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用户:Antti Karttunen/A074679-A074680轨道注释

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(差不多准备好了,但还没完全准备好…)

自同构的定义A074679号&A074680号

加泰罗尼亚双射(或自同构)*A074679号在树上操作的方式定义如下:

BinTree-d2-labeled-abc.svg BinTree-d3-labeled-abc.svg
如果可能,向左旋转二叉树。
BinTree-d1-labeled-a-and-0.svg BinTree-d1-labeled-0-and-a.svg
否则,交换双方。

在这个符号中,,指从标记顶点萌生的任意子树。它们可以是空树或任何有限大小的树。这个这意味着,在这个顶点有一棵空树,也就是说,这个顶点是一片叶子

  • 以上两种操作都不会改变二叉树的总大小,
  • 非空二叉树集按其域划分为两个不相交的子集:
    • 右边子树不为空的树
    • 那些树是空的。
  • 它们的范围也不相交:
    • 左侧子树不为空的树
    • 那些空着的树。

此外,我们采用了空树总是无声地映射到它自己的约定,而且很明显,逆自同构(*A074680号)计算公式:

BinTree-d3-labeled-abc.svg BinTree-d2-labeled-abc.svg
如果可能,向右旋转二叉树。
BinTree-d1-labeled-0-and-a.svg BinTree-d1-labeled-a-and-0.svg
否则,交换双方。

请注意,上述定义对未标记的和有标记的有根平面二叉树同样有效*A074679号当交换边tète-ète时,我们可以认为空的右手边(叶节点)通过了在根下在左边,老的左手边的树为它腾出了空间,它自己就移到了右手边。

自同构在四个内部顶点二叉树上的作用实例

A074679-A074680-Diagram-cycle-of-14-four-node-bintrees.svg

命题

二叉树的不同轨道数内部顶点(包括根), 通过自同构将它们划分到其中*A0749号以及*A074680号是由A001683号(n+1),即与Catalan自同构的序列相同*A057161& *A057162,但右移一次。


证据如下。

让我们先看看自同构是如何产生的*A057161& *A057162,哪个按定义旋转欧拉多边形三角剖分,影响对应的三价平面树和二叉树,多边形三角剖分映射到其中:

A057161-A057162-旋转图.svg


定义:硼树

A三价树硼树简而言之,是一个非平面的、无根的树,其中所有内部节点的价为3。一、 它是一种二叉树,根的方向和位置都没有固定。

顺序A000672号给出了这种树的数量(未标记)叶子。

定义:卡梅隆的四元关系

卡梅隆[1]介绍了树木叶片的四元关系式。关系当仅限于硼树时,对于任何给定的四片不同的叶子来说 都是正确的对于一棵树,如果在丢弃树的所有其他节点和边(除了那些位于连接这四片叶子的路径上的节点和边)并抑制这些路径上的所有二价节点之后,结果如下:A074679校样图Camerons quantiary.svg

卡梅隆指出,对于硼树,任何四片叶子,在某种程度上,都满足这种关系。


定义:无标记平面三价树(flexagons)

无标记平面三价树是一个平面的,没有根的树,其中所有的内部节点的价为3。一、 它是一棵二叉树,树的方向是固定的,但根的位置不是固定的A001683号给出了这种树的数量(未标记的)叶,或相当于内部节点。

注意,硼树可以映射到一个平面三价树 通过固定其叶子上的一个圆形顺序。


引理1

当作用于带标记叶的二叉树时, 自同构*A074679号以及*A074680号 保持树叶的循环秩序(当根节点被计为内部节点而不是叶时)。

证据。二叉树的旋转不会改变叶子的循环顺序*A074679号进行交换而不是旋转,那么它将有效地将最后一个叶(深度优先顺序)旋转到其他 叶的前面,这也保持了循环顺序不变。


引理2

当作用于带标记叶的二叉树时, 自同构*A074679号以及*A074680号 保持卡梅隆的第四纪关系(当根节点被计为 内部节点,而不是叶时)。

证据。很明显,将一片叶子交换到另一边并不会改变任何四片叶子的四元关系。 对于二叉树旋转,我们可以看到两棵树:

BinTree-d2-labeled-abc.svgBinTree-d3-labeled-abc.svg

当它们被系列化简后,映射到同一平面硼树:

BoronTree-of-3-leaves-label-abc.svg

再说一遍,标签呢,指从这些顶点萌生的任意子树。因此,二叉树旋转都不会改变树的任何顶点之间的四元关系,因此二者都不会改变*A074679号与之相反*A074680号保持三价平面树的等价类。。。等等。。。

因此*A074679号保留了二叉树级数化简时所映射到的三价平面树的等价类(在这个过程中,它的根的位置被遗忘了)。然而,我们仍然需要证明三价平面树与*A074679号,即所述等价类从未被划分为两个或多个不相交的循环*A074679号.

下面两个引理。

引理3

给定任何有限二叉树,自同构的一个或多个连续应用*A074679号最终将交换其左右两侧:

BinTree-d1-labeled-L-and-R.svg BinTree-d1-labeled-RL.svg

这个证明是通过归纳法在右手边的树的大小上进行的BinTree-d1-labeled-a-and-0.svg没有什么可以证明的,因为引理是立即满足的(这是我们的基本情况), 所以让我们集中在那些树上,右边不是空的,而是形式BinTree-d1-labeled-RL和RR.svg所以整棵树都是BinTree-d2-labeled-L-RL-RR.svg作为我们的归纳假设,我们假设

BinTree-d3-labeled-L-RL-RR.svg BinTree-d2-labeled-RR-L-RL.svgBinTree-d3-labeled-RR-L-RL.svg BinTree-d2-labeled-RL-RR-L.svg

hold,综合起来,意味着

BinTree-d2-labeled-L-RL-RR.svg BinTree-d3-labeled-RL-RR-L.svg

也可以。在这里指一个应用程序,以及自同构的一个或多个应用*A074679号.

为了了解这是如何工作的,让我们一步一步地进行: 自同构*A074679号首先将树向左旋转:

BinTree-d2-labeled-L-RL-RR.svg BinTree-d3-labeled-L-RL-RR.svg

现在,根据上面给出的归纳假设的第一部分,我们假设*A074679号最终将交换所生成树的左右两侧,从而使我们:

BinTree-d3-labeled-L-RL-RR.svg BinTree-d2-labeled-RR-L-RL.svg

这又会向左旋转,如下所示:

BinTree-d2-labeled-RR-L-RL.svg BinTree-d3-labeled-RR-L-RL.svg

现在,根据归纳假说的第二部分,我们假设*A074679号最终交换生成树的左右两侧,给出:

BinTree-d3-labeled-RR-L-RL.svg BinTree-d2-labeled-RL-RR-L.svg

依次向左旋转:

BinTree-d2-labeled-RL-RR-L.svg BinTree-d3-labeled-RL-RR-L.svg

我们确实得到了一个二叉树,其中原始树的(BinTree-d2-labeled-L-RL-RR.svg)左右两侧已互换。这证明了归纳假说和整个引理。

为什么这样有效?右手边的树 的大小是随着每一步的使用而增减的*A074679号,尽管在很多情况下会比原来的右手边的树大(BinTree-d1-labeled-RL和RR.svg), 我们看到我们需要注意/规定rhs树的大小 只在点(2)和(4),其中子树保证小于BinTree-d1-labeled-RL和RR.svg它们依次分解为&&等,每个分支进一步分解 到左侧和右侧,直到任何分支中到达空树(叶),然后由基本情况处理,原来左手边的树没有叶子,,会从下面经过,在我们到达上述过程的最后一步之前,在哪里最后还是在右手边。

引理4

作为前面引理的推论,我们有:

标记的有限二叉树的每一片叶子都会访问根节点右子节点在自同构轨道上某一点的位置*A074679号把那棵树送来。

证明:从前面引理详细证明的步骤(2)和(4),我们看到*A074679号在交换之前,将把右手边树的每一片叶子都带到根的右子树上(从根下穿过)成为根的左子。在第五步(最后一步)之后,原来的左侧树,,已轮回成为新的右手边的树, 而它的所有叶子都将有同样的命运。

工具书类

  1. 彼得·J·卡梅隆,一些树状物体,夸脱。J、 数学。牛津,(2)38(1987),155–183。