用户：Enrique Pérez Herrero/Piltz

PILTZ分配器功能

标准Piltz函数

公式：

• 1) $显示样式tau_{k}（n）=sum_{d|n}^{}$

• 2) ${\显示样式\显示样式\tau_{k}（n）=\prod_{i=1}^{ω；（k\geq 1）}（k\geq 1）}$

• 3) $｛\displaystyle\displaystyle\tau_｛k｝（s）=\prod_｛i=1｝^｛\omega（s）｝｛\binom｛k｝｛k-1｝｝=k ^｛\omega（s）｝｝$，正在$｛\displaystyles｝$无平方数：A005117号.

• 4) ${\显示样式\显示样式\tau_{k+1}；（k\geq 0）}（k\geq 0）}$

• 5) ${\显示样式\显示样式\tau_{3}（n）^{2}=\左（\sum_{d|n}{\tau_{2}（d）}\右）^{2]}$，序列A097988号

• 6) ${\displaystyle\tau_{k}（n）=\prod_{i=0}^{k-2}{\frac{\tau_{2}（n\cdot-rad（n）^{i}）}{\tau_2}（rad（n）；（k\geq 1）}（k\geq 1）}$，其中${\显示样式\显示样式rad（n）}$是A007947号

• 7) $显示样式和$，序列A076479号

• 8) $显示样式和$

• 9） ${\显示样式\显示样式|\sum_{d|n}{\mu（d）\cdot\tau_{3}（d^{2}）}|=\sum_}d|n{{\mo（d）}^{2{\cdot{\tau_2}（d$，序列A082476号

• 10) $｛\displaystyle\displaystyle\tau_｛2｝（\tau_｛2｝（rad（n）））-1=\omega（n）\；（n>1）}（n>1）}$，序列A010553号

• 11) ${\显示样式\显示样式\sum_{d|n}{\mu（d）^{2}\cdot\tau_{2}（d$，序列A074816号

• 12) ${\displaystyle\displaysttyle|\sum_{d|n}{\mu（d）\cdot\tau_{k}（d^{m}）}|={{bigg（}{\binom{k+m-1}{m}}-1{\bigg）}}}^{omega（n）}$

• 13) $显示样式和$

• 14) $｛\displaystyle\displaystyle\phi（n）=\sum_｛i=1｝^｛n｝$，序列A000010号

• 15） $｛\displaystyle\displaystyle\pi（n）=\sum_｛i=2｝^｛n｝｛\big\lfloor｝｛\frac｛k｝｛\tau_｛k｝（i）｝｝｛\big\rfloor｝｝\；；（n>1）}（n>1）}$，序列A000720号

• 16) ${\显示样式\显示样式\sigma_{0}^{*}（n）=|\sum_{d|n}{\mu（d）\cdot\tau_{3}（d和{d|n}{{\mu（d）}^{2}\cdot\tau{2}（d^{2{）}}$，酉除数函数：序列A034444号

• 17) ${\显示样式\显示样式\tau_{k}（p^{alpha}）={\binom{\alpha+k-1}{k-1}}=p_{k-1{{（alpha，\beta）}（1）\；（k>1）}（k>1）}$，其中${\显示样式\显示样式P_{n}^{（\alpha，\beta）}（z）}$是雅可比多项式

• 18) ${\显示样式\显示样式\\sum_{d|n}{k^{omega（n）}}=\tau_{2}（n^{k}）}$

OEIS中的标准Piltz函数

OEIS中的Piltz函数

功能	序列Id	功能	序列Id
${\显示样式\显示样式\tau_{1}}$	A000012号	${\显示样式\displaystyle\tau_{7}}$	A111217号
${\显示样式\显示样式\tau_{2}}$	A000005号	${\显示样式\displaystyle\tau_{8}}$	A111218号
${\显示样式\displaystyle\tau_{3}}$	A007425号	${\显示样式\显示样式\tau_{9}}$	A111219号
${\显示样式\显示样式\tau_{4}}$	A007426号	${\显示样式\displaystyle\tau_{10}}$	A111220号
${\显示样式\displaystyle\tau_{5}}$	A061200型	${\显示样式\displaystyle\tau_{11}}$	A111221号
${\显示样式\displaystyle\tau_{6}}$	A034695号	${\显示样式\displaystyle\tau_{12}}$	A111306型

OEIS中与除数函数相关的其他序列

与除数函数相关的序列

功能	序列Id
${\显示样式\displaystyle\tau_2}（n^{2}）}$	A048691号
${\显示样式\显示样式\tau_{2}（n^{3}）}$	A048785号
${\显示样式\显示样式\tau_{2}（n）^{2}}$	A035116号
${\显示样式\显示样式\tau_{2}\左（\tau_2}（n）\右）}$	A010553号
${\显示样式\显示样式\tau_{2}\左（\tau_2}\左）}$	A036450型
${\显示样式\显示样式\tau_{2}\左（\tau_2}\左）}$	A036452号
${\显示样式\显示样式\tau_{2}\左（\tau_2}\左）}$	A036453号
${\显示样式\显示样式\tau_{k}（n）}$	A077592号
${\显示样式\显示样式\tau_{2}（2^{n}+1）}$	A046798号
${\显示样式\显示样式\tau_{2}（n^{n}）}$	A062319号

冻结的皮尔茨函数

公式：

1) ${\显示样式\显示样式\tau_{-k}（n^{k}）={\mu（n）}^{k{；\；（k>0）}（k>0）}$

2) ${\显示样式\显示样式\tau_{-k}（p）=-k；\；\；（k>0）}（k>0）}$

3) ${\显示样式\显示样式\tau_{-k}=（-k）^{\omega（s）}}$，正在$｛\displaystyles｝$无平方数：A005117号.

OEIS中的冻结皮尔茨函数

功能	序列Id
${\显示样式\显示样式\tau_{0}}$	A063524号
${\显示样式\显示样式\tau_{-1}}$	A008683号
${\显示样式\显示样式\tau_{-2}}$	A007427号
${\显示样式\显示样式\tau_{-3}}$	A007428型
${\显示样式\显示样式\tau_{-4}}$	A247343号
${\显示样式\显示样式\tau_{-5}}$	A341831
${\显示样式\显示样式\tau_{-6}}$	邮编：341832
${\显示样式\显示样式\tau_{-7}}$	A341833
${\显示样式\显示样式\tau_{-8}}$	A341834飞机
${\显示样式\显示样式\tau_{-9}}$	A341835飞机
${\显示样式\displaystyle\tau_{-10}}$	A341836飞机

Mathematica:编程Piltz函数

（*Mathematica包草稿*）tau[1，n_Integrate]：=1；集合属性[tau，可列表]；tau[k_Integer，n_Integer]：=加号@@（tau[k-1，除数[n]]）/；k>1；tau[k_Integer，n_Integer]：=加号@@（tau[k+1，除数[n]]*MoebiusMu[n/Divisors[n]]）；k<1；（*标准Piltz函数*）A000012号[n]：=τ[1，n]；A000005号[n]：=τ[2，n]；A007425号[n]：=τ[3，n]；A007426号[n]：=τ[4，n]；A061200型[n]：=τ[5，n]；A034695号[n]：=τ[6，n]；A111217号[n]：=τ[7，n]；A111218号[n]：=τ[8，n]；11219年[n]：=τ[9，n]；A111220号[n]：=τ[10，n]；A111221号[n]：=τ[11，n]；A111306型[n]：=τ[12，n]；（*冻结Piltz函数*）A063524号[n]：=τ[0，n]；A008683号[n]：=τ[-1，n]；A007427号[n]：=τ[-2，n]；A007428型[n]：=τ[-3，n]；（*与Piltz函数相关的其他序列*）A010553号[n_]：=嵌套[A000005号，n，2]；A036450型[n_]：=嵌套[A000005号，n，3]；A048691号[n]：=τ[2，n^2]；A048785号[n]：=τ[2，n^3]；A035116号[n]：=τ[2，n]^2；A074816号[n]：=3^PrimeNu[n]；A082476号[n]：=5^素数[n]；（*替代代码A082476号
A082476号[n]：=Abs[DivisorSum[n，MoebiusMu[#]*tau[3，#^2]&]]；*)A097988号[n]：=τ[3，n]^2；A046798号[n_IntegerQ]：=除数Sigma[0,1+2^n]；A062319号[0]：=1；A062319号[n]：=τ[2，n^n]；（*添加有关Piltz函数的帮助信息*）A000012号：：usage=“A000012号：最简单的正数序列：全1序列。”；A000005号：：用法=“A000005号：d（n）（也称为τ（n）或σ0（n）），n的除数。”；A007425号：：usage=“A007425号：d_3（n）或tau3（n），n的有序因式分解数为n=rst。”；A007426号：：usage=“A007426号：d_4（n）或tau4（n），n的有序因式分解数为n=rstu。”；A007427号：：usage=“A007427号：对序列1,0,0,0…应用两次Moebius变换，。。。。”；A007428型：：usage=“A007428型：Moebius变换对序列1,0,0,0…应用了三次，。。。。”；A008683号：：usage=“A008683号：Moebius（或Mobius）函数mu（n）。”；A010553号：：usage=“A010553号：τ（τ（n））。”；A034695号：：usage=“A034695号：divisors数函数的Dirichlet卷积(A000005号)带有A007426号.";A035116号：：用法=“A035116号：τ（n）^2，其中τ（n）=A000005号（n） ●●●●。”；A046798号：：usage=“A046798号：2^n+1的除数。”；A048691号：：usage=“A048691号：tau（n^2），其中tau=A000005号.";A048785号：：usage=“A048785号：tau（n^3），其中tau=除数(A000005号).”；A061200型：：usage=“A061200型：tau_5（n）=n的有序5-因子分解数“；A062319号：：usage=“A062319号：n ^n的除数，或A000312号.";A063524号：：usage=“A063524号：特征函数1.“；A074816号：：usage=“A074816号：a（n）=总和（d|n，tau（d）*mu（d）^2）。”；A082476号：：usage=“A082476号：a（n）=总和（d|n，mu（d）^2*tau（d）*2）。”；A097988号：：usage=“A097988号：a（n）=和_（d除以n）{tau（d）}^3。“；A036450型：：usage=“A036450型：τ（τ（n））。”；A111217号：：usage=“A111217号：d_7（n），tau_7（n），n的有序因子分解的个数为n=rstuvwx（7-因子分解）。”；A111218号：：usage=“A111218号：d_8（n），tau8（n），n的有序因式分解数为n=rstuvwxy（8-因式分解）。”；A111219号：：usage=“11219年：d_9（n），tau9（n），n的有序因式分解数为n=rstuvwxyz（9-因式分解）。”；A111220号：：usage=“A111220号：d_10（n），tau10（n），n的有序因子分解的个数为n=rstuvwxyza（10个因子分解）。”；A111221号：：usage=“A111221号：d_11（n），tau11（n），n的有序因式分解数为n=rstuvwxyzab（11-因式分解）。”；A111306型：：usage=“A111306型：d_12（n），tau12（n），n的有序因式分解数为n=rstuvwxyzabc（12-因式分解）。”；

• 下载Mathematica Piltz函数包

PARI/GP：编程Piltz函数

A000005号（n） =numdiv（n）；A000012号（n） =1；A010553号（n） =numdiv（numdiv（n））；A035116号（n） =numdiv（n）^2；\\添加帮助添加帮助(A000005号,"A000005号：d（n）（也称为τ（n）或σ0（n）），n的除数”）；添加帮助(A000012号,"A000012号：最简单的正数序列：全1序列。");添加帮助(A007425号,"A007425号：d_3（n）或tau3（n），n的有序因式分解数为n=rst。");添加帮助(A007426号,"A007426号：d_4（n），或tau4（n），n的有序因子分解数，n=rstu。");添加帮助(A007427号,"A007427号：对序列1,0,0,0…应用两次Moebius变换，。。。。");添加帮助(A007428型,"A007428号：Moebius变换对序列1,0,0,0…应用了三次，。。。。");添加帮助(A008683号,"A008683号：Moebius（或Mobius）函数mu（n）。");添加帮助(A010553,"A010553号：τ（τ（n））。");添加帮助(A034695号,"A034695号：divisors数函数的Dirichlet卷积(A000005号)带有A007426号.");添加帮助(A035116号,"A035116号：τ（n）^2，其中τ（n）=A000005号（n） ●●●●。");添加帮助(A046798号,"A046798号：2^n+1的除数。“）；添加帮助(A048691号,"A048691号：tau（n^2），其中tau=A000005号.");添加帮助(A048785号,"A048785号：tau（n^3），其中tau=除数(A000005号).");添加帮助(A061200型,"A061200型：tau_5（n）=n的有序5-因子分解数“）；添加帮助(A062319号,"A062319号：n ^n的除数，或A000312号.");添加帮助(A063524号,"A063524号：特征函数1.“）；添加帮助(A074816号,"A074816号：a（n）=sum（d|n，tau（d）*mu（d）^2）。");添加帮助(A082476号,"A082476号：a（n）=总和（d|n，mu（d）^2*tau（d）*2）。");添加帮助(A097988号,"A097988美元：a（n）=和_（d除以n）{tau（d）}^3.“）；添加帮助(A109399号,"A109399号：τ（τ（n））。");添加帮助(A111217号,"A111217号：d_7（n），tau7（n），n的有序因式分解数为n=rstuvwx（7-因式分解）。");添加帮助(A111218号,"A111218号：d_8（n），tau8（n），n的有序因式分解数为n=rstuvwxy（8-因式分解）。");添加帮助(A111219号,"A111219号：d_9（n），tau9（n），n的有序因式分解数为n=rstuvwxyz（9-因式分解）。");添加帮助(A111220号,"A111220号：d_10（n），tau10（n），n的有序因式分解数为n=rstuvwxyza（10-因式分解）。");添加帮助(A111221号,"A111221号：d_11（n），tau11（n），n的有序因式分解数为n=rstuvwxyzab（11-因式分解）。");添加帮助(A111306型,"A111306型：d_12（n），tau12（n），n的有序因式分解数为n=rstuvwxyzabc（12-因式分解）。");

• 按顺序排列的错误注释：http://oeis.org/A061391

参考文献

• 乔·罗伯茨，整数的诱惑，MAA，1992，整数3，第8-9页

• William J.LeVeque，数论基础，多佛出版公司，1977年，第125页

• 迷幻几何博客：分裂FTA功能（II）-PILTZ DIVISOR功能（1）

• 迷幻几何博客：分裂FTA功能（III）-PILTZ DIVISOR功能（2）

• 迷幻几何博客：TOTIENT CARNIVAL