更自然）。
接下来我们看看CB的分母n个（当然是CBn个(1)).
seq（denom（CB（n，1）），n=0..16）=1，1，3，1，15，1，21，1
现在至关重要的是要正确使用克劳森博士著名的公式，否则没有人会买新多项式。
|
Bruch Der n-ten Bernoullischen Zahl如此写道：曼阿迪尔·祖·登·泰勒·冯（Man addire zu den Theilern von 2n）。。。1，2，a，a'，a“，2n die Einheit，wodurch man die Reihe Zahlen 2，3，a+1，a'+1，2n+1倍。Aus dieser nimmt man bloßdiePrimzahlen 2、3、p、p'等和bildet den Bruch der n-ten伯努利申·扎尔（Bernoullischen Zahl）。。。
|
你可以在维基百科的伯努利数字页面上找到翻译。在这里是集中式伯努利多项式的变体：Aus dieser nimmt man bloßdie未经耕种的
Primzahlen 3、p、p'等。。。这意味着我们将因子集限制为古怪的素数。
ClausenOdd:=过程（n）局部S，m；S:=除数（n）；S:=映射（i->i+1，S）；S:=选择（isprime，S）减去{2}；mul（m，m=S）端：
第一次测试看起来很有希望：
seq（ClausenOdd（n），n=0..32）=1，1，3，1，15，1，21，1
实际上，denom（CB（n，x+1）−CB（n、1））是一个奇数整数序列，不再有例外。
seq（denom（CB（n，x+1）-CB（n，1）），n=0..32）=1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 3, 5, 1, 3, 1, 105, 15, 3, 3
这当然不奇怪，根据von Staudt-Clausen定理，分母第页，共页n个最多可以有一个2作为因子，我们的缩放取消了这个2
无论如何，这个谜题解决了，但它给我留下了另一个非常有趣的谜题。什么是真正的意义这个序列的？
11,11,1,1,13,1,1,1,1,1,3,13,1,1,1,3,1,3,1,15,1,3,1,1,1,1,13,1,3,1,1,1,3,1,3,1,3,1,15,1,3,1,105,1,3,1,3,1,1,1,3,1,3,1,3,1,3,115,1,3,1,15,1,3,1,15,1,3,1,3,1,3,1,3,1,1,1,5,1,3,1,15,1,7,1,15,1,3,1,105,....1,3,1,3,1,3,1,15,1,3,1,5,1,3,1,15,1,3,1,15,1,3,1,165,1,3,1,15,1,3,1
OEIS的新序列
基于上述考虑，我可能会向OEIS提交以下序列。
- B（n，x+1）−B（n、1）的分母；B（n，x）伯努利多项式。
- CB（n，x+1）−CB（n、1）的分母；CB（n，x）=2^n B（n，x/2+1/2）；
B（n，x）伯努利多项式。
- 多项式2^n B（n，x/2+1/2）的分母，
B（n，x）伯努利多项式。
- Denom（CB（n，x+1）−CB，
CB（n，x）=2^n B（n，x/2+1/2），B（n，x）伯努利多项式。
