平面隔墙

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普通（即一维）隔板是一行非负整数以非递增（弱递减）顺序，其和为${\显示样式\脚本样式n\，}$.

平面分区${\显示样式\脚本样式n\，}$是一个二维排列非负整数

${\显示样式n{0,0}\，}$	${\显示样式n{0,1}\，}$	$｛\displaystylen_｛0,2｝\，｝$	${\显示样式n{0,3}\，}$	${\显示样式\cdots}$
${\显示样式n{1,0}\，}$	${\显示样式n{1,1}\，}$	${\显示样式n{1,2}\，}$	${\显示样式n{1,3}\，}$	${\显示样式\cdots}$
${\显示样式n{2,0}\，}$	${\显示样式n{2,1}\，}$	${\显示样式n{2,2}\，}$	${\显示样式n{2,3}\，}$	${\显示样式\cdots}$
${\显示样式n{3,0}\，}$	${\显示样式n{3,1}\，}$	${\显示样式n{3,2}\，}$	${\显示样式n{3,3}\，}$	${\显示样式\cdots}$
${\显示样式\cdots}$	$｛\displaystyle\cdots｝$	${\显示样式\cdots}$	${\显示样式\cdots}$	${\显示样式\cdots}$

在行和列中均无增加（微弱减少）：

$显示样式n{i+1，j}$

总计为${\显示样式\脚本样式n\，}$:

${\显示样式n=\sum_{i，j}n_{i，j}.\，}{i，j}n_{i，j}.\，}$

平面隔板数量

平面分区的数量$｛\displaystyle\scriptstyle n，\，n\，\geq\，0，\，｝$给出了序列（参见。A000219号)

{1, 1, 3, 6, 13, 24, 48, 86, 160, 282, 500, 859, 1479, 2485, 4167, 6879, 11297, 18334, 29601, 47330, 75278, 118794, 186475, 290783, 451194, 696033, 1068745, 1632658, 2483234, 3759612, 5668963, ...}

麦克马洪公式

MacMahon（1960）表明${\显示样式\脚本样式M（a，b，c）\，}$平面隔板的年轻的图表安装在${\显示样式\脚本样式a\时间b\，}$矩形，其整数不超过${\显示样式\脚本样式c\，}$（与所有${\显示样式\脚本样式n{i，j}\，\leq\，c\，}$)由提供

${\显示样式M（a，b，c）=\prod_{i=1}^{a}\prod\j=1}^{b}\pro1_{k=1}^}c}{\frac{i+j+k-1}{i+j+k-2}}。}$

该公式由以下公式得出珀西·麦克马洪后来被改写成这种形式克唐纳德.

复发

$显示样式p{2}（n）={frac{1}{n}}\sum_{k=1}^{n} 第页_{2} （n-k）σ{2}（k），\，}{n} 第页_{2} （n-k）σ{2}（k），\，}$

哪里${\显示样式\脚本样式\西格玛{2}（n）\，}$是除数平方和属于${\显示样式\脚本样式n\，}$（参见。除数函数.)

正在生成函数

这个生成函数普通（一维）分区的倒数的属于欧拉函数

${显示样式G_{{p_{1}（n）}（x）\equiv\sum_{n=0}^{infty}p_{1}^{\infty}（1-x^{n}）}.\，}$

1912年，珀西·麦克马洪少校证明了生成函数对于平面隔板是

${显示样式G{{p{2}（n）}（x）\equiv\sum_{n=0}^{infty}p{2{（n ^{\infty}（1-x^{n}）^{n{}}=1+x+3x^{2}+6x^{3}+13x^{4}+24x^{5}+\ldots\，}$

现在，您可能会猜测实体分区的生成函数...

阿尔索

${显示样式G_{{p_{2}（n）}（x）\equiv\sum_{n=0}^{infty}p_{2]$

哪里${\显示样式\脚本样式\西格玛{2}（n）\，}$是除数平方和属于${\显示样式\脚本样式n\，}$（参见。除数函数.)

渐进行为

...

另请参见

• 分区(一维分区)
• 平面隔墙(二维分区)
• 实心隔板(三维分区)

• 成分(一维有序分区)
• 平面组成(二维有序分区)
• 固体成分(三维有序分区)

• 乘法分区(因式分解)
• 乘法合成(有序因式分解)

• 主要签名（可以视为给定隔板属于${\显示样式\脚本样式\欧米茄（n）\，}$，的素因子数（重复）属于${\显示样式\脚本样式n\，}$.)

外部链接

• Donald E.Knuth，关于实心分区的一点注记, 1970.
• E.梅特兰·赖特，渐近分割公式，Q J数学（1931）os-2（1）：177-189。
• 卢本·穆塔夫奇耶夫，大整数平面分块的渐近计数与可容许生成函数的Hayman定理保加利亚美国大学。
• 埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。,平面分区，来自MathWorld-A Wolfram Web资源。。