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用户:A0767—A07680轨道上的Antti Karttunen /注记

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(差不多准备好了,但不完全……)

自同构的定义A07709&A07680

加泰罗尼亚双射(或自同构)*A07709定义为以二进制方式作用于二进制树:

BiTeRe2-D2-Label-ABC-SVG BiTeRe3-D3-Label-ABC-SVG
如果可能的话,旋转二叉树。
BiTeRIE-D1标记的A/0.VSG BiTou-D1-Label-0和A.SVG
否则,交换它的边。

在这个符号中,引用从标记顶点萌芽的任意子树。它们可以是任何大小有限的空树或树。这个这意味着,在这个顶点上有一棵空树,即顶点是一个叶子。

  • 上述两种操作都不会改变二叉树的总大小,
  • 非空二叉树的集合通过它们的域被划分为两个不相交子集:
    • 那些右手边子树不是空的树,
    • 那些树是空的。
  • 它们的范围也不相交:
    • 那些左手边子树不是空的树,
    • 那些树是空的。

此外,我们采用了空树总是默默地映射到自身的约定。A07680):

BiTeRe3-D3-Label-ABC-SVG BiTeRe2-D2-Label-ABC-SVG
如果可能的话,旋转二叉树。
BiTou-D1-Label-0和A.SVG BiTeRIE-D1标记的A/0.VSG
否则,交换它的边。

注意,上面的定义对于未标记和标记的根平面二叉树同样适用。A07709当交换边t*Te-β-Te时,我们可以认为空的右手边(叶节点)通过了。根下左边的,和旧的左手边树为它腾出空间,自己移动到右手边。

四个内部顶点二叉树上自同构的一个例子

A07709-A07680-14-4NoDE-BiTeRES.VG的图解-循环

命题

二叉树的不同轨道数内顶点(包括根),它们被自同构分割成*A07709*A07680是由A000 163(n+1),即与加泰罗尼亚自同构相同的序列*A057 161*A057 162但右移了一次。


证明如下。

让我们先看看自同构*A057 161*A057 162哪一个根据定义旋转欧拉多边形三角剖分,影响对应的三价平面树和二叉树,将多边形三角剖分映射到:

A057 161-A057 162旋转图


定义:Boron树

三价树硼树简而言之,是一个非平面的、无根的树,其中所有的内部节点都有价3。即它是一个二元树,既没有根的位置也没有固定的位置。(也就是说,没有根)。

序列A000 0672给出了这样的树的个数(未标记)叶子。

定义:卡梅伦的四元关系

卡梅伦〔1〕介绍了树木叶片的四元关系。关系当被限制在硼树上时,对于任何给定的四个不同的叶来说都是正确的。在树中,如果丢弃除了连接这些四叶的路径上的那些树以外的所有其他节点和树的边缘,以及抑制这些路径上的所有二价节点,结果如下:A07709证明图

卡梅伦指出,对于硼树来说,任何四片叶子都能满足这种关系。


定义:未标记平面三价树(Fracgon)

无标记平面三叶树是一个平面的、无根的树,其中所有的内部节点都有价3。也就是说,它是一棵二叉树,其中树的方向是固定的,而不是根的位置。A000 163给出了这样的树的个数(未标记)叶,或等同地内部节点。

请注意,硼树可以映射到平面三价树,通过固定一个圆形的顺序在其叶子上。


引理1

在有标记叶的二叉树上作用时,自同构*A07709*A07680 保持叶子的圆形排列(当根节点被计算为内部节点,而不是作为一个叶)。

证明。二叉树的旋转不会改变叶子的循环顺序。A07709交换代替旋转,它将有效地将最后一个叶(按深度优先顺序)旋转到另一个叶的前面,这也保持了圆形的完整性。


引理2

在有标记叶的二叉树上作用时,自同构*A07709*A07680 保持卡梅伦的四元关系(当根节点被计数为一个内部节点,而不是作为一个叶)。

证明。显然,将一片叶子换到另一边不改变任何四片叶子的四元关系。

BiTeRe2-D2-Label-ABC-SVGBiTeRe3-D3-Label-ABC-SVG

当它们被串联缩小时,映射到同一平面的硼树:

3-脱氧核糖核酸标记

标签再次出现在哪里参阅从这些顶点萌芽的任意子树。因此,无论是二叉树旋转都不会改变树的任意顶点之间的四元关系,因此两者都是*。A07709及其逆*A07680保持三叶平面树的等价类…BLAA BLAA…

因此*A07709保留了一个二元平面树的等价类,当一个二叉树在它的级数被减少的时候被映射到它的根的位置(在这个过程中它的根的位置被遗忘)。然而,我们仍然必须证明三价平面树与*轨道之间的一一对应关系。A07709,即,所述等价类从不被划分成两个或多个不相交的循环A07709.

下面两个引理正好是这样的。

引理3

给定任何有限二叉树,一个或多个自同构的连续应用*A07709最终将其左右交换为:

BiTeRe1-D1-Label-L-和R.SvG BiTeRe1-D1-Label-Rel-SvG

证明是通过对右手边树的大小的归纳来实现的。BiTeRIE-D1标记的A/0.VSG没有什么可以证明的,因为引理立即得到满足(这是我们的基本情况),所以我们集中在那些右边不是空的树上,而不是形式。BiTre1-D1标记RL和RR.svg,所以整个树都是形式的BiTrIE-D2-Label-L- RL- RR.Svg作为我们的归纳假设,我们假设两者都是

BiTrIE-D3-Label-L- RL- RR.VG BiTeRe2-D2-Label-RR-LRVSGBiTre3-D3-Label-RR-LRVSG BiTeRe-D2标签RL RR L.SVG

结合起来,意味着

BiTrIE-D2-Label-L- RL- RR.Svg BiTrIE-D3-Label-RL RR LVSG

也持有。在这里意味着一个应用程序,自同构的一个或多个应用*A07709.

为了了解这是如何工作的,让我们一步一步地进行:A07709首先旋转左边的树作为:

BiTrIE-D2-Label-L- RL- RR.Svg BiTrIE-D3-Label-L- RL- RR.VG

现在,通过上面提到的归纳假设的第一部分,我们假设*A07709最终将交换左手和右手的树,从而给我们:

BiTrIE-D3-Label-L- RL- RR.VG BiTeRe2-D2-Label-RR-LRVSG

这反过来又向左旋转为:

BiTeRe2-D2-Label-RR-LRVSG BiTre3-D3-Label-RR-LRVSG

现在,通过归纳假设的第二部分,我们假设*的一个或多个进一步的应用。A07709最终将交换产生的树的左手边和右手边:

BiTre3-D3-Label-RR-LRVSG BiTeRe-D2标签RL RR L.SVG

依次向左旋转为:

BiTeRe-D2标签RL RR L.SVG BiTrIE-D3-Label-RL RR LVSG

我们确实得到了一个二叉树,其中原始树的BiTrIE-D2-Label-L- RL- RR.Svg左、右两侧已更换。这证明了归纳假设和整体引理。

为什么会这样?右手边树的大小在每一步中都是逐渐变小的。A07709,尽管在很多情况下会比原来的右手树长得更大BiTre1-D1标记RL和RR.svg)我们看到,仅在点(2)和(4),即子树,我们需要注意/规定RHS树的大小。保证小于BiTre1-D1标记RL和RR.svg这些又依次分解为&&等,每个分支进一步分解到左边和右边,直到在任何分支中达到空树(叶),然后由基本情况处理。没有树叶原来的左手边树将通过下面在我们到达上述过程的最后一步之前,在哪里终于在右手边。

引理4

作为前面引理的推论,我们有:

标记的有限二叉树的每个叶将访问根节点的右子的位置,在轨道上的某点上,自同构*A07709发送所述树。

证明:从前面引理的详细证明的步骤(2)和(4)中,我们看到了*的连续应用。A07709最终将右手边树的每一片叶子都带到根部的右子叶上,然后再交换。在根部下面通过成为根的左撇子。在第五(最后一步)之后,原来的左边树,已经迁移成为新的右手边树,而它的所有叶子又将有同样的命运。

推荐信

  1. γ Peter J. Cameron一些树状物体夸脱。J. Math。牛津,(2)38(1987),155—183。