用户：M.F.Hasler/正在进行的工作/Rowland Cloitre型素数生成序列

这是关于序列{u[m]，m=1..10}=A261301型..A261310型，其零产生中列出的素数A186253号-A186263型，等于m*b[m]+m-1，其中b[m]列出u[m]的零。序列u[m]定义为u（1）=1和u（n+1）=|u（n）-gcd（u（n，mn+m-1）|。

定义

正如引言中所提到的，起点是序列${\显示样式u[m]=u{m}}$，定义为

$显示样式u{m}（1）=1~~~u{m}（n+1）=u（n）-\gcd（u（n，mn+m-1）~.}u{m}（n+1）=u（n）-\gcd（u（n，mn+m-1）~.}$

这里是|…|可以删除，除非出现以下情况u（n）=0，因此${\显示样式u（n+1）=mn+n-1}$：后者正是前面提到的序列中列出的素数A186253号-A186263型=${\显示样式\{m*b{m}+m-1，m=1..10\}}$，其中$｛\displaystyle b｛m｝｝$列出的零${\显示样式u{m}}$.

示例

因此，序列u[m]总是以

u（1）=1，u（2）=0，u（3）=gcd（0，m*2+m-1）=3m-1，

u（4）=u（3）-gcd（3m-1，m*3+m-1）=3m-1-gcd（3m-1，m）=3m-2，

u（5）=u（4）-gcd（3m-2，m*4+m-1）=3m-2-gcd（m-3，7），

即u[m]=（1，0，3m-1，3m-2，…）

因此，序列b[米]其中列出了零始终以（2，…）开头，以及序列m*b[m]+m-1启动（3米-1, ...).

动机

Benoêt-Cloitre推测，这些序列只列出素数，只有有限个项除外。实际上，如果第一项（3m-1）不是素数，那么从第二项开始，这些序列中就只有素数，除了极少数例外。在这里，我们试图证明这一点。

原产地

正如Benoît Cloître的预印本[BC21]中所概述的，这种结构是从罗兰的类型素数生成序列中产生的，该序列向上计数而不是向下计数到0，参见A106108号以及其中的参考。

属性

序列的行为

序列u[m]总是倒计时到零，即对于某些n>k，它们从给定的值u（k）>0严格递减到u（n）=0，然后它从u（n+1）=mn+m-1“重新开始”，通常是素数，这是严格递减的下一个周期。

步骤u（k+1）-u（k）=-gcd（u（k，mk+m-1）通常等于-1。

只要这是真的，我们就有u（k+d）=u（k）-d，对于d=0，1，2。。。，d[最大值]<=u（k）。

提议1：这里，d[max]=min{a（k）%f；f∈m（u（k）+k）+m-1}的素因子，其中%表示二进制mod算子=rest r>=0除以f。

证明：而0≤d≤d[max]，

${\显示样式\gcd（u（k+d），m（k+d）+m-1）=\gcd$

现在这个克按定义是最大的（f）这样的话${\显示样式f\mid-m（u（k）+k）+m-1}$还有${\显示样式f\mid-u（k）-d}$.因此，如果${\显示样式f\mid-m（u（k）+k）+m-1}$（独立于d日)，然后克>1尽快u（k）=d（修订版（f）),即d=u（k）%f。因此，第一步u（k+d+1）-u（k+d）>1出现在d的最小值上，素数f总是达到这个值。

（我们可以很容易地证明，如果f’是的倍数（f），然后x%f≤x%f'，对于任何x个因此，我们可以考虑素因子的最小值，而不是所有除数的最小值。）

序列b[m]的渐近行为

提议2：序列b[m]的行为如下${\显示样式b{m}（n）\sim c\cdot n^{m+1}}$.

从给定的零开始n=b[m]（i）到下一个，n’=b[m]（i+1），序列u（k）倒数从u（n+1）=m*n+m-1到0=u（n’），大小有几个步骤（f）>1是的除数m（u（k）+k）+m-1，对于区间n<k<n’中的某些k。因此，在平均值中，“初始猜测”之间的差值Δ（n）n+u（n+1）（对应于从u（n+1）到0的减少总是-1）和下一个零的真值n’，是素因子之和的数量级m（u（k）+k）+m-1.（事实上，在每一步>1之后，我们必须考虑一个新的（稍小的）数字的素因子m（u（k'）+k'）+m-1，其中k’=1+（值k个跳跃发生的位置）。）在极少数情况下（f）是的较大除数u个(n个+1). 但这种情况发生的可能性^{[要做：给出精确的估计]}足够低，使这种影响可以忽略不计。由于步长>1的总和是很小的w.r.t.u（n+1），因此它只渐近产生一个相邻的前导项。增长主要取决于b[m]（k+1）/b[m][k）=n'/n~（mn+m-1）/n=m+（m-1）-n~m，QED。

示例

（待开发）

工具书类

[BC11]B.克洛伊特，加法数论中的10个猜想，arXiv:1101.4274[math.NT]，2011年。

历史

本文的初始版本创建：—MFH公司2015年8月24日16:29（UTC）

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