矩阵

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A类矩阵（复数矩阵)是一个矩形数组数字,符号，或表达，排列方式排和柱.（矩阵是张量级别的2矩阵中的单个项目称为元素或条目.

安

米  × n个

矩阵

A类

通常使用方括号书写（替代符号使用大括号）

${\displaystyle\mathbf{A}={\begin{bmatrix}{\being{array}｛cccccc｝a_{11} &a{12}和\cdots&a{1n}\\a{21}&a{22}和\ cdots&a{2n}\\vdots&\vdots&\ddots&\ vdots\\a{m1}&a}m2}&\cdots和a{mn}\end{array}}\ end{bmatrix}}=\left（{begin{matrix}{\begin{arrays}｛cccccc｝a_{11} &a{12}和\cdots&a{1n}\\a{21}&a{22}和\ cdots&a{2n}\\vdots&\vdots&\ddots&\ vdots\\a{m1}&a}m2}&\cdots和a{mn}\end{array}}\ end{matrix}}\ right）。}｛cccccc｝a_{11} &a{12}和\cdots&a{1n}\\a{21}&a{22}和\ cdots&a{2n}\\vdots&\vdots&\ddots&\ vdots\\a{m1}&a}m2}&\cdots和a{mn}\end{array}}\ end{bmatrix}}=\left（{begin{matrix}{\begin{arrays}｛cccccc｝a_{11} &a{12}和\cdots&a{1n}\\a{21}&a{22}和\ cdots&a{2n}\\vdots&\vdots&\ddots&\ vdots\\a{m1}&a}m2}&\cdots和a{mn}\end{array}}\ end{matrix}}\ right）。}$

矩阵示例三行和5列是

${\显示样式{\begin{bmatrix}{\being{array}{rrrrr}-1&0&7&0&7\\34&-3&-67&0&-7\\9&-5&7&1&19\end｛array｝｝\end｛bmatrix｝｝=\left（｛\ begin｛matrix｝｛\ begin｛array｝{rrrrr}-1&0&7&0&7\\34&-3&-67&0&-7\\9&-5&7&1&19\end{数组}}\end}矩阵}\right）。}{rrrrr}-1&0&7&0&7\\34&-3&-67&0&-7\\9&-5&7&1&19\end｛array｝｝\end｛bmatrix｝｝=\left（｛\ begin｛matrix｝｛\ begin｛array｝{rrrrr}-1&0&7&0&7\\34&-3&-67&0&-7\\9&-5&7&1&19\end{数组}}\end}矩阵}\right）。}$

矩阵运算

一元矩阵运算

转座

这个转置的

米  × n个

矩阵

A类

是

n个 × 米

矩阵

A类T型

通过交换排和柱属于

A类

，即。

${\显示样式（\mathbf{A}^{\rm{T}}）_{ij}:=\mathbf{A}_{ji}，\quad 1\leqi\leqm，\1\leq j\leqn.}$

二进制矩阵运算

标量乘法

这个左标量乘法

c（c）​A类

的标量

c（c）

和矩阵

A类

定义为

${\显示样式（c\mathbf{A}）_{ij}:=c\cdot\mathbf{A}_{ij}，\quad 1\leqi\leqm，\1\leq j\leqn，}$

以及右标量乘法

A类 c（c）

矩阵的

A类

和a标量

c（c）

定义为

${\显示样式（\mathbf{A}c）_{ij}:=\mathbf{A}_{ij}\cdot c，\quad 1\leqi\leqm，\1\leq j\leqn.}$

矩阵加法

总额

A类+B类

共两个

米  × n个

矩阵

A类

和

B类

是按入口计算的，即。

$显示样式（\mathbf{A}+\mathbf{B}）_{ij}:=\mathbf2{A}_{ij}+\mathbf{B}_{i}，\quad 1\leqi\leqm，\leqj\leqn.}$

这个交换性元素的交换性需要矩阵加法，即。

${\显示样式\mathbf{A}_{ij}+\mathbf{B}_{i j}=\mathbf1{B}{i j{+\mathbf{A{ij}，\quad 1\leqi\leqm，\leqj\leqn，}$

${\显示样式\暗示}$

${\显示样式（\mathbf{A}+\mathbf{B}）{ij}=（\mathbf{B}+\mathbf{A}）_{ij{，\quad 1\leqi\leqm，\1\leq j\leqn.}$

矩阵乘法

这个矩阵乘法的

第页  × 秒

矩阵

A类

和一个

秒  × t吨

矩阵

B类

定义为

${\显示样式（\mathbf{A}\mathbf{B}）{ik}:=\sum_{j=1}^{s}\mathbf{A{ij}\mathpf{B}{jk}，\quad 1\leqi\leqr，\，1\leq k\leq t，}$

其中乘积矩阵

A类 B类

是一个

第页  × t吨

矩阵。

注意，矩阵乘法是非对易的，即。

${\显示样式\mathbf{A}\mathbf{B}\neq\mathbf1{B}\mathbf{A}.}$

平方矩阵

A类平方矩阵是一个

n个  × n个

矩阵

${\显示样式{\begin{bmatrix}{\being{array}｛cccccc｝a_{11} &a{12}和\cdots&a{1n}\\a{21}&a{22}和\ cdots&a{2n}\\vdots&\vdots&\ddots&\ vdots\\a{n1}&a_{n2}&\cdots和a{nn}\end{array}}\end{bmatrix}}，}｛cccccc｝a_{11} &a{12}和\cdots&a{1n}\\a{21}&a{22}和\ cdots&a{2n}\\vdots&\vdots&\ddots&\ vdots\\a{n1}&a_{n2}&\cdots和a{nn}\end{array}}\end{bmatrix}}，}$

其中条目

一我 我 , 1  ≤  我  ≤  n个,

构成主对角线属于

A类

.

单位矩阵

这个

n个  × n个

单位矩阵

我n个

是一个平方矩阵那个有1沿着主对角线0适用于所有其他条目。该矩阵通常简单写成

我

，特别之处在于它的行为1在里面矩阵乘法.

示例：

     

我1 =  1 , 我2 =  1   0 0   1 , 我三 =  1   0   0 0   1   0 0   0   1 , 我4 =  1   0   0   0 0   1   0   0 0   0   1   0 0   0   0   1 , 我5 =  1   0   0   0   0 0   1   0   0   0 0   0   1   0   0 0   0   0   1   0 0   0   0   0   1 , ...

跟踪

主要文章页面：跟踪

这个追踪的

n个  × n个

平方矩阵定义为主对角线（从左上角到右下角的对角线），即。

信托收据 (A类)  :=    n个 ∑   我  = 1    一我  我 = 一1​1+一2 2+⋯+一n个  n个 .

决定因素

主要文章页面：决定因素

这个行列式的

n个  × n个

表示平方矩阵

| A类 |

或

det（探测）A类

.a的行列式

1 × 1

矩阵（a标量)定义为（这里我们避免使用符号

| 一 |

由于与混淆绝对值)

${\显示样式\det{\开始{bmatrix}一个_｛｝\end｛bmatrix｝｝：=a_｛｝。｝{bmatrix}一个_｛｝\end｛bmatrix｝｝：=a_｛｝。｝$

a的行列式

2 × 2

矩阵定义为

${\显示样式\left|{\开始{矩阵}a_{11} &a{12}\\a{21}&a{22}\end{matrix}}\right|：=\det{\begin{bmatrix}一个_{11} &a{12}\\a{21}&a{22}\end{bmatrix}}:=a_{11} 一个_{22}-a_{12} 一个_{21}.}{矩阵}a_{11} &a{12}\\a{21}&a{22}\end{matrix}}\right|：=\det{\begin{bmatrix}一个_{11} &a{12}\\a{21}&a{22}\end{bmatrix}}:=a_{11} 一个_{22}-a_{12} 一个_{21}.}$

a的行列式

n个  × n个

平方矩阵定义为

$｛\displaystyle\left|｛\bbegin｛matrix｝｛\bbegin｛array｝｛cccccc｝a_{11} &a{12}和\cdots&a{1n}\\a{21}&a{22}和\ cdots&a{2n}\\vdots&\vdots&\ddots&\ vdots\\a{n1}&a_{n2}&\cdots和a{nn}\end{array}}\end{matrix}}\right|：=\det{\begin{bmatrix}{\being{array｛cccccc｝a_{11} &a{12}和\cdots&a{1n}\\a{21}&a{22}和\ cdots&a{2n}\\vdots&\vdots&\ddots&\ vdots\\a{n1}&a_{n2}&\cdots和a{nn}\end{array}}\end{bmatrix}}:=\sum_{j=1}^{n}（-1）^{i+j}\，a{ij}，M_{i}j}=\总和{i=1}^{n}（-1）^{i+j}\，a{ij}\｛cccccc｝a_{11} &a{12}和\cdots&a{1n}\\a{21}&a{22}和\ cdots&a{2n}\\vdots&\vdots&\ddots&\ vdots\\a{n1}&a_{n2}&\cdots和a{nn}\end{array}}\end{matrix}}\right|：=\det{\begin{bmatrix}{\being{array｛cccccc｝a_{11} &a{12}和\cdots&a{1n}\\a{21}&a{22}和\ cdots&a{2n}\\vdots&\vdots&\ddots&\ vdots\\a{n1}&a_{n2}&\cdots和a{nn}\end{array}}\end{bmatrix}}:=\sum_{j=1}^{n}（-1）^{i+j}\，a{ij}，M_{i}j}=\总和{i=1}^{n}（-1）^{i+j}\，a{ij}\$

其中少数的

M（M） 我 j个

定义为

(n个 −  1) × (n个 −  1)

矩阵从

A类

通过移除

我

 第个 行以及

j个

 第个 柱.表达式

( − 1) 我 + j个 M（M） 我 j个

被称为辅因子属于

一我 j个

.

调整（Adjugate）

这个调节器的

n个  × n个

平方矩阵

A类

是转置的协因数阵

C类

属于

A类

，即。

形容词 (A类)  := C类T型,

哪里

C类我 j个

是辅因子属于

一我 j个

.

C类 我 j个 :=  (−1) 我  +  j个 M（M） 我 j个 , 1≤我≤n个，1≤   j个≤n个,

以及在哪里

M（M） 我 j个

是少数的属于

一我 j个

.

反向

这个反向的

n个  × n个

平方矩阵

A类

是一个

n个  × n个

平方矩阵

A类  − 1

隐式定义为

A类 A类  − 1 = A类  − 1 A类 = 我 n个

哪里

$｛\displaystyle\mathbf｛I｝_｛n｝：=｛\bbegin｛bmatrix｝｛\bbegin｛array｝{cccccc}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end｛array｝｝\end｛bmatrix｝｝｝{cccccc}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end｛array｝｝\end｛bmatrix｝｝｝$

是

n个  × n个

单位矩阵（该主对角线条目正在1，所有其他条目为0).

矩阵是可逆的(有规律的)当且仅当其行列式非零，否则矩阵为不可逆(单数的).拉普拉斯公式逆矩阵为

A类  − 1 =  形容词 (A类) det（探测） (A类)  , det（探测） (A类) ≠ 0,

哪里

形容词 (A类)

是调整矩阵属于

A类

.

特征向量和特征值

主要文章页面：特征向量和特征值

非零标量

λ

和一个非零矢量

v（v）

令人满意的

A类 v（v） =  λ v（v）

被称为特征值和一个特征向量属于

A类

分别是。非零标量

λ

是一个特征值

n个  × n个

矩阵

A类

当且仅当

A类 −  λ 我 n个

是不可逆的，相当于

det（探测） (A类− λ 我 n个 )  =  0

另请参阅

• 张量

• 标量（秩张量0)
• 矢量（秩张量1)
• 矩阵（秩张量2)

外部链接

• 在线矩阵计算器，蓝宝石。
• 在线矩阵加法/减法，蓝宝石。
• 在线矩阵乘法，蓝宝石。
• 线性方程求解器，蓝宝石。