用户：Jason Kimberley/晶格命理学

A218147型

经验数据

来自BBCZ, 2012/10/11:

${\显示样式d}$	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32
${\显示样式n（d）}$	2	2	4	4	12	8	18	8	30	16	36	24	32	32	64	36	90	32	96	60	132	64	100	72		96		64		128

PSLQ恢复了一个学位$｛\displaystyle n（d）｝$多项式满足

${\显示样式{\rm{exp}}\左（8\pi\phi{2}\左（{\frac{1}{d}，{\frac{1}{d}\右）}$,

哪里

${\显示样式\phi_2}（r_1}，r_2}）={\frac{1}{\pi^{2}}\sum_{m_1}_{1} 第页_{1} ）\cos（\pi m_{2} 第页_{2} ）}{m{1}^{2}+m{2}^{2]}}。}{1} 第页_{1} ）\cos（\pi m_{2} 第页_{2} ）}{m{1}^{2}+m{2}^{2]}}。}$

假设

• 对于prime${\显示样式p}$，定义${\显示样式n（p）}$通过

${\显示样式n（2）={\压裂{1}{2}}，\；}$

${\显示样式n（4k+1）=（2k）^{2}，\；}$

$｛\displaystyle n（4k-1）=2k\，（2k-1）；\；｝$

• 对于prime${\显示样式p}$以及任何${\显示样式a\in\mathbb{N}}$,

${\显示样式n（p^{2} 一个)=p^{2} n个（pa）；}{2} 一个)=p^{2} n个（pa）；}$

• 对于互质${\显示样式a}$

$｛\displaystyle n（ab）\，=\，4\，n（a）\，n（b）。｝$

我已经定义了A218147型作为该序列。

绘图

（d，n）

（d^2，n）

（对数d，对数n）

后续属性

• ${\显示样式n（d）}$不是乘法的序列；然而，它是一个可分割性顺序。

• ${\显示样式4\，n（d）\leq d^{2}}$

• 如果我们允许

${\显示样式d=\prod_{i=1}^{k}{p{i}^{e{i}}}，}$

然后

${\显示样式n\左（d\右）=4^{k-1}\，{\prod_{i=1}^{k}{p_{i}^{2e_{i} -2个}\，n（p{i}）}}。}{i} -2个}\，n（p{i}）}}。}$

自

${\显示样式{\prod_{i=1}^{k} 第页_{i} ^｛e_{i} -1个}}={\frac{d}{{\rm{A007947}}{k} 第页_{i} ^｛e_{i} -1个}}={\frac{d}{{\rm{A007947}}$

哪里A007947号是“平方自由核”序列A003557号是商，

${\显示样式n（d）=4^{k-1}{\rm{A003557}}（d）^{2}\，\prod_{i=1}^{k}{n（p_{i}）}.}$

岩浆输入

编号：=函数<d日|d等式2选择1/2其他的IsPrime（d）公司选择d模块4等式1选择（d div 2）^2else//p mod 4等式3（d div2）*（d div 2+1）其他的4^（#fact-1）*&*[基本原理（）|p^（2*e-2）*$$（p）//递归其中p，e是爆炸（p_e） :p_e实际上]哪里事实是工厂化（d）>;[1..64]]中的[<d，n（d）>：d；

将其粘贴到岩浆计算器.

岩浆输出

[ <1, 1/4>, <2, 1/2>, <3, 2>, <4, 2>, <5, 4>, <6, 4>, <7, 12>, <8, 8>, <9, 18>,<10, 8>, <11, 30>, <12, 16>, <13, 36>, <14, 24>, <15, 32>, <16, 32>, <17, 64>,<18，36>，<19，90>，<20，32>，<21，96>，<22，60>，<23，132>，<24，64>，<25100>，<26, 72>, <27, 162>, <28, 96>, <29, 196>, <30, 64>, <31, 240>, <32, 128>,<33, 240>, <34, 128>, <35, 192>, <36, 144>, <37, 324>, <38, 180>, <39, 288>,<40, 128>, <41, 400>, <42, 192>, <43, 462>, <44, 240>, <45, 288>, <46, 264>,<47, 552>, <48, 256>, <49, 588>, <50, 200>, <51, 512>, <52, 288>, <53, 676>,<54, 324>, <55, 480>, <56, 384>, <57, 720>, <58, 392>, <59, 870>, <60, 256>,<61, 900>, <62, 480>, <63, 864>, <64, 512> ]

进一步的经验数据

我对${\显示样式n（27）=162，\n（29）=196\，}$和${\显示样式\，n（31）=240}$已确认。【Jon Borwein的口头交流，2012/11/23。】

问题

• 做${\显示样式n（1）=1/4}$、和${\显示样式n（2）=1/2}$在原来的问题中有意义吗？

---

压缩泊松

经验数据

${\显示样式d}$	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32
${\显示样式m（d）}$		4	4	8	三	16	6	16	15	16	12	49	8	32	32	24	27	64	24	40	33	64	20		27	48	85	64	45

m：=[0、0、0、4、4、8、3、16、6、16、15、16、12、49、8、32、32、24、27、64、24、40、33、64、20、0、27、48、85、64、45、0]；

观察

• ${\显示样式m（p）}$是的倍数$｛\displaystyle｛\frac｛p-1｝｛2｝｝｝$对于每个奇数素数${\显示样式p\neq 29}$
  • ${\显示样式m（29）=85=6（29-1）/2+1}$
  • $显示样式m（p）=压裂{3（p-1）}{2}}$对于$｛\displaystyle 7\neq p\equiv 3\！\！\！\！｛\pmod｛4｝｝｝$
• ${\显示样式m}$不是可除序列：
  • ${\显示样式7\mid 14}$但是${\显示样式m（7）=3\nmid 49=m（14）}$
  • ${\显示样式9\mid 27}$但是${\显示样式m（9）=6\nmid 27=m（27）}$
  • ${\显示样式11\mid 22}$但是${\显示样式m（11）=15\nmid 40=m（22）}$
  • ${\显示样式14\mid 28}$但是${\显示样式m（14）=49\nmid 48=m（28）}$

进一步修正的经验数据

来自BB

${\显示样式d}$	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
${\显示样式m（d）}$	1	4	4	8	三	16	6	16	15	16	12	48	8	32	32	24	27	64	24	40	33	64	20		27	48	84	64	45		40		72		36		48

m:=[0，0，1，4，8，3，16，6，16，15，16，12，48，8，32，24，27，64，24，40，33，64，20，0，27，48，85，64，45，0，40，0，72，36，0，48，0]；

更新的观察结果

• ${\显示样式m（p）}$是的倍数${\显示样式{\压裂{p-1}{2}}}$对于每个奇数素数。
  • ${\显示样式m（p）=p-1}$对于$｛\displaystyle p\equiv 1\！\！\！\！｛\pmod｛4｝｝｝$除：
    • ${\显示样式m（17）=2（17-1）}$
    • ${\显示样式m（29）=3（29-1）}$
  • $｛\displaystyle m（p）＝｛\frac｛3（p-1）｝｛2｝｝｝$对于${\显示样式p\equiv3\！\！\$除：
    • $显示样式m（3）={压裂{3-1}{2}}}$
    • $显示样式m（7）={压裂{7-1}{2}}}$
• ${\显示样式m}$不是可分割性顺序：
  • ${\显示样式9\mid 27}$但是${\显示样式m（9）=6\nmid 27=m（27）}$
  • ${\显示样式11\mid 22}$但是${\显示样式m（11）=15\nmid 40=m（22）}$
  • $｛\displaystyle 11\ mid 33｝｛\displaystyle 11\ mid 33｝$但是${\显示样式m（11）=15\nmid 40=m（33）}$
• J.M.Borwein供稿：${\显示样式2\phi（d）{\中间}m（d）}$
• A000010号（d）=A003557号（d）*A173557号（d） ●●●●。参见。n（d）作为的倍数A003557号以上。
• A000010号（d） 第页，共2页=A023022号（d） ，对于d>2，是的最小多项式的次数${\显示样式\cos（2\pi/d）}$.