（几乎准备好了，但还不完全……）

自同构的定义A074679号&A074680号

加泰罗尼亚双射（或自同构）*A074679号定义为按以下方式作用于二叉树：

{\displaystyle\longrightarrow}

如果可能，请向左旋转二叉树。

{\displaystyle\longrightarrow}

否则，互换其侧面。

在这个符号中， ${\显示样式a}$ , ${\显示样式b}$ 和 ${\显示样式c}$ 引用任意子树从标记的顶点萌芽。它们可以是空树或任何有限大小的树。这个 ${\显示样式\mathbf{0}}$ 意思是，隐含地说，在那个顶点上有一棵空树，即顶点是一片叶子。应该清楚的是，上面的定义产生了一个双射

上述操作都不会改变二叉树的总大小，
非空二叉树集按域划分为两个不相交的子集：
- 右侧子树不为空的树，以及
- 那些树上空无一人。
它们的范围也是不相交的：
- 左侧子树不为空的树，以及
- 那些空无一人的树。

此外，我们采用了一种约定，即空树总是自动映射到自身。很明显，逆自同构(*A074680号)由以下人员提供：

{\displaystyle\longrightarrow}

如果可能，请向右旋转二叉树。

{\displaystyle\longrightarrow}

否则，互换其侧面。

请注意，上述定义对于未标记和标记的根平面二叉树都同样适用。此外，与其考虑后面的操作*A074679号在交换双方的存在时，我们可以思考传递空的右侧（叶节点）根部以下在左侧，旧的左手边的树为它腾出了空间，它自己向右手边移动。

四个内部顶点的二叉树上的自同构作用示例

提议

二叉树的不同轨道数 ${\显示样式n}$ 内部顶点（包括根），它们被自同构划分为*A074679号和*A074680号由提供A001683（n+1），即与加泰罗尼亚自同构相同的序列*A057161号& *A057162号，但右移了一次。

证明如下。

让我们先看看自同构是如何实现的*A057161号& *A057162号，其中根据定义旋转欧拉多边形三角剖分，影响相应的三价平面树和二叉树，多边形三角剖分映射到其中：

定义：硼树

A类三价树或硼树简而言之，是非平面的，非根树，其中所有内部节点的化合价为3。也就是说，它是一个二叉树，其中根的方向和位置都没有固定。（也就是说，没有“根”）。

序列A000672号给出了此类的数量带有的树 ${\显示样式n}$ （未标记的）叶子。

定义：Cameron的四元关系

卡梅隆^[1]引入了四元关系为了树叶。关系 ${\显示样式ab|cd}$ 当限制在硼树上时对于任何给定的四片不同的叶子都是如此 ${\显示样式a、b、c}$ 和 ${\显示样式d}$ 在丢弃所有其他节点和边之后，如果除了那些躺在连接这些树的小路上的树四个叶子，以及抑制所有二价节点在这些路径上，结果的形式如下：

卡梅隆注意到，在硼树中，任何四片叶子，按照某种顺序，都满足了这种关系。

定义：无标记平面三价树（flexagons）

一个无标记平面三价树是平面的，非根树，其中所有内部节点的化合价为3。也就是说，它是一个二叉树树的方向已经确定，但根的位置尚未确定。序列A001683号给出了此类的数量带有的树 ${\显示样式n}$ （未标记的）叶子或等效物 ${\显示样式n-2}$ 内部节点。

注意，硼树可以映射为平面三价树通过在叶子上固定一个循环顺序。

引理1

当作用于带有标记叶子的二叉树时自同构*A074679号和*A074680号 保持叶子的圆形顺序（当根节点被计为内部节点，而不是叶节点时）。

证明。二叉树旋转不会改变叶子的循环顺序。另一方面，如果*A074679号交换而不是旋转，那么它将有效地旋转最后一个叶子（按深度顺序排列）朝向另一个的前面叶子，这也保持了循环顺序的完整性。

引理2

当作用于带有标记叶子的二叉树时自同构*A074679号和*A074680号 保留卡梅隆的四元关系（当根节点被计算为内部节点，而不是叶）。

证明。很明显，将一片叶子交换到另一边不会改变任意四片叶子的四元关系。对于二叉树旋转，我们可以看到这两棵树：

和

当它们被系列化时，映射到同一个平面硼树：

其中，标签 ${\显示样式a}$ , ${\显示样式b}$ 和 ${\显示样式c}$ 指从这些顶点萌芽的任意子树。因此，二叉树旋转都不会改变四元关系树的任何顶点之间，因此两者*A074679号及其反向*A074680号保持三价平面树的等价类……胡说八道。。。

因此*A074679号保持三价平面树的等价类当二叉树被系列化时（以及位置在这个过程中，它的根被遗忘了）。然而，我们仍然需要证明三价平面树和的轨道*A074679号,也就是说，所述等价类从未被划分通过*A074679号.

下面的两个引理正是为了这个。

引理3

给定任何有限二叉树，自同构的一个或多个连续应用*A074679号最终将其左侧和右侧交换为：

｛\displaystyle\rightarrow\cdots\rightarrow｝

证据是通过归纳右侧树的大小得出的。对于形状的树由于引理立即得到满足（这是我们的基本情况），没有什么可证明的，所以让我们专注于那些右手边不空的树，但不是形式,所以整棵树都是这样的.作为我们的归纳假设，我们假设

{\显示样式\右箭头\cdots\rightarrow}

和

{\显示样式\右箭头\cdots\rightarrow}

hold加在一起意味着

{\显示样式\右箭头\cdots\rightarrow}

同样适用。在这里 ${\displaystyle\longrightarrow}$ 指一次申请，以及 ${\显示样式\右箭头\cdots\rightarrow}$ 自同构的一个或多个应用*A074679号.

要了解其工作原理，让我们逐步进行：自同构*A074679号首先将树向左旋转为：

｛\displaystyle\longrightarrow｝｛\displaystyle\longrightarrow｝

现在，根据上述归纳假设的第一部分，我们假设*A074679号最终将交换生成树的左侧和右侧，从而为我们提供：

{\显示样式\右箭头\cdots\rightarrow}

这反过来又向左旋转为：

{\displaystyle\longrightarrow}

现在，根据归纳假设的第二部分，我们假设*A074679号最终将交换生成树的左侧和右侧，给出：

{\显示样式\右箭头\cdots\rightarrow}

其依次向左旋转为：

{\displaystyle\longrightarrow}

我们确实得到了一个二叉树，其中原始树()左侧和右侧已交换。这证明了归纳假说和整个引理。

为什么这样有效？右侧树的大小随着每一次连续的使用*A074679号,尽管在很多情况下将比原来右侧的树长得更大(),我们看到我们需要注意/规定rhs树的大小仅在点（2）和（4）处，其中子树 ${\显示样式R^{R}}$ 和 ${\显示样式R^{L}}$ 保证小于自身。这些依次分解为 ${\显示样式R^{R^{R}}}$ & ${\显示样式R^{R^{L}}}$ 和 ${\显示样式R^{L^{R}}}$ & ${\显示样式R^{L^{L}}}$ 等，每个分支进一步分解左右两侧，只要树枝上有空树（叶子），然后由基本案例处理。明确地，原来左手边的树没有叶子, ${\显示样式L}$ ,会从下面经过根，在我们完成上述过程的最后一步之前，其中 ${\显示样式L}$ 终于独自站在了右手边。