唯一因子分解域

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A类唯一分解域(UFD公司)是一个具有单位的交换环其中所有非零元素在不可约元素不考虑基本因子（因为乘法在交换环)尽管乘以单位（可逆元素，例如{–1，1}用于${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{Z}}$)第个，共个合伙人从环与团结。

把有理整数放在一起${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{Z}\，}$形成唯一的因子分解域（请参见A000040型对于阳性质数). 这一原则通常被称为“算术基本定理“然后被理解为与有理整数.

绝大多数序列在OEIS中涉及有理整数，尽管有大量关于整数不在唯一因子分解域中的希尔伯特数). 一些二次数字段是UFD，有些不是（见下文）。

这个高斯整数 ${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{Z}[i]，\i\，=\，{\sqrt{-1}}\，}$是唯一因子分解域的另一个示例。例如，13，它不是高斯素数（因为它是两个平方的和${\显示样式\脚本样式a^{2}+b^{2{\，=\，（a+bi）（a-bi）\，}$)，具有唯一的因子分解（最多个单位${\显示样式\脚本样式\{i^{0}，\，i^{1}，，i^}2，\，i^{3}\，=\，\{1，\，i，\，-1，\，-i\}\，}$属于${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{Z}[i]\，}$):${\显示样式\脚本样式13\，=\，（3+2i）（3-2i）\$，其中素因子分解被认为是独特的，因为明显不同的主要因素是关联的（通过产品相互关联单位). 没有其他高斯素数乘以13。

这个艾森斯坦整数 ${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{Z}[\omega]，\\omega\，=，{\frac{1}{2}}（-1+i{\sqrt{3}}）\，=\，e^{i2\pi/3}\，}$，使用单位 ${\显示样式\脚本样式\{\omega^{0}，\，\omega_{1}，，\omega ^{2}\，=\，\{1，\，e^{i2\pi/3}，\，e^{i4\pi/3}\，}$，形成唯一因子分解域的另一个示例。

具有唯一因子分解的域的一个结果是，不可约元素和素元素无关，因为它们是同一组。

非UFD示例

二次整数环的元素${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{Z}[{\sqrt{-5}}]\，}$，虽然是具有单位的交换环，但不形成UFD，因为某些元素有多个因式分解。例如，${\显示样式\脚本样式6\，=\，2\，\cdot\，3\，=\，（1+{\sqrt{-5}}）\，（1-{\sqrt{-5}）$在不可约元素（因此不是素元素）中有两个不同的因式分解。