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用户:M.F.Hasler/A139080

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摘要

在这一页我们研究序列邮编:A139080并建立几个属性。

介绍

序列邮编:A139080定义为:

a(1)=1。a(n)=序列中未出现的最小正整数,使得floor(max(a(n),a(n-1))/min(a(n),a(n-1))=2。

这个定义可以重新表述为:

对于n>=1,a(n+1)是前面未使用的最小数m,使得a(n)/3<m<=a(n)/2,或2*a(n-1)<=m<3*a(n-1);并且a(1)=1。

在评论中,提出了这个序列是否是整数的排列的问题。下面我们证明答案是肯定的。

第一次观察

从序列图可以看出,该序列分为5个带,即子序列A(5k)、A(5k+1)、A(5k+2)、A(5k+3)和A(5k+4)。五个这样的连续值总是以固定的相对比例,4:8:3:6:12,并且与指数k=[n/5]成比例。这意味着,如果我们在其他地方开始“循环”,这些比例保持不变,例如使用最小的元素:(a(5k+2)、a(5k+3)、a(5k+4)、a(5k+5)、a(5k+6))~(3,6,12,4,8)*k*(1-O(1/log(k)))。

仔细观察会发现,两个连续元素之间的系数2总是精确的(对于k>=7)。

证明邮编:A139080是整数的置换

初步结果和初步定义

定义1。设N(N)=N\{a(k);k<N}是在a(N)之前没有出现的一组数字,因此可以选择a(N)。

以下三个推论显而易见:

推论0。我们有a(n)>=min n(n)。

推论1。我们有N(N+1)=N(N)\{a(N)}N(N),因此min N(N+1)>=min N(N),并且min N(N+1)>min N(N)如果a(N)=min N(N)。

推论2:如果方程a(n)=min n(n)被验证为无穷多n,则min n(n)变为无穷大. 这意味着每个正整数出现在序列中(根据定义不超过一次),因此序列是一个置换。

推论3。如果a(n)=最小n(n),则a(n+1)>=2a(n)。(这是根据推论1对序列的定义,这意味着a(n+1)<=a(n)/2或a(n+1)>=2a(n),并且。

主要证据

通过对“周期”的指数k=[n/5]的归纳,该陈述(通过推论2)将证明以下假设(对所有k>=7有效):

假设(小时)k):a(5k+2)=最小N(5k+2)。

对于k=7,这是正确的:a(37)=24是不出现在{a(1),…,a(36)}中的最小数。

假设(Hk). 那么,根据定义,a(5k+3)>=2*a(5k+2),因为没有m∈N(5k+3),m<a(5k+2)/2。这是可以证明的[待办事项]2*a(5k+2)∈N(5k+3),因此a(5k+3)=2*a(5k+2)。 (但证明不需要完全相等:如果2*a(5k+2)不在N(5k+3)中,则必须选择a(5k+3)=2*a(5k+2)+1,下面的推理仍然有效。)

接下来,必须再次选择a(5k+4)>=2a(5k+3),因为最大的整数<=a(5k+3)/2是a(5k+2),并且已经被使用。因此a(5k+4)>=2*a(5k+3)(=4*a(5k+2)),同样我们有等式,可以证明(但是,如果需要选择一个稍大一点的整数,这不会改变证明的有效性)。

现在a(5k+5)确实可以选择<a(5k+4)/2=a(5k+3)=2a(5k+2),甚至接近a(5k+4)/3,这个序列定义允许的下限。所以我们有一个(5k+5)>~a(5k+2)*4/3。

其次,不能选择a(5k+6)<=a(5k+5)/2~a(5k+2)*2/3<a(5k+2),因为min N(5k+5)>a(5k+2)。因此a(5k+6)必须选择>=2A(5k+5)~a(5k+2)*8/3。同样地,这里总是可以有相等的,尽管这不是后面的推理所必需的。

最后,我们可以再次选择a(5k+7)=min N(5k+7):一方面,这接近于之前的最小N(5k+2)=a(5k+2),因此小于a(5k+6)/2~a(5k+2)*4/3。另一方面,这严格大于a(5k+6)/3~a(5k+2)*8/9<a(5k+2),因为min N(5k+7)>min N(5k+2)=a(5k+2)。

因此,k+1的假设再次得到验证:(小时)k) (小时)k+1).

因此,对于所有k>=7都是正确的,因此(参见推论2),序列是正整数的置换。

这个证明是完全模的,它表明总是可以选择足够接近给定边界的项。这是因为三个较大的数字a(5k+3)、a(5k+4)和a(5k+6)离a(5k+2)足够远,从而允许间隙| a(5k+2)-a(5k+2)*4/3 |和| a(5k+2)*4/3-a(5k+2)*2增长得足够快,当k→k+1时,为了分别提供比a(5k+2)和a(5k+5)所占的位置更多的位置,可以更精确地计算出给定区间内2a(5k+2)、4a(5k+2)、4/3a(5k+2)和8/3a(5k+2)的个数,如[1,1+epsilon]a(5k+2),并证明它始终严格低于这个间隔长度的某个百分比。

作者身份

此页面的初始版本是由创建的M、 哈斯勒2015年4月27日05:33(UTC)

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